Limita posloupnosti

Definice 11.10 (Vlastní limita posloupnosti.) Posloupnost {𝑎𝑛} má vlastní limitu 𝑎∈ℝ, jestliže ke každému 𝜀 ∈ℝ+ existuje 𝑛0∈ℕ takové, že pro všechna 𝑛≥𝑛0 (𝑛∈ℕ) platí |𝑎𝑛−𝑎|<𝜀. Zápis: lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎 nebo také 𝑎𝑛→𝑎.

Stručný zápis definice:

lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎⇔∀𝜀>0 ∃𝑛0∈ℕ:∀𝑛≥𝑛0⇒|𝑎𝑛−𝑎|<𝜀.

Obr. 11.4 Vlastní limita posloupnosti - geometrický významlimn→∞an=a

Poznámka Je-li lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎, pak skoro všechny členy posloupnosti {𝑎𝑛} patří do okolí 𝑈𝜀(𝑎), což znamená, že skoro všechny body grafu posloupnosti {𝑎𝑛} leží v pásu ohraničeném přímkami o rov-nicích 𝑦=𝑎−𝜀 a 𝑦=𝑎+𝜀.

Číslo 𝑛0 závisí na volbě čísla 𝜀, je jeho funkcí, což lze psát 𝑛0=𝑛0(𝜀).

Příklad Dokažme, že lim𝑛→∞1𝑛=0.

Řešení Sestrojíme nejprve graf posloupnosti {1𝑛}.