Kritéria konvergence a

divergence řad

Stanovení součtu řady bývá zpravidla obtížný úkol. Vzhledem k tomu, že součet číselné řady lze snadno vypočítat pouze u řady geometrické a několika málo dalších řad, soustředíme se především na zkoumání, zda řada konverguje nebo diverguje. K tomu nám slouží kritéria. Kritéria udávají jednak postačující podmínky pro konvergenci a jednak postačující podmínky pro divergenci řady. Není-li postačující podmínka stanovená kritériem splněna, nedává kritérium výsledek a je nutné užít jiné kritérium. Kritéria totiž nejsou stejně silná, účinná.

Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy

Definice 12.3 Řada Σ𝑎𝑛 se nazývá řadou se nezápornými (kladnými) členy, platí-li 𝑎𝑛≥0 (𝑎𝑛>0) pro všechna 𝑛∈ℕ.

Věta 12.4 (Srovnávací kritérium.) Nechť Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 a Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 jsou řady s nezápornými členy takové, že pro skoro všechna 𝑛 platí 𝑎𝑛≤𝑏𝑛.

 Pokud řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 konverguje, konverguje také řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1.

 Jestliže řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 diverguje, diverguje také řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=

1.

Poznámka Řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 z věty 12.4 se nazývá minorantou řady Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 Řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 je majoranta řady Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 Předchozí větu lze proto vyslovit takto: S každou majorantou konverguje i její minoranta a s každou minorantou diverguje její majoranta.