Logika

Matematická logika se zabývá přesným formálním studiem jazyka matematiky a matematických pracovních postupů. Při studiu matematiky se setkáváme s pojmy výrok, axiom, definice, věta, důkaz atd. Tyto pojmy považujeme za základní prvky logické výstavby matematiky. Vyskytují se v celém dalším výkladu, proto je nezbytné se s nimi obeznámit a pochopit přesně jejich význam. Zá-kladní význam v matematické logice mají výroky.

Výrok je jakékoliv sdělení (tvrzení), o němž má smysl rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé, přičemž z těchto dvou možností nastane právě jedna. Pravdivému výroku přiřazujeme pravdivostní hodnotu 1 a nepravdivému 0. Stručně budeme psát ph 1 a ph 0.

Množina a

její prvek

Množinou rozumíme souhrn (soubor) jakýchkoliv objektů. Množina je určena, můžeme-li o jakémkoliv objektu rozhodnout, zda do ní patří či nepatří.

Objekty, které patří do dané množiny, nazýváme prvky této množiny. Příklad Uvažujme množinu všech měst České republiky. Město Olomouc patří do této množiny, na-proti tomu město Bratislava nepatří do této množiny. Příklad Uvažujme množinu všech druhých mocnin přirozených čísel. Číslo 25 patří do této množiny, číslo 7 do ní nepatří.

Množiny označujeme zpravidla velkými písmeny abecedy, např.: 𝐴,𝐵,𝐶,…

Prvky množiny označujeme zpravidla malými písmeny abecedy, např.: 𝑎,𝑏,𝑐,…, v případě potřeby užíváme indexy.

Vektory a

operace s nimi

Definice 6.1 Uspořádanou 𝑛-tici 𝑥⃗=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛),𝑥1,…,𝑥𝑛∈ℝ

budeme nazývat 𝑛−rozměrným vektorem. Množinu všech 𝑛-rozměrných vektorů budeme nazý-vat 𝑛-rozměrným vektorovým prostorem a označovat 𝑉𝑛, 𝑥𝑖 nazýváme složky vektoru.

Velikost vektoru je |𝑥⃗|=√𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛.

Vektor 𝑜⃗=(0;0;…;0)∈𝑉𝑛 nazveme nulovým vektorem.

Příklad Ze skladu s pískem je exportován materiál ke třem odběratelům. První má požadavek na dodávku ve výši 8t, druhý 5t a třetí ve výši 7t. Požadavky odběratelů lze vyjádřit jako vektor (8,5,7).

Definice matice a typy matic

Definice 7.1 Maticí A typu 𝑚/𝑛 nazýváme obdélníkové schéma 𝑚𝑛 reálných čísel aij, kde

i= 1, 2, …, m a 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 sestavených v 𝑚 řádcích a 𝑛 sloupcích, tj.

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑛

… 𝑎2𝑛

⋮ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

… ⋮

… 𝑎𝑚𝑛

) = ‖𝑎; 𝑗‖.

𝑎𝑖𝑗 je prvek matice stojící v 𝑖-tém řádku a 𝑗-tém sloupci

i je řádkový index

j je sloupcový index

i, j, m, n  N

𝑎11, 𝑎22, … jsou prvky, které leží na hlavní diagonále matice A

𝑎1𝑛, 𝑎2𝑛−1, … jsou prvky, které leží na vedlejší diagonále matice A

Řádky matice A lze považovat za n-členné řádkové vektory. Sloupce matice A lze považovat za mčlenné

sloupcové vektory.

Definice determinantu a

jeho vlastnosti

Definice 8.1 Determinant je zobrazení z množiny čtvercových matic do množiny reálných čísel. Značíme jej 𝐝𝐞𝐭 𝑨, |𝑨| nebo 𝑫=|𝑎11⋯𝑎1𝑛⋯⋯⋯𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑛|.

Definice 8.2 Determinantem čtvercové matice 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) typu 𝑛/𝑛 nazýváme součet Σ(−1)𝑝𝑘𝑎1𝑘1 𝑎2𝑘2…𝑎𝑛𝑘𝑛 𝑘=(𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛) 𝑛! součinů, v němž se sčítá přes všechny permutace 𝑘=(𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛) množiny {1,2,…,𝑛} sloup-cových indexů a v němž 𝑝𝑘 značí počet inverzí v permutaci 𝑘.

Poznámka Determinant čtvercové matice řádu 𝑛 je roven 𝑛! součinů 𝑛 prvků této matice takových, že v každém součinu je právě jeden prvek z každého řádku a právě jeden prvek z každého sloupce. Každý součin má tvar 𝑎1𝑘1𝑎2𝑘2…𝑎𝑛𝑘𝑛 a je navíc opatřen znaménkem plus nebo mínus, které závisí na tom, ze kterých řádků a sloupců byly prvky do součinu vybrány.

Definice soustavy a

jejího řešení

Definice 9.1 Lineární rovnicí o n neznámých budeme rozumět rovnici tvaru

𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+…+𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑏, i=1, 2, …, n,

kde xi jsou neznámé, a, bR pevně zvolená čísla.

Řešením rovnice nazveme uspořádanou n-tici čísel (u1, u2, …, un), které po dosazení za neznámé xi přemění rovnici v rovnost.

Příklad Řešením rovnice 2𝑥1+3𝑥2−7𝑥3=−3

je trojice čísel 𝑥1=−3,𝑥2=1,𝑥3=0, což můžeme zapsat, také jako vektor 𝑢⃗⃗=(−3,1,0).

Poznámka Rovnici z definice 9.1 můžeme zapsat i pomocí matic. Uvažujme matici A typu 1/n a ma-tici X typu n/1, tedy

𝐴=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 ) 𝑎 𝑋=( 𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛 )=𝑥⃗ sloupcový vektor

1/n n/1

Potom maticová rovnice 𝐴𝑋=𝑏, resp. 𝐴𝑥⃗=𝑏 je jen jiným zápisem rovnice z definice 9.1.

Definice posloupnosti a

její graf

Definice 11.1 Posloupnost reálných čísel (dále jen posloupnost) je zobrazení množiny přirozených čísel do množiny čísel reálných.

Posloupnost, kterou je každému číslu 𝑛∈ℕ přiřazeno číslo 𝑎𝑛∈ℝ, zapisujeme {𝑎1,𝑎2,𝑎3,…}

nebo stručně {𝑎𝑛}𝑛=1∞ nebo jen{𝑎𝑛}.

Číslo 𝑎𝑛 se nazývá 𝑛-tý člen posloupnosti {𝑎𝑛}, číslo 𝑛 index členu 𝑎𝑛.

Poznámka Posloupnost je funkce definovaná na množině přirozených čísel. Posloupnost má vždy nekonečně mnoho členů; je to tedy nekonečná posloupnost.

Posloupnost můžeme zadat

1. symbolicky – vzorcem pro 𝑛-tý člen (pokud existuje),

2. rekurentně, tj. 𝑚 prvními členy a vzorcem kterým, je 𝑛-tý člen vyjádřen pomocí 𝑚 bezpro-středně předcházejících členů,

3. výčtem členů, prakticky však pouze několika prvních členů, pokud je zřejmé, jaké členy ná-sledují,

4. graficky.

Limita posloupnosti

Definice 11.10 (Vlastní limita posloupnosti.) Posloupnost {𝑎𝑛} má vlastní limitu 𝑎∈ℝ, jestliže ke každému 𝜀 ∈ℝ+ existuje 𝑛0∈ℕ takové, že pro všechna 𝑛≥𝑛0 (𝑛∈ℕ) platí |𝑎𝑛−𝑎|<𝜀. Zápis: lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎 nebo také 𝑎𝑛→𝑎.

Stručný zápis definice:

lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎⇔∀𝜀>0 ∃𝑛0∈ℕ:∀𝑛≥𝑛0⇒|𝑎𝑛−𝑎|<𝜀.

Obr. 11.4 Vlastní limita posloupnosti - geometrický významlimn→∞an=a

Poznámka Je-li lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑎, pak skoro všechny členy posloupnosti {𝑎𝑛} patří do okolí 𝑈𝜀(𝑎), což znamená, že skoro všechny body grafu posloupnosti {𝑎𝑛} leží v pásu ohraničeném přímkami o rov-nicích 𝑦=𝑎−𝜀 a 𝑦=𝑎+𝜀.

Číslo 𝑛0 závisí na volbě čísla 𝜀, je jeho funkcí, což lze psát 𝑛0=𝑛0(𝜀).

Příklad Dokažme, že lim𝑛→∞1𝑛=0.

Řešení Sestrojíme nejprve graf posloupnosti {1𝑛}.

Vlastnosti limity posloupnosti

Věta 11.2 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Poznámka Tzn. buď žádnou nebo právě jednu.

Věta 11.3 Nechť {𝑎𝑛} a {𝑏𝑛} jsou posloupnosti takové, že pro skoro všechna 𝑛∈ℕ je 𝑎𝑛=𝑏𝑛. Pak lim 𝑎𝑛 existuje, právě když existuje lim 𝑏𝑛 a obě limity jsou si rovny.

Důsledek Vynechání, přidání nebo změna konečného počtu členů posloupnosti nemá vliv na exis-tenci a hodnotu limity.

Např. Posloupnost {3,3,⋯}={3}𝑛=1∞ je stacionární posloupnost, která má limitu 3.

A také posloupnost { 50,40,30,20,10,1,⏟ přidané členy3,3,3,⋯ } má limitu 3.

Věta 11.4 Jestliže pro skoro všechna 𝑛∈ℕ je 𝑎𝑛=𝑎,𝑎∈𝑅, pak lim 𝑎𝑛=𝑎.

Důsledek Limita konstantní posloupnosti je rovna té konstantě.

Např. Posloupnost {3,3,3,⋯}={3}𝑛=1∞ má limitu 3.

Věta 11.5 (O limitě posloupností vzniklých početními operacemi.)

Nechť lim𝑎𝑛=𝑎,lim𝑏𝑛=𝑏,𝑎,𝑏∈ℝ∗ a početní operace 𝑎+𝑏,𝑎−𝑏,𝑎⋅𝑏,𝑎𝑏,𝑎𝑚,√𝑎𝑚, 𝑚∈ℕ, jsou definovány na množině ℝ∗.

Definice číselné řady a

jejího součtu

Teorie číselných řad navazuje na teorii číselných posloupností, proto při studiu řad uplatníme mnohé poznatky o posloupnostech.

Definice 12.1 Buď {𝑎𝑛}𝑛=1∞ posloupnost reálných čísel. Nekonečnou číselnou řadou (stručně jen řadou) nazveme symbol 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛+⋯(𝑛∈ℕ), který vznikne tak, že mezi každé dva sou-sední členy posloupnosti {𝑎𝑛} formálně vložíme znak +. Stručné označení řady: Σ𝑎𝑛∞𝑛=1; Σ𝑎𝑛=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛+⋯∞𝑛=1

Čísla 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛,… nazýváme členy řady.

Číslo 𝑎𝑛 nazýváme 𝑛-tý člen řady.

Součet prvních 𝑛 členů 𝑠𝑛=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛 nazveme 𝑛-tým částečným součtem řady.

Rozdíl 𝑅𝑛=Σ𝑎𝑛−𝑠𝑛=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+2+⋯∞𝑛=1

je tzv. zbytek po 𝑛-tém členu řady.

Poznámka Místo

Kritéria konvergence a

divergence řad

Stanovení součtu řady bývá zpravidla obtížný úkol. Vzhledem k tomu, že součet číselné řady lze snadno vypočítat pouze u řady geometrické a několika málo dalších řad, soustředíme se především na zkoumání, zda řada konverguje nebo diverguje. K tomu nám slouží kritéria. Kritéria udávají jednak postačující podmínky pro konvergenci a jednak postačující podmínky pro divergenci řady. Není-li postačující podmínka stanovená kritériem splněna, nedává kritérium výsledek a je nutné užít jiné kritérium. Kritéria totiž nejsou stejně silná, účinná.

Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy

Definice 12.3 Řada Σ𝑎𝑛 se nazývá řadou se nezápornými (kladnými) členy, platí-li 𝑎𝑛≥0 (𝑎𝑛>0) pro všechna 𝑛∈ℕ.

Věta 12.4 (Srovnávací kritérium.) Nechť Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 a Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 jsou řady s nezápornými členy takové, že pro skoro všechna 𝑛 platí 𝑎𝑛≤𝑏𝑛.

 Pokud řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 konverguje, konverguje také řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1.

 Jestliže řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 diverguje, diverguje také řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=

1.

Poznámka Řada Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 z věty 12.4 se nazývá minorantou řady Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 Řada Σ𝑏𝑛∞𝑛=1 je majoranta řady Σ𝑎𝑛∞𝑛=1 Předchozí větu lze proto vyslovit takto: S každou majorantou konverguje i její minoranta a s každou minorantou diverguje její majoranta.

Alternující řady

Dosud jsme se zabývali pouze řadami, které mají nezáporné členy. Nyní zaměříme pozornost na konvergenci řad, jejichž členy mění znaménko.

Definice 12.4 Řada Σ𝑎𝑛 se nazývá alternující, platí-li pro její členy sgn 𝑎𝑛+1=−sgn 𝑎𝑛 pro všechna 𝑛∈ℕ.

Poznámka V alternující řadě se střídají znaménka. Alternující řadou rozumíme řadu Σ(−1)𝑛+1𝑎𝑛=𝑎1−𝑎2+𝑎3−𝑎4+⋯, resp. řadu Σ(−1)𝑛𝑎𝑛=−𝑎1+𝑎2−𝑎3+𝑎4−⋯.

Poznámka Symbol sgn je zkratka pro signum=znaménko.

Příklad Známá alternující řada je především Leibnizova řada. Σ(−1)𝑛+11𝑛=1−12+13−14+15−⋯

Pro alternující řady uvádíme pouze jediné kritérium.