MATEMATIKA PRO
EKONOMICKOU
PRAXI - TEORIE
S T U D I J N Í O P O R A P R O K O M B I N O V A N É
S T U D I U M
Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 2024
MATEMATIKA PRO
EKONOMICKOU PRAXI - TEORIE
doc. RNDr. Martina Pavlačková, Ph.D.
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
RNDr. Vratislava Mošová, CSc.
Mgr. Veronika Říhová, Ph.D.
©
Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s.
Autoři: doc. RNDr. Martina PAVLAČKOVÁ, Ph.D.,
RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc.,
RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc.,
Mgr. Veronika ŘÍHOVÁ, Ph.D.
Olomouc 2024
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Obsah
Úvod 7
Výroková logika 9
Výrokové operace 12
Zákony výrokové logiky 13
Logická výstavba matematiky 15
Stavba matematické věty 15
Kvantifikátory 16
Negování kvantifikovaných výroků 17
Negování výroků s udáním počtu 17
Pořadí kvantifikátorů 18
Množiny 21
Množina a její prvek 23
Operace s množinami 24
Číselné množiny 26
Množina ℝ ∗ 27
Uspořádání a početní operace v množině ℝ ∗ 28
Intervaly 29
Okolí bodu 30
Vektorové prostory 37
Vektory a operace s nimi 38
Lineární kombinace vektorů 39
Lineární závislost vektorů 41
Dimenze a báze vektorového prostoru 43
Matice 46
Definice matice a typy matic 47
Operace s maticemi 49
Transponovaná matice 52
5
Hodnost matice a matice inverzní 55
Hodnost matice 56
Inverzní matice a její výpočet 58
Determinanty 63
Definice determinantu a jeho vlastnosti 64
Výpočet hodnoty determinantů 65
Laplaceův rozvoj determinantu 67
Užití determinantů 68
Soustavy lineárních rovnic 72
Definice soustavy a jejího řešení 73
Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic 74
Existence řešení 75
Metody řešení soustav lineárních rovnic 79
Gaussova eliminační metoda 80
Cramerovo pravidlo 85
Řešení soustavy užitím inverzní matice 87
Číselné posloupnosti 92
Definice posloupnosti a její graf 93
Vlastnosti posloupnosti 96
Limita posloupnosti 101
Limita posloupnosti 102
Vlastnosti limity posloupnosti 106
Vlastnosti konvergentních posloupností 108
Přehled limit význačných posloupností 111
Výpočet limit posloupností 111
Číselné řady 115
Definice číselné řady a jejího součtu 116
Přehled význačných řad 119
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Vlastnosti libovolných řad 120
Kritéria konvergence číselných řad 124
Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy 125
Alternující řady 128
Absolutní konvergence řad 129
Seznam literatury a použitých zdrojů 133
Seznam obrázků 135
Úvod
Cílem studijní opory je seznámení studentů se základy výrokové logiky, teorie množin, lineární
algebry, číselnými posloupnostmi a řadami. Tyto oblasti matematiky jsou obvykle těmi prvními,
se kterými se studenti bakalářských studií na vysokých školách setkávají. Text studijní
opory je proto koncipován tak, aby byl co nejsrozumitelnější pro široký okruh studentů přicházejících
z různých středních škol. Spolu se srozumitelností se autoři snažili zachovat matematickou
rigoróznost celého textu ve formě definic a matematických vět.
Student po nastudování učebního textu umí definovat základní pojmy matematické logiky, rozumí
rozdílu mezi výrokem a výrokovou formou, umí vyhodnotit pravdivost složených výroků
pomocí tabulky pravdivostních hodnot a dokáže negovat složené i kvantifikované výroky.
Také je schopen definovat a aplikovat základní množinové operace, zná číselné množiny a
dokáže zavést rozšířenou reálnou osu i počítat s nevlastními čísly. Rovněž rozumí pojmům interval
a okolí bodu a dokáže je graficky ilustrovat.
Umí definovat základní pojmy lineární algebry jakými jsou matice, hodnost nebo determinant.
Dokáže vysvětlit a aplikovat operace s maticemi – ví, jak matice sčítat, násobit i transponovat.
Také umí vypočítat determinanty čtvercových matic i hodnosti libovolných matic. Je schopen
nalézt matici inverzní jak pomocí převodu na jednotkovou matici, tak pomocí adjungované
matice. V neposlední řadě dokáže pomocí Gaussovy eliminační metody a Cramerova pravidla
řešit soustavy lineárních rovnic.
Také je schopen definovat číselnou posloupnost, dokáže určovat její členy a nakreslit její graf.
Rozumí pojmu limita posloupnosti a dokáže jej vysvětlit, vizualizovat a také vypočítat. Dokáže
rovněž popsat konstrukci číselné řady a jejího součtu a na základě kritérií dokáže rozhodnout
o konvergenci či divergenci číselné řady.
Jednotlivé kapitoly studijního textu obsahují náhled učiva, které se v dané kapitole bude probírat,
klíčová slova, cíle kapitoly i čas přibližně potřebný k jejímu prostudování. Na konci kapitoly
jsou vždy uvedeny kontrolní otázky a neřešené příklady s výsledky pro zopakování probraného
učiva.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Kapitola 1
Výroková logika
Po prostudování kapitoly budete umět:
• Charakterizovat pojmy výrok a výroková forma,
• definovat výrokové operace,
• užívat tabulku pravdivostních hodnot,
• definovat základní pojmy axiomatické výstavby matematické teorie,
• rozlišovat a negovat obecný a existenční kvantifikátor.
Klíčová slova:
Výrok, výroková forma, pravdivostní hodnota, negace, konjunkce, disjunkce,
implikace, ekvivalence, logická spojka, kvantifikátor, axiom, definice, věta, důkaz.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou nejprve připomenuty základy výrokové logiky ze středních škol a poté
bude daná problematika rozebrána podrobněji. Důraz bude kladen mj. na pochopení rozdílu
mezi výrokem a výrokovou formou a také na to, jak lze z výrokových forem výroky vyrobit
pomocí kvantifikátorů.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je rozšíření středoškolské látky týkající se výrokové logiky.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Logika
Matematická logika se zabývá přesným formálním studiem jazyka matematiky a matematických
pracovních postupů. Při studiu matematiky se setkáváme s pojmy výrok, axiom, definice, věta, důkaz
atd. Tyto pojmy považujeme za základní prvky logické výstavby matematiky. Vyskytují se
v celém dalším výkladu, proto je nezbytné se s nimi obeznámit a pochopit přesně jejich význam. Základní
význam v matematické logice mají výroky.
Definice 1.1 Výrok je jakékoliv sdělení (tvrzení), o němž má smysl rozhodnout, zda je pravdivé či
nepravdivé, přičemž z těchto dvou možností nastane právě jedna. Pravdivému výroku přiřazujeme
pravdivostní hodnotu 1 a nepravdivému 0. Stručně budeme psát ph 1 a ph 0.
Příklady výroků:
➢ Praděd je nejvyšší hora České republiky. (ph 0)
➢ 2 + 3 = 5 (ph 1)
➢ Řešením kvadratické rovnice 𝑥2
− 5𝑥 = 0 jsou čísla 0 a 5. (ph 1)
➢ Každý pravoúhlý trojúhelník je rovnostranný. (ph 0)
Naproti tomu výroky nejsou:
➢ Kéž by Olomouc byla hlavním městem České republiky!
➢ Sestrojte trojúhelník!
➢ Je 𝑥 reálné číslo?
Z uvedených příkladů je zřejmé, že výrok může mít jedině tvar věty oznamovací. Věty tázací, rozkazovací
a přací výroky nejsou. Avšak ani oznamovací věta nemusí být výrokem.
Například:
➢ Číslo 𝑥 je dělitelné pěti. (není výrok)
➢ Přímka p je kolmá na přímku q. (není výrok)
11
O pravdivosti či nepravdivosti těchto sdělení nemá smysl uvažovat, dokud za x nedosadíme určité
číslo a dokud nebudeme konkrétně znát přímky p a q. Zatím tedy výše uvedená sdělení nejsou výroky,
ale jsou to tzv. výrokové formy.
Definice 1.2 Výroková forma je sdělení, které obsahuje jednu nebo více proměnných, a které se po
dosazení proměnné z určité neprázdné množiny - definičního oboru výrokové formy nebo také
oboru proměnnosti - stane výrokem.
Definice 1.3 Podmnožina definičního oboru, pro jejíž prvky se výroková forma stane pravdivým výrokem,
se nazývá obor pravdivosti výrokové formy.
Výrokovou formu jedné proměnné 𝑥 budeme značit V(𝑥).
Výrokovou formu např. tří proměnných 𝑥, 𝑦 a 𝑧 budeme značit V (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Příklad výrokové formy.
a) Městem M protéká řeka Morava.
Pokud za město M dosadíme město Olomouc, resp. Praha, výrok bude pravdivý, resp. ne-
pravdivý.
b) 𝑥2
– 4 = 0 je výroková forma
Definiční obor: 𝑥 ∈ ℝ
Obor pravdivosti je {−2; 2}.
Z výrokové formy lze získat výrok dvojím způsobem:
1) Dosazením konstant za všechny proměnné z definičního oboru výrokové formy.
2) Vázáním všech proměnných kvantifikátorem.
Příklad Uvažujme výrokovou formu a utvořme z ní výrok.
Výroková forma. Reálné číslo 𝑥 je kladné. Definiční obor: 𝑥 ∈ ℝ
1) Dosadíme-li za 𝑥 číslo 5, obdržíme výrok:
Reálné číslo 5 je kladné. Stručně 5 > 0. (ph 1)
Dosadíme-li za 𝑥 číslo −7, pak obdržíme výrok:
Reálné číslo −7 je kladné. Stručně −7 > 0. (ph 0)
2) Každé reálné číslo je kladné. (ph 0)
Existuje reálné číslo, které je kladné. (ph 1)
Příklad výrokové formy, která obsahuje 3 proměnné: Pro reálná čísla platí 𝑥 + 𝑦 < 𝑧.
Řešení
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Dosadíme-li 𝑥 = −1, 𝑦 = 8 a 𝑧 = 15, pak obdržíme pravdivý výrok
−1 + 8 < 15.
Dosadíme-li 𝑥 = 5, 𝑦 = 3 a 𝑧 = 2, pak obdržíme nepravdivý výrok
5 + 3 < 2.
Výroky i výrokové formy lze spojovat neboli provádět s nimi operace a vytvářet tak výroky a výrokové
formy složené.
Složené výroky tvoříme z jednoduchých výroků pomocí logických spojek.
Výrokové operace
Nechť A a B jsou jednoduché výroky.
Operace Název
Označení
Logická
spojka
Zápis Čteme
unární negace ¬ ¬A A neplatí; non A; není pravda, že platí A
binární
konjunkce
disjunkce
implikace
ekvivalence
∧
∨
⟹
⇔
A ∧ B
A ∨ B
A ⇒ B
A ⇔ B
A a zároveň (současně) B
A nebo B (v nevylučovacím smyslu)
z A plyne B; jestliže A, pak B
A právě když B; A tehdy a jen tehdy když B
Definice výrokových operací pomocí tabulky pravdivostních hodnot.
A ¬A
1 0
0 1
A B A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Negace pravdivého výroku A je nepravdivý výrok a negace nepravdivého výroku je výrok pravdivý.
Konjunkce A ∧ B je pravdivá, jsou-li oba výroky A a B pravdivé, v ostatních případech je nepravdivá.
13
Disjunkce A ∨ B je pravdivá, je-li aspoň jeden z výroků A a B pravdivý. Jsou-li oba výroky A a B nepravdivé,
pak jejich disjunkce je nepravdivá.
Implikace A ⟹ B je pravdivá, jsou-li oba výroky A a B pravdivé nebo je-li výrok A nepravdivý a B
jakýkoliv. Nepravdivá je pouze v případě, je-li A pravdivý a B nepravdivý výrok.
Ekvivalence A ⇔ B je pravdivá, jsou-li oba výroky A a B pravdivé nebo oba nepravdivé. Mají-li výroky
A a B opačnou pravdivostní hodnotu je ekvivalence nepravdivá.
Zákony výrokové logiky
1) A ∨ ¬A (zákon o vyloučení třetího)
2) ¬(A ∧ ¬A) (zákon sporu)
3) ¬(¬A) ⇔ A (zákon dvojí negace)
4) A ∧ B ⇔ B ∧ A
5) A ∨ B ⇔ B ∨ A
6) 𝐴 ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
7) A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
8) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
9) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
10) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
11) ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
12) (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
13) ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B) princip důkazu sporem
14) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) princip nepřímého důkazu
15) [(𝐴 ⇒ 𝐵) ∧ (𝐵 ⇒ 𝐶)] ⇒ (A ⇒ C) zákon tranzitivity implikace
16) (A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)] zákon hypotetického sylogismu
Určování pravdivostních hodnot složených výroků a výrokových forem provádíme zpravidla tabulkovou
metodou – užitím tabulek pravdivostních hodnot.
Definice 1.4 Složený výrok, který při všech možných pravdivostních hodnotách vstupujících výroků
nabývá pravdivostních hodnot 1, resp. 0, se nazývá tautologie, resp. kontradikce.
Příklad Přesvědčíme se, že složený výrok ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) je tautologie.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Řešení
A B ¬A ¬B A ∨ B ¬(A ∨ B) ¬A ∧ ¬B ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 1
Z posledního sloupce, v němž jsou samé jedničky, je zřejmé, že daný výrok je tautologie.
Příklad Zjistěme, zda je složený výrok (A ⇒ B) ∧ (A ∧ ¬B) kontradikce.
Řešení
A B ¬B A ⇒ B A ∧ ¬B (A ⇒ B) ∧ (A ∧ B)
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0
Daný výrok je kontradikce - v posledním sloupci jsou samé nuly.
Příklad Určete, pro které trojice výroků A, B, C je pravdivý výrok [(A ∨ B) ∧ C] ⇒ (¬A).
Řešení
A B C ¬A A ∨ B (A ∨ B) ∧ C [(A ∨ B) ∧ C] ⇒ (¬A).
1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
Výrok je pravdivý ve všech případech kromě dvou trojic vstupujících výroků: (1, 1, 1) a (1, 0, 1).
15
Logická výstavba matematiky
Každá matematická teorie je budována prostřednictvím souboru axiomů, definic a matematických
vět. Soustava axiomů musí být bezesporná, nezávislá a úplná.
Základní matematické pojmy jako jsou bod, přímka, rovina, přirozené číslo, nelze definovat pomocí
pojmů jednodušších. Zavádíme je axiomy, v nichž se tyto pojmy vyskytují spolu se vztahy mezi nimi.
Definice 1.5 Axiom je matematický výrok, který se považuje za pravdivý a nedokazuje se; je ověřen
praxí.
Příklad Dvěma různými body je určena jediná přímka.
Definice 1.6 Matematická definice zavádí nový pojem, stanoví jeho název a udává charakteristické
vlastnosti pojmu, který jej odlišuje od ostatních.
Smyslem definice je zavést nový pojem takovým způsobem, že o každém objektu lze rozhodnout,
zda do množiny objektů vymezených definicí patří, či nepatří.
Příklad Dvě přímky se nazývají různoběžné, mají-li jediný společný bod.
Definice 1.7 Matematická věta vypovídá o vlastnostech matematických objektů a o vztazích mezi
nimi. Je to vždy tautologie, kterou je možné logicky odvodit z axiomů, definic a dříve dokázaných
vět. Matematické poznatky jsou v ní vyjádřené slovy nebo symbolickým zápisem.
Příklad Trojúhelník ABC je pravoúhlý, právě když v něm platí 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
, kde 𝑎, 𝑏 jsou délky
odvěsen a 𝑐 je délka přepony tohoto trojúhelníku.
Stavba matematické věty
1) Tvar implikace: p ⇒ q
Výrok p je předpoklad a výrok q je tvrzení věty. Výrok p je postačující podmínkou pro
výrok q a výrok q je nutnou podmínkou pro výrok p.
Příklad Je-li číslo dělitelné devíti, pak je dělitelné třemi.
Věty přidružené k matematické větě p ⇒ q.
a) Věta obměněná má tvar: ¬q ⇒ ¬p a vždy platí, protože (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) je
tautologie.
Příklad Není-li číslo dělitelné třemi, pak není dělitelné devíti. (věta platí)
b) Věta obrácená má tvar: q ⇒ p a ta může, ale i nemusí platit.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Příklad Je-li číslo dělitelné třemi, pak je dělitelné devíti. (věta neplatí)
Pokud platí věta i věta k ní obrácená, vyslovujeme matematickou větu ve tvaru ekvivalence.
2) Tvar ekvivalence: p ⇔ q
Výrok p je nutnou a zároveň postačující podmínkou pro výrok q a výrok q je nutnou a zároveň
postačující podmínkou pro výrok p. Platí tedy: (p ⇒ q ∧ q ⇒ p) ⇔ (p ⇔ q)
Příklad Číslo je dělitelné šesti, právě když je dělitelné dvěma i třemi.
Matematické věty slouží k budování matematické teorie i k využití matematických poznatků v praxi.
Definice 1.8 Logický proces, kterým se ověřuje platnost matematické věty pomocí axiomů, definic
a dříve dokázaných vět se nazývá důkaz matematické věty.
Každou matematickou větu je nutné dokázat. Podle použitých postupů rozlišujeme důkazy:
➢ Přímé: realizujeme jako řetězec pravdivých implikací p ⇒ p1 ⇒ p2 ⇒ ⋯ ⇒ q.
➢ Nepřímé: realizujeme na základě implikace ¬q ⇒ ¬p, neboť (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p); dokážeme
větu obměněnou.
➢ Sporem: realizujeme na základě zákona (p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q); negujeme původní výrok
a pomocí řetězce implikací dospějeme ke sporu
➢ Matematickou indukcí: dokážeme, že výrok platí pro nejmenší prvek a z platnosti výroku
pro 𝑛 dokážeme, že platí pro 𝑛 + 1
➢ Rozborem možností
➢ Uvedením protipříkladu
Kvantifikátory
Již jsme se zmiňovali – z výrokové formy můžeme obdržet výrok užitím kvantifikátorů.
Rozlišujeme:
∀ obecný kvantifikátor
symbol vznikl převrácením prvního písmene anglického slova ,,ALL´´)
∃ existenční kvantifikátor
symbol vznikl otočením prvního písmene anglického slova ,,EXIST´´)
zápis čteme
∀𝑥 pro každé 𝑥, pro všechny 𝑥, pro libovolné 𝑥
∃𝑥 existuje (aspoň jedno) 𝑥, pro některé 𝑥, pro vhodné 𝑥
17
Příklady kvantifikovaných výroků.
∀ 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2
≥ 0
Kvadrát každého reálného čísla je nezáporný. (ph 1)
∃ 𝑥 ∈ ℝ: | 𝑥| = 0
Existuje (aspoň jedno) reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna nule. (ph 1)
∀ x ∈ ℝ: |x| > 0
Absolutní hodnota všech reálných čísel je kladné číslo. (ph 0)
Negování kvantifikovaných výroků
U negovaného kvantifikovaného výroku zaměníme obecný kvantifikátor existenčním a existenční
kvantifikátor zaměníme obecným a výrokovou formu nahradíme její negací.
výrok negace výroku
Pro každé 𝑥 platí V(𝑥) Není pravda, že pro každé 𝑥 platí V(𝑥). Existuje (aspoň
Zápis: ∀ 𝑥: V(𝑥) jedno) 𝑥, pro které neplatí V(𝑥).
Zápis: ∃𝑥: ¬V(𝑥)
Příklad Pro každé reálné číslo 𝑥 Existuje reálné číslo 𝑥 pro které platí x2
− 4 < 0. (ph 1)
platí 𝑥2
− 4 ≥ 0. (je to např. 𝑥 = 1; 1, 5; 0)
Zápis: ∀𝑥: x2
− 4 ≥ 0 (ph 0)
(
Pro 𝑥 = 2; 3,5 je ph 1
Pro 𝑥 = 1;
1
2
, 0 je ph 0
)
Existuje 𝑥 takové, pro něž platí V(𝑥). Není pravda, že existuje 𝑥, pro něž platí V(𝑥)
Zápis: ∃𝑥: V(𝑥) Pro žádné 𝑥 neplatí V(𝑥).
Zápis: ∀𝑥: ¬V(𝑥)
Příklad Existuje aspoň jeden trojúhelník, Všechny trojúhelníky jsou pravoúhlé. (ph 0)
který není pravoúhlý. (ph 1)
Jistě jste si všimli, že negací pravdivého výroku jsme obdrželi výrok nepravdivý a naopak.
Negování výroků s udáním počtu
aspoň 𝑛 je … negace nejvýše (𝑛 − 1) je …
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
nejvýše 𝑛 je … negace aspoň (𝑛 + 1) je …
Příklad Ve třídě je aspoň 17 studentů. (Znamená to, že je jich 17 nebo více.)
Negace: Ve třídě je nejvýše 16 studentů. (Znamená to, že je jich 16 nebo méně.)
Příklad V sadu je nejvýše 8 hrušní.
Negace: V sadu je aspoň 9 hrušní.
Pořadí kvantifikátorů
Kvantifikátory můžeme řadit také za sebou. Na pořadí kvantifikátorů ∃ a ∀ záleží! Pořadí kvantifikátorů
téhož typu lze zaměňovat, ale pořadí kvantifikátorů opačného typu zaměňovat nelze.
Platí:
∀ 𝑥 ∀ 𝑦: V(𝑥, 𝑦) ⇔ ∀ 𝑦 ∀ 𝑥: V(𝑥, 𝑦)
∃ 𝑥 ∃ 𝑦: V(𝑥, 𝑦) ⇔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑥: V(𝑥, 𝑦)
Naproti tomu:
∀ 𝑥 ∃ 𝑦: V(𝑥, 𝑦) ⇎ ∃ 𝑦 ∀ 𝑥: V(𝑥, 𝑦)
∃ 𝑥 ∀ 𝑦: V(𝑥, 𝑦) ⇎ ∀ 𝑦 ∃ 𝑥: V(𝑥, 𝑦)
Pravdivostní hodnotu složených výroků je možné vyhodnotit pomocí tabulky pravdivostních
hodnot. Výroky lze vytvářet také z výrokových forem pomocí kvantifikátorů.
Každá matematická teorie je budována prostřednictvím axiomů, definic a matematických
vět.
1. Jaký je rozdíl mezi výrokem a výrokovou formou?
2. Co je obor pravdivosti výrokové formy?
3. Vyjmenujte výrokové operace.
4. Uveďte, kdy je pravdivá konjunkce (disjunkce, implikace, ekvivalence)?
5. Co je to tautologie (kontradikce)?
6. Jak se negují kvantifikované výroky?
7. Jak čteme: ∀𝑥 a ∃𝑥 ?
8. Jaký je vztah mezi větou přímou a obrácenou (obměněnou)?
9. Rozhodněte, které sdělení je výrok. Pokud ano, tak uveďte jeho pravdivostní hod-
notu.
a) Číslo 13 je prvočíslo. [výrok; ph 1]
b) Číslo 15 vydělte třemi. [není výrok]
c) Absolutní hodnota reálného čísla je vždy číslo nezáporné. [výrok; ph 1]
19
d) Chlapec je plnoletý. [není výrok]
e) 6 + 3 < 2 [výrok; ph 0]
f) Cena kabátu je vyšší než cena bot. [není výrok]
g) Čtyřúhelník ABCD je čtverec. [není výrok]
h) Každý čtyřúhelník je čtverec. [výrok, ph 0]
i) Je 𝑥 celé číslo? [není výrok]
10. Z výrokové formy utvořte výrok pravdivý i nepravdivý.
- 𝑥 < 5, 𝑥 ∈ ℤ
[
Dosazením:
6 < 5; (ph 0) 3 < 5; (ph 1)
Užitím kvanfitikátorů:
Pro každé 𝑥 ∈ ℝ je 𝑥 < 5. (ph 0)
Existuje 𝑥 ∈ ℝ takové, že 𝑥 < 5. (ph1)]
- Trojúhelník ABC je rovnostranný.
[
Každý trojúhelník ABC je rovnostranný. (ph 0)
Existuje trojúhelník ABC, který je rovnostranný (ph 1)
]
- 𝑥 > 𝑦 + 3 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ
[
Dosazením:
𝑥 = 10, 𝑦 = 4 (ph 1)
𝑥 = −2, 𝑦 = 0 (ph 0)
]
11. Stanovte definiční obor a obor pravdivosti výrokové formy
𝑥+2
3−𝑥
≥ 0.
[
Definiční obor: ℝ\{3}
Obor pravdivosti: 𝑥 ∈ ⟨−2; 3)
]
12. Pomocí tabulky pravdivostních hodnot zjistěte, zda je výroková forma
tautologie nebo kontradikce.
- ¬A ⇒ (A ⇒ B) [tautologie]
- (A ⇒ B) ∧ (A ∧ ¬B) [kontradikce]
- [C ⇒ A) ∧ (C ⇒ B)] ⇔ [C ⇒ (A ∧ B)] [tautologie]
- (A ∧ ¬C) ⇒ [(B ∧ ¬A) ⇔ (C ⇒ ¬A)]
[
není tautologie
ani kontradikce; pravdivá je
ve všech případech
kromě (1, 1, 0) a (1, 0, 0)
]
13. Pro které trojice vstupních pravdivostních hodnot jsou výroky nepravdivé.
(𝐵 ∨ ¬𝐶) ⇒ [(𝐴 ∧ ¬𝐵) ∨ (𝐵 ⇔ ¬𝐶)] [(𝐴, 𝐵, 𝐶): (1, 1, 1); (0, 1, 1); (0,0,0)]
(𝐴 ∧ ¬𝐶) ⇒ [(𝐵 ∧ ¬𝐴) ⇔ (𝐶 ⇒ ¬𝐴)] [(𝐴, 𝐵, 𝐶): (1, 1, 0); (1, 0, 0)]
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
14. Utvořte negaci kvantifikovaných výroků.
- Petr vždy říká pravdu.
- Žádný učený z nebe nespadl.
- Alespoň jedno prvočíslo je sudé.
- ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2
− 16 ≤ 0
15. Stanovte pravdivostní hodnotu výroku, negujte ji a zapište jeho negaci slovně
i symbolicky.
- Výrok: Pro všechna reálná čísla 𝑥 platí 2 𝑥
> 0.
Symbolicky: ∀𝑥 ∈ ℝ: 2 𝑥
> 0
- Výrok: Existuje reálné číslo 𝑥 které je řešením rovnice 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
Symbolicky: ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
16. Dokažte, že je výrok tautologie.
¬(¬𝐴) ⇔ 𝐴
¬(𝐴 ∧ 𝐵) ⇔ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
(𝐴 ⇔ 𝐵) ⇔ [(𝐴 ⇒ 𝐵) ∧ (𝐵 ⇒ 𝐴)]
𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ⇔ (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶
Literatura k tématu:
[1] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[2] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[3] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997.
ISBN 80-86119-00-9
[4] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
21
Kapitola 2
Množiny
Po prostudování kapitoly budete umět:
• objasnit pojem množiny a způsob jejího zadání,
• definovat množinové operace a načrtnout Vennovy diagramy,
• definovat množinu ℝ∗,
• početní operace s nevlastními čísly,
• definovat a graficky znázornit okolí bodu na přímce.
Klíčová slova:
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Množina, prvek množiny, sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk množin, podmnožina,
číselná množina, nevlastní čísla, interval, okolí bodu.
23
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou nejprve připomenuty základy teorie množin ze středních škol a poté
bude daná problematika rozebrána podrobněji. Důraz bude kladen mj. na zavedení rozšířené
reálné osy a definování operací s nevlastními čísly. Rovněž bude v této kapitole zaveden a
graficky ilustrován pojem okolí bodu.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je rozšíření středoškolské látky týkající se teorie množin.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Množina a její prvek
Definice 2.1 Množinou rozumíme souhrn (soubor) jakýchkoliv objektů. Množina je určena, můžemeli
o jakémkoliv objektu rozhodnout, zda do ní patří či nepatří. Objekty, které patří do dané množiny,
nazýváme prvky této množiny.
Příklad Uvažujme množinu všech měst České republiky. Město Olomouc patří do této množiny, naproti
tomu město Bratislava nepatří do této množiny.
Příklad Uvažujme množinu všech druhých mocnin přirozených čísel. Číslo 25 patří do této množiny,
číslo 7 do ní nepatří.
Množiny označujeme zpravidla velkými písmeny abecedy, např.: 𝐴, 𝐵, 𝐶, …
Prvky množiny označujeme zpravidla malými písmeny abecedy, např.: 𝑎, 𝑏, 𝑐, …, v případě potřeby
užíváme indexy.
Zápis 𝑎 ∈ 𝐴, znamená, že 𝑎 je prvkem (elementem) množiny 𝐴, také můžeme říci, že 𝑎 patří do
množiny 𝐴, a je z množiny 𝐴.
Zápis 𝑎 ∉ 𝐴 znamená, že 𝑎 není prvkem množiny 𝐴.
Množinu můžeme zadat (určit):
a) výčtem prvků, které do ní patří
b) udáním charakteristické vlastnosti jejích prvků
Příklad Množinu 𝑀, která je zadána výčtem prvků, zadejte pomocí charakteristické vlastnosti.
𝑀 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Řešení Prvky množiny 𝑀 jsou celá čísla. Množinu celých čísel označujeme zpravidla ℤ. Potom
můžeme množinu 𝑀 zadat takto: 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑍; −3 ≤ 𝑥 ≤ 3} nebo 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑍; 𝑥2
≤ 9}.
Operace s množinami
Název a označení Vennův diagram Definice
Sjednocení množin 𝐴 a 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵
Sjednocením množin 𝐴 a 𝐵
nazýváme množinu všech
prvků, které patří buď do 𝐴
nebo do 𝐵 (tedy aspoň do
jedné z nich, mohou patřit
současně do obou).
Průnik množin 𝐴 a 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵
Průnikem množin 𝐴 a 𝐵 nazýváme
množinu všech
prvků, které patří do 𝐴 a zároveň
patří do 𝐵 (jsou společné
množinám 𝐴 a 𝐵).
Inkluze množin
𝐴 a 𝐵 (množina 𝐴 je podmnožinou
množiny 𝐵)
𝐴 ⊂ B
Množina 𝐴 je podmnožinou
množiny 𝐵, jestliže
každý prvek množiny 𝐴 je
prvkem množiny 𝐵
Rovnost množin 𝐴 a 𝐵
𝐴 = 𝐵
Množiny 𝐴 a 𝐵 se rovnají,
když každý prvek množiny
𝐴 je prvkem množiny 𝐵
a zároveň každý prvek
množiny 𝐵 je prvkem množiny
𝐴.
Rozdíl množin A a B
𝐴\𝐵
Rozdíl množiny 𝐴 a 𝐵 je
množina všech prvků množiny
𝐴, které nepatří do
množiny 𝐵.
𝑨 𝑩
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)
𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)
𝑨 𝑩
𝑨 𝑩
𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵
𝑨 = 𝑩
= 𝑩
𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵
𝑨 𝑩
(𝑥 ∈ 𝐴\𝐵) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ B)
25
Doplněk množiny 𝐴
v množině 𝐵
𝐴 𝐵
⃓
O doplňku mluvíme tehdy,
je-li 𝐴 ⊂ 𝐵. Jinak užíváme
pojem rozdíl množin.
Doplněk množiny 𝐴 v množině
𝐵 je množina všech
prvků množiny 𝐵, které nepatří
do množiny 𝐴.
Poznámka Rozlišujeme vlastní a nevlastní podmnožinu množiny.
Množina 𝐴 je vlastní podmnožinou množiny 𝐵.
𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵
Množina 𝐴 je nevlastní podmnožinou
množiny 𝐵 a naopak množina 𝐵 je nevlastní
podmnožina množiny 𝐴.
(𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ⇔ (𝐴 = 𝐵)
Každá množina je nevlastní podmnožinou sebe samé.
Množina, do které patří 𝑛 prvků, 𝑛 ∈ 𝑁, se nazývá konečná, ostatní množiny jsou nekonečné.
Množina, která neobsahuje žádný prvek, se nazývá prázdná; značíme ji ∅; ostatní množiny jsou
neprázdné.
Definice 2.2 Množiny 𝐴 a 𝐵 se nazývají disjunktní, je-li jejich průnik množina prázdná.
Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny.
Disjunktní množiny
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
𝑨
𝑩
𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ A
𝑨
𝑨 = 𝑩
𝑨 𝑩
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Zřejmě platí: 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∩ ∅ = ∅
Je-li 𝐴 ⊂ 𝐵, pak 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
Pro libovolné množiny 𝐴, 𝐵, 𝐶 platí:
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
komutativní zákon
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
asociativní zákon
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
distributivní zákon
Příklad Mějme množiny 𝐴 = {−3; −2; −1; 2; 5; 6} a 𝐵 = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Určete 𝐴 ∪ 𝐵 a 𝐴 ∩ 𝐵.
Řešení
𝐴 ∪ 𝐵 = {−3; −2; −1; 0; 1 2; 3; 4; 5; 6}
𝐴 ∩ 𝐵 = {−2; −1; 2; 5}
Příklad Uvažujme množiny 𝐴 = {−2; −1; 0; 1; 2} a 𝐵 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}.
Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐵\𝐴 a 𝐴\𝐵.
Řešení
𝐴 ∪ 𝐵 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}
𝐴 ∩ 𝐵 = {−2; −1; 0; 1; 2}
𝐵\𝐴 = {−3; 3}, 𝐴\𝐵 = ∅
Příklad Uvažujme množinu 𝐴 všech trojúhelníků, množinu 𝐵 všech rovnoramenných trojúhelníků
a množinu 𝐶 všech rovnostranných trojúhelníků v rovině. Je mezi množinami 𝐴, 𝐵, 𝐶 vztah inkluze?
Pokud ano, tak jaký?
Řešení: 𝐶 ⊂ 𝐵 ⊂ A.
Množina rovnostranných trojúhelníků je podmnožinou rovnoramenných trojúhelníků a ta je podmnožinou
trojúhelníků v rovině.
Číselné množiny
Pro nás budou mít především význam číselné množiny, tj. množiny, jejichž prvky jsou čísla.
Významné číselné množiny jsou označeny takto:
27
ℕ − množina všech přirozených čísel
ℤ − množina všech celých čísel
ℚ − množina všech racionálních čísel
ℝ − množina všech reálných čísel
ℂ − množina všech komplexních čísel
Platí inkluze ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Užitečná jsou i označení některých podmnožin těchto množin:
ℤ− − množina všech záporných celých čísel
ℚ+ − množina všech kladných racionálních čísel
ℚ− − množina všech záporných racionálních čísel
ℝ+ − množina všech kladných reálných čísel
ℝ− − množina všech záporných reálných čísel
Připojíme-li k označení množin ℕ, ℤ−
, ℚ+
, ℚ−
, ℝ+
a ℝ−
index 0, znamená to, že do uvedených množin
patří navíc číslo 0.
V množině ℝ lze sčítat, odčítat, násobit i dělit (ne však dělit nulou) a přitom uvedené početní operace
mají známé vlastnosti. Lze v ní též definovat binární relaci < lineárního uspořádání. Množina
ℝ tedy tvoří z algebraického pohledu uspořádané těleso.
Množinu ℝ a její prvky lze geometricky znázornit. Každému reálnému číslu lze přiřadit právě jeden
bod reálné přímky ℝ1
, již nazýváme též reálnou osou nebo jednorozměrným reálným prostorem,
a naopak každému bodu reálné přímky lze přiřadit právě jedno reálné číslo. Vzhledem k tomuto vzájemně
jednoznačnému přiřazení lze ztotožnit reálná čísla s jim odpovídajícími body reálné přímky
a množinu ℝ s množinou ℝ1
. Podle okolností se mluví někdy o reálném čísle (stručně čísle), jindy
o reálném bodě (stručně bodě). Reálnou přímku nazýváme v dalším textu stručně přímkou nebo
osou.
Vzdálenost, přesněji euklidovská vzdálenost, 𝑑(𝐴, 𝐵) bodů 𝐴 = [𝑥1] a 𝐵 = [𝑥2] přímky je dána vzor-
cem
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 = |𝑥2 − 𝑥1|
proto se někdy místo o reálné přímce hovoří o euklidovské přímce.
Množina ℝ∗
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Množina ℝ nemá ani nejmenší, ani největší prvek. Vzhledem k tomu, že v dalším textu budeme pracovat
s nevlastními limitami, je potřeba rozšířit množinu ℝ o dva nové prvky, které nazýváme nevlastními
čísly plus nekonečno a mínus nekonečno, nebo nevlastními body plus nekonečno a mínus
nekonečno a značíme je +∞ a − ∞.
Poznámka Pokud nehrozí nedorozumění, značíme nevlastní číslo plus nekonečno symbolem ∞.
Definice 2.3 Množinu ℝ doplněnou o nevlastní čísla +∞ a − ∞ nazýváme rozšířenou množinou
všech reálných čísel a značíme ℝ∗. Tedy ℝ∗ = ℝ ∪ {−∞, +∞}.
Je-li to účelné, čísla množiny ℝ∗, která nejsou nevlastními čísly +∞ nebo −∞, nazýváme vlastními
čísly nebo vlastními body.
Uspořádání a početní operace v množině ℝ jsou známé. Abychom byly definovány i v množině ℝ∗,
rozšíříme je na dvojice čísel, z nichž aspoň jedno je nevlastní.
Uspořádání a početní operace v množině ℝ∗
Pro každé 𝑐 ∈ ℝ (tedy 𝑐 je vlastní číslo) definujeme:
1. Uspořádání
−∞ < +∞
−∞ < 𝑐 < +∞
2. Absolutní hodnota
|+∞| = |−∞| = +∞
3. Sčítání a odčítání
𝑐 + ∞ = +∞
𝑐 − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
+∞ − ∞, −∞ + ∞ není definováno
4. Násobení a dělení
+∞ ∙ (±∞) = ±∞
−∞ ∙ (±∞) = ∓∞
𝑐 ∙ (±∞) = ±∞ pro 𝑐 > 0
𝑐 ∙ (∓∞) = ±∞ pro 𝑐 < 0
𝑐
±∞
= 0
±∞
𝑐
= ±∞ pro 𝑐 > 0
29
±∞
𝑐
= ∓∞ pro 𝑐 < 0
0 ∙ (±∞),
+∞
±∞
,
−∞
±∞
,
𝑐
0
není definováno
5. Mocnina s celým mocnitelem
Pro každé 𝑚 ∈ ℕ (+∞) 𝑚
= +∞
(−∞) 𝑚
= (−1) 𝑚
∙ (+∞) 𝑚
=
−∞ pro 𝑚 liché
+∞ pro 𝑚 sudé
(+∞)0
, (−∞)0
není definováno
6. Odmocnina s přirozeným odmocnitelem
Pro každé 𝑚 ∈ ℕ je √+∞
𝑚
= +∞
√−∞
𝑚
= −∞ pro 𝑚 liché
√−∞
𝑚
není definována pro 𝑚 sudé
Intervaly
V matematické analýze velmi často pracujeme se speciálními podmnožinami množiny ℝ, které nazýváme
intervaly.
Definice 2.4 Nechť 𝑎 ∈ ℝ a 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≤ 𝑏. Intervalem s krajními body 𝑎 a 𝑏 rozumíme kteroukoli
z těchto množin:
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} − otevřený interval
⟨𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} − polootevřený nebo polouzavřený interval
(𝑎, 𝑏⟩ = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} − polootevřený nebo polouzavřený interval
〈𝑎, 𝑏〉 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} − uzavřený interval
}
omezené
intervaly
Délka 𝑑(𝑎, 𝑏) intervalu s krajními body 𝑎 a 𝑏 je dána vzorcem 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑏 – 𝑎.
Intervalem s krajním bodem 𝑎 a nevlastním krajním bodem +∞ nebo − ∞ rozumíme kteroukoli
z těchto množin:
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
(𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 𝑎} − otevřený interval
(−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 𝑎} − otevřený interval
⟨𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 𝑎} − polootevřený nebo polouzavřený interval
(−∞, 𝑎⟩ = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 𝑎} − polootevřený nebo polouzavřený interval
Intervalem s nevlastními krajními body − ∞ a + ∞ rozumíme množinu:
(−∞, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ; −∞ < 𝑥 < +∞} − otevřený interval }
neomezené
intervaly
První, resp. druhé, vlastní nebo nevlastní číslo zleva v označení intervalu je levý, resp. pravý, krajní
bod intervalu.
Každý bod intervalu, který není jeho krajním bodem, nazýváme vnitřním bodem intervalu. Množinu
všech vnitřních bodů intervalu nazýváme vnitřkem intervalu.
Vnitřek intervalu je vždy otevřený interval, včetně prázdné množiny. Např. vnitřek každého z intervalů
〈𝑎, 𝑏〉, ⟨𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏⟩ a (𝑎, 𝑏) je interval (𝑎, 𝑏).
Graficky znázorňujeme interval, který není prázdnou množinou, jako úsečku, polopřímku nebo
přímku. Plným nebo prázdným kroužkem vyznačujeme, zda jeho krajní bod k němu patří či nikoli.
Obr. 1 Grafické znázornění intervalů
Okolí bodu
Povšimneme si teď jednoho speciálního typu otevřeného intervalu – okolí bodu. Okolí bodu nám
poslouží při vyslovení některých definic a vět a v mnoha úvahách přispěje k přehlednému vyjadřo-
vání.
Definice 2.5 Nechť 𝑐 ∈ ℝ a δ ∈ ℝ+. 𝛿-okolím bodu 𝑐 nazýváme otevřený interval (c − δ, c + δ).
Číslo 𝛿 nazýváme poloměrem nebo velikostí δ-okolí bodu 𝑐. 𝛿-okolí bodu 𝑐 značíme 𝑈(𝑐, 𝛿) nebo
𝑈 𝛿(𝑐).
Zápis 𝑈 𝛿(𝑐) čteme: deltové okolí bodu 𝑐.
31
Obr. 2 Grafické znázornění δ-okolí bodu c
𝛿-okolí bodu 𝑐 můžeme vyjádřit následujícími způsoby:
1. 𝑈(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿)}
2. 𝑈(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑐 − 𝛿 < 𝑐 < 𝑐 + 𝛿}
3. 𝑈(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 − 𝑐| < 𝛿}
Někdy potřebujeme pracovat s δ-okolím bodu 𝑐, z něhož je bod 𝑐 vyjmut.
Definice 2.6 Nechť 𝑐 ∈ ℝ a δ ∈ ℝ+. Redukovaným 𝛿-okolím bodu 𝑐 nazýváme množinu
𝑈(𝑐, 𝛿)\{𝑐} a značíme ji 𝑈∗(𝑐, 𝛿).
Číslo 𝛿 nazýváme poloměrem redukovaného 𝛿-okolí bodu 𝑐.
Obr. 3 Grafické znázornění redukovaného δ-okolí bodu c
Redukované δ-okolí bodu 𝑐 můžeme vyjádřit následujícími způsoby:
1. 𝑈∗(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) ∪ (𝑐, 𝑐 + 𝛿)}
2. 𝑈∗(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 ∨ 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿}
3. 𝑈∗(𝑐, 𝛿) = {𝑥 ∈ ℝ; 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿}
Zavedeme ještě pojmy jednostranného 𝛿-okolí bodu a jednostranného redukovaného
𝛿-okolí bodu.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
Definice 2.7 Nechť 𝑐 ∈ ℝ a 𝛿 ∈ ℝ+
. Pravým 𝛿-okolím bodu 𝑐 nazýváme polootevřený interval
⟨c, c + δ). Levým 𝛿-okolím bodu 𝑐 nazýváme polootevřený interval (c − δ, c⟩. Právě definovaná jednostranná
𝛿-okolí bodu 𝑐 značíme 𝑈+(𝑐, 𝛿) resp. 𝑈−(c, δ).
Obdobně definujeme jednostranná redukovaná 𝛿-okolí bodu 𝑐, a to pravé, resp. levé, redukované
𝛿-okolí bodu 𝑐:
𝑈+
∗ (𝑐, 𝛿) = (𝑐, 𝑐 + 𝛿), resp. 𝑈−
∗ (𝑐, 𝛿) = (𝑐 − 𝛿, 𝑐)
Poznámka V názvu i označení všech typů 𝛿-okolí bodu c můžeme číslo 𝛿 vypouštět, není-li jeho velikost
podstatná.
Definice 2.8 Nechť 𝑠 ∈ ℝ. 𝑠-okolím nevlastního bodu +∞ nazýváme otevřený interval (𝑠, +∞). Toto
okolí značíme 𝑈(+∞, 𝑠). Tedy 𝑈(+∞, 𝑠) = (𝑠, +∞).
Obdobně definujeme 𝑠-okolí nevlastního bodu −∞: 𝑈(−∞, 𝑠) = (−∞, 𝑠).
Poznámka V názvu i označení 𝑠-okolí nevlastních bodu +∞ a −∞ můžeme číslo 𝑠 opět vypouštět,
není-li jeho velikost podstatná.
Geometrická interpretace 𝑈 𝛿(𝑐): 𝛿-okolím bodu 𝑐 na přímce je otevřený interval délky 2𝛿 se středem
v bodě 𝑐.
Příklad Na číselné ose znázorněte 𝛿-okolí bodu 𝑐 = 1, je-li 𝛿 = 3. Zapište toto okolí pomocí intervalu
i nerovnosti s absolutní hodnotou a uveďte jeho označení.
Řešení
Vyjádření pomocí intervalu: 𝑥 ∈ (−2; 4)
Vyjádření pomocí nerovnosti: |𝑥 − 1| < 3
Označení: 𝑈3(1)
Příklad Jaké množiny vyjadřují následující nerovnosti?
a) |𝑥 − 1| ≤ 3
nebo
33
Řešení 𝑥 ∈ 〈−2; 4〉
b) |𝑥 − 1| > 3
Řešení 𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)
c) |𝑥 − 1| ≥ 3
Řešení 𝑥 ∈ (−∞; −2⟩ ∪ ⟨4; +∞)
Poznámka Užitím znalosti pojmu okolí můžeme také řešit jednoduché nerovnice.
Např. nerovnici |𝑥 + 2| < 4 upravíme na tvar |𝑥 − (−2)| < 4, což je zápis okolí
𝑈4(−2) ⇒ 𝑥 ∈ (−6; 2).
Grafické znázornění.
Řešení nerovnice: 𝑥 ∈ (−6,2).
Množinou rozumíme soubor jakýchkoliv objektů. K definování množinových operací
využíváme Vennovy diagramy a vyjádření pomocí logických spojek. Číselné množiny
jsou množiny, jejichž prvky jsou čísla. Množinu reálných čísel lze dále rozšířit o nevlastní
čísla +∞ a −∞.
Důležitý vztah: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℝ∗
Okolím bodu na přímce je otevřený interval.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
1. Které prvky množiny 𝐴 a 𝐵 patří do jejich sjednocení (průniku)?
2. Která množina se nazývá konečná?
3. Která množina se nazývá prázdná?
4. Jaké typy podmnožin rozlišujeme?
5. Jaký je rozdíl mezi uzavřeným a otevřeným intervalem?
6. Co je okolím bodu na přímce? Načrtněte jej.
7. Určete množinu 𝑀, jejíž prvky jsou reálné kořeny rovnice.
- 𝑥3
+ 8 = 0 [𝑀 = {−2}]
- 𝑥2
+ 4 = 0 [𝑀 = ∅]
- (𝑥2
− 1)(𝑥2
− 𝑥 − 6) = 0 [𝑀 = {−2; −1; 1; 3}]
8. Zadejte množinu 𝑀 udáním charakteristické vlastnosti jejích prvků,
je-li 𝑀 = {1; 2; 3; 4; 5}.
[𝑀 = {𝑥 ∈ ℕ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 5} nebo 𝑀 = {𝑥 ∈ ℕ; |𝑥| < 6}]
9. Které z následujících množin se sobě rovnají.
𝐴 = {0; 5} 𝐸 = {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 ≤ 0}
𝐵 = ∅ 𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥2
+ 5 = 0}
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| ≤ 3} 𝐺 = {𝑥 ∈ ℝ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 3}
𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥2
− 5𝑥 = 0}
[𝐴 = 𝐷, 𝐵 = 𝐸 = 𝐹, 𝐶 = 𝐺]
10. Zapište všechny podmnožiny množiny {−2; 0; 1}
[∅, {−2}, {0}, {1}, {−2; 0}, {−2; 1}, {0; 1}, {−2; 0; 1}]
11. Určete průnik a sjednocení množin 𝐴 a 𝐵, jestliže
- 𝐴 = {−1; 2; 3; 7; 8} a 𝐵 = {8; 9; 10}
[𝐴 ∩ 𝐵 = {8}; 𝐴 ∪ 𝐵 = {−1; 2; 3; 7; 8; 9; 10}]
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 ≤ 5} a 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 > 3}
[𝐴 ∩ 𝐵 = {4; 5}; 𝐴 ∪ 𝐵 = ℕ]
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > −2} a 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < −2}
[𝐴 ∩ 𝐵 = ∅; 𝐴 ∪ 𝐵 = ℤ\{−2}]
- 𝐴 = ℤ a 𝐵 = ℝ
[𝐴 ∩ 𝐵 = ℤ ∩ ℝ = ℤ; 𝐴 ∪ 𝐵 = ℤ ∪ ℝ = ℝ]
12. Jsou dány množiny:
𝑀1 = ⟨−4; −2), 𝑀2 = 〈−5; 5〉, 𝑀3 = 〈5; 8〉, 𝑀4 = ⟨−2; 0), 𝑀5 = (−1; 6)
- Určete následující množiny:
𝑀1 ∪ 𝑀2 [ 〈−5; 5〉]
𝑀1 ∩ 𝑀2 [⟨−4; −2)]
𝑀1 ∪ 𝑀4 [⟨−4; 0)]
𝑀1 ∩ 𝑀4 [∅]
35
𝑀2 ∩ 𝑀5 [〈−1; 5〉]
(𝑀1 ∩ 𝑀3) ∪ (𝑀3 ∩ 𝑀2) [{5}]
𝑀1 ∪ 𝑀2 ∪ 𝑀3 ∪ 𝑀4 ∪ 𝑀5 [〈−5; 8〉]
(𝑀2 ∪ 𝑀5) ∩ (𝑀3 ∪ 𝑀4) [⟨−2; 0) ∪ ⟨5; 6)]
13. Rozhodněte, který z následujících zápisů představuje okolí bodu, a všechny
množiny zapište pomocí intervalů.
- |𝑥 − 1| < 3 [je okolí; 𝑈3(1); 𝑥 ∈ (−2; 4)]
- |𝑥| ≥ 5 [není okolí; 𝑥 ∈ (−∞; −5⟩ ∪ ⟨5; ∞)]
- |𝑥 + 3| < 2 [je okolí; 𝑈2(−3); 𝑥 ∈ (−5; −1)]
- |𝑥 − 1| ≤ −3 [není okolí; ∅]
- |𝑥 + 3| ≥ 4 [není okolí; 𝑥 ∈ (−∞; −7) ∪ ⟨1; ∞)]
- |𝑥 − 2| ≤ 3 [není okolí; 𝑥 ∈ 〈−1; 5〉]
- |𝑥| < 3 [je okolí 𝑈3(0); 𝑥 ∈ (−3; 3)]
14. Určete průnik a sjednocení množin 𝐴 a 𝐵.
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 − 3| ≤ 3}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| > 5}
[
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ∈ (5; 6⟩};
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ∈ (−∞; −5) ∪ ⟨0; ∞)}
]
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 + 4| ≥ 2}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅; |𝑥 − 2| < −1}
[
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴; 𝑥 ∈ 〈−6; −2〉
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅; 𝐵 = ∅
]
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 − 3| ≤ 1}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ∈ (−∞; 4⟩
[
𝐴 ∪ 𝐵: 𝑥 ∈ (−∞; 4⟩
𝐴 ∩ 𝐵 = {4}
]
- 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 + 2| < 3, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| ≥ 5}
[
𝐴 ∪ 𝐵: 𝑥 ∈ (−∞; 1) ∪ ⟨5; ∞)
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
]
Literatura k tématu:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. ISBN 17-536-80
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[3] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
[4] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
Kapitola 3
Vektorové prostory
Po prostudování kapitoly budete umět:
• pracovat s vektory - sčítat vektory, násobit vektor skalárem, vypočítat skalární
součin vektorů,
• tvořit lineární kombinace vektorů,
• rozhodnout o lineární závislosti a nezávislosti vektorů,
• definovat vektorový prostor.
Klíčová slova:
Vektor, operace s vektory, lineární kombinace vektorů, vektorový prostor, lineární
závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
38
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou nejprve definovány základní pojmy a operace týkající se n-rozměrných
vektorových prostorů a jejich prvků. Poté bude zavedeny pojmy lineární závislost a nezávislost
vektorů a bude studováno, jak je lze v jednodušších případech ověřit. Komplikovanější
případy budou řešeny v textu později pomocí determinantu nebo hodnosti matic.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je zavedení pojmu n-rozměrný vektorový prostor, definování operací s vektory
a studium lineární závislosti vektorů.
Odhad času potřebného ke studiu
- 2 hodiny
Vektory a operace s nimi
Definice 3.1 Uspořádanou 𝑛-tici
𝑥⃗ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛), 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ∈ ℝ
budeme nazývat 𝑛-rozměrným vektorem. Množinu všech 𝑛-rozměrných vektorů budeme nazývat
𝑛-rozměrným vektorovým prostorem a označovat 𝑉𝑛; 𝑥𝑖 nazýváme složky vektoru.
Velikost vektoru je |𝑥⃗| = √𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛
2.
Vektor 𝑜⃗ = (0; 0; … ; 0) ∈ 𝑉𝑛 nazveme nulovým vektorem.
Příklad Ze skladu s pískem je exportován materiál ke třem odběratelům. První má požadavek na
dodávku ve výši 8t, druhý 5t a třetí ve výši 7t. Požadavky odběratelů lze vyjádřit jako
vektor (8, 5, 7).
Definice 3.2 Nechť jsou dány vektory 𝑥1⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥1
1
, 𝑥2
1
, … , 𝑥 𝑛
1), 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1
2
, 𝑥2
2
, … , 𝑥 𝑛
2) ∈ ℝ 𝑛 a konstanta
𝛼 ∈ ℝ. Pak definujeme
➢ sčítání vektorů (provádí se po složkách)
𝑥1⃗⃗⃗⃗ + 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1
1
+ 𝑥1
2
, 𝑥2
1
+ 𝑥2
2
, … , 𝑥 𝑛
1
+ 𝑥 𝑛
2),
➢ násobení vektoru skalárem (provádí se po složkách)
𝛼𝑥1⃗⃗⃗⃗ = (𝛼𝑥1
1
, 𝛼𝑥2
1
, … , 𝛼𝑥 𝑛
1),
➢ skalární součin vektorů
𝑥1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥1
1
𝑥1
2
+ 𝑥2
1
𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛
1
𝑥 𝑛
2
.
Poznámka Součet dvou vektorů je vektor, součin vektoru a skaláru je vektor, skalární součin dvou
vektorů je skalár (číslo).
39
Poznámka Pokud skalární součin 𝑥1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, jsou vektory 𝑥1⃗⃗⃗⃗, 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗ kolmé.
Příklad Spočítejte 𝑐𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗, když 𝑐 = 3, 𝑎⃗ = (1, −1, 2) a 𝑏⃗⃗ = (0, 2, 0).
Řešení
𝑐𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = 3(1, −1, 2) − (0, 2, 0) = (3, −5, 6).
Definice 3.3 Množina 𝑉𝑛 ⊂ ℝ 𝑛
všech 𝑛-rozměrných vektorů s operacemi sčítání a násobení skalárem,
pro které platí
𝑥⃗ + 𝑦⃗ = 𝑦⃗ + 𝑥⃗ ∀𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑉𝑛,
𝛼(𝑥⃗ + 𝑦⃗) = 𝛼𝑥⃗ + 𝛼𝑦⃗ ∀𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑉𝑛, 𝛼 ∈ ℝ,
se nazývá vektorový prostor nad tělesem ℝ reálných čísel.
Příklad Vektory 𝑥⃗⃗⃗ = (1,2,1), 𝑦⃗⃗⃗ = (−1,0,−1) patří do vektorového prostoru 𝑉3 ⊂ ℝ3
.
Lineární kombinace vektorů
Definice 3.4 Nechť 𝑥⃗1, . . . , 𝑥⃗ 𝑘 ∈ 𝑉𝑛, 𝛼1, . . . , 𝛼 𝑘 ∈ ℝ. Výraz
𝛼1 𝑥⃗1+. . . +𝛼 𝑘 𝑥⃗𝑘
se nazývá lineární kombinace vektorů 𝑥⃗1, . . . , 𝑥⃗ 𝑘 s koeficienty 𝛼1, . . . , 𝛼 𝑘.
V případě, že všechny koeficienty 𝛼1, … , 𝛼 𝑘 lineární kombinace jsou nulové, hovoříme
o triviální lineární kombinaci. Je-li aspoň jeden z koeficientů různý od nuly, hovoříme
o netriviální lineární kombinaci. Lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru se nazývá
nulová. Zřejmě každá triviální lineární kombinace je nulová – triviální lineární kombinací libovolných
vektorů je vždy vektor nulový.
Příklad Napište, jak vypadá triviální lineární kombinace vektorů 𝑎⃗ = (2, −1, 2)
a 𝑏⃗⃗ = (1 ,2, −3).
Řešení Podle Definice 3.4 má triviální lineární kombinace tvar
0𝑎⃗ + 0𝑏⃗⃗ = 0 ∙ (2, −1, 2) + 0 ∙ (1, 2, −3) = (0,0,0)
Příklad Utvořte lineární kombinaci 𝛼1 𝑎⃗ + 𝛼2 𝑏⃗⃗ + 𝛼3 𝑐⃗ vektorů 𝑎⃗ = (
1
2
; −2; 0),
𝑏⃗⃗ = (−1; 0; 1), 𝑐⃗ = (
2
3
;
−3
2
; −1), je-li 𝛼1 = 2, 𝛼2 = −1, 𝛼3 =
3
2
.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
40
Řešení Podle Definice 3.4 je lineární kombinací vektor, označíme jej 𝑢⃗⃗.
𝑢⃗⃗ = 𝛼1 𝑎⃗ + 𝛼2 𝑏⃗⃗ + 𝛼3 𝑐⃗ = 2 (
1
2
; −2; 0) − 1(−1; 0; 1) +
3
2
(
2
3
;
−3
2
; −1) =
= (1; −4; 0) + (1; 0; −1) + (1;
−9
4
; −
3
2
) = (3;
−25
4
; −
5
2
)
Lineární kombinací je vektor 𝑢⃗⃗ = (3;
−25
4
; −
5
2
).
Příklad Zjistěte, zda je vektor 𝑎⃗ = (2; 4; −4) lineární kombinací vektorů 𝑏⃗⃗ = (0; −2; 3)
a 𝑐⃗ = (1; 0; 1).
Řešení Pokud by byl 𝑎⃗ lineární kombinací 𝑏⃗⃗ a 𝑐⃗, pak by existovala reálná čísla 𝛼1 a 𝛼2 tak, že by podle
Definice 3.4 platilo 𝑎⃗ = 𝛼1 𝑏⃗⃗ + 𝛼2 𝑐⃗.
(2; 4; −4) = 𝛼1(0; −2; 3) + 𝛼2(1; 0; 1)
(2; 4; −4) = (0; −2𝛼1; 3𝛼1) + (𝛼2; 0; 𝛼2)
(2; 4; −4) = (𝛼2; −2𝛼1; 3𝛼1 + 𝛼2)
Dva vektory se sobě rovnají, rovnají-li se jejich odpovídající složky, tj.
2 = 𝛼2
4 = −2𝛼1 ⟹ 𝛼1 = −2
−4 = 3𝛼1 + 2𝛼2
−4 = 3 ∙ (−2) + 2
Existují čísla 𝛼1 = −2 a 𝛼2 = 2 taková, že platí 𝑎⃗ = −2𝑏⃗⃗ + 2𝑐⃗, vektor 𝑎⃗ je tedy lineární kombinací
vektorů 𝑏⃗⃗ a 𝑐⃗. Je zřejmé, že vektor 𝑏⃗⃗ je lineární kombinací vektorů 𝑎⃗ a 𝑐⃗, protože
𝑏⃗⃗ = −
1
2
𝑎⃗ + 𝑐⃗. Obdobně vektor 𝑐⃗ je lineární kombinací vektorů 𝑎⃗ a 𝑏⃗⃗, protože 𝑐⃗ =
1
2
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗.
Příklad Zjistěte, zda je vektor 𝑤⃗⃗⃗ lineární kombinací vektorů 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗.
𝑤⃗⃗⃗ = (5, 6, 7), 𝑢⃗⃗ = (1, 3, 2), 𝑣⃗ = (2, −1, 3)
Řešení Pokud by byl 𝑤⃗⃗⃗ lineární kombinací 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗, pak by existovala reálná čísla 𝛼1 a 𝛼2 tak, že by
podle Definice 3.4 platilo
𝑤⃗⃗⃗ = 𝛼1 𝑢⃗⃗ + 𝛼2 𝑣⃗
(5, 6, 7) = 𝛼1(1, 3, 2) + 𝛼2(2, −1, 3)
(5, 6, 7) = (𝛼1 + 2𝛼2, 3𝛼1 − 𝛼2, 2𝛼1 + 3𝛼2)
Z rovnosti vektorů dostaneme
𝛼1 + 2𝛼2 = 5 ⇒ 𝛼1 = 5 − 2𝛼2 𝛼1 = 5 − 2 ∙
9
7
=
17
7
41
3𝛼1 − 𝛼2 = 6 3(5 − 2𝛼2) − 𝛼2 = 6 ⇒ 𝑎2 =
9
7
2𝛼1 + 3𝛼2 = 7
Dosadíme vypočítané hodnoty 𝛼1 a 𝛼2 do poslední rovnice.
2 ∙
17
7
+ 3 ∙
9
7
=
61
7
≠ 7
Soustava rovnic pro neznámé 𝛼1 a 𝛼2 nemá řešení. Neexistují koeficienty 𝛼1 a 𝛼2 tak, aby platilo
𝑤⃗⃗⃗ = 𝛼1 𝑢⃗⃗ + 𝛼2 𝑣⃗. Vektor 𝑤⃗⃗⃗ tedy není lineární kombinací vektorů 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗.
Lineární závislost vektorů
Definice 3.5 Vektory se nazývají lineárně nezávislé, právě když pouze jejich triviální lineární kombinace
je nulový vektor. Existuje-li aspoň jedna jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna
vektoru nulovému, jsou vektory lineárně závislé.
Příklad Zjistěte, zda vektory 𝑎⃗ = (2, −4) a 𝑏⃗⃗ = (−1, 2) jsou lineárně závislé či lineárně nezávislé.
Řešení Platí 𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗ = (0, 0). Existují tedy nenulové konstanty α1 = 1, α2 = 2 tak, že lineární kombinace
α1 𝑎⃗ + α2 𝑏⃗⃗ = 𝑜⃗. To znamená, že vektory jsou lineárně závislé.
Příklad Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů 𝑥⃗1 = (1 ,0, 2), 𝑥⃗2 = (1, −1, 0),
𝑥⃗3 = (3, −2, 3).
Řešení Podle Definice 3.5 jsou vektory lineárně nezávislé, když jejich lineární kombinace
α1 𝑥⃗1 + α2 𝑥⃗2 + α3 𝑥⃗3 = o⃗⃗ (1)
jen v případě, že 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0. Když (1) rozepíšeme do složek, dostáváme soustavu
α1 + α2 + 3α3 = 0 (2)
−α2 − 2α3 = 0 (3)
2α1 + 3α3 = 0 (4)
Z rovnice (4) je α1 = −
3
2
α3.
Z rovnice (3) je α2 = −2α3.
Po dosazení do rovnice (2) obdržíme −
3
2
α3 − 2α3 + 3α3 = 0. Odtud spočteme, že −α3 = 0.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
42
Odtud pak získáme, že 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0. To znamená, že zadané vektory jsou lineárně
nezávislé, protože pouze jejich triviální kombinace je rovna vektoru nulovému.
O úzkém vztahu mezi pojmy lineární kombinace a lineární závislost vypovídá následující věta:
Věta 3.1 Vektory 𝑥1⃗⃗⃗⃗, 𝑥2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑥 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝑉𝑛 jsou lineárně závislé, právě když aspoň jeden z nich je lineární
kombinací ostatních.
Poznámka Věta udává nutnou a zároveň postačující podmínku pro lineární závislost vektorů.
Příklad Zjistěte, zda dané tři vektory jsou lineárně závislé, či nezávislé. 𝑎⃗ = (0; 0; 1),
𝑏⃗⃗ = (1; −1; −1), 𝑐⃗ = (1; −1; 1).
Řešení
a) Vyšetříme lineární závislost podle Definice 3.5. Utvoříme lineární kombinaci vektorů a položíme
ji rovnu 𝑜⃗.
𝛼1 𝑜⃗ + 𝛼2 𝑏⃗⃗ + 𝛼3 𝑐⃗ = 𝑜⃗
𝛼1(0; 0; 1) + 𝛼2(1; −1; −1) + 𝛼3(1; −1; 1) = (0; 0; 0)
(𝛼2 + 𝛼3; −𝛼2 − 𝛼3; 𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3) = (0; 0; 0)
Z rovnosti vektorů obdržíme soustavu tří rovnic o třech neznámých.
𝛼2 + 𝛼3 = 0 ⟹ 𝛼2 = −𝛼3
−𝛼2 − 𝛼3 = 0
𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3 = 0
𝛼1 − 2𝛼3 = 0 ⟹ 𝛼1 = 2𝛼3
Soustava má nekonečně mnoho řešení. Řešením jsou všechny uspořádané trojice tvaru
(2𝛼3; −𝛼3; 𝛼3), 𝛼3 ∈ ℝ
Např. pro 𝛼3 = 1 obdržíme jednu takovou trojici (2; −1; 1).
V tomto případě dokonce nekonečně mnoho netriviálních lineárních kombinací dává vektor
𝑜⃗, tedy vektory 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ a 𝑐⃗ jsou lineárně závislé.
b) Vyšetříme lineární závislost podle Věty 3.1. Zjistíme, zda je např. vektor 𝑎⃗ lineární kombinací
vektorů 𝑏⃗⃗ a 𝑐⃗, tj. platí-li
𝑎⃗ = 𝑘 ∙ 𝑏⃗⃗ + 𝑙 ∙ 𝑐⃗, kde 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ
(0; 0; 1) = 𝑘(1; −1; −1) + 𝑙(1; −1; 1)
(0; 0; 1) = (𝑘 + 𝑙; −𝑘 − 𝑙; −𝑘 + 𝑙)
Z rovnosti vektorů dostáváme
0 = 𝑘 + 𝑙 ⟹ 𝑘 = −𝑙, 𝑘 = −
1
2
43
0 = −𝑘 − 𝑙
1 = −𝑘 + 𝑙 1 = 2𝑙 ⟹ 𝑙 =
1
2
𝑎⃗ = −
1
2
𝑏⃗⃗ +
1
2
𝑐⃗
Vektor 𝑎⃗ je lineární kombinací vektorů 𝑏⃗⃗ a 𝑐⃗ a podle Věty 3.1 jsou vektory 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ lineárně
závislé.
Poznámky Lineární závislost či lineární nezávislost vektorů lze vyšetřit také užitím hodnosti matic
nebo výpočtem hodnoty determinantů. (viz dále)
Dimenze a báze vektorového prostoru
Definice 3.6 Maximální počet lineárně nezávislých vektorů z prostoru 𝑉𝑛 se nazývá dimenze vektorového
prostoru 𝑉𝑛 a množina těchto vektorů tvoří tzv. bázi daného vektorového prostoru.
Poznámka Známe-li bázi vektorového prostoru, můžeme každý libovolný prvek prostoru vygenerovat
jako lineární kombinaci prvků báze.
Příklad Zjistěte, zda vektory 𝑥⃗1 = (1, 0, 0), 𝑥⃗2 = (0, 1, 0), 𝑥⃗3 = (0, 0, 1) jsou lineárně nezávislé. Pokud
ano, vyjádřete vektor (5, 4, -30) jako lineární kombinaci těchto vektorů.
Řešení
Řešíme soustavu
1𝛼1 + 0𝛼2 + 0𝛼3 = 0
𝛼1 + 1𝛼2 + 0𝛼3 = 0
0𝛼1 + 0𝛼2 + 1𝛼3 = 0
Protože tato soustava má jen triviální řešení, jsou vektory 𝑥⃗1, 𝑥⃗2, 𝑥⃗3 lineárně nezávislé.
Vektor (5, 4, −30) = 5𝑥⃗1 + 4𝑥⃗2 − 30𝑥⃗3.
𝑛-rozměrný vektor je uspořádaná 𝑛-tice reálných čísel. Vektory můžeme mezi sebou
sčítat, násobit skalárem, utvořit jejich skalární součin. Lineární kombinací vektorů je
vektor vzniklý operacemi sčítání vektorů a násobení skalárem. Vektory jsou lineárně
nezávislé, když pouze jejich triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.
Vektory jsou lineárně závislé, je-li aspoň jeden z nich lineární kombinací ostatních.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
44
1. Co je 𝑛-rozměrný vektor a jaké znáte operace s vektory?
2. Co je lineární kombinace vektorů a triviální lineární kombinace vektorů?
3. Kdy jsou vektory lineárně závislé a kdy lineárně nezávislé? Uveďte příklady.
4. Vysvětlete pojmy vektorový prostor, jeho báze a dimenze. Uveďte příklady.
5. Zjistěte, zda vektory jsou na sebe kolmé.
a) 𝑥⃗1 = (1, 0), 𝑥⃗2 = (2, 0) [ne]
b) 𝑥⃗1 = (1, −1, 2), 𝑥⃗2 = (3, 5, 1) [ano]
6. Určete vektor 𝑥⃗ = 2𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗, jsou-li dány vektory
𝑎⃗ = (3; 5; −2; 6), 𝑏⃗⃗ = (−1; 7; 13; −3), 𝑐⃗ = (1; 0; −2; 3).
[𝑥⃗ = (8; −11; −41; 18)]
7. Vypočítejte 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ z rovnice 𝑥⃗ = 𝑦⃗, kde 𝑥⃗ = (−2; 0; 𝑎 − 𝑏; 𝑎) a
𝑦⃗ = (𝑏; 𝑎 + 𝑏; 4; −𝑏)
[𝑎 = 2, 𝑏 = −2]
8. Zjistěte, zda je vektor 𝑤⃗⃗⃗ lineární kombinací vektorů 𝑎⃗ a 𝑏⃗⃗.
a) 𝑤⃗⃗⃗ = (−3; 0), 𝑎⃗ = (0; 1), 𝑏⃗⃗ = (1; 4)
[ano; 𝑤⃗⃗⃗ = 12𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗]
b) 𝑤⃗⃗⃗ = (2; 0; 4), 𝑎⃗ = (0; −2; 3), 𝑏⃗⃗ = (1; 0; 1)
[𝑤⃗⃗⃗ není lineární kombinací 𝑎⃗ a 𝑏⃗⃗]
9. Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů.
a) 𝑥⃗1 = (1, 0), 𝑥⃗2 = (2, 1), 𝑥⃗3 = (−1, 1)
[lineárně závislé]
b) 𝑥⃗1 = (1 ,1, 0), 𝑥⃗2 = (0, 2, 2), 𝑥⃗3 = (3, 0, −3)
[lineárně závislé]
c) 𝑥⃗1 = (1, 1, 0), 𝑥⃗2 = (0, 2, 2), 𝑥⃗3 = (3, 0, 3)
[lineárně nezávislé]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987.
ISBN 04-011-87
45
[3] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[4] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
[5] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
Kapitola 4
Matice
Po prostudování kapitoly budete umět:
• definovat pojem matice,
• realizovat operace s maticemi.
Klíčová slova:
Matice, sčítání matic, násobení matic, transponovaná matice.
47
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude nejprve definován pojem matice typu 𝑚/𝑛. Poté budou studovány základní
maticové operace a transponování matic.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je zavedení pojmu matice typu 𝑚/𝑛 a definování operací s maticemi.
Odhad času potřebného ke studiu
- 2 hodiny
Definice matice a typy matic
Definice 4.1 Maticí A typu 𝑚/𝑛 , resp. 𝑚 x 𝑛, nazýváme obdélníkové schéma 𝑚 ⋅ 𝑛 reálných čísel
aij, kde 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 a 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, sestavených v 𝑚 řádcích a 𝑛 sloupcích, tj.
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2
… ⋮
… 𝑎 𝑚𝑛
)
• 𝑎𝑖𝑗 je prvek matice v 𝑖-tém řádku a 𝑗-tém sloupci
• i je řádkový index
• j je sloupcový index
• r = min {𝑚, 𝑛}
• 𝑎11, 𝑎22, … 𝑎 𝑟𝑟 jsou prvky, které leží na hlavní diagonále matice A
• 𝑎1𝑛, 𝑎2𝑛−1, … 𝑎 𝑟1 jsou prvky, které leží na vedlejší diagonále matice A
Řádky matice A lze považovat za 𝑛-členné řádkové vektory. Sloupce matice A lze považovat za
𝑚-členné sloupcové vektory.
Příklad Mějme matici
𝐴 = (
1 6
0 −2
−0,5 8
).
Matice je typu 3/2 (má 3 řádky a 2 sloupce). Číslo 8 je prvek a32, protože stojí ve 3. řádku a 2. sloupci.
Prvky 1, -2 leží na hlavní diagonále matice.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
48
Prvky 6, 0 leží na vedlejší diagonále matice.
Typy matic
➢ Matice, která má stejný počet řádků jako sloupců )( nm = se nazývá čtvercová matice řádu 𝑛.
Příklad
𝐴 = (
2 −1
3
4
5
) 𝑎 𝐵 = (
1 0 −1
2 3 5
4 9 8
)
𝑚 = 𝑛 = 2 𝑚 = 𝑛 = 3
A a B jsou čtvercové matice; A je řádu 2, B je řádu 3.
➢ Matice, která má pod hlavní diagonálou samé nuly, se nazývá horní trojúhelníková matice.
Příklad
𝐴 = (
2 −3 0
0 1 2
0 0 5
) je horní trojúhelníková matice
➢ Matice se nazývá horní stupňovitá (resp. horní schodovitá) matice, pokud
• případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice,
• nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem 0 než řádek
předchozí.
Příklad
𝐶 = (
2
0
0
1
0
0
0
3
0
0
4
0
5
−1
6
1
2
3
) je horní stupňovitá matice
➢ Čtvercová matice, která má mimo hlavní diagonálu pouze nuly, se nazývá diagonální.
Příklad
𝐴 = (
−1 0 0
0 2 0
0 0 3
) je diagonální matice řádu 3
➢ Diagonální matice s jedničkami na hlavní diagonále se nazývá jednotková matice.
Budeme ji značit E.
Příklad
𝐸2 = (
1 0
0 1
) je jednotková matice řádu 2
49
𝐸3 = (
1
0
0
0
1
0
0
0
1
) je jednotková matice řádu 3
➢ Matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule se nazývá nulová matice, značíme ‖0‖.
Příklad
‖𝟎‖ = (
0 0 0
0 0 0
) je nulová matice typu 2/3
Operace s maticemi
Definice 4.2 Říkáme, že matice A, B jsou si rovny a píšeme 𝐴 = 𝐵, jsou-li téhož typu a jestliže
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 pro všechny uspořádané dvojice (𝑖; 𝑗).
Poznámka Prvky na odpovídajících místech jsou si rovny.
Příklad Zjistěte, pro která 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ platí rovnost matic A a B, je-li
𝐴 = (
−2 1
0 𝑎 − 5
7 4
) 𝑎 𝐵 = (
−2 1
𝑏 + 1 3
𝑎 + 𝑏 4
).
Řešení 𝐴 = 𝐵 podle Definice 4.2 když
𝑏 + 1 = 0  𝑏 = −1
𝑎 − 5 = 3  𝑎 = 8
𝑎 + 𝑏 = 7 8 − 1 = 7
Pro čísla 𝑎 = 8 a 𝑏 = −1 nastane rovnost matic, tj. 𝐴 = 𝐵.
Definice 4.3 Nechť 𝑐 ∈ ℝ,
𝐴 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋯ ⋯ ⋯
𝑎 𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛
) , 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅,
𝐵 = (
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑠
⋯ ⋯ ⋯
𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑠
) , 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝑅,
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
50
𝐶 = (
𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑛
⋯ ⋯ ⋯
𝑐 𝑚1 ⋯ 𝑐 𝑚𝑛
) , 𝑐𝑖𝑗R.
Pak definujeme
• násobení matice konstantou
11 1
1
n
m mn
ca … ca
cA … … …
ca … ca
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
• součet dvou matic
11 11 1 1
1 1
n n
m m mn mn
a c … a c
A C … … …
a c … a c
 
 
 
 
 
 
 
 
+ +
+ = 
+ +
• součin dvou matic










++++
++++
=
nsmnsmnmnm
nsnsnn
babababa
babababa
AB
.........
.........
.........
111111
1111111111
.
Poznámka Prvek 𝑎11 𝑏11 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑏 𝑛1 u součinu matic je skalárním součinem prvního řádku (řádkového
vektoru) matice 𝐴 a prvního sloupce (sloupcového vektoru) matice 𝐵, atd.
Poznámky
➢ Sčítat a odčítat lze pouze matice stejného typu.
➢ Při násobení matice konstantou na typu matice nezáleží. Společný činitel všech prvků matice
A lze vytknout před matici A.
➢ Násobit dvě matice mezi sebou můžeme jen tehdy, je-li počet sloupců prvního činitele roven
počtu řádků druhého činitele.
Příklad Vypočtěte matici 𝑋 = 2𝐴 − 3𝐵,
51
je-li 𝐴 = (
1
2
−
3
2
5
2
1 0
3
2
) a 𝐵 = (
1 −1 2
−1 5 0
).
Řešení Užitím Definice 4.3 postupně dostaneme
𝑋 = 2 (
1
2
−
3
2
5
2
1 0
3
2
) − 3 (
1 −1 2
−1 5 0
)
𝑋 = (
1 −3 5
2 0 3
) − (
3 −3 6
−3 15 0
)
𝑋 = (
−2 0 −1
5 −15 3
)
Příklad Spočítejte součiny AB a BA když
1 1 3 1 1 2
2 3 0 2 1 0
0 1 2 1 1 1
A B
−   
   = −  =   
   −   
.
Řešení










−−
−−=




















−
−
−
=
210
414
532
111
012
211
210
032
311
AB










−
−
−−
=










−
−
−










=
133
654
123
210
032
311
111
012
211
BA
Je zřejmé, že 𝐴𝐵 𝐵𝐴.
Příklad Spočítejte součiny AB a BA, je-li
𝐴 = (1 −1 3) 𝑎 𝐵 = (
−4
2
1
).
Řešení
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
52
𝐴 . 𝐵 = (1 −1 3) . (
−4
2
1
) = (−3)
1/3 3/1 1/1
𝐵 . 𝐴 = (
−4
2
1
) . (1 −1 3) = (
−4 4 −12
2 −2 6
1 −1 3
)
3/1 1/3 3/3
Poznámky
➢ Jistě jste si všimli, že pro násobení matic neplatí komutativní zákon. Proto rozlišujeme násobení
matice A maticí B zprava a zleva, tzn., že při násobení matic záleží na jejich pořadí.
➢ Je-li A čtvercová matice a E jednotková matice stejného řádu, pak platí
𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴.
➢ Na rozdíl od reálných čísel, kde 𝑎𝑏 = 0  𝑎 = 0 nebo 𝑏 = 0, se může u matic stát, že
𝐴𝐵 = ‖0‖ a přitom žádná z matic A, B není nulová.
Příklad Nechť
𝐴 = (
2 2
1 1
) 𝑎 𝐵 = (
−2 1
2 −1
).
Potom
𝐴𝐵 = (
2 2
1 1
) . (
−2 1
2 −1
) = (
0 0
0 0
) = ‖0‖
a přitom 𝐴 ≠ ‖0‖ i 𝐵 ≠ ‖0‖.
Poznámka Pokud 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 hovoříme o záměnných maticích.
Transponovaná matice
Definice 4.4 Jestliže v dané matici A typu 𝑚/𝑛 vyměníme řádky za sloupce, přičemž ponecháme
jejich pořadí, říkáme, že jsme matici transponovali. Značíme ji AT a je typu 𝑛/𝑚.
53
Příklad Určete k matici A matici transponovanou.
𝐴 = (
1 2 0
0 5 4
2 1 1
−3
1
1
)
3/4
Řešení
𝐴 𝑇
= (
1 0 2
2 5 1
0 4 1
−3 1 1
)
4/3
Poznámky
➢ Platí, že (𝐴 𝑇
) 𝑇
= 𝐴
➢ Jedině v případě, že matice B, resp. C, je čtvercová, může nastat případ 𝐵 𝑇
= 𝐵, resp.
𝐶 𝑇
= −𝐶. Pro všechny prvky takové matice platí 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖, resp. 𝑐𝑖𝑗 = −𝑐𝑗𝑖. V takovém případě
nazýváme matici B symetrickou maticí a matici C antisymetrickou maticí. Z rovnosti
𝑐𝑖𝑗 = −𝑐𝑗𝑖 plyne, že antisymetrická matice má v hlavní diagonále samé nuly.
Příklad
Matice 𝐵 = (
1 0 2
0 −3 −1
2 −1 5
) je symetrická.
Matice 𝐶 = (
0 −1 2
1 0 3
−2 −3 0
) je antisymetrická.
Matice je obdélníkové schéma reálných čísel. Matice můžeme mezi sebou sčítat, násobit
a násobit skalárem. Mezi sebou lze násobit pouze takové matice, pro které počet
sloupců první matice je roven počtu řádků v druhé matici. Součin matic není komutativní.
Vyměníme-li v matici řádky za sloupce v témž pořadí, obdržíme matici
transponovanou.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
54
1. Co musí splňovat matice, abychom je mohli sečíst?
2. Co musí splňovat matice, abychom je mezi sebou mohli násobit?
3.
Pro










=
300
220
201
A ,










−−
−=
401
220
202
B ,






=
301
121
C spočtěte
a) A-B
b) AB
c) AC
d) CA
[
a)









−
701
040
001
b)










−−
−−−
−
1203
442
600
c) Nelze násobit, d)






1101
941
]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[3] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[4] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
Kapitola 5
Hodnost matice a matice
inverzní
Po prostudování kapitoly budete umět:
• stanovit hodnost matice,
• umět k dané matici určit matici inverzní.
Klíčová slova:
Hodnost matice, inverzní matice, regulární a singulární matice.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
56
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude definován pojem hodnost matice a bude ukázáno, jak ji lze pomocí ekvivalentních
úprav matic stanovit. Poté bude zaveden pojem matice inverzní a bude studováno,
jak lze inverzní matici vypočítat. Další možnost, jak lze inverzní matici nalézt (pomocí
tzv. adjungované matice) bude popsán v další kapitole zabývající se determinantem matic.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je zavedení pojmů hodnost matice a matice inverzní a ukázání postupů, jak
hodnost a inverzní matici nalézt.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Hodnost matice
Každé matici A lze přiřadit jisté důležité číslo, které nazýváme hodnost matice A, a značíme ℎ, resp.
ℎ(A).
Definice 5.1 Hodnost matice je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků (sloupců).
Poznámka Pro nenulovou matici je ℎ ∈ ℕ, pro nulovou matici ℎ = 0.
Věta 5.1 Hodnost matice se nezmění,
➢ když zaměníme pořadí řádků
➢ když libovolný řádek vynásobíme libovolnou nenulovou konstantou
➢ když jeden řádek přičteme k řádku jinému
➢ když vynecháme řádek, který je lineární kombinací ostatních (tj. nulový, stejný s jiným řádkem,
násobek jiného řádku)
Věta 5.2 Hodnost matice je rovna hodnosti matice k ní transponované.
Důsledek Řádková hodnost matice je rovna její sloupcové hodnosti.
Poznámka Je-li ℎ hodnost matice znamená to, že mezi řádky této matice existuje ℎ lineárně nezávislých
řádků a každý další řádek je jejich lineární kombinací – tedy ℎ ≤ 𝑚. Provedeme-li analogickou
úvahu pro sloupce, pak ℎ ≤ 𝑛.
Důsledek ℎ ≤ minm; n.
Věta 5.3 Hodnost horní stupňovité matice je rovna počtu nenulových řádků této matice.
57
Hodnost matice zpravidla určujeme tak, že danou matici upravíme „dovolenými“ úpravami, které
nemění její hodnost, na horní stupňovitý tvar. Hodnost matice je pak rovna počtu nenulových řádků
upravené matice. Jak důležitá je hodnost matice uvidíme v kapitole o řešení soustav lineárních rov-
nic.
Poznámka Úpravy matic, které nemění její hodnost, budeme nazývat ekvivalentní úpravy.
Definice 5.2 Dvě matice A a B se nazývají ekvivalentní, mají-li stejnou hodnost a stejný počet
sloupců.
Zápis: AB.
Příklad Určete hodnost matice
1 1 3
2 3 0
0 1 2
A
− 
 = − 
 − 
.
Řešení
𝐴 = (
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
) ~ (
1 −1 3
0 −1 −6
0 −1 −2
) ~ (
1 −1 3
0 −1 −6
0 0 −4
)
Hodnost matice ( ) 3h A = 
Příklad Určete hodnost matice 𝐴 =
(
3 −1
2 1
−3 4
1 1
−2 2)
.
Řešení
𝐴 =
(
3 −1
2 1
−3 4
1 1
−2 2)

(
1 1
3 −1
2 1
−3 4
−2 2)

(
1 1
0 −4
0 −1
0 7
0 4)

(
1 1
0 1
0 1
0 1
0 1)

(
1 1
0 1
0 0
0 0
0 0)
 (
1
0
1
1
)
Hodnost matice ℎ(𝐴) = 2.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
58
Inverzní matice a její výpočet
Sčítání a násobení matic má některé analogické vlastnosti jako sčítání a násobení reálných čísel.
Např. v případě sčítání matic existuje nulová matice ‖0‖ tak, že A + ‖0‖ = A a existuje opačná matice
−𝐴 tak, že 𝐴 + (−𝐴) = ‖0‖. Nabízí se otázka: Existuje v případě násobení matic k matici A nějaká
matice X taková, že platí 𝐴𝑋 = 𝐸? Odpověď dává tato podkapitola.
Definice 5.3 Nechť 𝐴, 𝑋, 𝐸 jsou čtvercové matice řádu 𝑛. Jestliže platí 𝐴𝑋 = 𝐸, pak 𝑋 nazýváme
inverzní matice k matici A a značíme ji 𝐴−1
.
Poznámka Pro inverzní matici platí
𝐴𝐴−1
= 𝐴−1
𝐴 = 𝐸
Příklad Ověřte, zda matice A-1 je inverzní k matici A.










−
−
=−
3/100
3/12/10
3/201
1
A










=
300
220
201
A .
Řešení: Ověříme, zda platí vztah 𝐴−1
𝐴 = 𝐸, 𝐴 𝐴−1
= 𝐸
𝐴−1
𝐴 = (
1 0 −2/3
0 1/2 −1/3
0 0 1/3
) (
1 0 2
0 2 2
0 0 3
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) = 𝐸
𝐴 𝐴−1
= (
1 0 2
0 2 2
0 0 3
) (
1 0 −2/3
0 1/2 −1/3
0 0 1/3
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) = 𝐸
Matice A-1 je inverzní maticí k matici A.
Definice 5.4 Nechť A je čtvercová matice řádu 𝑛.
Je-li ℎ(A) = 𝑛, nazývá se A regulární matice, je-li ℎ(A)  𝑛, nazývá se A singulární matice.
Poznámka V dalším části se dozvíme, že při určování, zda je matice regulární či singulární, můžeme
u čtvercových matic využít hodnotu determinantu.
59
Věta 5.4 Ke čtvercové matici A existuje jednoznačně určená inverzní matice A-1 , právě když je matice
A regulární.
Poznámka Některé vlastnosti inverzních matic:
- je-li A regulární, pak 𝐴−1
je rovněž regulární
- (A-1)-1 = A
Inverzní
matici můžeme vypočítat dvojím postupem:
1. Úpravou matice A na jednotkovou matici E.
2. Využitím adjungované matice (viz dále).
Postup při výpočtu 𝑨−𝟏
pomocí úprav matice A na jednotkovou matici E:
1. Regulární matici A převedeme úpravami z Věty 5.1 na jednotkovou matici E
2. Současně stejnými úpravami převedeme matici E na matici A-1.
𝐴 → E a E → 𝐴−1
Upozornění Při výpočtu inverzní matice je třeba použít buď pouze řádkové nebo pouze sloupcové
úpravy.
Příklad K matici 𝐴 = (
2 0
1 2
) určete inverzní matici 𝐴−1
.
Řešení Nejprve zjistíme, zda je matice regulární
𝐴 = (
2 0
1 2
)  (
1 2
2 0
)  (
1 2
0 −4
)
ℎ(A) = 2 = 𝑛  matice A je regulární, lze k ní podle Věty 5.4 určit jednoznačně inverzní matici A-1.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
60
𝐴−1
= (
1 2⁄ 0
−1 4⁄ 1 2⁄
)
Sami ověřte, že AA-1 = E.
Příklad Určete inverzní matici k matici










=
300
220
201
A .
Řešení: Buď užijeme schématu uvedeného v předcházejícím příkladě nebo matici A rozšíříme o jednotkovou
matici E a pomocí ekvivalentních úprav je upravujeme tak, aby (𝐴/𝐸) ≈ (𝐸/𝐴−1). Zřejmě,
ℎ(A) = 3 = 𝑛, protože A je horní stupňovitá matice. Inverzní matice A-1 tedy existuje jednoznačně.
3. řádek opíšeme. Od trojnásobku 1. řádku odečteme dvojnásobek 3. řádku. Od trojnásobku 2. řádku
odečteme dvojnásobek 3. řádku. Pak 1. řádek dělíme 3, 2. řádek dělíme 6, 3. řádek dělíme 3.










−
−











−
−











3/100
3/12/10
3/201
100
010
001
100
230
203
300
060
003
100
010
001
300
220
201
𝐴−1
= (
1 0 −2 3⁄
0 1 2⁄ −1 3⁄
0 0 −1 3⁄
)
Sami ověřte, že 𝐴 𝐴−1
= 𝐸.
61
Hodnost matice je rovna počtu nenulových řádků v odpovídající horní stupňovité matici.
K regulární matici existuje jednoznačně určená matice inverzní.
1. Vysvětlete, jak byste postupovali při určování hodnosti matice.
2. Jakou maximální hodnost může mít matice typu 8/3?
3. Ke které matici lze spočítat matici inverzní?
4. Určete hodnost matice.












−
−−−
−
=
021
111
222
112
A [ℎ = 2] 𝐴 = (
1 2 5
1 −1 3
3 −6 −1
) [ℎ = 3]










−
−−−
−
=
2510155
15693
10462
A [ℎ = 1] 𝐵 (
3 −5 2
7 −4 1
5 7 −4
4
3
−6
) [ℎ = 2]












−
−
−
=
3988
2332
0121
1595
A [ℎ = 3] 𝐶 = (
6
9
6
3
−2
−3
−2
−1
2
4
6
4
5
8
7
4
7
9
1
−1
) [ℎ = 2]
4. K matici A určete inverzní matici 𝐴−1
.
a) 𝐴 = (
2 4
0 3
)
[ 𝐴−1
= (
1
2
−
2
3
0
1
3
)]
b) 𝐴 = (
1 0 2
3 1 0
0 2 3
)
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
62
[𝐴−1
=
1
15
(
3 4 −2
−9 3 6
6 −2 1
)]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[3] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[4] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[5] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
[6] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
Kapitola 6
Determinanty
Po prostudování kapitoly budete umět:
• správně chápat pojem determinant čtvercové matice,
• vypočítat determinant pomocí křížového pravidla a Sarrusova pravidla,
• vypočítat determinant užitím Laplaceova rozvoje,
• využít determinanty při určování inverzní matice.
Klíčová slova:
Determinant, křížové pravidlo, Sarrusovo pravidlo, Laplaceův rozvoj, algebraický
doplněk prvku, adjungovaná matice.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
64
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude definován pojem determinant matice a bude studováno, jak jej stanovit
(v závislosti na rozměru matice). Poté bude ukázáno, jak lze determinant využít pro nalezení
inverzní matice, pro stanovení, je-li matice singulární nebo regulární, a také pro určení lineární
závislosti, resp. nezávislosti, vektorů. Další využití determinantů při řešení soustav lineárních
rovnic bude ve studijním textu studováno dále v příslušné kapitole zabývající se řešením
soustav lineárních rovnic.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je definování pojmu determinant matice, zavedení postupů, jak lze determinanty
vypočítat a také ukázání toho, jak lze determinanty využít pro nalezení inverzní matice
nebo určení lineární (ne)závislosti vektorů.
Odhad času potřebného ke studiu
- 4 hodiny
Definice determinantu a jeho vlastnosti
Definice 6.1 Determinant je zobrazení množiny čtvercových matic do množiny reálných čísel.
Značíme jej 𝐝𝐞𝐭 𝑨, |𝑨| nebo 𝑫 = |
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋯ ⋯ ⋯
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|.
Definice 6.2 Determinantem čtvercové matice 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) řádu 𝑛 nazýváme součet
∑ sgn(𝑘) 𝑎1𝑘(1) 𝑎2𝑘(2). . .
𝑘∈ 𝑆 𝑛
𝑎 𝑛𝑘(𝑛)
𝑛! součinů, v němž se sčítá přes všechny permutace 𝑘 = (𝑘(1), 𝑘(2), … , 𝑘(𝑛)) množiny {1,2, … , 𝑛}
a kde sgn(𝑘) značí znaménko permutace.
Poznámka Determinant čtvercové matice řádu 𝑛 je roven 𝑛! součinů 𝑛 prvků této matice takových,
že v každém součinu je právě jeden prvek z každého řádku a právě jeden prvek z každého sloupce.
Každý součin je navíc opatřen znaménkem plus nebo mínus, které závisí na tom, ze kterých řádků
a sloupců byly prvky do součinu vybrány.
65
Věta 6.1 (Vlastnosti determinantů)
➢ Jestliže zaměníme mezi sebou dva řádky, hodnota determinantu se změní na opačnou.
➢ Jestliže jeden řádek determinantu vynásobíme konstantou 𝑐, pak hodnota determinantu je
𝑐 - násobkem původní hodnoty.
➢ Jestliže k jednomu řádku determinantu přičteme libovolnou kombinaci jiných řádků, hodnota determinantu
se nezmění. (Sečtení dvou řádků determinantu nezmění hodnotu determinantu.)
➢ Hodnota determinantu je nulová, když některé řádky determinantu jsou lineárně závislé (např.
když jeden řádek determinantu je nulový, dva řádky determinantu jsou shodné, jeden řádek determinantu
je 𝑐 - násobkem jiného).
Důsledek. Hodnota determinantu se nezmění přičtením jednoho řádku nebo nenulového 𝑐-násobku
řádku k jinému řádku.
Výpočet hodnoty determinantů
Věta 6.2 Determinanty 2. řádu počítáme křížovým pravidlem.
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
Příklad Spočítejte hodnotu determinantu 𝐷 = |
1 −1
2 −3
|.
Řešení
𝐷 = |
1 −1
2 −3
| = 1 ∙ (−3) − (−1) ∙ 2 = −3 + 2 = −1
Věta 6.3 Determinanty 3. řádu počítáme Sarrusovým pravidlem.
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 −
−(𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎21 𝑎12 𝑎33 + 𝑎23 𝑎32 𝑎11)
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
66
Poznámka Abychom žádný součin nevynechali a výpočet si usnadnili postupujeme takto:
Pod determinant opíšeme první dva řádky (nebo za determinant opíšeme první dva sloupce). Vynásobíme
prvky umístěné na hlavní diagonále a na rovnoběžkách s ní, přičemž znaménka součinů ponecháme.
Pak vynásobíme prvky umístěné na vedlejší diagonále a na rovnoběžkách s ní, přičemž
znaménka součinů změníme na opačná. Všechny součiny sečteme.
Příklad Spočítejte hodnotu determinantu
𝐷 = |
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
|.
Řešení
𝐷 =
|
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
|
1 −1 3
2 −3 0
= 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 2 ∙ 1 ∙ 3 + 0 ∙ (−1) ∙ 0 −
−[3 ∙ (−3) ∙ 0 + 0 ∙ 1 ∙ 1 + (−2) ∙ (−1) ∙ 2] = 6 + 6 + 0 − [0 + 0 + 4] = 12 − 4 = 8
Věta 6.4 Hodnota determinantu příslušného k horní trojúhelníkové nebo horní stupňovité matici je
rovna součinu prvků na hlavní diagonále.
Příklad Pomocí vlastností determinantů spočítejte hodnotu determinantu
𝐷 = |
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
|.
Řešení Úprava na trojúhelníkový tvar:
1. řádek opíšeme; ke druhému řádku přičteme (−2)-násobek 1. řádku; 3. řádek opíšeme.
První dva řádky opíšeme. Ke 3. řádku přičteme 2. řádek
𝐷 = |
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
| = |
1 −1 3
0 −1 −6
0 1 −2
| = |
1 −1 3
0 −1 −6
0 0 −8
| = 1 ∙ (−1) ∙ (−8) = 8
67
Laplaceův rozvoj determinantu
Laplaceův rozvoj determinantu je univerzální metoda pro výpočet determinantů libovolného řádu.
Na výpočet determinantů řádu 𝑛 ≥ 4 totiž nemáme k dispozici nějakou přehlednou analogii
(schéma) jako jsme měli křížové nebo Sarrusovo pravidlo pro determinanty řádu 𝑛 = 2 nebo 𝑛 =
3. K výpočtu determinantů řádu 𝑛 ≥ 4 proto používáme Laplaceův rozvoj. Nejprve uvedeme algebraický
doplněk prvku a nadefinujeme adjungovanou matici.
Definice 6.3 Nechť 𝐴 je čtvercová regulární matice řádu 𝑛. Součin
(−1)𝑖+𝑗
𝐴𝑖𝑗,
kde 𝐴𝑖𝑗 je determinant matice, která vznikne z 𝐴 vynecháním 𝑖-tého řádku a 𝑗-tého sloupce, se nazývá
algebraický doplněk prvku 𝑎𝑖𝑗 matice 𝐴.
Příklad Určete algebraický doplněk prvku 𝑎22 a 𝑎32 matice 𝐴 = |
1 2 0
4 3 5
1 −1 1
|.
Řešení Podle Definice 6.3 je doplněk prvku 𝑎22 označený 𝐴22 = (−1)2+2 ∙ |
1 0
1 1
| =
= 1 ∙ (1 − 0) = 1 a doplněk 𝑎32 označený 𝐴32 = (−1)
3+2
∙ |
1 0
4 5
| = −1 ∙ (5 − 0) = −5.
Definice 6.4 Adjungovaná matice k matici 𝐴, značíme ji adj𝐴, je matice sestavená z algebraických
doplňků prvků matice 𝐴 a to takto:
Je-li 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ⟹ adj𝐴 = (𝐴𝑗𝑖)
Poznámka Algebraické doplňky prvků matice A jsou umístěny „transponovaně“ (překlopeně podle
hlavní diagonály).
Adjungovanou matici užijeme mj. při výpočtu inverzní matice.
Příklad Určete adjungovanou matici k matici 𝐴 = (
1 −1
2 2
).
Řešení Spočteme 𝐴11 = 2, 𝐴12 = −2, 𝐴21 = 1, 𝐴22 = 1. Pak adj𝐴 = (
2 1
−2 1
).
Věta 6.5 (Laplaceův rozvoj determinantu) Determinant se rovná součtu součinů prvků kteréhokoliv
jeho řádku (sloupce) s příslušnými algebraickými doplňky.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
68
det 𝐴 = ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
(−1)𝑖+𝑗
𝐴𝑖𝑗
popř.
det 𝐴 = ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
(−1)𝑖+𝑗
𝐴𝑖𝑗
Poznámka Determinanty rozvíjíme přednostně podle prvků toho řádku nebo sloupce, ve kterém je
nejvíce nul. Úpravami, neměnícími hodnotu determimantu, je možné dosáhnout toho, aby v některém
řádku nebo sloupci byl nejvýše jeden nenulový prvek.
Příklad Spočítejte hodnotu determinantu
𝐷 = |
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
|.
Řešení Rozvojem podle prvků 3. řádku dostaneme
𝐷 = |
1 −1 3
2 −3 0
0 1 −2
| = 0 ∙ (−1)3+1
∙ |
−1 3
−3 0
| + 1 ∙ (−1)3+2
∙ |
1 3
2 0
| +
+(−2) ∙ (−1)3+3
∙ |
1 −1
2 −3
| = 0 − 1 ∙ (0 − 6) − 2 ∙ (−3 + 2) = 6 + 2 = 8
Užití determinantů
1) K určení, zda je matice regulární či singulární.
Věta 6.5 Čtvercová matice 𝐴 je regulární, právě když det 𝐴 ≠ 0.
Poznámka Čtvercová matice 𝐴 je singulární, právě když det 𝐴 = 0
Příklad Vyšetřete, zda matice 𝐴 je regulární či singulární.
a) 𝐴 = (
1 −1 2
3 2 0
4 1 2
)
69
det 𝐴 = |
1 −1 2
3 2 0
4 1 2
| = 4 + 6 − (16 − 6) = 10 − 10 = 0
Matice 𝐴 je singulární, protože det 𝐴 = 0.
b) 𝐴 = (
1 0 1
−1 2 3
1 1 1
)
det 𝐴 = |
1 0 1
−1 2 3
1 1 1
| = 2 − 1 − (2 + 3) = 1 − 5 = −4 ≠ 0
Protože det 𝐴 ≠ 0, je matice 𝐴 regulární.
2) K určení lineární závislosti či nezávislosti vektorů.
Mějme 𝑚 vektorů o 𝑚 složkách. Považujme vektory za řádkové vektory matice a sestavme z nich
čtvercovou matici 𝐴. Pak platí:
Je-li det 𝐴 ≠ 0, pak jsou řádky matice 𝐴 lineárně nezávislé a také vektory jsou lineárně nezávislé.
Je-li det 𝐴 = 0, pak jsou řádky matice 𝐴 a tedy i vektory lineárně závislé.
Příklad Zjistěte, zda jsou vektory 𝑎⃗⃗⃗ = (1; 2; 3), 𝑏⃗⃗⃗⃗ = (−1;0;2), 𝑐⃗⃗ = (2;1;2) lineárně závislé.
Řešení Složky vektorů napíšeme jako řádky matice a vypočteme její determinant.
det 𝐴 = |
−1 0 2
2 1 2
1 2 3
| = −3 + 8 − (2 − 4) = 5 + 2 = 7 ≠ 0
Vektory 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ jsou lineárně nezávislé, protože det 𝐴 ≠ 0.
3) K výpočtu inverzní matice.
Věta 6.6 Když 𝐴 je čtvercová regulární matice řádu 𝑛, pak pro inverzní matici platí
𝐴−1
=
1
| 𝐴|
∙ adj𝐴.
Příklad Určete inverzní matici k matici 𝐴 = (
1 0 2
0 2 2
0 0 3
).
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
70
Řešení Inverzní matici spočteme na základě Věty 6.6. Adjungovaná matice k matici 𝐴 je
adj𝐴 =
(
|
2 2
0 3
| − |
0 2
0 3
| |
0 2
2 2
|
− |
0 2
0 3
| |
1 2
0 3
| − |
1 2
0 2
|
|
0 2
0 0
| − |
1 0
0 0
| |
1 0
0 2
|)
= (
6 0 −4
0 3 −2
0 0 2
).
|𝐴| = det (
1 0 2
0 2 2
0 0 3
) = 6
𝐴−1
=
adj𝐴
|𝐴|
=
1
6
(
6 0 −4
0 3 −2
0 0 2
) = (
1 0 −2/3
0 1/2 −1/3
0 0 1/3
)
Poznámka Připomínáme, že inverzní matici lze počítat také tak, že matici rozšířenou o jednotkovou
matici upravujeme pomocí ekvivalentních úprav tak, aby (𝐴|𝐸) ≈ (𝐸|𝐴−1).
4) K řešení soustav rovnic (viz. dále).
Determinant přiřazuje čtvercové matici jedno reálné číslo. Výpočet determinantů
2. řádu provádíme křížovým pravidlem, 3. řádu Sarrusovým pravidlem a determinantů
vyšších řádů Laplaceovým rozvojem. Determinant se využívá při výpočtu inverzní
matice, při určování regulární a singulární matice, při vyšetřování lineární závislosti
vektorů, při řešení soustav rovnic.
1. Co můžete říct o hodnotě determinantu trojúhelníkové matice a o hodnotě determinantu
transponované matice?
2. Ověřte, že inverzní matice k jednotkové matici 3. řádu je ta samá matice.
3. Určete hodnotu determinantu.
- |
cos 𝑥 sin 𝑥
− sin 𝑥 cos 𝑥
| [1]
- |
2 4 1
−1 3 −2
3 −1 4
| [4]
71
- |
1/3 −5/6 1/4 −1/15
1/2 −1/2 −1/5 1/3
−2/3 −5/6 −1/2 2/3
−1/2 1/3 3/10 −2/5
| [−
1
2160
]
6. Rozhodněte, zda jsou vektory lineárně závislé či lineárně nezávislé.
𝑎⃗ = (2,4, −3, −1), 𝑏⃗⃗ = (−2, −4,3,2), 𝑐⃗ = (4,8, −6,0), 𝑑⃗ = (1,2,3, −1)
[lineárně závislé]
7. Zjistěte, zda je matice singulární či regulární.
𝐴 = (
1 −1 1 0
2 1 −1 2
0 0 2 1
1 −1 −1 −1
) [singulární]
8. Určete inverzní matici k matici
- (
2 5 7
6 3 4
5 −2 −3
) (
1 −1 1
−38 41 −34
27 −29 24
)
- (
1 0 2
0 0 2
0 0 3
) [nelze - matice není regulární]
- (
2 3
3 1
0 1
1 −1
) [nelze - matice není čtvercová]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[3] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[4] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[5] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
[6] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
Kapitola 7
Soustavy lineárních rovnic
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozhodnout o existenci řešení soustavy lineárních rovnic,
• rozhodnout o počtu řešení soustavy lineárních rovnic.
Klíčová slova:
Homogenní a nehomogenní soustava lineárních rovnic, ekvivalentní úpravy,
Frobeniova věta, volné neznámé, parametr.
73
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude definován pojem soustava 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých a bude
studováno, za jakých předpokladů má soustava 1, 0 nebo nekonečně mnoho řešení. V další
kapitole pak bude popsáno, jak lze tato řešení nalézt.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je definování pojmu soustava 𝑚 lineárních rovnic o 𝑛 neznámých a studium
podmínek, za kterých má soustava jedno, žádné nebo nekonečně mnoho řešení.
Odhad času potřebného ke studiu
- 2 hodiny
Definice soustavy a jejího řešení
Definice 7.1 Lineární rovnicí o n neznámých budeme rozumět rovnici tvaru
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 +…+𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏,
kde 𝑥𝑖 jsou neznámé, 𝑏, 𝑎𝑖 ℝ, 𝑖 = 1, 2, …, 𝑛.
Řešením rovnice nazveme uspořádanou 𝑛 -tici čísel (𝑢1, 𝑢2, …, 𝑢 𝑛), které po dosazení za neznámé
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) přemění rovnici v rovnost.
Příklad Řešením rovnice
2𝑥1 + 3𝑥2 − 7𝑥3 = −3
je trojice čísel 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 0, kterou můžeme zapsat také jako vektor 𝑢⃗⃗ = (−3, 1, 0).
Poznámka Rovnici z Definice 7.1 můžeme zapsat i pomocí matic. Uvažujme matici A typu 1/𝑛 a matici
X typu 𝑛/1, tedy
𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 ) a 𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
) = 𝑥⃗
1/𝑛 𝑛/1
Potom maticová rovnice 𝐴𝑋 = 𝑏, resp. 𝐴 𝑥⃗= 𝑏, je jen jiným zápisem rovnice z Definice 7.1.
Definice 7.2 Systém rovnic
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
74
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +…+𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +…+𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 +…+𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
kde 𝑥𝑖 jsou neznámé, 𝑏𝑖, 𝑎𝑖𝑗 ℝ, 𝑖 = 1, 2, …, 𝑚, 𝑗 = 1, 2, …, 𝑛, se nazývá soustava 𝒎 lineárních
rovnic o 𝒏 neznámých, stručně soustava lineárních rovnic.
𝑎𝑖𝑗 ℝ jsou koeficienty této soustavy, 𝑏𝑖 ℝ jsou absolutní členy rovnic nebo také „pravé strany“
rovnic.
Jsou-li 𝑏𝑖 = 0 pro všechna 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 nazývá se soustava homogenní.
Je-li aspoň jedno 𝑏𝑖 ≠ 0, pak se soustava nazývá nehomogenní.
Řešením soustavy nazýváme každou uspořádanou 𝑛 -tici čísel (𝑢1, 𝑢2, …, 𝑢 𝑛), které po dosazení za
neznámé (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) změní soustavu rovnic v soustavu 𝑚 rovností.
Poznámka Řešením rozumíme i početní postup, jímž takové 𝑛 -tice hledáme.
Maticový zápis soustavy rovnic
𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗, 𝑘𝑑𝑒 𝐴 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛
) , 𝑥⃗ = (
𝑥1
⋮
𝑥 𝑛
) ; 𝑏⃗⃗ = (
𝑏1
⋮
𝑏 𝑚
)
𝑚/𝑛 𝑛/1 𝑚/1
Matici A, která je sestavená z koeficientů nazýváme matice soustavy.
Přidáme-li k matici A za svislou úsečku sloupec pravých stran, obdržíme rozšířenou matici soustavy,
označíme ji AR.
𝐴 𝑅 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛
|
𝑏1
⋮
𝑏 𝑚
)
Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic
75
Definice 7.3 Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, mají-li tytéž množiny řešení. Značíme ≈.
Poznámka Počet neznámých musí být u obou soustav stejný, avšak počet rovnic nemusí být nutně
stejný.
Příklad Soustava rovnic
𝑥 − 𝑦 = 1 je ekvivalentní se soustavou 𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 3𝑦 = 7 20𝑥 + 30𝑦 = 70
200𝑥 + 300𝑦 = 700
Jediným řešením obou soustav je vektor 𝑢⃗⃗ = (2, 1) neboli 𝑥 = 2 a 𝑦 = 1.
Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic jsou takové úpravy soustavy, při nichž z jedné soustavy dostaneme
soustavu s ní ekvivalentní. Ekvivalentní úpravou se množina řešení nemění.
Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic jsou:
- výměna pořadí rovnic
- násobení jedné rovnice nenulovým reálným číslem
- přičtení libovolného nenulového 𝑘-násobku jedné rovnice k jiné rovnici
- vynechání rovnic tvaru 0 = 0
Existence řešení
Věta 7.1 (Existence řešení-Frobeniova věta.) Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení,
právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
Zřejmě platí ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) nebo ℎ(𝐴 𝑅) = ℎ(𝐴) + 1; tedy vždy ℎ(𝐴) ≤ ℎ(𝐴 𝑅).
Poznámka Homogenní soustava má vždy řešení, protože přidání nulového sloupce pravých stran
hodnost matice nezmění.
Věta 7.2 Pokud soustava lineárních rovnic má řešení a hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých,
pak toto řešení je jediné.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
76
Pokud soustava lineárních rovnic má řešení a hodnost matice soustavy je menší, než počet neznámých,
pak soustava má nekonečně mnoho řešení. Počet volných neznámých, resp. parametrů, na
kterých řešení závisí, je roven )(Ahn − .
Poznámka Jestliže má homogenní soustava jediné řešení, pak se jedná o řešení triviální.
Příklad Rozhodněte, zda daná soustava má řešení.
a)
1 2 3
1 3
2 3
2 2
2 1
2 2
x x x
x x
x x
+ − =
+ =
+ = −
b)
1 2 3
1 3
1 2 3
2 2
2 1
2 4 2 4
x x x
x x
x x x
+ − =
+ =
+ − =
c)
1 2 3
1 3
1 2 3
2 2
2 1
2 4 2 2
x x x
x x
x x x
+ − =
+ =
+ − =
Řešení
𝑎) (
1 2 −1
2 0 1
0 1 2
|
−1
0
−4
) ≈ (
1 2 −1
0 −4 3
0 4 8
|
2
−3
−2
) ≈ (
1 2 −1
0 −4 0
0 0 11
|
2
−3
−11
)
( ) 3, ( ) 3, 3.Rh A h A n= = =
( ) ( )Rh A h A n= = - soustava má právě jedno řešení.
b) (
1 2 −1
2 0 1
2 4 −2
|
2
1
4
) ≈ (
1 2 −1
0 −4 3
0 0 0
|
2
−3
0
)
( ) 2, ( ) 2, 3.Rh A h A n= = =
( ) ( )Rh A h A n=  - soustava má nekonečně mnoho řešení. Jedna neznámá je volná (jeden para-
metr).
c) (
1 2 −1
2 0 1
2 4 −2
|
2
1
2
) ≈ (
1 2 −1
0 −4 3
0 0 0
|
2
−3
−2
)
( ) 2, ( ) 3, 3.Rh A h A n= = =
77
( ) ( )Rh A h A - soustava nemá řešení.
U soustav, které mají řešení závislé na parametru nebo parametrech rozlišujeme následující pojmy:
➢ Obecné řešení soustavy je vztah popisující všechna řešení soustavy; obsahuje jeden nebo
více parametrů.
➢ Partikulární řešení soustavy obdržíme z obecného řešení, dosadíme-li za parametry konkrétní
reálná čísla.
➢ Základní řešení soustavy je partikulární řešení, ve kterém jsou parametry rovny nule.
Soustavy lineárních rovnic se dělí na homogenní a nehomogenní. Každá soustava lineárních
rovnic má buď 1 řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení nebo řešení
nemá. O tom, jestli řešení soustava má, rozhodujeme na základě Frobeniovy věty.
1. Kolik řešení může mít homogenní soustava lineárních rovnic?
2. Kolik řešení může mít nehomogenní soustava lineárních rovnic?
3. Rozhodněte kolik řešení má soustava lineárních rovnic
a)
32
11243
6242
321
321
321
=−−
=−+
=−−
xxx
xxx
xxx
b)
0253
0728149
064
04357
4321
4321
4321
4321
=++−
=++−
=++−
=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
1143
11243
42
321
321
321
=+−
=−+
=−−
xxx
xxx
xxx
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
78
𝑥1 − 𝑥2 = 1
𝑥2 − 𝑥3 = −1
[a) nemá řešení b) má nekonečně mnoho řešení c) jedno řešení]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[3] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[4] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[5] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
[6] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
79
Kapitola 8
Metody řešení soustav
lineárních rovnic
Po prostudování kapitoly budete umět:
• řešit soustavu Gaussovou eliminační metodou,
• řešit soustavu Cramerovým pravidlem,
• řešit soustavu pomocí inverzní matice.
Klíčová slova:
Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
80
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude nejprve podrobně popsána a na příkladech ilustrována Gaussova metoda
řešení soustav lineárních rovnic. Poté bude zmíněna také další metoda pro řešení soustav
lineárních rovnic, tzv. Cramerovo pravidlo, které lze použít jen v případě, že je matice
soustavy čtvercová a regulární. Na závěr bude ukázáno, jak lze řešit soustavy lineárních rovnic
pomocí inverzní matice.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je podrobné popsání tří možností, jak lze řešit soustavy lineárních rovnic: pomocí
Gaussovy eliminační metody, prostřednictvím Cramerova pravidla a s využitím inverzní
matice.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Gaussova eliminační metoda
Jednou z metod, jak určit řešení soustavy lineárních rovnic, je Gaussova eliminační metoda, která
spočívá v provádění ekvivalentních úprav rozšířené matice soustavy.
Smyslem úprav je převést matici na horní stupňovitý tvar. Z takto upravené matice snadno určíme
hodnost ℎ(𝐴) matice soustavy i hodnost ℎ(𝐴 𝑅) rozšířené matice soustavy a podle Frobeniovy věty
zjistíme, zda má soustava řešení. Pokud ano, pak porovnáním ℎ(𝐴) a 𝑛 (hodnosti a počtu neznámých)
určíme počet řešení. Řešení pak získáme zpětnou eliminací.
Příklad Určete všechna řešení soustavy rovnic
1 2 3
1 2 3
1 2
2 1
2 5 4 0
2 3 4
x x x
x x x
x x
− + = −
− + =
− = −
Řešení
Je to nehomogenní soustava tří rovnic o třech neznámých - počet rovnic 𝑚 =3, počet neznámých 𝑛
= 3.
(
1 −2 1
2 −5 4
2 −3 0
|
−1
0
−4
) ≈ (
1 −2 1
0 −1 2
0 1 −2
|
−1
2
−2
) ≈ (
1 −2 1
0 −1 2
0 0 0
|
−1
2
0
)
81
ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) = 2 < 𝑛 = 3  soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na 𝑛 − ℎ(𝐴) =
1 parametru.
Za volnou neznámou (parametr) vybereme neznámou 𝑥3. Zpětnou eliminací spočteme obecné ře-
šení.
Poslední nenulový řádek matice přepíšeme jako rovnici −x2 + 2x3 = 2
Položme 𝑥3 = 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ, t je parametr, dosadíme do rovnice a vypočteme x2.
−x2 + 2t = 2 ⟹ x2 = 2t − 2
První řádek přepíšeme do rovnice x1 − 2x2 + x3 = −1, dosadíme za x2 a x3 a vypočteme x1.
x1 − 2 (2𝑡 − 2) + 𝑡 = −1 ⟹ x1 = 3𝑡 − 5
Obecné řešení soustavy je vektor 𝑢⃗⃗ = (3𝑡 − 5, 2𝑡 − 2, 𝑡) ; 𝑡 ∈ 𝑅.
Když za t dosadíme jakoukoliv konstantu, obdržíme partikulární řešení.
Partikulární řešení pro 𝑡 = 2: 𝑣⃗ = (3 ∙ 2 − 5, 2 ∙ 2 − 2, 2)
𝑣⃗ = (1, 2, 2)
Základní řešení (pro t = 0): 𝑤⃗⃗⃗ = (−5, −2, 0)
Příklad Řešte soustavu rovnic
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
Řešení
Je to nehomogenní soustava, 𝑚 = 3, 𝑛 = 3
(
1 1 1
0 1 1
1 1 −1
|
0
1
1
) ~ (
1 1 1
0 1 1
0 0 −2
|
0
1
1
)
ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) = 𝑛 = 3 ⇒ soustava má právě jedno řešení. Zpětnou eliminací získáme:
−2𝑧 = 1 ⇒ 𝑧 = −
1
2
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
82
𝑦 + 𝑧 = 1; 𝑦 −
1
2
= 1 ⇒ 𝑦 =
3
2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0; 𝑥 +
3
2
−
1
2
= 0 ⇒ 𝑥 = −1
Řešením soustavy je vektor 𝑢⃗⃗ = (−1,
3
2
, −
1
2
).
Povšimneme si geometrické interpretace. Každá rovnice dané soustavy je rovnicí roviny v trojrozměrném
prostoru. Řešením soustavy hledáme společné body tří rovin. V našem případě mají dané
roviny jediný společný bod 𝑃 = [−1,
3
2
, −
1
2
].
Příklad Řešte soustavu rovnic
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑧 = 0
Řešení
Je to opět nehomogenní soustava, 𝑚 = 3, 𝑛 = 3
(
1 1 1
1 −1 2
2 0 3
|
1
1
0
) ~ (
1 1 1
0 −2 1
0 −2 1
|
1
0
−2
) ~ (
1 1 1
0 −2 1
0 0 0
|
1
0
−2
)
ℎ(𝐴) = 2, ℎ(𝐴 𝑅) = 3, ℎ(𝐴) ≠ ℎ(𝐴 𝑅) ⇒ soustava nemá řešení.
Příklad Najděte všechna řešení soustavy rovnic
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 5
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 0
Řešení
Je to nehomogenní soustava, 𝑚 = 2, 𝑛 = 4
(
1 −1 1
2 −3 4
−1
0
|
5
0
) ~ (
1 −1 1
0 −1 2
−1
2
|
5
−10
)
ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) = 2 < 4 = 𝑛 ⇒ soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na 𝑛 − ℎ(𝐴) =
4 − 2 = 2 parametrech.
83
Zpětnou eliminací vypočítáme obecné řešení.
−𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = −10; položme 𝑥3 = 𝑟 a 𝑥4 = 𝑠; 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ; 𝑟 𝑎 𝑠 jsou parametry
−𝑥2 + 2𝑟 + 2𝑠 = −10
𝑥2 = 10 + 2𝑟 + 2𝑠
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 5
𝑥1 − 10 − 2𝑟 − 2𝑠 + 𝑟 − 𝑠 = 5
𝑥1 = 15 + 𝑟 − 3𝑠
Obecné řešení: 𝑢⃗⃗ = (15 + 𝑟 − 3𝑠, 10 + 2𝑟 + 2𝑠, 𝑟, 𝑠); 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ
Partikulární řešení pro 𝑟 = 1 a 𝑠 = −1: 𝑣⃗ = (13, 10, 1, −1)
Základní řešení: 𝑤⃗⃗⃗ = (15, 10, 0, 0)
Důsledky Frobeniovy věty pro homogenní soustavu rovnic:
1. Vždy ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅), protože připsáním sloupce pravých stran, což jsou samé nuly, se hodnost
matice soustavy nezmění.
2. Poněvadž vždy ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅), má homogenní soustava vždy alespoň jedno řešení, a to triviální
řešení, což je nulový vektor 𝑜⃗.
3. Je-li ℎ(𝐴) = 𝑛, pak má soustava pouze triviální řešení.
4. Je-li ℎ(𝐴) < 𝑛, pak má soustava nekonečně mnoho řešení závislých na 𝑛 − ℎ(𝐴) parame-
trech.
5. Je-li 𝑚 = 𝑛, pak |𝐴| ≠ 0, právě když má soustava jen triviální řešení.
6. Je-li 𝑚 = 𝑛, pak |𝐴| = 0, právě když má soustava nekonečně mnoho řešení.
Poznámka Při řešení homogenní soustavy rovnic Gaussovou eliminační metodou pravé strany rovnic
do matice nepíšeme, neboť výsledkem ekvivalentních úprav s nimi jsou opět nuly. Píšeme tedy jen
matici soustavy.
Příklad Určete všechna řešení soustavy rovnic.
1.
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
84
Řešení
Je to homogenní soustava, 𝑚 = 3, 𝑛 = 3
(
1 1 1
2 3 −5
3 −1 2
) ~ (
1 1 1
0 1 −7
0 −4 −1
) ~ (
1 1 1
0 1 −7
0 0 −29
)
ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) = 3 = 𝑛 ⇒ soustava má právě jedno řešení
Zpětnou eliminací dostaneme
−29𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = 0
𝑦 − 7𝑧 = 0 ; 𝑦 − 7. 0 = 0 ⇒ 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ; 𝑥 + 0 + 0 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
Soustava má pouze triviální řešení: 𝑜⃗ = (0, 0, 0)
2. 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 0
4𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑥3 = 0
5𝑥1 + 7𝑥2 − 4𝑥3 + 7𝑥4 = 0
Řešení
Je to homogenní soustava, 𝑚 = 4 = 𝑛
(
1 2
2 3
4 7
5 7
1 −1
−1 2
1 0
−4 7
) ~ (
1 2
0 −1
0 −1
0 −3
1 −1
−3 4
−3 4
−9 12
) ~ (
1 2
0 −1
0 0
0 0
1 −1
−3 4
0 0
0 0
)
ℎ(𝐴) = ℎ(𝐴 𝑅) = 2 < 4 = 𝑛
Soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na 𝑛 − ℎ(𝐴) = 4 − 2 = 2 parametrech.
Druhý řádek matice napíšeme do rovnice.
−𝑥2 − 3𝑥3 + 4𝑥4 = 0 ; položme 𝑥4 = 𝑢 𝑎 𝑥3 = 𝑣, kde 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ; u, v jsou parametry
−𝑥2 − 3𝑣 + 4𝑢 = 0
85
𝑥2 = 4𝑢 − 3𝑣
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 0
𝑥1 + 2(4𝑢 − 3𝑣) + 𝑣 − 𝑢 = 0
𝑥1 + 8𝑢 − 6𝑣 + 𝑣 − 𝑢 = 0
𝑥1 = 5𝑣 − 7𝑢
Obecné řešení: 𝑥⃗ = (5𝑣 − 7𝑢, 4𝑢 − 3𝑣, 𝑣, 𝑢); 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ
Partikulární řešení pro 𝑣 = 2 a 𝑢 = −1; 𝑤⃗⃗⃗ = (17, −10, 2, −1)
Základní řešení: 𝑜⃗ = (0, 0, 0, 0)
Cramerovo pravidlo
Pokud je matice soustavy čtvercová, tzn., že počet rovnic je roven počtu neznámých, tj. 𝑚 = 𝑛, lze
soustavu lineárních rovnic řešit za určitého dodatečného předpokladu i Cramerovým pravidlem.
Věta 8.1 (Cramerovo pravidlo) Jestliže A je regulární matice řádu 𝑛, pak pro složky 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛
vektoru 𝑥⃗ řešení soustavy 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗ platí
𝑥𝑖 =
|𝐴𝑖|
|𝐴|
,
kde |𝐴| je determinant matice soustavy a determinant |𝐴𝑖| vznikne z|𝐴| tak, že v něm 𝑖-tý sloupec
nahradíme vektorem pravých stran 𝑏⃗⃗. Soustava má právě jedno řešení.
Příklad Řešte soustavu rovnic
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2
4𝑥 − 6𝑦 + 7𝑧 = 5
2𝑥 + 𝑧 = 3
Řešení
Je to nehomogenní soustava; 𝑚 = 𝑛 = 3
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
86
Zjistíme, zda je matice soustavy A regulární, tj. zda její determinant je různý od nuly.
|𝐴| = |
1 −1 2
4 −6 7
2 0 1
| = −6 − 14 − (−24 − 4) = −20 + 28 = 8
|𝐴| ≠ 0 ⟹ matice soustavy je regulární a soustavu lze řešit Cramerovým pravidlem. Soustava má
právě jedno řešení, které určíme podle vzorce uvedeného ve Větě 8.1.
|𝐴 𝑥| = |
2 −1 2
5 −6 7
3 0 1
| = 8
𝑥 =
|𝐴 𝑥|
|𝐴|
=
8
8
= 1
|𝐴 𝑦| = |
1 2 2
4 5 7
2 3 1
| = 8
𝑦 =
|𝐴 𝑦|
|𝐴|
=
8
8
= 1
|𝐴 𝑧| = |
1 −1 2
4 −6 5
2 0 3
| = 8
𝑧 =
|𝐴 𝑧|
|𝐴|
=
8
8
= 1
Řešení: 𝑢⃗⃗ = (1,1,1)
Příklad Řešte soustavu
0
0
0
321
31
21
=++
=+
=+
xxx
xx
xx
Řešení
Je to homogenní soustava; 𝑚 = 𝑛 = 3
K řešení soustavy použijeme Cramerovo pravidlo, je-li to možné.
|𝐴| = |
1 1 0
1 0 1
1 1 1
| = −1, |𝐴| ≠ 0 ⟹ soustavu lze řešit Cramerovým pravidlem a soustava má právě
jedno řešení.
87
Spočítáme
|𝐴1| = |
0 1 0
0 0 1
0 1 1
| = 0, |𝐴2| = |
1 0 0
1 0 1
1 0 1
| = 0, |𝐴3| = |
1 1 0
1 0 0
1 1 0
| = 0.
Na závěr spočteme jednotlivé složky řešení 𝑥1 =
|𝐴1|
|𝐴|
= 0, 𝑥2 =
|𝐴2|
|𝐴|
= 0, 𝑥3 =
|𝐴3|
|𝐴|
= 0,
Soustava má jen triviální řešení.
Řešení: 𝑜⃗ = (0, 0, 0, )
Pro srovnání vyřešíme soustavu i Gaussovou metodou.










−
−










0|100
0|110
0|011
0|111
0|101
0|011
nAhAh R === 3)()( - soustava má jediný vektor řešení. Je to nulový vektor 𝑜⃗ = (0, 0, 0, ).
Řešení soustavy užitím inverzní
matice
Soustavu rovnic, jejíž matice soustavy A je čtvercová a regulární, můžeme řešit také užitím inverzní
matice A-1.
Nechť
𝐴 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
) je matice soustavy;
𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
) matice neznámých a 𝐵 = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑛
) matice pravých stran.
Soustavu 𝑛 lineárních o 𝑛 neznámých vyjádříme maticovou rovnicí.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
88
𝐴𝑋 = 𝐵
Pokud A je regulární matice, tj. |𝐴| ≠ 0, má maticová rovnice právě jedno řešení, které obdržíme
takto:
Maticovou rovnici 𝐴𝑋 = 𝐵 vynásobíme zleva inverzní maticí 𝐴−1
,
𝐴−1
𝐴⏟ 𝑋
𝐸
= 𝐴−1
𝐵
Odtud 𝑋 = 𝐴−1
𝐵
Příklad Řešte soustavu rovnic
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1
pomocí inverzní matice.
Řešení
Je to nehomogenní soustava, 𝑚 = 𝑛 = 3
|𝐴| = |
1 3 −1
2 −1 1
−1 2 2
| = 22 ≠ 0 ⟹ A je regulární matice, existuje k ní inverzní matice A-1 a soustava
má právě jedno řešení
Soustavu lze zapsat pomocí matic ve tvaru 𝐴𝑋 = 𝐵
(
1 3 −1
2 −1 1
−1 2 2
) . (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
0
3
1
)
inverzní matice 𝐴−1
= −
1
22
(
−4 −8 2
−5 1 −3
3 −5 −7
)
Potom 𝑋 = 𝐴−1
𝐵 = −
1
22
(
−4 −8 2
−5 1 −3
3 −5 −7
) . (
0
3
1
) = −
1
22
(
−22
0
22
) = (
1
0
1
)
89
Řešení: 𝑢⃗⃗ = (1,0,1)
Poznámka Inverzní matice 𝐴−1
v předchozím příkladu by se nejsnáze vypočítala pomocí 𝑎𝑑𝑗 𝐴 nebo
pomocí jednotkové matice E (viz dříve), popř. pomocí vhodného matematického softwaru.
Poznámka Je-li |𝐴| = 𝑂 (matice soustavy je singulární), pak soustavu nelze řešit Cramerovým pravidlem.
V tom případě použijeme Gaussovu eliminační metodu.
Poznámka V případě dvou rovnic pro dvě proměnné každá rovnice soustavy představuje přímku
v rovině. Mohou nastat tyto tři situace:
➢ Pokud se přímky protínají, soustava má jediné řešení (řešením soustavy jsou souřadnice jejich
průsečíku).
➢ Jestliže přímky splývají, soustava má nekonečně mnoho řešení (řešením jsou souřadnice
bodů, které leží na přímce).
➢ Když jsou přímky rovnoběžné různé, soustava nemá řešení.
Matice a determinanty slouží jako nástroj k řešení soustav lineárních rovnic. Řešení
soustav lineárních rovnic je možné získat Gaussovou metodou. Pokud je matice soustavy
čtvercová a regulární, je možné použít také Cramerovo pravidlo nebo provést
výpočet užitím inverzní matice; soustava má v tomto případě jediné řešení.
1. Kolik řešení může mít homogenní soustava lineárních rovnic?
2. Kdy lze použít Gaussovu eliminační metodu a kdy Cramerovo pravidlo?
3. Uveďte příklad soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé, která nemá
žádné řešení. Situaci nakreslete.
4. Uveďte příklad soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé, která má jediné
řešení. Situaci nakreslete.
5. Uveďte příklad soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé, která má nekonečně
mnoho řešení. Situaci nakreslete.
6. Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
90
a)
1143
11243
42
321
321
321
=+−
=−+
=−−
xxx
xxx
xxx
𝑥1 − 𝑥2 = 1
𝑥2 − 𝑥3 = −1
b) 𝑥3 − 𝑥4 = 2
𝑥1 − 𝑥3 = 0
𝑥2 − 𝑥4 = 1
c)
0327
01613114
02332
07543
4321
4321
4321
4321
=++−
=+−+
=−+−
=+−+
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
[
𝑎) 𝑥⃗ = (3, 1, 1) 𝑏) 𝑥⃗⃗⃗ = (2 − 𝑡, 1 − 𝑡, 2 + 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅
𝑐) 𝑥⃗ = (13𝑡 − 13𝑠, 19𝑡 − 20𝑠, 17𝑡, 17𝑠) 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑅
]
7. Cramerovým pravidlem řešte soustavu, je-li to možné
8.
a)
7243
11243
42
321
321
321
=−+
=−+
=−−
xxx
xxx
xxx
b)
633
623
42333
4232
4321
4321
4321
4321
=−+−
=+−−
−=+++
=++−
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
[a) nelze řešit Cramerovým pravidlem b) (2,0,0,0) ]
9. Vyřešte soustavu a situaci nakreslete
a)
82
12
21
21
=+
−=−
xx
xx
91
b)
2436
12
21
21
−=+−
−=−
xx
xx
2𝑥1 − 𝑥2 = −1
c) 𝑥1 − 0,5𝑥2 = 0,5
[a) (2, 3) b) ((t-1)/2, t) c) nemá řešení]
Literatura k tématu:
[1] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie, 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN
978-80-200-1707-9
[2] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[3] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské
vědy v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[4] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN
80-86119-00-9
[5] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné
vydání. Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
Kapitola 9
Číselné posloupnosti
Po prostudování kapitoly budete umět:
• definovat posloupnost a načrtnout graf posloupnosti,
• vyznat se v jednotlivých způsobech zadání posloupnosti,
• určovat, zda je posloupnost monotónní a omezená.
Klíčová slova:
Posloupnost, monotónní posloupnost, omezená posloupnost.
93
Náhled kapitoly
- V této kapitole bude nejprve definován pojem posloupnost reálných čísel a bude ukázáno,
jak lze posloupnosti zadávat a graficky znázorňovat. Poté budou studovány nejdůležitější
vlastnosti posloupností.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je zavedení pojmu posloupnost, studování možností, jak lze posloupnosti zadávat,
a také určování jejich vlastnosti.
Odhad času potřebného ke studiu
- 2 hodiny
Definice posloupnosti a její graf
Definice 9.1 Posloupnost reálných čísel (dále jen posloupnost) je zobrazení množiny přirozených
čísel do množiny čísel reálných.
Posloupnost, kterou je každému číslu 𝑛 ∈ ℕ přiřazeno číslo 𝑎 𝑛 ∈ ℝ, zapisujeme
{𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … }
nebo stručně {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
popř. jen {𝑎 𝑛}.
Číslo 𝑎 𝑛 se nazývá 𝒏-tý člen posloupnosti {𝑎 𝑛}, číslo 𝑛 index členu 𝑎 𝑛.
Poznámka Posloupnost je funkce definovaná na množině přirozených čísel. Posloupnost má vždy
nekonečně mnoho členů; je to tedy nekonečná posloupnost.
Posloupnost můžeme zadat
1. symbolicky – vzorcem pro 𝑛-tý člen (pokud existuje),
2. rekurentně, tj. 𝑚 prvními členy a vzorcem, kterým je 𝑛-tý člen vyjádřen pomocí 𝑚 bezprostředně
předcházejících členů,
3. výčtem členů, prakticky však pouze několika prvních členů, pokud je zřejmé, jaké členy ná-
sledují,
4. graficky.
Příklady
a) Určeme prvních 5 členů posloupnosti {
𝑛+3
2𝑛−1
}.
Řešení
𝑎1 =
1 + 3
2 ∙ 1 − 1
= 4, 𝑎2 =
2 + 3
2 ∙ 2 − 1
=
5
3
, 𝑎3 =
3 + 3
2 ∙ 3 − 1
=
6
5
,
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
94
𝑎4 =
4 + 3
2 ∙ 4 − 1
= 1, 𝑎5 =
5 + 3
2 ∙ 5 − 1
=
8
9
.
b) Určeme prvních 5 členů posloupnosti zadané rekurentně:
𝑎1 = 3, 𝑎2 = 5, 𝑎 𝑛 = 2𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 − 3(𝑛 − 1), 𝑛 ≥ 3.
Řešení
𝑎1 = 3
𝑎2 = 5
𝑎3 = 2𝑎2 + 𝑎1 − 3 ∙ 2 = 2 ∙ 5 + 3 − 3 ∙ 2 = 7
𝑎4 = 2𝑎3 + 𝑎2 − 3 ∙ 3 = 2 ∙ 7 + 5 − 3 ∙ 3 = 10
𝑎5 = 2𝑎4 + 𝑎3 − 3 ∙ 4 = 2 ∙ 10 + 7 − 3 ∙ 4 = 15
c) Určeme vzorec pro 𝑛-tý člen posloupnosti {
2
11
,
3
12
,
4
13
,
5
14
,
6
15
, ⋯ }.
Řešení
Zřejmě je 𝑎 𝑛 =
𝑛+1
𝑛+10
.
Poznámka Nejčastěji bývá posloupnost zadána symbolicky. “Uhodnout“ vzorec pro 𝑛-tý člen z rekurentního
vzorce či výčtu členů se podaří jen v jednoduchých případech.
Definice 9.2 Graf posloupnosti {𝑎 𝑛} je množina všech bodů [𝑛; 𝑎 𝑛] v rovině ℝ2
, ve které je zavedena
kartézská soustava souřadnic. Značíme jej 𝐺({𝑎 𝑛}).
Příklad Sestrojme část grafu posloupnosti {2𝑛 − 5}.
Řešení
𝑎1 = 2 ∙ 1 − 5 = −3
𝑎2 = 2 ∙ 2 − 5 = −1
𝑎3 = 2 ∙ 3 − 5 = 1
𝑎4 = 2 ∙ 4 − 5 = 3
𝑎5 = 2 ∙ 5 − 5 = 5
Obr. 4 Část grafu posloupnosti {2n − 5}
95
Poznámka Grafem posloupnosti je vždy množina izolovaných bodů, protože jejím definičním oborem
je diskrétní množina ℕ.
Jistě jste si všimli, že v přecházejícím příkladu se členy posloupnosti od sebe liší stále o číslo 2, což
se dá zapsat také takto: 𝑎2 = 𝑎1 + 2, 𝑎3 = 𝑎2 + 2, … , 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2, … .
Posloupnost lze zadat rekurentně 𝑎1 = −3, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2, 𝑛 ≥ 2 a také výčtem několika počátečních
členů {−3, −1, 1, 3, 5, … }.
Posloupnost uvedená v předchozím příkladu je speciálním případem posloupnosti, a to aritmetické
posloupnosti. Dalším speciálním případem je posloupnost geometrická. Uvedeme nyní definice
těchto posloupností a některé základní poznatky o nich.
Definice 9.3 Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové číslo 𝑑 ∈ ℝ, že pro
všechna 𝑛 ∈ ℕ platí
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 + 𝑑.
Číslo 𝑑 se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
Pro aritmetickou posloupnost platí: 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
a pro součet prvních 𝑛 členů aritmetické posloupnosti lze odvodit vzorec 𝑠 𝑛 =
𝑛
2
( 𝑎1 + 𝑎 𝑛).
Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti je konstantní; je roven 𝑑.
Příklad Sečtěte čísla od jedné do sta.
Řešení
1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 =?
Čísla tvoří aritmetickou posloupnost, jejíž diference 𝑑 = 1.
𝑠100 =
100
2
(1 + 100) = 50 ∙ 101 = 5050
Definice 9.4 Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové číslo 𝑞 ∈ ℝ, že pro
všechna 𝑛 ∈ ℕ platí
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 𝑞.
Číslo 𝑞 se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Pro geometrickou posloupnost platí: 𝑎 𝑛 = 𝑎1 𝑞 𝑛−1
𝑠 𝑛 = 𝑎1
1−𝑞 𝑛
1−𝑞
, 𝑞 ≠ 1
Číslo 𝑠 𝑛 je opět součet prvních 𝑛 členů geometrické posloupnosti. Podíl dvou sousedních členů geometrické
posloupnosti je konstantní; je roven 𝑞.
Příklad Určete 10. člen geometrické posloupnosti, je-li 𝑎1 = 61 a 𝑞 =
1
2
.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
96
Řešení
𝑎10 = 𝑎1 ∙ 𝑞9
= 64 ∙ (
1
2
)
9
= 26
∙
1
29
=
1
23
=
1
8
Poznámka Zřejmě posloupnost nemusí být jen aritmetická nebo geometrická.
Např. posloupnost {
𝑛
𝑛+1
} není ani aritmetická, ani geometrická.
Vlastnosti posloupnosti
Definice 9.5 Konečnou posloupností rozumíme zobrazení prvních 𝑚 přirozených čísel do množiny
ℝ. Zápis: {𝑎 𝑛} 𝑛=1
𝑚
= {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑚}.
Poznámka Pojem posloupnosti lze zobecnit. Jejími členy nemusí být jen reálná čísla, ale mohou jimi
být i jiné matematické objekty, např. trojúhelníky, funkce apod.
Definice 9.6 Posloupnost, jejíž všechny členy se sobě rovnají, nazýváme konstantní nebo
stacionární posloupnost.
Zápis: {𝑎} 𝑛=1
∞
= {𝑎, 𝑎, 𝑎, … }, 𝑎 ∈ ℝ.
Např. Posloupnost {4} 𝑛=1
∞
= {4, 4, 4, … } je stacionární.
Definice 9.7 Posloupnost {𝑎 𝑛} je
{
rostoucí
neklesající
klesající
nerostoucí
}, jestliže pro všechna 𝑛 ∈ ℕ platí {
𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛 > 𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1
}.
Posloupnost {
rostoucí
klesající
} se nazývá ryze monotónní.
Posloupnost {
nerostoucí
rostoucí
neklesající
klesající
} se nazývá monotónní.
Příklad Posloupnost {
𝑛+1
3𝑛+1
}
𝑛=1
∞
je monotónní, a to klesající, protože pro všechna 𝑛 ∈ ℕ je
𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 =
𝑛 + 2
3𝑛 + 4
−
𝑛 + 1
3𝑛 + 1
=
−2
(3𝑛 + 4)(3𝑛 + 1)
< 0,
tedy 𝑎 𝑛 > 𝑎 𝑛+1.
97
Definice 9.8 Posloupnost {𝑎 𝑛} je omezená shora, resp. zdola, existuje-li číslo 𝑘 ∈ ℝ,
resp. 𝑙 ∈ ℝ, takové, že pro všechna 𝑛 ∈ ℕ je 𝑎 𝑛 ≤ 𝑘, resp. 𝑎 𝑛 ≥ 𝑙. Posloupnost {𝑎 𝑛} je
omezená, je-li omezená shora i zdola.
Věta 9.1 Posloupnost {𝑎 𝑛} je omezená, právě když existuje 𝐾 ∈ ℝ0
+
takové, že pro všechna 𝑛 ∈ ℕ
platí |𝑎 𝑛| ≤ 𝐾.
Příklad Zkoumejme vlastnosti posloupnosti {
1
𝑛
}
𝑛=1
∞
Řešení
Posloupnost je klesající, protože pro libovolné 𝑛 ∈ ℕ platí
𝑎 𝑛 =
1
𝑛
>
1
𝑛 + 1
= 𝑎 𝑛+1.
Určíme {
1
𝑛
} = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, … ,
1
100
, … } a setrojíme část grafu.
Z grafu lze usoudit, že je posloupnost omezená shora jedničkou a zdola nulou, neboť
0 < 𝑎 𝑛 =
1
𝑛
≤ 1 pro ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Příklad Zjistěte, zda je posloupnost {
2𝑛−1
𝑛+1
} monotónní a omezená.
Řešení Vypočítáme prvních 5 členů posloupnosti a nakreslíme část grafu.
{
1
2
, 1,
5
4
,
7
5
,
3
2
, ⋯ }
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
98
Ze znalosti prvních pěti členů a grafu posloupnosti usoudíme, že by tato posloupnost mohla být ros-
toucí.
Přesvědčíme se, zda pro všechna 𝑛 ∈ ℕ je 𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1, tj.
2𝑛 − 1
𝑛 + 1
<
2(𝑛 + 1) − 1
(𝑛 + 1) + 1
2𝑛 − 1
𝑛 + 1
<
2𝑛 + 1
𝑛 + 2
Užitím ekvivalentních úprav této nerovnice dostaneme, že
(2𝑛 − 1)(𝑛 + 2) < (2𝑛 + 1)(𝑛 + 1),
2𝑛2
+ 3𝑛 − 2 < 2𝑛2
+ 3𝑛 + 1,
0 < 3,
což platí pro všechna čísla 𝑛; tím je důkaz toho, že daná posloupnost je rostoucí, tedy ryze monotónní,
a také monotónní, proveden.
Protože je posloupnost rostoucí, je zřejmé, že zdola je omezená členem 𝑎1 =
1
2
.
Tzn., že 𝑎 𝑛 ≥
1
2
pro ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Pro odhad horní meze je užitečné určit některé z členů s velkým indexem.
Z toho, že 𝑎99 = 1,97 a 𝑎999 = 1,997 usoudíme, že posloupnost je shora omezená číslem 2.
O správnosti naší úvahy, že 𝑎 𝑛 < 2, se přesvědčíme následovně:
2𝑛 − 1
𝑛 + 1
< 2 ⇒ 2𝑛 − 1 < 2𝑛 + 2 ⇒ 0 < 3.
Ukázali jsme, že daná posloupnost je omezená shora i zdola, tedy je omezená.
Definice 9.9 Posloupnost {𝑎 𝑘 𝑛
}, kde {𝑎 𝑛} je daná posloupnost a {𝑘 𝑛} je rostoucí posloupnost přirozených
čísel, se nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti {𝑎 𝑛}.
Příklad Uvažujme posloupnost {2,
3
2
,
4
3
,
5
4
,
6
5
, … }.
Vybrané posloupnosti jsou např. tyto:
99
{𝑎 𝑘 𝑛
}: {2,
4
3
,
6
5
, … }, kde {𝑘 𝑛} = {1,3,5, … } je rostoucí posloupnost lichých čísel;
{
5
4
,
6
5
,
7
6
, … }, kde {𝑘 𝑛} = {4,5,6, … } je rostoucí posloupnost přirozených čísel větších jak 3.
Naproti tomu posloupnost {2,
3
2
,
4
3
, … ,
100
99
} není vybraná posloupnost, protože je konečná.
Posloupnost {
4
3
,
3
2
, 2,
5
4
,
6
5
, … } také není vybraná, protože posloupnost {𝑘 𝑛} = {3, 2, 1, 4, 5, … } není
rostoucí.
Poznámka Vybranou posloupnost lze z dané posloupnosti vybrat nekonečně mnoha způsoby.
Definice 9.10 Existuje-li číslo 𝑛0 takové, že pro všechna 𝑛 ≥ 𝑛0 mají členy posloupnosti {𝑎 𝑛} vlastnost
𝑉, jinými slovy, mají-li všechny členy posloupnosti {𝑎 𝑛} vlastnost 𝑉 s výjimkou jejich konečného
počtu (tedy i bez výjimky), pak říkáme, že skoro všechny členy posloupnosti {𝑎 𝑛} mají vlastnost 𝑉.
Číselná posloupnost je definována jako zobrazení ℕ do ℝ. Mezi základní vlastnosti
posloupnosti patří monotónnost a omezenost. Speciálními typy posloupností jsou
aritmetická a geometrická posloupnost.
1. Definujte číselnou posloupnost.
2. Jakým způsobem můžeme zadat posloupnost?
3. Kdy je posloupnost monotónní?
4. Kdy je posloupnost omezená?
5. Napište první 4 členy posloupnosti, když
a) 𝑎 𝑛 = (−2) 𝑛
. [{−2, 4, −8, 16, … }]
b) 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛
cos
𝜋𝑛2
𝑛+1
. [{0, −
1
2
, −
√2
2
, − cos
𝜋
5
, …}]
c) 𝑎 𝑛 = 𝑛 +
1+(−1) 𝑛
2
. [{1, 3, 3, 5, … }]
6. Najděte předpis pro 𝑛-tý člen.
a) {2,
3
2
,
4
3
,
5
4
,
6
5
, … } [𝑎 𝑛 =
𝑛+1
𝑛
]
b) {
1
2
,
1
2
,
3
8
,
1
4
,
5
32
, … } [𝑎 𝑛 =
𝑛
2 𝑛
]
c) {1, −4, 9, −16, 25, … } [𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛+1
𝑛2]
7. Napište první čtyři členy posloupnosti dané rekurentně vztahy
a) 𝑎1 = −3, 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 + 3, 𝑛 ≥ 1. [{−3, 0, 3, 6, … }]
b) 𝑎1 = −3, 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 + 𝑛, 𝑛 ≥ 1. [{−3, −2, 0, 3, … }]
c) 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4, 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 − 𝑛𝑎 𝑛−1, 𝑛 ≥ 2. [{2, 4, 0, −12, … }]
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI
100
Literatura k tématu:
[1] BRABEC, J., MARTAN, F. ROZENSKÝ, Z. Matematická analýza I. SNTL
Praha, 1989. ISBN 04-013-89
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. ISBN 80-7200-587-1
[3] MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001.
ISBN 80-244-0269-6
[4] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v ℝ.
UP Olomouc, 2013. ISBN 978-80-244-3410-0
[5] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2002. ISBN 80-244-0464-8
[6] POLANCO, C. Differential and Integral Calculus - Theory and Cases. Singapur,
Bentham Science Publishers, 2020. ISBN 9789811465109
Kapitola 10
Limita posloupnosti
Po prostudování kapitoly budete umět:
• Definovat a vypočítat limitu posloupnosti,
• vyjmenovat a využít základní vlastnosti konvergentních posloupností,
• graficky vizualizovat geometrický význam definice limity.
Klíčová slova: vlastní limita, nevlastní limita, konvergentní a divergentní po-
sloupnost.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 102
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou nejprve zavedeny pojmy vlastní a nevlastní limita posloupnosti a poté
bude studováno, jak lze limity posloupností vypočítat a jaké mají vlastnosti.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je popsání pojmu limita posloupnosti a studium toho, jak lze limity posloupností
vypočítat a graficky vizualizovat.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Limita posloupnosti
Definice 10.1 (Vlastní limita posloupnosti.) Posloupnost {𝑎 𝑛} má vlastní limitu 𝑎 ∈ ℝ, jestliže ke
každému 𝜀 ∈ ℝ+
existuje 𝑛0 ∈ ℕ takové, že pro všechna 𝑛 ≥ 𝑛0 (𝑛 ∈ ℕ) platí
|𝑎 𝑛 − 𝑎| < 𝜀. Zápis: lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑎 nebo také 𝑎 𝑛 → 𝑎.
Stručný zápis definice:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑎 ⇔ ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ |𝑎 𝑛 − 𝑎| < 𝜀.
Obr. 5 Vlastní limita posloupnosti - geometrický význam lim
n→∞
an = a
Poznámka Je-li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑎, pak skoro všechny členy posloupnosti {𝑎 𝑛} patří do okolí 𝑈𝜀(𝑎), což
znamená, že skoro všechny body grafu posloupnosti {𝑎 𝑛} leží v pásu ohraničeném přímkami o rovnicích
𝑦 = 𝑎 − 𝜀 a 𝑦 = 𝑎 + 𝜀.
Číslo 𝑛0 závisí na volbě čísla 𝜀, je jeho funkcí, což lze psát 𝑛0 = 𝑛0(𝜀).
Příklad Dokažme, že lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.
103
Řešení Sestrojíme nejprve graf posloupnosti {
1
𝑛
}.
Obr. 6 Část grafu posloupnosti {
1
n
}
Z grafu vyčteme:
Pro ∀𝑛 ∈ ℕ je
1
𝑛
> 0.
Roste-li 𝑛 nade všechny meze, tj. 𝑛 → ∞, pak se hodnoty členů blíží nule, tj.
1
𝑛
→ 0 (viz Obr. 5). Zdá
se tedy, že lim
n→∞
1
𝑛
= 0, což podle Definice 10.1 znamená, že
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 ⇔ ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ |
1
𝑛
− 0| < 𝜀
Dokážeme, že toto opravdu platí:
Upravíme nerovnost
|
1
𝑛
− 0| < 𝜀
1
𝑛
< 𝜀
𝑛 >
1
𝜀
Položme 𝑛0 rovno nejmenšímu přirozenému číslu, které je větší než
1
𝜀
. Pak pro všechna 𝑛 ≥ 𝑛 𝑜 platí
|
1
𝑛
− 0| < 𝜀, což znamená, že lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.
Dokázali jsme jednu ze základních limit, kterou často užíváme při výpočtu komplikovanějších limit
posloupností:
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 104
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
Pro větší názornost a důkladnější pochopení definice 10.1 provedeme konkrétní volbu 𝜀. Zvolíme-li
např. 𝜀 =
1
10
, pak 𝑛0 >
1
1
10
= 10. Pak pro ∀𝑛 ≥ 11 je |
1
𝑛
− 0| <
1
10
. Vybereme-li např.
𝑛 = 15 a pak |
1
15
− 0| <
1
10
, což platí, neboť
1
15
<
1
10
.
Definice 10.2 (Nevlastní limita posloupnosti.) Posloupnost {𝑎 𝑛} má nevlastní limitu +∞, resp. −∞,
jestliže ke každému 𝐾 ∈ ℝ existuje 𝑛0 ∈ ℕ takové, že pro všechna 𝑛 ≥ 𝑛0 (𝑛 ∈ ℕ) platí 𝑎 𝑛 > 𝐾,
resp. 𝑎 𝑛 < 𝐾. Zápis: lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞ (𝑎 𝑛 → +∞), resp. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = −∞ (𝑎 𝑛 → −∞).
Stručný zápis definice:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞ ⇔ ∀𝐾 ∈ ℝ ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ 𝑎 𝑛 > 𝐾,
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = −∞ ⇔ ∀𝐾 ∈ ℝ ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ 𝑎 𝑛 < 𝐾.
Obr. 7 Nevlastní limita posloupnosti – geometrický význam lim
n→∞
an = +∞
Poznámka Je-li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞, pak skoro všechny členy posloupnosti {𝑎 𝑛} patří do okolí 𝑈 (+∞, 𝐾),
což znamená, že skoro všechny body grafu posloupnosti {𝑎 𝑛} leží nad přímkou
o rovnici 𝑦 = 𝐾.
Číslo 𝑛0 závisí na volbě 𝐾, je funkcí čísla 𝐾, 𝑛0 = 𝑛0(𝐾). V případě lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞ je účelné volit 𝐾
dostatečně velké kladné číslo.
Definice 10.3 Posloupnost, která má vlastní limitu se nazývá konvergentní. Posloupnost, která není
konvergentní se nazývá divergentní.
Je-li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ, říkáme, že posloupnosti {𝑎 𝑛} konverguje.
Je-li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞, resp. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = −∞, říkáme, že posloupnost {𝑎 𝑛} diverguje.
105
Neexistuje-li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛, říkáme, že posloupnost {𝑎 𝑛} diverguje (osciluje).
Divergentní posloupnost je tedy posloupnost, která má buď nevlastní limitu nebo posloupnost, jejíž
limita neexistuje.
Příklad
Posloupnost {
1
𝑛
} je konvergentní, protože lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.
Posloupnost {𝑛2} je divergentní, protože lim
𝑛→∞
𝑛2
= +∞.
Posloupnost {1 − 2𝑛} je divergentní, protože lim
𝑛→∞
(1 − 2𝑛) = −∞.
Posloupnost {(−1) 𝑛} je divergentní (osciluje), protože lim
𝑛→∞
(−1) 𝑛
neexistuje.
Shrnutí
Příklad Limita posloupnosti {(−1) 𝑛} neexistuje, protože neexistuje žádné číslo 𝑎 ∈ ℝ, v jehož okolí
by se nacházely skoro všechny členy dané posloupnosti.
{(−1) 𝑛} = {−1, 1, −1, 1, −1, ⋯ }
Nekonečně mnoho členů posloupnosti leží v okolí bodu 1 a nekonečně mnoho členů posloupnosti
leží v okolí bodu −1.
Obr. 8 Část grafu posloupnosti {(−1)n}, jejíž limita neexistuje
Definice 10.4 Posloupnost, jejíž limita je rovna nule, se nazývá nulová.
Příklad Posloupnost {
1
𝑛
} je nulová posloupnost, protože lim
1
𝑛
= 0.
posloupnost
konvergentní – má vlastní limitu
divergentní
má nevlastní limitu
limita neexistuje (posloupnost osciluje)
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 106
Poznámka Limitu posloupnosti hledáme vždy jen pro 𝑛 → ∞, proto můžeme stručně psát pouze
lim 𝑎 𝑛 místo lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛.
Vlastnosti limity posloupnosti
Věta 10.1 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Poznámka Tzn. buď žádnou nebo jednu.
Věta 10.2 Nechť {𝑎 𝑛} a {𝑏 𝑛} jsou posloupnosti takové, že pro skoro všechna 𝑛 ∈ ℕ je 𝑎 𝑛 = 𝑏 𝑛. Pak
lim 𝑎 𝑛 existuje, právě když existuje lim 𝑏 𝑛 a obě limity jsou si rovny.
Důsledek Vynechání, přidání nebo změna konečného počtu členů posloupnosti nemá vliv na existenci
a hodnotu limity.
Např. Posloupnost {3,3, ⋯ } = {3} 𝑛=1
∞
je stacionární posloupnost, která má limitu 3.
A také posloupnost { 50,40,30,20,10,1,⏟
přidané členy
3,3,3, ⋯ } má limitu 3.
Věta 10.3 Jestliže pro skoro všechna 𝑛 ∈ ℕ je 𝑎 𝑛 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ, pak lim 𝑎 𝑛 = 𝑎.
Důsledek Limita konstantní posloupnosti je rovna této konstantě.
Např. Posloupnost {3,3,3, ⋯ } = {3} 𝑛=1
∞
má limitu 3.
Věta 10.4 (O limitě posloupností vzniklých početními operacemi.)
Nechť lim 𝑎 𝑛 = 𝑎, lim 𝑏 𝑛 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ a nechť jsou početní operace 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎 ⋅ 𝑏,
𝑎
𝑏
, 𝑎 𝑚
, √ 𝑎
𝑚
, 𝑚 ∈ ℕ, definovány na množině ℝ∗.
Potom je
lim (𝑎 𝑛 ± 𝑏 𝑛) = 𝑎 ± 𝑏 lim |𝑎 𝑛| = |𝑎|
lim (𝑎 𝑛 ⋅ 𝑏 𝑛) = 𝑎 ⋅ 𝑏 lim (𝑎 𝑛) 𝑚
= 𝑎 𝑚
lim
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
𝑎
𝑏
lim √ 𝑎 𝑛
𝑚
= √ 𝑎
𝑚
, pokud pro skoro všechna 𝑛 je 𝑎 𝑛 ≥ 0
Poznámka Dospějeme-li při výpočtu limity k výrazu, který není definován v ℝ∗, pak jej nazveme neurčitým
výrazem. Ne proto, že by nešel určit, ale proto, že v tomto okamžiku ještě nedokážeme říci,
107
zda limita existuje či neexistuje a v případě, že existuje, zda je vlastní nebo nevlastní. V tomto případě
musíme člen 𝑎 𝑛 posloupnosti vhodným matematickým obratem nejprve upravit, abychom
mohli použít vhodné věty a vzorce.
Výčet neurčitých výrazů:
∞
∞
,
0
0
, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 1∞
, ∞0
, 00
Příklad Vypočtěme lim
2𝑛2+3
2−4𝑛2
.
Řešení
Užijeme Větu 10.4 a vzorec lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
lim
2𝑛2
+ 3
2 − 4𝑛2
=
lim (2𝑛2
+ 3)
lim (2 − 4𝑛2)
=
lim 2 ⋅ lim 𝑛 ∙ lim 𝑛 + lim 3
lim 2 − lim 4 ⋅ lim 𝑛 ⋅ lim 𝑛
=
2 ⋅ ∞ + 3
2 − 4 ⋅ ∞
= (
∞
−∞
)
Obrželi jsme neurčitý výraz, proto nejprve upravíme člen 𝑎 𝑛.
a) Vydělíme čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou 𝑛 ve jmenovateli.
lim
2𝑛2
+ 3
2 − 4𝑛2
= (
∞
∞
) = lim
2𝑛2
+ 3
𝑛2
2 − 4𝑛2
𝑛2
= lim
2 +
3
𝑛2
2
𝑛2 − 4
=
2 + 0
0 − 4
= −
2
4
= −
1
2
b) Vytkneme nejvyšší mocninu 𝑛 v čitateli a nejvyšší mocninou 𝑛 ve jmenovateli.
lim
2𝑛2
+ 3
2 − 4𝑛2
= (
∞
∞
) = lim
𝑛2
(2 +
3
𝑛2)
𝑛2 (
2
𝑛2 − 4)
= lim
2 +
3
𝑛2
2
𝑛2 − 4
= −
2
4
= −
1
2
Příklad Vypočtěme lim √4𝑛2 + 5𝑛 − 7 − 2𝑛.
Řešení
lim (√4𝑛2 + 5𝑛 − 7 − 2𝑛) = (∞ − ∞) = lim
4𝑛2
+ 5𝑛 − 7 − 4𝑛2
√4𝑛2 + 5𝑛 − 7 + 2𝑛
=
= lim
5𝑛 − 7
√4𝑛2 + 5𝑛 − 7 + 2𝑛
= (
∞
∞
) = lim
5 −
7
𝑛
√4 +
5
𝑛
−
7
𝑛2 + 2
=
5
4
Poznámka Vzorec pro 𝑛-tý člen jsme v předchozím příkladu upravili rozšířením a použitím vzorce
(𝑎2
− 𝑏2) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).
Pozor! Neurčité výrazy nejsou:
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 108
konstanta
0
=
+∞; čitatel a jmenovatel mají stejná znaménka
−∞; čitatel a jmenovatel mají opačná znaménka
konstanta
∞
= 0
Příklad
1) lim
2
𝑛3
= [
2
∞
] = 0
2) lim
(−15)11
𝑛
= [
−1511
∞
] = 0
3) lim
𝑛4
1
𝑛
= [
∞
→0+
] = +∞
4) lim
5
1
𝑛
= [
5
→0+
] = +∞
5) lim
5
−
1
𝑛
= [
5
→0−
] = −∞
Vlastnosti konvergentních posloupností
Věta 10.5 Každá konvergentní posloupnost je omezená.
Věta 10.6 (O součinu nulové a omezené posloupnosti)
Je-li lim 𝑎 𝑛 = 0 a posloupnost {𝑏 𝑛} je omezená, pak lim(𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛) = 0.
Příklad Vypočtěme lim
cos 𝑛
𝑛
.
Řešení Upravíme
cos 𝑛
𝑛
=
1
𝑛
∙ cos 𝑛.
Víme, že lim cos 𝑛 neexistuje, avšak pro každé 𝑛 je |cos 𝑛| ≤ 1, což znamená, že posloupnost
{cos 𝑛} je omezená.
Platí lim
1
𝑛
= 0.
Potom podle Věty 10.6
lim
cos 𝑛
𝑛
= (lim
1
𝑛
⋅
⏟
0
cos 𝑛⏟
omezená posl.
) = 0
Věta 10.7 (O limitě tří posloupností)
Mějme tři posloupnosti {𝑎 𝑛}, {𝑏 𝑛} a {𝑐 𝑛}.
Nechť
1) 𝑎 𝑛 ≤ 𝑐 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 pro skoro všechna 𝑛 ∈ ℕ
109
2) lim 𝑎 𝑛 = lim 𝑏 𝑛 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ∗.
Potom existuje i lim 𝑐 𝑛 a platí lim 𝑐 𝑛 = 𝑎.
Příklad Vypočtěme lim
2𝑛+sin 𝑛
3𝑛+4
.
Řešení Pro ∀𝑛 ∈ 𝑁 je −1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1. Potřebujeme posloupnost {
2𝑛+sin 𝑛
3𝑛+4
} „sevřít“ mezi další dvě
posloupnosti, proto provedeme „strategické“ úpravy nerovnosti−1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1 tak, abychom „uvnitř“
nerovnosti získali 𝑐 𝑛 =
2𝑛+sin 𝑛
3𝑛+4
.
−1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1 / +2𝑛
2𝑛 − 1 ≤ 2𝑛 + sin 𝑛 ≤ 2𝑛 + 1 /: (3𝑛 + 4) > 0
2𝑛 − 1
3𝑛 + 4
≤
2𝑛 + sin 𝑛
3𝑛 + 4
≤
2𝑛 + 1
3𝑛 + 1
(5)
lim
2𝑛 − 1
3𝑛 + 4
= lim
2𝑛 + 1
3𝑛 + 1
=
2
3
(6)
Z (5) a (5) ⇒ lim
2𝑛+sin 𝑛
3𝑛+4
existuje a lim
2𝑛+sin 𝑛
3𝑛+4
=
2
3
.
Poznámka Zadanou limitu můžeme vypočítat i užitím Vět 10.4 a 10.6.
lim
2𝑛 + sin 𝑛
3𝑛 + 4
= lim
2𝑛
3𝑛 + 4
+ lim (
1
3𝑛 + 4
⋅
⏟
0
sin 𝑛⏟
omezená posl.
) =
2
3
+ 0 =
2
3
Poznámka Všimněte si, že limita tvaru podílu, popř. součinu, může existovat i když některý z činitelů
nemá limitu. (Viz výše uvedené příklady.)
Věta 10.8 Každá omezená a monotónnní posloupnost je konvergentní (tj. má vlastní limitu).
Na základě této věty lze ukázat, že existuje lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒, kde 𝑒 =̇ 2,7182.
Zapamatuj! Číslo e je Eulerovo číslo a je základem přirozených logaritmů.
Příklad Užitím přechozího vzorce vypočtěme limitu lim (
𝑛+2
𝑛+1
)
𝑛
.
Řešení
lim (
𝑛 + 2
𝑛 + 1
)
𝑛
= (1∞) = lim (
(𝑛 + 1) + 1
𝑛 + 1
)
𝑛
= lim (1 +
1
𝑛 + 1
)
𝑛
=
= lim [(1 +
1
𝑛 + 1
)
𝑛+1
⋅ (1 +
1
𝑛 + 1
)
−1
] = lim (1 +
1
𝑛 + 1
)
𝑛+1
⋅ lim (1 +
1
𝑛 + 1
)
−1
=
= 𝑒 ⋅ (1 + 0)−1
= 𝑒
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 110
Lze odvodit i další vzorce:
lim
𝑛→∞
(1 +
𝑘
𝑛
)
𝑛
= 𝑒 𝑘
Je- li lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∞, resp. −∞, potom lim
𝑛→∞
(1 +
𝑘
𝑎 𝑛
)
𝑎 𝑛
= 𝑒 𝑘
.
Příklad Vypočtěme lim (
𝑛−2
𝑛+3
)
2𝑛
.
Řešení
lim (
𝑛 − 2
𝑛 + 3
)
2𝑛
= lim (
𝑛 + 3 − 5
𝑛 + 3
)
2𝑛
= lim [(1 +
−5
𝑛 + 3
)
𝑛
]
2
=
= lim [(1 +
−5
𝑛 + 3
)
𝑛+3−3
]
2
= lim [(1 +
−5
𝑛 + 3
)
𝑛+3
]
2
∙ lim (1 +
−5
𝑛 + 3
)
−6
=
= (𝑒−5)2
∙ (1 + 0)−6
= 𝑒−10
∙ 1 = 𝑒−10
Věta 10.9 (O limitě vybrané posloupnosti)
Má-li posloupnost {𝑎 𝑛} limitu 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ∗, pak každá posloupnost {𝑎 𝑘 𝑛
} z ní vybraná má také limitu
a, tj. lim 𝑎 𝑘 𝑛
= lim 𝑎 𝑛 = 𝑎.
Větu lze užít dvojím způsobem:
1. Určení limity vybrané posloupnosti, známe-li limitu posloupnosti, z níž byla vybrána.
Příklad Určeme limitu posloupnosti {
1
2𝑛−1
}.
Řešení
{
1
2𝑛 − 1
} = {1,
1
3
,
1
5
,
1
7
, … }
Je to posloupnost vybraná z posloupnosti {
1
𝑛
}, kde posloupnost indexů {𝑘 𝑛} je rostoucí posloupnost
lichých čísel.
Víme, že lim
1
𝑛
= 0 ⇒ lim
1
2𝑛−1
= 0.
Všimněte si, že např. lim
1
2𝑛
= 0 a také lim
1
𝑛+49
= 0, poněvadž posloupnosti {
1
2𝑛
}
a {
1
𝑛+49
} jsou vybrané posloupnosti z posloupnosti {
1
𝑛
}.
2. Důkaz neexistence limity.
Lze-li z posloupnosti {𝑎 𝑛} vybrat alespoň 2 vybrané posloupnosti, jejichž limity jsou různé,
pak posloupnost {𝑎 𝑛} limitu nemá.
Příklad Určete lim (−1) 𝑛
.
Řešení
111
{(−1) 𝑛} = {−1,1, −1,1, −1, … }
Vybereme posloupnost lichých členů {−1, −1, −1, . . . }, je to stacionární posloupnost, jejíž
limita je −1.
Vybereme posloupnost sudých členů {1,1,1, … }, je to stacionární posloupnost, jejíž limita
je 1.
Dle Věty 10.9 pak posloupnost {(−1) 𝑛} nemá limitu; lim (−1) 𝑛
neexistuje, posloupnost
{(−1) 𝑛} je divergentní (osciluje).
Přehled limit význačných posloupností
I. lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 II. lim
𝑛→∞
√ 𝑎
𝑛
= {
0 pro 𝑎 = 0
1 pro 𝑎 > 0
III. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
= {
0 pro |𝑎| < 1
1 pro 𝑎 = 1
+∞ pro 𝑎 > 1
neexisuje pro 𝑎 ≤ −1
IV. lim
𝑛→∞
√ 𝑛
𝑛
= 1
V. lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒
VI. lim
𝑛→∞
𝑛 𝑟
= {
+∞ pro 𝑟 > 0
1 pro 𝑟 = 0 𝑟 ∈ ℝ
0 pro 𝑟 < 0
VII. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑛 𝑘 = {
0 pro 0 ≤ 𝑎 ≤ 1
+∞ pro 𝑎 > 1
𝑘 ∈ ℝ+
Výpočet limit posloupností
Příklad Určete limitu posloupnosti.
a) lim (3𝑛3
+ 2𝑛6
− 1010) = 2∞3
+ ∞6
− 1010
= ∞ + ∞ = ∞
b) lim (5𝑛 − 7𝑛2
+ 5) = (∞ − ∞) = lim [𝑛2
(
5
𝑛
− 7 +
5
𝑛2
)] =
= lim 𝑛2
⋅ lim (
5
𝑛
− 7 +
5
𝑛2
) = ∞ ⋅ (0 − 7 + 0) = −∞
c) lim
𝑛3
+ 2𝑛 − 4
3𝑛3 − 𝑛 + 5
= (
∞
∞
) = lim
1 +
2
𝑛2 −
4
𝑛3
3 −
1
𝑛2 +
5
𝑛3
=
1
3
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 112
d) lim
2𝑛2
− 4𝑛3
5𝑛6 − 7𝑛2
= (
∞
∞
) = lim
2
𝑛4 −
4
𝑛3
5 −
7
𝑛4
=
0
5
= 0
e) lim
2 − 3𝑛3
5𝑛2 + 5𝑛
= (
∞
∞
) = lim
2
𝑛2 − 3𝑛
5 +
5
𝑛
=
0 − ∞
5
= −∞
f) lim [
𝑛2
− 3𝑛3
+ 4
4𝑛 + 2𝑛3 + 15
(2 −
3
𝑛
+
15𝑛
𝑛2 − 4
)] =
= lim
1
𝑛
− 3 +
4
𝑛3
4
𝑛2 + 2 +
15
𝑛3
⋅ lim (2 −
2
𝑛
+
15
𝑛
1 −
4
𝑛2
) = −
3
2
(2 − 0 + 0) = −3
g) lim
√9 + 𝑛3 + 4𝑛4
√𝑛6 + 27
3 = (
∞
∞
) = lim
√ 9
𝑛4 +
1
𝑛
+ 4
√1 +
27
𝑛6
3
=
√0 + 0 + 4
√1 + 0
3 = 2
h) lim (√ 𝑛2 + 𝑛 − 𝑛) = (∞ − ∞) = lim
(√𝑛2 + 𝑛 − 𝑛)(√𝑛2 + 𝑛 + 𝑛)
√𝑛2 + 𝑛 + 𝑛
=
= lim
𝑛2
+ 𝑛 − 𝑛2
√𝑛2 + 𝑛 + 𝑛
= (
∞
∞
) = lim
1
√1 +
1
𝑛
+ 1
=
1
2
i) lim [
1
𝑛2
(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)] = (0 ⋅ ∞) = lim [
1
𝑛2
⋅
𝑛
2
(1 + 𝑛)] =
= lim
1 + 𝑛
2𝑛
= (
∞
∞
) = lim
1
𝑛
+ 1
2
=
1
2
j) lim
(𝑛 + 1)! − (𝑛 − 1)!
𝑛!
= lim
(𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)! − (𝑛 − 1)!
𝑛(𝑛 − 1)!
=
= lim
(𝑛 − 1)! [𝑛(𝑛 + 1) − 1]
𝑛(𝑛 − 1)!
= lim
𝑛2
+ 𝑛 − 1
𝑛
= (
∞
∞
) =
= lim
𝑛 + 1 −
1
𝑛
1
= ∞
113
k) lim
5 𝑛
4 𝑛 − 9 ⋅ 7 𝑛
= (
∞
∞ − ∞
) = lim
5 𝑛
7 𝑛
4 𝑛
7 𝑛 − 9
7 𝑛
7 𝑛
=
= lim
(
5
7
)
𝑛
(
4
7
)
𝑛
− 9
=
0
0 − 9
= 0
l) lim (
𝑛 − 5
𝑛 + 3
)
𝑛+5
= (1∞) = lim (
𝑛 + 3 − 8
𝑛 + 3
)
𝑛+5
= lim (1 +
−8
𝑛 + 3
)
𝑛+5
=
= lim (1 +
−8
𝑛 + 3
)
𝑛+3+2
= lim (1 +
−8
𝑛 + 3
)
𝑛+3
⋅ lim (1 +
−8
𝑛 + 3
)
2
=
= 𝑒−8
⋅ (1 + 0)2
= 𝑒−8
⋅ 1 = 𝑒−8
Limita posloupnosti je důležitým pojmem popisujícím chování posloupnosti. Informuje
nás, co se děje se členy posloupnosti pokud 𝑛 roste nade všechny meze, tj. 𝑛 →
∞. Mohou nastat tři případy: 𝑎 𝑛 → 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 𝑛 → ±∞ nebo lim 𝑎 𝑛 neexistuje. Věty
o limitách využíváme při výpočtu limit posloupností.
1. Může mít posloupnost více než jednu limitu?
2. Má každá posloupnost limitu?
3. Ano či ne?
a) Geometrická posloupnost je vždy konvergentní.
b) Konvergentní posloupnost má vždy právě jednu limitu.
c) Grafem posloupnosti je spojitá křivka.
d) Posloupnost {(
1
2
)
𝑛
} je geometrická
e) Posloupnost {𝑛2} je neomezená a divergentní.
f) lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
) = 𝑒
4. Vypočtěte limitu posloupnosti.
a) lim (4 − 𝑛2
+ 3𝑛3) [∞]
b) lim
𝑛3−5𝑛2+4
6𝑛5−3𝑛2
[0]
c) lim
7−15𝑛4
3𝑛3−4𝑛
[−∞]
d) lim
45𝑛2+15𝑛−3
15𝑛2−7𝑛+5
[3]
e) lim
√27𝑛3+6𝑛2−8
3
√4𝑛2+1
[
3
2
]
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 114
f) lim (√𝑛 − 5
3
− √𝑛 + 5
3
) [0]
g) lim
3(𝑛+2)!−𝑛!
8(𝑛+2)!
[
3
8
]
h) lim [
3
𝑛2+4
(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)] [
3
2
]
i) lim
(−2) 𝑛+8 𝑛+3
1
5
⋅3 𝑛−1−
1
3
⋅8 𝑛+2
[−24]
j) lim (
𝑛−7
𝑛+2
)
𝑛+8
[𝑒−9]
Literatura k tématu:
[1] BRABEC, J., MARTAN, F. ROZENSKÝ, Z. Matematická analýza I. SNTL
Praha, 1989. ISBN 04-013-89
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. ISBN 80-7200-587-1
[3] DOŠLÁ, Z., KUBEN, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 2. vydání, MU v
Brně, 2012. ISBN 978-80-210-5814-9
[4] MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001.
ISBN 80-244-0269-6
[5] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R.
UP Olomouc, 2013. ISBN 978-80-244-3410-0
[6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2002. ISBN 80-244-0464-8
[7] POLANCO, C. Differential and Integral Calculus - Theory and Cases. Singapur,
Bentham Science Publishers, 2020. ISBN 9789811465109
Kapitola 11
Číselné řady
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozlišovat číselnou řadu a číselnou posloupnost,
• definovat součet řady,
• definovat, kdy číselná řada konverguje, resp. diverguje,
• identifikovat význačné řady.
Klíčová slova:
Číselná řada, součet řady, 𝑛-tý částečný součet, zbytek po 𝑛-tém členu, geometrická
řada.
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 116
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou nejprve zavedeny pojmy nekonečná číselná řada a její součet. Poté
budou studovány vlastnosti číselných řad a nejvýznamnější typy řad. Důraz bude kladen na
nutnou podmínku konvergence, pomocí níž lze dokázat divergence číselných řad.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je popsání pojmu číselná řada, studium vlastností číselných řad a určení divergence
číselných řad pomocí nutné podmínky konvergence.
Odhad času potřebného ke studiu
- 2 hodiny
Definice číselné řady a jejího součtu
Teorie číselných řad navazuje na teorii číselných posloupností, proto při studiu řad uplatníme mnohé
poznatky o posloupnostech.
Definice 11.1 Buď {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
posloupnost reálných čísel. Nekonečnou číselnou řadou (stručně jen
řadou) nazveme symbol 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ (𝑛 ∈ ℕ), který vznikne tak, že mezi každé dva sousední
členy posloupnosti {𝑎 𝑛} formálně vložíme znak +. Stručné označení řady:
∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
; ∑ 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯
∞
𝑛=1
Čísla 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛, … nazýváme členy řady.
Číslo 𝑎 𝑛 nazýváme 𝒏-tý člen řady.
Součet prvních 𝑛 členů 𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 nazveme 𝑛-tým částečným součtem řady.
Rozdíl
𝑅 𝑛 = ∑ 𝑎 𝑛 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 + 𝑎 𝑛+2 + ⋯
∞
𝑛=1
je tzv. zbytek po 𝑛-tém členu řady.
Poznámka Místo ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 píšeme často stručně ∑ 𝑎 𝑛, indexy připisujeme jen v případě potřeby.
Příklad Z posloupnosti {
1
𝑛
} utvoříme řadu ∑
1
𝑛
.
Řešení
117
Posloupnost {
1
𝑛
} = {1,
1
2
,
1
3
, … ,
1
𝑛
, … } a z ní utvořená řada ∑
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
+ ⋯
Vyvstává otázka: Jak sečíst nekonečně mnoho členů za konečně dlouhou dobu? Odpověď dává Definice
11.2.
Definice 11.2 Uvažujme řadu ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 .
Posloupnost {𝑠 𝑛}, kde
𝑠1 = 𝑎1
𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
⋮
nazveme posloupnost částečných součtů řady ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 .
Jestliže lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = 𝑠 ∈ ℝ, řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje a má součet 𝑠.
Píšeme ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑠.
Jestliže lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = +∞, řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje (k plus nekonečnu) a má součet 𝑠 =
+∞.
Jestliže lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = −∞, řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje (k mínus nekonečnu) a má součet 𝑠 =
−∞.
Jestliže lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 neexistuje, řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje (osciluje) a nemá součet.
Poznámka U každé řady nastane právě jedna z výše uvedených možností, což vyplývá z vlastností
limity posloupnosti. Symbolem ∑ 𝑎 𝑛 značíme nejen řadu, ale i její součet, pokud existuje.
Příklad Rozhodněte o konvergenci řady a pokud konverguje, stanovte její součet.
a) Řada ∑
1
𝑛(𝑛+1)
=
1
1∙2
+
1
2∙3
+
1
3∙4
+ ⋯∞
𝑛=1
Sestavíme posloupnost {𝑠 𝑛} částečných součtů řady.
𝑠1 = 𝑎1 =
1
1 ∙ 2
=
1
2
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 118
𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 =
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
=
1
2
+
1
6
=
2
3
𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 =
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
=
1
2
+
1
6
+
1
12
=
3
4
𝑠 𝑛 =
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+ ⋯ +
1
𝑛(𝑛 + 1)
Při výpočtu limity {𝑠 𝑛} využijeme vztahu
1
𝑛(𝑛+1)
=
1
𝑛
−
1
𝑛+1
.
lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = lim
𝑛→∞
(
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+ ⋯ +
1
𝑛(𝑛 + 1)
) =
= lim
𝑛→∞
(1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ ⋯ +
1
𝑛 − 1
−
1
𝑛
+
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) =
= lim
𝑛→∞
(1 −
1
𝑛 + 1
) = 1 − 0 = 1
Řada ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 konverguje a její součet 𝑠 = 1; nazveme ji „Užitečná“ řada.
b) Geometrická řada ∑ 𝑎𝑞 𝑛−1∞
𝑛=1 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2
+ ⋯.
Součet jejích prvních 𝑛 členů je 𝑠 𝑛 = {
𝑎(1−𝑞 𝑛)
1−𝑞
pro 𝑞 ≠ 1
𝑛𝑎 pro 𝑞 = 1
Protože lim
𝑛→∞
𝑞 𝑛
= 0 pro |𝑞| < 1 a lim
𝑛→∞
𝑞 𝑛
= ∞ pro 𝑞 > 1, konverguje řada pouze v případě,
že |𝑞| < 1. Její součet je pak 𝑠 =
𝑎
1−𝑞
.
c) Harmonická řada ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 = 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯
Pro vybrané částečné součty řady ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 máme
𝑠1 = 1, 𝑠2 = 1 +
1
2
,
𝑠4 = 𝑠2 +
1
3
+
1
4
> 𝑠2 +
1
2
= 1 +
2
2
,
𝑠8 = 𝑠4 +
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
> 1 +
3
2
,
⋮
𝑠2 𝑛 > 1 +
𝑛
2
.
119
Vidíme, že vybraná posloupnost {𝑠2 𝑛} 𝑛−1
∞
je rostoucí a není shora omezená. Dále pro
všechna 𝑛 ∈ ℕ platí 𝑠 𝑛+1 > 𝑠 𝑛. Z toho plyne, že lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 = ∞, což znamená, že harmonická
řada ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 diverguje.
d) Řada ∑ (−1) 𝑛
= −1 + 1 − 1 + ⋯∞
𝑛=1
Protože 𝑠2𝑛−1 = −1 a 𝑠2𝑛 = 0, neexistuje limita posloupnosti částečných součtů, a tedy zadaná
řada osciluje.
Přehled význačných řad
(1) Geometrická řada
∑ 𝑎𝑞 𝑛−1
∞
𝑛=1
konverguje pro | 𝑞| < 1 𝑎 má součet 𝑠 =
𝑎
1 − 𝑞
diverguje pro |𝑞| ≥ 1
(2) „Užitečná“ řada
∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
= 1; konverguje a má součet 𝑠 = 1
∞
𝑛=1
(3) Řada typu
∑
1
𝑛 𝑘
∞
𝑛=1
konverguje pro 𝑘 > 1
diverguje pro 𝑘 ≤ 1
(𝑘 ∈ ℝ)
(4) Harmonická řada (speciální případ řady (3))
∑
1
𝑛
diverguje a má součet 𝑠 = +∞
∞
𝑛=1
(5) Leibnizova řada
∑(−1) 𝑛−1
∞
𝑛=1
1
𝑛
konverguje relativně (viz dále) a má součet 𝑠 = ln 2
(6) Grandiho řada
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 120
∑(−1) 𝑛
diverguje (osciluje) a nemá součet
∞
𝑛=1
(7) Aritmetická řada
∑[𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑] konverguje pouze pro 𝑎1 = 𝑑 = 0, pak má součet s=0.
Jinak diverguje.
Poznámky
1) Geometrickou a harmonickou řadu často užíváme ve srovnávacím kritériu (viz dále) k porovnávání
řad.
2) U geometrické řady dovedeme ihned rozhodnout podle jejího kvocientu 𝑞, zda konverguje
či diverguje.
3) Konvergentní geometrická řada je jednou z mála řad, které umíme sečíst.
4) Stejný konvergenční charakter mají i řady, které vzniknou z výše uvedených řad dosazením
𝑛 + 𝑙, 𝑙 ∈ ℝ, za 𝑛.
Příklad Řada ∑
1
𝑛
diverguje ⇒ řada ∑
1
𝑛+3
také diverguje.
Řada ∑
1
𝑛2
konverguje ⇒ řada ∑
1
(𝑛+1)2
také konverguje.
Vlastnosti libovolných řad
Věta 11.1 (Nutná podmínka konvergence)
Jestliže řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje, pak lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0.
Poznámka Není-li tato podmínka splněna, tj. lim 𝑎 𝑛 ≠ 0 nebo neexistuje, pak řada nemůže konvergovat,
a tedy diverguje.
Poznámka Věta 11.1 udává pouze nutnou, nikoliv postačující podmínku pro konvergenci řady.
Příklad U harmonické řady ∑
1
𝑛
je splněna nutná podmínka konvergence, tj. lim
1
𝑛
= 0 a přitom tato
řada diverguje.
121
U „užitečné“ řady ∑
1
𝑛(𝑛+1)
je splněna nutná podmínka konvergence, tj. lim
1
𝑛(𝑛+1)
= 0 a tato řada
skutečně konverguje.
Příklad Užitím nutné podmínky konvergence rozhodněte o divergenci řady.
a) ∑
2𝑛2
− 4
𝑛2 + 6
b) ∑
𝑛2
+ 18
3𝑛3
Řešení
a) lim
2𝑛2
− 4
𝑛2 + 6
= (
∞
∞
) = lim
2 −
4
𝑛2
1 +
6
𝑛2
= 2 ≠ 0
Nutná podmínka konvergence není splněna, řada diverguje.
b) lim
𝑛2
+ 18
3𝑛3
= (
∞
∞
) = lim
1
𝑛
+
18
𝑛3
3
= 0
O divergenci této řady nelze rozhodnout. (Řada může konvergovat, ale může i divergovat.)
Věta 11.2 Konvergence nebo divergence řady se nezmění, když konečný počet jejích členů vynecháme,
přidáme nebo zaměníme.
Příklad Víme, že harmonická řada
∑
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
100
+
1
101
+ ⋯diverguje.
Zaměníme-li prvních 100 členů např.
10 +
1
10
+ 10 +
1
10
+ ⋯ + 10 + +
1
10⏟
100 členů
+
1
101
+ ⋯,
pak tato řada také diverguje.
Obdobně: Řada ∑
1
𝑛(𝑛+1)
=
1
1∙2
+
1
2∙3
+ ⋯ +
1
51∙52
+
1
52∙53
+ ⋯ konverguje. Vynecháme-li prvních 50
členů této řady, pak řada
1
51∙52
+
1
52∙53
+ ⋯ také konverguje.
Věta 11.3 (O součtu a násobku řad)
Jestliže ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 a ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 jsou konvergentní řady a 𝑘 ∈ ℝ je libovolná konstanta, pak řady
∑ (𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛)∞
𝑛=1 a ∑ 𝑘𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konvergují a platí
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 122
∑(𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛)
∞
𝑛=1
= ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
+ ∑ 𝑏 𝑛,
∞
𝑛=1
∑ 𝑘𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑘 ∑ 𝑎 𝑛.
∞
𝑛=1
Poznámka Z konvergence řady ∑ (𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛)∞
𝑛=1 neplyne ještě konvergence řad ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 a ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 .
Např. ∑ [(−1) 𝑛
+ (−1) 𝑛−1]∞
𝑛=1 = ∑ 0∞
𝑛=1 sice konverguje, ale řady ∑ (−1) 𝑛∞
𝑛=1 a ∑ (−1) 𝑛−1∞
𝑛=1 os-
cilují.
Poznámka Konstantu můžeme vytknout před sumační znak.
Příklad Dokažte konvergenci řady a stanovte součet řady
∑
5 ∙ 4 𝑛−1
− 3 𝑛
6 𝑛−1
∞
𝑛=1
.
Řešení Upravíme 𝑛-tý člen dané řady.
∑
5 ∙ 4 𝑛−1
− 3 𝑛
6 𝑛−1
= ∑ [5 (
4
6
)
𝑛−1
− 3 (
3
6
)
𝑛−1
] = ∑ [5 (
2
3
)
𝑛−1
− 3 (
1
2
)
𝑛−1
]
Řada ∑ (
2
3
)
𝑛−1
= 1 +
2
3
+ (
2
3
)
2
+ ⋯ je geometrická řada, v níž 𝑎 = 1 a 𝑞 =
2
3
, |𝑞| < 1, řada konverguje
a má součet 𝑠1 =
𝑎
1−𝑞
=
1
1−
2
3
=
1
1
3
= 3
Obdobně řada ∑ (
1
2
)
𝑛−1
= 1 +
1
2
+ (
1
2
)
2
+ ⋯ je geometrická řada, v níž 𝑎 = 1 a 𝑞 =
1
2
,
|𝑞| < 1, řada konverguje a má součet 𝑠2 =
𝑎
1−𝑞
=
1
1−
1
2
=
1
1
2
= 2
Podle Věty 11.3: ∑ (
2
3
)
𝑛−1
konverguje ⇒ ∑ 5 (
2
3
)
𝑛−1
konverguje a má součet 5𝑠1 = 5 ∙ 3 = 15
Dále ∑ (
1
2
)
𝑛−1
konverguje ⇒ ∑ 3 (
1
2
)
𝑛−1
konverguje a má součet 3𝑠2 = 3 ∙ 2 = 6
Závěrem podle Věty 11.3 obdržíme, že řada ∑
5∙4 𝑛−1−3 𝑛
6 𝑛−1
konverguje a má součet
𝑠 = 5𝑠1 − 3𝑠2 = 5 ∙ 3 − 3 ∙ 2 = 9. Lze také psát ∑
5∙4 𝑛−1−3 𝑛
6 𝑛−1
= 9.
Nekonečná číselná řada vzniká součtem všech členů číselné posloupnosti. Číselné
řady mohou konvergovat, divergovat nebo oscilovat. Jedním z mála typů řad, které
dokážeme sečíst, jsou řady geometrické.
123
1. Jak je definována číselná řada?
2. Jaký je vztah mezi číselnou posloupností a řadou?
3. Formulujte nutnou podmínku pro konvergenci číselné řady.
4. Ověřte konvergenci geometrické řady a určete její součet
a) √5 − 2 + (√5 − 2)
2
+ (√5 − 2)
3
+ ⋯ [
√5−1
4
]
b) ∑ (
3
2
)
𝑛+1
∞
𝑛=1 [diverguje]
c) ∑ 10−2𝑛∞
𝑛=1 [
1
99
]
5. Ověřte, zda je splněna nutná podmínka konvergence řady.
a) ∑
𝑛
(𝑛+1)2
∞
𝑛=1 [podmínka je splněna]
b) ∑
2𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=1 [podmínka není splněna; řada diverguje]
c) 1 +
1
3
+
1
5
+
1
7
+ ⋯ [podmínka je splněna]
Literatura k tématu:
[1] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. ISBN 80-7200-587-1
[3] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997.
ISBN 80-86119-01-7
[4] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. ISBN 80-244-1005-2
[5] POLANCO, C. Differential and Integral Calculus - Theory and Cases. Singapur,
Bentham Science Publishers, 2020. ISBN 9789811465109
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 124
Kapitola 12
Kritéria konvergence
číselných řad
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozhodnout o konvergenci řady s nezápornými členy,
• rozhodnout o konvergenci alternujících řad,
• vyšetřit absolutní a relativní konvergenci řady.
125
Klíčová slova:
Relativní konvergence, absolutní konvergence, srovnávací kritérum, podílové kritérium,
odmocninové kritérium, Raabeovo kritérium, Leibnizovo kritérium.
Náhled kapitoly
- V této kapitole budou studována kritéria, pomocí kterých lze stanovit, zda daná číselná řada
konverguje nebo diverguje. Nejprve budou zmíněna kritéria pro řady s nezápornými nebo
kladnými členy a poté bude v krátkosti řešena také konvergence obecnějších typů řad.
Cíle kapitoly
- Cílem kapitoly je zavedení kritérií vhodných pro stanovení konvergence (divergence) číselných
řad a jejich ilustrování na konkrétních příkladech.
Odhad času potřebného ke studiu
- 3 hodiny
Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy
Stanovení součtu řady bývá zpravidla obtížný úkol. Vzhledem k tomu, že součet číselné řady lze
snadno vypočítat pouze u řady geometrické a několika málo dalších řad, soustředíme se především
na zkoumání, zda řada konverguje nebo diverguje. K tomu nám slouží kritéria. Kritéria udávají jednak
postačující podmínky pro konvergenci a jednak postačující podmínky pro divergenci řady. Není-li
postačující podmínka stanovená kritériem splněna, nedává kritérium výsledek a je nutné užít jiné
kritérium. Kritéria totiž nejsou stejně silná, účinná.
Definice 12.1 Řada ∑ 𝑎 𝑛 se nazývá řadou se nezápornými (kladnými) členy, platí-li
𝑎 𝑛 ≥ 0 (𝑎 𝑛 > 0) pro všechna 𝑛 ∈ ℕ.
Věta 12.1 (Srovnávací kritérium)
Nechť ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 a ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 jsou řady s nezápornými členy takové, že pro skoro všechna 𝑛 platí 𝑎 𝑛 ≤
𝑏 𝑛.
➢ Pokud řada ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje, konverguje také řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 .
➢ Jestliže řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje, diverguje také řada ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 .
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 126
Poznámka Řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 z Věty 12.1 se nazývá minorantou řady ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 Řada ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 je
majoranta řady ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 Předchozí větu lze proto vyslovit takto: S každou majorantou konverguje
i její minoranta a s každou minorantou diverguje její majoranta.
Příklad Rozhodněte o konvergenci řady ∑
1
𝑛2 𝑛
.
Řešení Pro každé 𝑛 ∈ ℕ je
1
𝑛2 𝑛 ≤
1
2 𝑛 = (
1
2
)
𝑛
. Protože majorantní řada ∑ (
1
2
)
𝑛
konverguje (je to geometrická
řada, jejíž kvocient je 𝑞 =
1
2
) a obě uvažované řady mají nezáporné členy, konverguje také
minoranta ∑
1
𝑛2 𝑛
.
Věta 12.2 (D’Alembertovo podílové kritérium a jeho limitní verze)
Nechť ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 je řada s kladnými členy.
1) Jestliže existují čísla 𝑛0 ∈ ℕ a 𝑞 ∈ (0,1), že pro všechna 𝑛 > 𝑛0 platí
➢
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
≤ 𝑞, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje,
➢
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
≥ 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje.
2) Nechť existuje konečná nebo nevlastní limita lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= 𝐿.
➢ Je-li 𝐿 < 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje,
➢ je-li 𝐿 > 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje,
➢ je-li 𝐿 = 1, pak o konvergenci řady ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 nelze prostřednictvím limitního podílového
kritéria rozhodnout.
Příklad Rozhodněte o konvergenci řady ∑
3 𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1 .
Řešení
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= lim
𝑛→∞
3 𝑛+1
𝑛!
(𝑛 + 1)! 3 𝑛
= lim
𝑛→∞
3
𝑛 + 1
= 0 < 1
Řada podle Věty 12.2 konverguje.
Věta 12.3 (Cauchyovo odmocninové kritérium a jeho limitní verze)
Nechť ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 je řada s nezápornými členy.
1) Jestliže existují čísla 𝑛0 ∈ ℕ a 𝑞 ∈ (0,1) tak, že
127
➢ pro všechna 𝑛 > 𝑛0 je √ 𝑎 𝑛
𝑛
≤ 𝑞, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje.
➢ Pokud ale pro všechna 𝑛 > 𝑛0 platí √ 𝑎 𝑛
𝑛
≥ 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje.
2) Nechť existuje konečná nebo nevlastní limita lim
𝑛→∞
√ 𝑎 𝑛
𝑛
= 𝐿.
➢ Je-li 𝐿 < 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje,
➢ je-li 𝐿 > 1, řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 diverguje,
➢ je-li 𝐿 =1 nelze o konvergenci řady ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 prostřednictvím limitního podílového kritéria
rozhodnout.
Příklad Rozhodněte o konvergenci řady ∑
𝑛3
2 𝑛
∞
𝑛=1 .
Řešení: lim
𝑛→∞
√ 𝑎 𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
√
𝑛3
2 𝑛
𝑛
=
1
2
lim
𝑛→∞
( √ 𝑛
𝑛
)
3
=
1
2
∙ 13
=
1
2
< 1.
Řada konverguje.
Věta 12.4 (Raabeovo kritérium a jeho limitní verze)
Nechť ∑ 𝑎 𝑛 je řada s kladnými členy.
1) Jestliže existují čísla 𝑛0 ∈ ℕ a 𝑞 ∈ (0,1) tak, že pro všechna 𝑛 > 𝑛0 platí
➢ 𝑛 (
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛+1
− 1) ≥ 𝑞 > 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛 konverguje,
➢ 𝑛 (
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛+1
− 1) ≤ 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛 diverguje.
2) Nechť existuje konečná nebo nevlastní limita lim [𝑛 (
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛+1
− 1)] = 𝐿.
➢ Je-li 𝐿 > 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛 konverguje,
➢ je-li 𝐿 < 1, pak řada ∑ 𝑎 𝑛 diverguje.
Příklad Rozhodněte o konvergenci či divergenci řady
∑
1
𝑛(2𝑛 + 1)
.
Řešení Zkusíme užít limitní podílové kritérium.
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= lim
𝑛→∞
1
(𝑛 + 1)[2(𝑛 + 1) + 1]
1
𝑛(2𝑛 + 1)
= lim
𝑛→∞
𝑛(2𝑛 + 1)
(𝑛 + 1)(2𝑛 + 3)
= lim
𝑛→∞
2𝑛2
+ 𝑛
2𝑛2 + 5𝑛 + 3
=
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 128
= (
∞
∞
) = lim
𝑛→∞
2 +
1
𝑛
2 +
5
𝑛
+
3
𝑛2
= 1
Podle limitního podílového kritéria nelze rozhodnout.
Zkusíme užít Raabeovo kritérium.
lim
𝑛→∞
[𝑛 (
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛+1
− 1)] = lim
𝑛→∞
[𝑛 (
2𝑛2
+ 5𝑛 + 3
2𝑛2 + 𝑛
− 1)] = lim
𝑛→∞
[𝑛
2𝑛2
+ 5𝑛 + 3 − 2𝑛2
− 𝑛
2𝑛2 + 𝑛
] =
= lim
𝑛→∞
4𝑛2
+ 3𝑛
2𝑛2 + 𝑛
= (
∞
∞
) = lim
𝑛→∞
4 +
3
𝑛
2 +
1
𝑛
= 2 > 1.
Řada konverguje.
Poznámky
➢ Příklad dokládá, že kritéria nejsou stejně „silná“.
➢ Zdůrazňujeme, že u limitních forem kritérií nelze rozhodnout o konvergenci či divergenci
řady v případě, že 𝐿 = 1.
➢ Výčet kritérií není úplný (Není např. uvedeno integrální kritérium, protože s integrálním počtem
se seznámíte až v dalším semestru.)
Alternující řady
Dosud jsme se zabývali pouze řadami, které mají nezáporné členy. Nyní zaměříme pozornost na
konvergenci řad, jejichž členy mění znaménko.
Definice 12.2 Řada ∑ 𝑎 𝑛 se nazývá alternující, platí-li pro její členy sgn 𝑎 𝑛+1 = −sgn 𝑎 𝑛 pro všechna
𝑛 ∈ ℕ.
Poznámka V alternující řadě se střídají znaménka pravidelně. Alternující řadou rozumíme řadu
∑(−1) 𝑛+1
𝑎 𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯, resp. řadu ∑(−1) 𝑛
𝑎 𝑛 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯.
Poznámka Symbol sgn je zkratka pro signum = znaménko.
Příklad Známá alternující řada je především Leibnizova řada.
∑(−1) 𝑛+1
1
𝑛
= 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
− ⋯
Pro alternující řady uvádíme pouze jediné kritérium.
129
Věta 12.5 (Leibnizovo kritérium)
Nechť {𝑎 𝑛} je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Alternující řada ∑(−1) 𝑛+1
𝑎 𝑛 konverguje, právě
když lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0. Přitom součet 𝑠 řady splňuje nerovnosti
𝑎1 − 𝑎2 < 𝑠 < 𝑎1.
Poznámka Podmínka lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 je pro alternující řady nutnou a zároveň postačující podmínkou
pro konvergenci.
Příklad Rozhodněte, zda Leibnizova řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛
konverguje.
Řešení
∑(−1) 𝑛+1
1
𝑛
= 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ⋯
Posloupnost členů je {𝑎 𝑛} = {1,
1
2
,
1
3
, … }.
Pro každé 𝑛 ∈ ℕ je 𝑎 𝑛 =
1
𝑛
> 0.
Pro každé 𝑛 ∈ ℕ je 𝑛 < 𝑛 + 1 ⇒
1
𝑛
>
1
𝑛+1
, tzn., že posloupnost {𝑎 𝑛} je klesající.
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
Jsou splněny všechny předpoklady Leibnizova kritéria, Leibnizova řada tedy konverguje.
Poznámka Leibnizova řada konverguje pouze relativně.
Absolutní konvergence řad
Definice 12.3 Řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛 konverguje absolutně (je absolutně konvergentní), konverguje-li
řada ∑|𝑎 𝑛|. Řekneme, že řada ∑ 𝑎 𝑛 konverguje neabsolutně (relativně), jestliže řada ∑ 𝑎 𝑛
konverguje, ale řada ∑|𝑎 𝑛| diverguje.
Poznámka ∑ 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯.
∑|𝑎 𝑛| = |𝑎1| + |𝑎2| + |𝑎3| + |𝑎4| + ⋯
Příklad Dle Leibnizova kritéria jsme zjistili, že řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛
konverguje a také jsme dříve dokázali,
že řada ∑ |(−1) 𝑛+1 1
𝑛
| = ∑
1
𝑛
diverguje – je to harmonická řada.
Leibnizova řada tedy konverguje relativně (neabsolutně).
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 130
Věta 12.6 Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní.
Poznámka Z absolutní konvergence plyne „obyčejná“ konvergence řady.
Poznámka Pro řady s nezápornými členy platí ∑|𝑎 𝑛| = ∑ 𝑎 𝑛 a proto pojem absolutní konvergence
nepřináší pro tyto řady nic nového.
Příklad Vyšetřete, zda konverguje absolutně řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
.
Řešení Řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
= 1 −
1
4
+
1
9
−
1
16
+
1
25
− ⋯ je alternující řada.
Dle Leibnizova kritéria vyšetříme její konvergenci.
Posloupnost {𝑎 𝑛} = {
1
𝑛2
}, pro ∀𝑛 ∈ ℕ je
1
𝑛2
> 0,
pro ∀𝑛 ∈ ℕ je 𝑛 < 𝑛 + 1 ⇒ 𝑛2
< (𝑛 + 1)2
⇒
1
𝑛2
>
1
(𝑛+1)2
, což znamená, že posloupnost {𝑎 𝑛} je
klesající.
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛2
= 0
Jsou splněny všechny podmínky Leibnizova kritéria, tzn., že řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2 konverguje.
Řada |∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
| = ∑
1
𝑛2
je řada typu ∑
1
𝑛 𝑘
, kde 𝑘 = 2 > 1, a tato řada konverguje.
Konverguje řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
i řada∑ |(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
|, a tedy řada ∑(−1) 𝑛+1 1
𝑛2
konverguje absolutně.
Poznámka Vzhledem k tomu, že ∑|𝑎 𝑛| je řada s nezápornými členy, dávají Věty 12.1 – 12.4 ihned
kritéria pro absolutní konvergenci.
Věta 12.7 (Kritéria pro absolutní konvergenci řad)
Řada ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje absolutně, právě když je splněna některá z následujících podmínek:
➢ Existuje konvergentní řada ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 tak, že |𝑎 𝑛| ≤ 𝑏 𝑛 pro všechna 𝑛 ∈ ℕ,
➢ existuje 𝑞 ∈ (0,1) tak, že |
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
| ≤ 𝑞 pro všechna 𝑛 ∈ ℕ,
➢ existuje 𝑞 ∈ (0,1) tak, že √|𝑎 𝑛|𝑛
≤ 𝑞 pro všechna 𝑛 ∈ ℕ,
➢ existuje 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
| = 𝐿 < 1, existuje 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
√|𝑎 𝑛|𝑛
= 𝐿 < 1.
Příklad Zjistěte, zda konverguje absolutně řada ∑(−1) 𝑛 15 𝑛
𝑛!
.
Řešení Vypočteme
lim
𝑛→∞
|
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(−1) 𝑛+1
15 𝑛+1
(𝑛 + 1)!
(−1) 𝑛 15 𝑛
𝑛!
| = lim
𝑛→∞
|−1
15 𝑛+1
𝑛!
15 𝑛(𝑛 + 1)!
| =
131
= lim
𝑛→∞
15
𝑛 + 1
= 0 = 𝐿 a 𝐿 < 1
Daná řada konverguje absolutně.
Při vyšetřování konvergence řad s nezápornými členy užíváme srovnávací, podílové,
odmocninové a Raabeovo kritérium, a to v nelimitní nebo limitní formě. O relativní
konvergenci alternující řady se rozhodne pomocí Leibnizova kritéria. Alternující řada
∑ (−1) 𝑛+1∞
𝑛=1 𝑎 𝑛 konverguje, právě když posloupnost {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
je nerostoucí posloupnost
kladných čísel a limita lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0.
Řady s libovolnými členy mohou konvergovat absolutně nebo relativně. Řada
∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1 konverguje absolutně, když konverguje řada ∑ |𝑎 𝑛|∞
𝑛=1 . O absolutní konvergenci
rozhodujeme opět podle příslušných kritérií.
1. Zformulujte kritéria, podle kterých můžeme rozhodnout o konvergenci či divergenci
řady s nezápornými členy.
2. Srovnávacím kritériem rozhodněte o konvergenci řady
a) ∑
1
4 𝑛+√ 𝑛
∞
𝑛=1 [konverguje (srovnáme s řadou ∑
1
4 𝑛
∞
𝑛=1 )]
b) ∑
𝑛+1
𝑛2
∞
𝑛=1 [diverguje (srovnáme s řadou ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 )]
3. Rozhodněte o konvergenci řady pomocí limitního podílového kritéria
a) ∑
𝑛(𝑛+1)
3 𝑛
∞
𝑛=1 [konverguje]
b) ∑
𝑛!
10 𝑛
∞
𝑛=1 [diverguje]
c) ∑
2 𝑛 𝑛!
𝑛 𝑛
∞
𝑛=1 [konverguje]
d) ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 [nelze rozhodnout]
4. Rozhodněte o konvergenci řady pomocí limitního odmocninového kritéria.
a) ∑
1
𝑛 𝑛
∞
𝑛=1 [konverguje]
b) ∑
3 𝑛
2 𝑛(2𝑛+1)
∞
𝑛=1 [diverguje]
c) 2 +
22
210
+
23
310
+
24
410
+ ⋯ [diverguje]
d) ∑
1
(3+
1
𝑛
)
∞
𝑛=1 [konverguje]
5. Jaký je vztah mezi relativní a absolutní konvergencí?
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 132
6. Rozhodněte o konvergenci alternující řady
a) ∑ (−1) 𝑛+1 1
2𝑛−1
∞
𝑛=1 [diverguje]
b) ∑ (−1) 𝑛+1 1
(2𝑛−1)2
∞
𝑛=1 [konverguje absolutně]
c) ∑ (−1) 𝑛−1 1
√ 𝑛
∞
𝑛=1 [konverguje neabsolutně]
Literatura k tématu:
[1] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. ISBN 80-7200-587-1
[3] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997.
ISBN 80-86119-01-7
[4] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. ISBN 80-244-1005-2
[5] POLANCO, C. Differential and Integral Calculus - Theory and Cases. Singapur,
Bentham Science Publishers, 2020. ISBN 9789811465109
133
Seznam literatury a použitých
zdrojů
[1] BAUER, L., LIPOVSKÁ, H., MIKULÍK, M., MIKULÍK. V. Matematika v ekonomii a ekonomice.
Grada, 2015. ISBN 978-80-247-4419-3
[2] BEČVÁŘ, J. Lineární algebra. 4. vydání. Matfyzpress Praha, 2010. ISBN 978-80-7378-135-4
[3] BICAN, L. Lineární algebra a geometrie. 2. vydání. Academia Praha, 2009. ISBN 978-80-200-
1707-9
[4] BOHDALOVÁ, M., BOHDAL R. Matematika nielen pre manažérov. Univerzita Komenského v
Bratislavě, 2022. ISBN 978-80-223-5392-2.
[5] BRADLEY, T., PATTON, P. Essential Mathematics for Economics and Business, 2nd Edition. New
York: J. Wiley, 2002. ISBN 04-708-4466-3
[6] BUDINSKÝ, B., CHARVÁT, J. Matematika I. SNTL Praha, 1987. ISBN 04-011-87
[7] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha, 2003. ISBN
80-7200-587-1
[8] DOŠLÁ, Z., KUBEN, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 2. vydání. MU v Brně, 2012.
ISBN 978-80-210-5814-9
[9] DVOŘÁKOVÁ, Ľ. Lineární algebra 2. 2. vydání. ČVUT Praha, 2020. ISBN 978-80-01-06721-5
[10] HENDL, J. Základy matematiky, logiky a statistiky pro sociologii a ostatní společenské vědy
v příkladech. 3. vydání. Karolinum, 2022. ISBN 978-80-246-5400-3
[11] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997. ISBN 80-86119-
01-7
[12] KATRIŇÁK, T. Algebra a teoretická aritmetika. 4. vydání. Univerzita Komenského Bratislava,
2002. ISBN 80-223-1674-1
[13] KLŮFA, J., COUFAL, J. Matematika pro ekonomy (1). Ekopress Praha, 1997. ISBN 80-86119-00-
9
[14] KOUŘILOVÁ P., PAVLAČKOVÁ, M. Základy matematické analýzy a jejich aplikace v ekonomii.
UP Olomouc, 2013. ISBN 978-80-244-3317-2
[15] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R. UP Olomouc, 2013. ISBN
978-80-244-3410-0
[16] MAREŠ, J. Algebra. České vysoké učení technické Praha, 2014. ISBN 978-80-01-05445-1
MATEMATIKA PRO EKONOMICKOU PRAXI 134
[17] MEZNÍK, I. Základy matematiky pro ekonomii a management. Akademické nakladatelství
CERM, 2018. ISBN 978-80-214-5522-1
[18] MOISES PENA-LEVANO, L. Schaum's Outline of Mathematical Methods for Business, Economics
and Finance. 2nd ed., McGraw-Hill Education, 2021. ISBN 9781264266876
[19] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. ISBN 80-244-1005-2
[20] MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 2., upravené a doplněné vydání.
Grada, 2015. ISBN: 978-80-247-5406-2
[21] MOUHAMMED, A. D. Introductory Mathematical Economics. Routledge, 2020. ISBN 978-07-
656-0459-0.
[22] NOVOTNÁ, J., TRCH, M. Algebra a teoretická aritmetika: sbírka příkladů, 2. dopl. vydání. Univerzita
Karlova Praha, 2000. ISBN 80-7290-007-2
[23] O'LEARY, M. L. Linear Algebra. Wiley, 2021. ISBN 9781119437444
[24] OLŠÁK, P. Úvod do algebry, zejména lineární, 2. přepracované vydání. České vysoké učení technické
Praha, 2013. ISBN 978-80-01-05291-4
[25] POLANCO, C. Differential and Integral Calculus - Theory and Cases. Singapur, Bentham Science
Publishers, 2020. ISBN 9789811465109
[26] PEREN, F. W. Math for Business and Economics, Compendium of Essential Formulas. Berlin,
Heidelberg: Springer, 2022. ISBN 978-36-626-3251-2
[27] ROSSER, M. Basic mathematics for economists, 2nd Edition. London: Routledge, 2003. ISBN
02-034-2439-5
[28] SIMON, C.P., BLUME, L.E. Mathematics for Economists. New York: W.W. Norton, 1994. ISBN
03-939-5733-0
[29] ŠABO, M., 2018. Matematika 1. STU. ISBN 978-80-227-3421-9
135
Seznam obrázků
Obr. 1 Grafické znázornění intervalů .................................................................................................30
Obr. 2 Grafické znázornění δ-okolí bodu c ........................................................................................31
Obr. 3 Grafické znázornění redukovaného δ-okolí bodu c................................................................31
Obr. 4 Část grafu posloupnosti {2n − 5}...........................................................................................94
Obr. 5 Vlastní limita posloupnosti - geometrický význam lim
n→∞
an = a............................................102
Obr. 6 Část grafu posloupnosti {
1
n
} ..................................................................................................103
Obr. 7 Nevlastní limita posloupnosti – geometrický význam lim
n→∞
an = +∞ ..................................104
Obr. 8 Část grafu posloupnosti {(−1)n}, jejíž limita neexistuje......................................................105