Okruhy k teoretickým otázkám ke zkoušce z P1MEP (XLA) v ZS 2025 (s ukázkami možných otázek) 1. Výroková logika. Pojmy: • výrok, • složený výrok, • výroková forma, • pravdivostní hodnota, • negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, • kvantifikátor. Ukázka otázek: • Jaký je rozdíl mezi výrokem a výrokovou formou? • Uveďte, kdy je pravdivá konjunkce (disjunkce, implikace, ekvivalence)? • Co je to tautologie (kontradikce)? • Jak se negují kvantifikované výroky? • Jak čteme: ∀𝑥 a ∃𝑥? 2. Množiny. Číselné množiny. Pojmy: • operace na množinách (průnik, sjednocení, rozdíl), • okolí bodu, • interval (uzavřený, otevřený, omezený, neomezený), • největší prvek množiny (maximum), • nejmenší prvek množiny (minimum), • absolutní hodnota, • racionální čísla, • nevlastní čísla (symboly nekonečna), • rozšířená reálná osa, • definované a nedefinované operace. Ukázka otázek: • Co jsou to racionální čísla? • Které prvky tvoří sjednocení dvou množin? • Které prvky tvoří průnik dvou množin? • Vyjmenujte alespoň 3 neurčité/nedefinované výrazy. • Jaký je rozdíl mezi uzavřeným a otevřeným intervalem? • Co je to okolí bodu? 3. Vektory. Pojmy: • vektor, • součet vektorů a jeho geometrický význam, • násobek vektoru a jeho geometrický význam, • skalární součin, • nulový a opačný vektor, • lineární kombinace vektorů, • lineární závislost a nezávislost vektorů. Ukázka otázek: • Jak se tvoří lineární kombinace vektorů? • Kdy jsou vektory lineárně závislé a kdy lineárně nezávislé? Uveďte příklady. • Znázorněte geometricky součet dvou vektorů v rovině. 4. Matice. Pojmy: • matice, • typ matice, • prvky matice, • hlavní diagonála matice, • horní lichoběžníková matice, • horní trojúhelníková matice, • horní stupňovitá matice, • nulová matice, • čtvercová matice, • obdélníková matice, • jednotková matice, • transponovaná matice, • násobek matice, • součet matic, • násobení matic, • hodnost matice, • hodnost horní stupňovité matice, • ekvivalentní úpravy zachovávající hodnost matice, • Gaussův algoritmus pro určení hodnosti matice. Ukázka otázek: • Jak vypadá matice ve stupňovitém tvaru? • Která z uvedených matic je horní trojúhelníková? • Zapište jednotkovou matici E3. • Jak se vytvoří matice transponovaná? • Co musí splňovat matice, aby se daly sčítat? • Co musí splňovat matice, aby se daly mezi sebou násobit? • Vysvětlete, jak byste postupovali při určování hodnosti matice. • Jak lze využít hodnost matice pro určení lineární nezávislosti vektorů? 5. Determinanty. Inverzní matice. Pojmy: • determinant, • subdeterminant, • výpočet determinantu (křížové pravidlo, Sarrusovo pravidlo, rozvoj determinantu podle řádku/sloupce (Laplaceova věta), determinant horní trojúhelníkové matice), • vlastnosti determinantu (úpravy determinantu), • inverzní matice, • regulární matice, • singulární matice, • vztah hodnosti matice, determinantu matice a existence inverzní matice, • výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav, • šifrování zprávy pomocí matice. Ukázka otázek: • Co platí pro determinant matice ve stupňovitém tvaru? • Jaký je rozdíl mezi singulární a regulární maticí? • Ke které matici lze spočítat matici inverzní? • Existuje k matici s nenulovým determinantem inverzní matice? • Čemu se rovná determinant nulové matice? • Čemu se rovná determinant jednotkové matice? • Čemu se rovná determinant singulární matice? • Co musí platit pro matici, která se používá pro šifrování? 6. Soustavy lineárních rovnic. Pojmy: • soustava lineárních rovnic, • matice soustavy, • rozšířená matice soustavy, • řešení soustavy, • Frobeniova věta, • Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic, • Cramerovo pravidlo. Ukázka otázek: • Kolik řešení může mít soustava lineárních rovnic? • Kdy lze použít Gaussovu eliminační metodu a kdy Cramerovo pravidlo? • Jaký je vztah mezi hodností matice soustavy a hodností rozšířené matice soustavy (nerovnost)? 7. Číselné posloupnosti. Limita posloupnosti. Pojmy: • posloupnost reálných čísel, • zápis posloupnosti (několika prvními členy, rekurentně, n-tým členem), • graf posloupnosti, • vlastnosti posloupnosti (ohraničenost, monotónnost), • aritmetická posloupnost, • součet prvních n členů aritmetické posloupnosti, • geometrická posloupnost, • součet prvních n členů geometrické posloupnosti, • vybraná posloupnost, • vlastní limita posloupnosti, • nevlastní limita posloupnosti, • důležité limity (konstantní, mocninné a exponenciální posloupnosti a posloupnosti definující Eulerovo číslo), • limita součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou posloupností, • vlastnosti limit posloupností (počet limit jedné posloupnosti, vztah limity posloupnosti a limit posloupností z ní vybraných, limita součinu nulové a omezené posloupnosti). Ukázka otázek: • Kdy je posloupnost monotónní? Uveďte příklad posloupnosti, která je monotónní. • Kdy je posloupnost omezená? Uveďte příklad posloupnosti, která je omezená. • Co je to vybraná posloupnost? • Může mít jedna posloupnost dvě limity? • Má každá posloupnost limitu? • Jak je definováno Eulerovo číslo? 8. Číselné řady. Konvergence číselných řad. Pojmy: • číselná řada, • řada s kladnými (nezápornými, libovolnými) členy, • součet řady, • 𝑛-tý částečný součet, • geometrická řada, • konvergence řady, • divergence řady, • limitní podílové kritérium, • limitní odmocninové kritérium, • spoření. Ukázka otázek: • Může konvergovat řada, jejíž členy se pro 𝑛 → ∞ blíží k 1 2 ? • Musí konvergovat řada, jejíž členy se pro 𝑛 → ∞ blíží k 0? • Pomocí kterých kritérií lze rozhodnout o konvergenci řady s nezápornými členy? • Co plyne z nesplnění nutné podmínky konvergence číselné řady?