Matematika pro ekonomickou praxi 1 in Fiser 25. září 2025 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 1/56 Co se v tomto předmětu naučíte? Nemusíte se matematiky bát! Společně se podíváme na několik základních témat, která vám mohou pomoci i v ekonomii. Bude to krok za krokem. • Zjistíme, co je to výroková logika a jak určujeme pravdivost výroků. Naučíme se pracovat s množinami a množinovými operacemi. Probereme vektorový počet a jeho využití. • Podíváme se na matice a jejich použití v ekonomii. o Naučíme se počítat determinanty a využívat je při řešení problémů. • Budeme řešit soustavy lineárních rovnic a jejich aplikaci. 9 Probereme číselné posloupnosti a řady a jejich význam. • Naučíme se počítat limity posloupností a součty řad. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 2/56 Matematika pro ekonomii Vše, co se naučíte, vám pomůže lépe porozumět ekonomickým problémům. ■v • Číselné posloupnosti vám pomohou modelovat ekonomické trendy. • S maticemi budete lépe rozumět statistikám a analýzám dat. ■v o Řešení soustav rovnic je užitečné při práci s různými proměnnými v ekonomických modelech. 9 Limity nám ukážou, jak se bude systém chovat v dlouhodobém horizontu. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 3/56 Praktické využití matematiky Nebudeme se učit teorii jen pro teorii. Vše, co si ukážeme, budete moci aplikovat na reálne problémy. • Naučíte se, jak aplikovat matematiku na konkrétni ekonomické situace. • Získáte schopnost vyhodnocovat data a porozumět vztahům mezi proměnnými. • Budete mít jistotu při práci s matematickými nástroji pro ekonomické problémy. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 4/56 Shrnutí Co si odnesete? • Schopnost definovat základní pojmy a využít je v praxi. • Dovednost pracovat s matematickými nástroji pro řešení ekonomických problémů. • Matematické sebevědomí! Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 5/56 RNDr. Jiří Fišer, Ph.D. • IS MVSO ► Interaktivní osnova předmětu * https://is.mvso.cz/auth/el/mvso/zima2025/Pl MEP/index.qwarp * zdroj informací a souborů, * odevzdávárna pro zápočtové úlohy, • Konzultační hodiny: ► Pondělí 13:00-14:30 ► Úterý 11:30-13:00 (Jinak po dohodě e-mailem.) • 8698@mail.mvso.cz □ rS1 = 1 O O Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 6/56 Obsah predmetu 1/3 1. Výroková logika. (Výroková forma a její pravdivostní hodnota.) 2. Množiny. (Definice. Operace na množinách. Číselné množiny.) 3. Vektorový počet. (Operace s vektory. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Vektorové prostory.) 4. Matice a jejich využití v ekonomických aplikacích. (Typy matic. Operace s maticemi. Hodnost matice. Výpočet celkové produkce a zisku pomoci maticových operací. Optimalizační úlohy řešené pomocí maticových operací.) 5. Determinanty a jejich využití v ekonomické praxi. (Vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Stanovení inverzní matice. Výpočet produkce využitím inverzní matice. Šifrování.) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 7/56 Obsah predmetu 2/3 6. Soustavy lineárních rovnic. (Geometrické řešení soustav dvou rovnic pro dvě neznámé. Frobeniova věta.) 7. Řešení soustav lineárních rovnic a jejich využití v ekonomických aplikacích. (Gaussova eliminační metoda. Cramerovo pravidlo. Produkční matice a výpočet produkce pomocí soustavy lineárních rovnic. Výpočet minimální produkce zaručující návratnost investičních nákladů.) 8. Číselné posloupnosti a jejich využití v ekonomické praxi. (Definice posloupnosti. Způsoby zadávání a grafické znázornění posloupnosti. Vlastnosti posloupnosti. Geometrická a aritmetická posloupnost. Využití posloupností při úročení a spoření.) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 8/56 Obsah predmetu 3/3 9. Limita posloupnosti. (Definice limit posloupnosti. Výpočet limit posloupnosti.) 10. Číselné řady a jejich využití v ekonomických aplikacích. (Konvergence číselné řady. Geometrická řada a její využití v praxi.) 11. Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy. 12. Řady s libovolnými členy. (Alternující řada. Leibnizovo kritérium. Absolutní konvergence řad s libovolnými členy.) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 9/56 Zakončení predmetu • Zápočet: ► aktivní účast na cvičeních, ► maximálně 3 neomluvené absence, ► vypracování zápočtové práce. 9 Zkouška: ► Písemná: příklady + teorie ► Povolen: 1 ručně psaný a podepsaný tahák A4 (ne tištěný) ► Podmínka: min. 50 % z příkladů i z teorie ► Plus bonusové body —>* výsledná známka ► Možný následný rozhovor k písemce (opravy, dovysvětlení, sporné případy) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 10/56 Ukázka zkouškové písemky: příklady Příklad 1. Určete, pro která reálná čísla x platí \x — 6| > 3. Příklad 2. Řešte soustavu lineárních rovnic: 2x\ + 2x2 + x% — 2, xi + 3x2 - x3 — -4, 2x2 + 2x?, = 2. Příklad 3. Vypočítejte determinanty dct(J4) a det(B), je4i to možné: Příklad 4. Firma prodává 3 druhy zboží (x, y, z) na 4 pobočkách. Zisky z jednoho prodaného kusu jsou: 60 Kč za x, 40 Kč za y a 80 Kč za z. Na jednotlivých pobočkách prodali: / 3 0 1 3 \ A = 0 \ -2 2 1 0) pobočka x y z 0 2 7 2 2 3 0 3 0 1 2 4 1 0 2 Vypočtěte pomocí maticového počtu zisky na jednotlivých pobočkách a celkový zisk firmy. 25. záři 2025 11/56 Ukázka zkouškové písemky: teorie Příklad 5 (Teoretické otázky). a) Kdy je pravdivá konjunkce (disjunkce, implikace, ekvivalence)? b) Jaký je rozdíl mezi singulární a regulární maticí? c) Co je to Cramcrovo pravidlo a kdy jej lze použít? d) Co plyne z nesplnění nutne podmínky konvergence číselné řady? Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 12/56 Matematický výklad: použití definic, vět a důkazů V matematice často pracujeme s: 9 Definicemi, které vysvětlují nové pojmy, • Větami, které jsou důležitými tvrzeními, a a Důkazy, které ověřují správnost vět. V našem předmětu se ale více zaměříme na: o Definice a vysvětlení základních pojmů, o Počítání příkladů a uvádění postupů. Pokud budeme potřebovat nějakou matematickou větu, uvedeme ji bez důkazu a budeme se soustředit na její použití. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 13/56 Náš pracovní postup v tomto semestru Cvičení před přednáškou 1. Na cvičení: • Skočíme rovnou do praxe. • Vyzkoušíte si řešit konkrétní příklady. • Objevíte, kde vám co není jasné. 2. Na přednášce: • Vše si shrneme a teoreticky ukotvíme. • Zaměříme se na to, proč postupy fungují. • Představíme si látku na další týden. Pojďme se tedy podívat, co jste si vyzkoušeli na prvním cvičení! Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 14/56 Ohlédnutí za cvičením 1: Množiny a intervaly Klíčové pojmy, které jste potkali Množina, prvek (g), podmnožina (c), sjednocení (u), průnik (n), rozdíl (\). Dotaz Na cvičení jste pracovali s množinami A = {1, 2, 3,4} a B = {2, 3, 5, 6} Co bylo jejich průnikem (A n 6)? —>» {2,3} (prvky, které jsou v obou množinách zároveň) A co bylo rozdílem A \ Bl {1,4} (prvky, které jsou v A, ale ne v B) Podobně jste pracovali s intervaly, které jsou jen specifickým typem množin na číselné ose. Jiří Fišer (MVSO) P1MEP-01 □ - = 25. záři 2025 15/56 Ohlédnutí za cvičením 1: Množiny a intervaly Klíčové pojmy, které jste potkali Množina, prvek (g), podmnožina (c), sjednocení (u), průnik (n), rozdíl (\). Dotaz Na cvičení jste pracovali s množinami A = {1, 2, 3,4} a B = {2, 3, 5, 6} Co bylo jejich průnikem (A n 6)? —>» {2,3} (prvky, které jsou v obou množinách zároveň) A co bylo rozdílem A \ Bl {1,4} (prvky, které jsou v A, ale ne v B) Podobně jste pracovali s intervaly, které jsou jen specifickým typem množin na číselné ose. Jiří Fišer (MVSO) P1MEP-01 □ - = 25. záři 2025 15/56 Ohlédnutí za cvičením 1: Množiny a intervaly Klíčové pojmy, které jste potkali Množina, prvek (e), podmnožina (c), sjednocení (u), průnik (n), rozdíl (\). Dotaz Na cvičení jste pracovali s množinami A = {1, 2, 3,4} a B = {2, 3, 5, 6} Co bylo jejich průnikem (A n 6)? —> {2,3} (prvky, které jsou v obou množinách zároveň) A co bylo rozdílem A \ Bl —> {1,4} (prvky, které jsou v A, ale ne v B) Podobně jste pracovali s intervaly, které jsou jen specifickým typem množin na číselné ose. Jiří Fišer (MVSO) P1MEP-01 25. záři 2025 Množiny Používané symboly: • a g A - a je prvkem množiny A (a patří do A), • a 0 A - a není prvkem množiny /4 (a nepatří do A), • >4 C 6 - A je podmnožinou 6. Operace s množinami: • A u B - sjednocení = množina, kterou tvoří prvky, které leží v A nebo v B (tzn. alespoň v jedné z množin A a B), • AD B - průnik = množina, kterou tvoří prvky, které leží současně v A i B, • A \ B - rozdíl = množina, kterou tvoří prvky, které leží v/la současně neleží v B. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 16/56 Základní číselné množiny n = {1, 2, 3,..., n,... } je množina všech přirozených čísel. • n0 = {0,1, 2, 3,..., n,...} = n u {0}. • Z = {..., —2, —1, 0,1, 2,... } je množina všech celých čísel. o q — množina všech zlomků kde /c g Z a r? g n} je množinou všech čísel racionálních. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 17/56 Racionální čísla Číslo a = 1,572 převeďte na obyčejný zlomek. Řešení Využijeme nekonečného periodického opakování: a = 1,572, 100a = 157,272, 100a-a = 99a = 157,272 - 1,572 = 155,7, 1557 _ 173 3 ~ ~99Ô~ ~ 1ÍÔ' Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 □ rS - = 25. září 2025 I <0<\ 18/5 Množina reálných čísel M R = q u q;, kde Qř je množina tzv. iracionálních čísel • M je základní číselná množina. • Reálná čísla zobrazujeme na číselné (reálné) ose. • Každý bod číselné osy je obrazem nějakého reálného čísla Jiří Fišer (MVŠO) PlMEP-01 25. září 2025 19/56 Pro číselné množiny platí: NcNqCZcQcKcC Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 20/56 Ohraničenost (omezenost) číselných množin Určete nej větší a nej menší prvek množiny 111 1 _ f 1 12 23 3 2'4'8'"' |' 2 ~~ 1 2'~2' 3'~3' 4'~4 111 M3 = <{0,1, -l j x/- x Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 □ S1 ~ = 25. záři 2025 21/56 Ohraničenost (omezenost) číselných množin Určete nej větší a nej menší prvek množiny 111 1 _ f 1 12 23 3 2'4'8'"' |' 2 ~~ 1 2'~2' 3'~3' 4'~4 111 M3 = <{0,1, Řešení Množina Mi má největší a nemá nejmenší prvek, M2 nemá nej větší ani nejmenší prvek, M3 má prvek největší i nejmenší. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 21/56 Ohraničenost (omezenost) číselných množin Definice Množina M se nazývá shora omezená o • 3LeR tak, že Vx g M platí x < L. Toto číslo L se nazývá horní odhad (resp. horní závora). Množina M se nazývá zdola omezená o • 3K g K. tak, že Vx g M p/a t/'x > K. Toto číslo K se nazývá dolní odhad (resp. dolní závora). Množina M se nazývá omezená o je omezená shora i zdola. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 22/56 Ohraničenost (omezenost) číselných množin Největší a nejmenší prvek množiny Pokud některý horní odhad množiny M patří do množiny M, pak jej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max/W. Podobně nejmenší prvek množiny M (definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 23/56 Intervaly Definice Va, b E M, a < b, definujeme uzavřený interval (a, b) — {x G M; a < x < b}, otevřený interval (a, b) = {x G R; a < x < b], a podobně (a, b) a (a, b). Všechny tyto intervaly mají délku b — a. Definice • Množinu (a, +oc) = {x G M; x > a} nazývame neomezený interval. • Podobně (a, +oc), (—oo,b), (—00, b). • Množinu R zapisujeme též jako (—00, +00). 1 □ 1 ÚP Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 24/56 Rozšírená reálna osa • Číselnou osu rozšírime o dvě nevlastní čísla: +oc a —oc. Označení rozšírené reálné osy: K* =RU {—oc, +oc}. 9 Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje lépe a jednodušeji pracovat například s limitami posloupností a funkcí. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 25/56 Rozšírená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšírené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na M. • Uspořádání: Vx G K : —oc < x < +oc zvláště OC < +OC (—oc) = +OC (+00) = —oc + oc — OC = +OC. □ g - = 25. září 2025 26/56 Početní operace s nevlastními čísly Úloha Vypočtěte r (-°°) / ^3 /-™ \ 1200! a = +oc • 5 - --- + (-oc)3 • (100 - oo) - Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 27/56 Početní operace s nevlastními čísly r- (-°°) / ^3 /-™ \ 1200! a = +00 • 5 - v o J + (-oc)3 • (100 - 00)-- 3 +oc = oc — (—oc) + (—oc) • (—oc) — 0 = oc + oc + oc — 0 = oc Poznámka z praktických důvodů se někdy píše místo +00 jen oc, takže napr. místo výrazu (+00) + (+00) lze napsat jen oc + oc. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 28/56 Početní operace s nevlastními čísly • Sčítání a odčítání. Vx e K. definujeme ±x + (+oc) = (+oc) ± x = ±x - (-oc) = (+oc) + (+oc) = = (+oc) - (-oc) = +OC, ±x + (—oc) = (—oc) ± x = ±x — (+oc) = (—oc) + (—oc) = = (—oc) — (+oc) = —oc. 9 Nedefinujeme (+oc) - (+oc). (+oc) + (-oc). (-oc) + (+oc). (-oc) - (-oc). Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 29/56 Početní operace s nevlastními čísly • Násobení: Vx g IR, x > 0 definujeme x • (+oc) = (+oc) • x = (+oc) • (+oc) = (—oc) • (—oc) = + x • (—oc) = (—00) • x = (+00) • (—oc) = (—oc) • (+oc) = — Podobně pro x < 0. • Nedefinujeme 0-(+oo), (+00)-0, O-(-oo), (-oc)-O. Jiří Fišer (MVSO) PlMEP-01 25. záři 2025 Početní operace s nevlastními čísly o Dělení: Vx e K. definujeme x x (+oc) (-00) = 0. Pro x > 0 je pro x < 0 je 9 Nedefinujeme +00 —00 -= +00, -= — 00, x +00 X X = — 00, —00 X = +00. +00 +00 x , . . 0 ±oc -, -, atd., — pro žadne x G M, tj. ani - nebo - +00 —00 0 0 0 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 31/56 Početní operace s nevlastními čísly Mocniny: Vr? g N definujeme (+00)" = +oc, (+00)-" = 0, (-oc)" = (-1)" • (+00) • Nedefinujeme (+oo)°, (-00)0, 0°, 1+°°, I"00 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 □ S1 ~ = 25. září 2025 Ohlédnutí za cvičením 1: Absolutní hodnota Klíčová myšlenka: Absolutní hodnota jako VZDÁLENOST Zápis |a| znamená vzdálenost čísla a od nuly na číselné ose. Proto je vždy nezáporná. — 3| = 3 (vzdálenost čísla -3 od 0 je 3) 5| = 5 (vzdálenost čísla 5 od 0 je 5) I V—» *_/ III II u KS I x — 2 = 3 Jak to číst Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 33/56 Ohlédnutí za cvičením 1: Absolutní hodnota Klíčová myšlenka: Absolutní hodnota jako VZDÁLENOST Zápis \a\ znamená vzdálenost čísla a od nuly na číselné ose. Proto je vždy nezáporná. — 3| = 3 (vzdálenost čísla -3 od 0 je 3) 5| = 5 (vzdálenost čísla 5 od 0 je 5) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Na cvičení jste řešili např. |x — 2| = 3. Jak to číst? „Najdi všechna čísla x, jejichž vzdálenost od bodu 2 je přesně 3." Okamžitě vidíme, že řešením musí být x = —1 a x = 5. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 33/56 Absolutní hodnota -5=5, 0=0, 5=5 Definice Absolutní hodnota čísla a g IR se označuje a je definována takto. Va g R = < a pro a > 0, —a pro a < 0. Geometrický význam absolutní hodnoty značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a — b\ (= \b — a|) vzdálenost obrazů čísel a,b na číselné ose. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 34/56 Absolutní hodnota Věta (vlastnosti absolutní hodnoty) Va,beR platí O la > 0, přičemž a = 0 ■<=> a = 0, 0 I -a Q \a + b < a + b O \a-b > a - b Q \ab = a b, + \b\ (trojúhelníkovou nerovnost), O pro b 0 je a ~b Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 35/56 Absolutní hodnota Úloha Řešte nerovnice a rovnici: a) |x-3| < 2, b) 2|x + 2| - 3|x| - 2x > 4, 3 ~ 4 5 3 c) -3--x+-|x + l x-2 =0 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 36/56 Výroková logika Proč se zabýváme logikou v ekonomii? m ŕíťí} \/ F^ppIii n p ho Hííťí} há^rph ífilťrv no m or* ŕ AI\ID CjR r— ■ ■ ■ ■ Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 37, Výroková logika Proč se zabýváme logikou v ekonomii? Logika je základem pro jasné a přesné rozhodování. Pomáhá nám: 9 Formulovat obchodní strategie („Pokud se zvýší poptávka, navýšíme výrobu. ") • Analyzovat data v Excelu nebo databázích (filtry pomocí AND, OR, NOT). • Rozumět podmínkám v modelech a smlouvách {„Pro všechny pobočky platí... „Existuje alespoň jeden trh, kde... ") Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 37/56 Výroková logika Proč se zabýváme logikou v ekonomii? Logika je základem pro jasné a přesné rozhodování. Pomáhá nám: 9 Formulovat obchodní strategie („Pokud se zvýší poptávka, navýšíme výrobu. ") • Analyzovat data v Excelu nebo databázích (filtry pomocí AND, OR, NOT). • Rozumět podmínkám v modelech a smlouvách {„Pro všechny pobočky platí... „Existuje alespoň jeden trh, kde... ") Základní pojmy • Výrok: Tvrzení, o kterém můžeme jednoznačně říci, zdaje pravdivé (1) nebo nepravdivé (0) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 37/56 Výrokové operace Spojujeme jednoduché výroky do složitějších pomocí logických operátorů • Konjunkce (A, AND): Platí oba výroky současně. • Disjunkce (V, OR): Platí alespoň jeden z výroků. o Negace (-■„ NOT): Opak původního výroku. Příklad p: „Zvýšili jsme výdaje na marketing." (1) q: „Prodeje vzrostly o více než 10 %." (1) p A q\ „Zvýšili jsme výdaje na marketing a zároveň prodeje vzrostly." (1) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 38/56 Tabulka pravdivostních hodnot - Cvičení Cvičení pro vás Jak bude vypadat výsledek pro disjunkci (NEBO)? Zkuste si doplnit poslední sloupeček. p q P A q (A) p V g(NEBO) 1 i 1 7 1 0 0 7 0 i 0 7 0 0 0 7 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 39/56 Tabulka pravdivostních hodnot - Cvičení Cvičení pro vás Jak bude vypadat výsledek pro disjunkci (NEBO)? Zkuste si doplnit poslední sloupeček. p q P A q (A) p V g(NEBO) 1 i 1 7 1 0 0 7 0 i 0 7 0 0 0 7 Odpověď na dalším snímku... Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 39/56 Tabulka pravdivostních hodnot - Řešení Správné řešení Disjunkce je pravdivá, pokud je pravdivý alespoň jeden vstup. p q ^p P A q pVq 1 i 0 1 1 1 0 0 0 1 0 i 1 0 1 0 0 1 0 0 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 40/56 Implikace a ekvivalence v rozhodování 9 Implikace (=^>, POKUD...PAK): Z prvního výroku plyne druhý. ► Nepravdivá je pouze v jednom případě: slib (první výrok) byl dán (1), ale nebyl splněn (druhý výrok je 0). ► Příklad: „Pokud ČNB zvýší úrokové sazby (p), pak klesne poptávka po hypotékách (q). " ebo ► Mají Příklad: II \ / ~7 /""J \ / C "\- i |-» f \ i i ľ"x y «-\ \ //"J i \ / f\ -I- y~\ I /"N /"J ľ"\ /""N "I- i orávě tehdv kdvž solní olán orodeiů " Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 41/56 Implikace a ekvivalence v rozhodování 9 Implikace (=^>, POKUD...PAK): Z prvního výroku plyne druhý. ► Nepravdivá je pouze v jednom případě: slib (první výrok) byl dán (1), ale nebyl splněn (druhý výrok je 0). ► Příklad: „Pokud ČNB zvýší úrokové sazby (p), pak klesne poptávka po hypotékách (q). " 9 Ekvivalence PRÁVĚ TEHDY, KDYŽ): Oba výroky platí nebo neplatí společně. ► Mají vždy stejnou pravdivostní hodnotu. ► Příklad: „Firma dosáhne bonusu právě tehdy, když splní plán prodejů. " Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 41/56 Příklad: Jak funguje implikace? Výrok: „ Pokud naše tržby přesáhnou 1 milion (p), dostanete prémie (q)-" p: Tržby > 1M q: Prémie P q Vysvětlení 1 (splněno) 1 (dostali) 1 (Pravda) Slib byl dodržen. 1 rsplněno) 0 (\ ./ i Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 42/56 Příklad: Jak funguje implikace? Výrok: „ Pokud naše tržby přesáhnou 1 milion (p), dostanete prémie (q)-" p: Tržby > 1M q: Prémie p q Vysvětlení 1 (splněno) 1 (splněno) 1 (dostali) 0 (nedostali) / i ■ ■ \ 1 (Pravda) 0 (Nepravda) Slib byl dodržen. Slib byl porušen! Slib nebyl porušen V / 0 (nesplněno) V / D TnpHn<;t^li^ (p re m i e j so u i tak). O 1" 1 II v 1 1 kJ 1 1 ^ kJ y 1 kJ \~J 1 U 1 1 ■ Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 42/56 Příklad: Jak funguje implikace? Výrok: „ Pokud naše tržby přesáhnou 1 milion (p), dostanete prémie (q)-" p: Tržby > 1M q: Prémie p q Vysvětlení 1 (splněno) 1 (dostali) 1 (Pravda) Slib byl dodržen. 1 (splněno) 0 (nedostali) 0 (Nepravda) Slib byl porušen! 0 (nesplněno) 1 (dostali) 1 (Pravda) Slib nebyl porušen (prémie jsou i tak). n ( — ^.__i.~ x.~ ^ D TnpHn<;t^li^ C 1 j U noL..| nAničon L) (nesplněno) 11 kJ 1 1 ^ kJ y 1 kJ \~J 1 U 1 1 ■ Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 42/56 Příklad: Jak funguje implikace? Výrok: „ Pokud naše tržby přesáhnou 1 milion (p), dostanete prémie (q)-" p: Tržby > 1M q: Prémie P q Vysvětlení 1 (splněno) 1 (dostali) 1 (Pravda) Slib byl dodržen. 1 (splněno) 0 (nedostali) 0 (Nepravda) Slib byl porušen! 0 (nesplněno) 1 (dostali) 1 (Pravda) Slib nebyl porušen (prémie jsou i tak). 0 (nesplněno) 0 (nedostali) 1 (Pravda) Slib nebyl porušen. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 42/56 Kvantifikátory: Kolika prvků se tvrzení týká? • Kvantifikátory upřesňují, zda se tvrzení vztahuje na všechny prvky, nebo stačí alespoň jeden. • Existují dva základní typy: ► Obecný kvantifikátor (V): Čteme jako „Pro všechny... ", „Pro každé... ". Vyjadřuje, že tvrzení platí pro všechny prvky dané množiny. ► Existenční kvantifikátor (3): Čteme jako „Existuje alespoň jeden... ". Vyjadřuje, že existuje alespoň jeden prvek, pro který tvrzení platí. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 43/56 Výrok: „Pro všechny naše produkty platí, že jejich prodejní cena je vyšší Obecný kvantifikátor (V) v praxi Výrok: „Pro všechny naše produkty platí, že jejich prodejní cena je vyšší než výrobní náklady." Schematicky: Vx g NašeProdukty : Cena(x) > Náklady(x) i ^) l^\^ n a m n a I ^) d l^\^ 10 u \/ d n i r^) n l^\^ I 10 r a \xd i ^ l\l €i • _ i i aiespon jeoen nas proouKX, jenoz prooejni cena není vyssi nez vyrooni náklady 11 Schematicky 3x g NašeProdukty ■ Cena(x) Náklady(x) í Negace tohoto výroku Co by znamenalo, kdyby původní výrok nebyl pravdivý? Negace: „Existuje alespoň jeden náš produkt, jehož prodejní cena není vyšší než výrobní náklady." Schematicky: 3x g NašeProdukty : Cena(x) < Náklady(x) (Tj. máme prodělečný produkt!) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 44/56 Existenční kvantifikátor (3) v praxi Príklad ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^H Výrok: „Existuje na trhu konkurent, který prodává srovnatelný produkt za nižší cenu." Schematicky: 3/c g Konkurenti : Cena(/c) < NašeCena y » j y r j j k j ■ & ^ ^ ■ ? ľ ^ Schematicky: \/k (E Konkurenti . Cena(/c) ^ Nasedená ^^^nikdoiiejiMev^ Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 45/56 Existenční kvantifikátor (3) v praxi Príklad ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^H Výrok: „Existuje na trhu konkurent, který prodává srovnatelný produkt za nižší cenu." Schematicky: 3/c g Konkurenti : Cena(/c) < NašeCena Negace tohoto výroku Co by znamenalo, kdyby původní výrok nebyl pravdivý? Negace: „Pro všechny konkurenty na trhu platí, že jejich cena není nižší než naše." Schematicky: V/c £ Konkurenti : Cena(/c) > NašeCena (Tj. nikdo není levnější.) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 45/56 Využití kvantifikátorů v matematice a ekonomii 9 V teorii množin: Popisují vlastnosti množin, např. „Pro všechny prvky množiny A platí..." • V důkazech: Umožňují vyjádřit obecná či existenční tvrzení, např. důkaz existence řešení rovnice. • V teorii čísel: Používají se k vyjádření tvrzení o všech číslech nebo existenci konkrétních čísel. • V ekonomii: Klíčové pro definování modelů a podmínek. Např. v teorii her: „Existuje optimální strategie... " nebo v makroekonomii: „Pro všechny spotřebitele platí..." Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 46/56 Cvičení - Analýza složeného výroku Ukol Pojďme společně analyzovat pravdivost tohoto výroku pomocí tabulky: (p^q)A(^rVq) Postup: Rozložíme výrok na části: p, q, r, -ir, p =4> q, -ir V q,... Vytvoříme tabulku pro všechny kombinace pravdivosti p, q, r. Řešení na dalším snímku... Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 47/56 Tabulka pravdivostních hodnot: p q r ->r p ^ q nrV q (p = * q) A (~>r V q) 1 i 1 0 1 1 1 1 i 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 i 1 0 1 1 1 0 i 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Vyhodnocení Vidíme, že celkový výrok je pravdivý jen v 5 z 8 možných případů. Není tedy vždy pravdivý, ani vždy nepravdivý. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 48/56 Tautologie: Výroky, které jsou vždy pravdivé • Tautologie je výroková forma, která je vždy pravdivá, bez ohledu na pravdivost vstupních výroků. o V pravdivostní tabulce má ve výsledném sloupci samé jedničky (1). ► Bud naše firma dosáhne zisku nebo naše firma nedosáhne zisku " ► Foto t\/r7Pní íp locnrkv \/7fh/ nrax/Hivp i V-/ L. V-/ i* v i ^v_* lil j v_* i vy i v_* y V-^ jr |<-/1 u v \»i i v v_* ■ ■J»»| ■IlWÜICT 25. září 2025 49/56 Tautologie: Výroky, které jsou vždy pravdivé • Tautologie je výroková forma, která je vždy pravdivá, bez ohledu na pravdivost vstupních výroků. o V pravdivostní tabulce má ve výsledném sloupci samé jedničky (1). • Příklad: (pV-p) ► „Buď naše firma dosáhne zisku, nebo naše firma nedosáhne zisku. " ► Toto tvrzení je logicky vždy pravdivé. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 49/56 Kontradikce: Výroky, které jsou vždy nepravdivé • Kontradikce (spor) je výroková forma, která je vždy nepravdivá • V pravdivostní tabulce má ve výsledném sloupci samé nuly (0). lad: (p A —ip) j r Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 □ S1 ~ = 25. záři 2025 Kontradikce: Výroky, které jsou vždy nepravdivé • Kontradikce (spor) je výroková forma, která je vždy nepravdivá. • V pravdivostní tabulce má ve výsledném sloupci samé nuly (0). • Příklad: (p A ->p) ► „Naše tržby jsou vyšší než 1 milion a zároveň naše tržby nejsou vyšší než 1 milion. " ► Toto tvrzení je logický nesmysl, nemůže nikdy platit. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 50/56 Co nas ceka prister Preview na cvičení č. 2 Vektory v praxi C íl Na příštím cvičení si osaháte základy operací s vektory. Dnes si ukážeme, proč jsou pro ekonomy tak užitečné a co vás čeká. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 51/56 Co je to vektor? Definice: Vektor si můžeme představit jako uspořádaný seznam čísel Každé číslo v seznamu nazýváme složka vektoru. u = (ui, u2,..., un) reusT-avre si, ze irma prodává t- uruny zdozi. její uenni proueje na jeune 8 ) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 52/56 Co je to vektor? Definice: Vektor si můžeme představit jako uspořádaný seznam čísel Každé číslo v seznamu nazýváme složka vektoru. u = (ui, u2,..., un) Příklad z praxe Představte si, že firma prodává 4 druhy zboží. Její denní prodeje na jedné pobočce můžeme zapsat jako vektor: kusů 1. zboží kusů 2. zboží kusů 3. zboží kusů 4. zboží Tento jediný objekt (vektor) v sobě nese více informací najednou Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 52 Základní operace s vektory 1. Sčítání vektorů (musí mít stejný počet složek) Sčítáme jednoduše "složku po složce". Příklad: Celkové prodeje ze dvou poboček. pl = (6,0,3,8) Ä = (10,11,0,1) Pcelkem = Pi + Pi = (6 + 10,0 + 11,3 + 0,8 + 1) = (16,11,3,9) I ✓ VI I v I I i x L. x J x vXl 2 (10,5,8) (20,10,16) I Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 53/56 Základní operace s vektory 1. Sčítání vektorů (musí mít stejný počet složek) Sčítáme jednoduše "složku po složce". Příklad: Celkové prodeje ze dvou poboček. p1 = (6,0,3,8) Ä = (10,11,0,1) Pcelkem = Pi + Pi = (6 + 10,0 + 11,3 + 0,8 + 1) = (16,11,3,9) 2. Násobení vektoru číslem (skalárem) Každou složku vektoru vynásobíme daným číslem. Příklad: Chceme zdvojnásobit výrobu. 2 • (10,5,8) = (20,10,16) Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. září 2025 53/56 Klíčová operace: Skalární součin Skalární součin nám umožňuje elegantně propojovat dva vektory (např. množství a ceny) a jeho výsledkem je jedno číslo (skalár). Definice: Vynásobíme odpovídající si složky a výsledky sečteme. u = (ui, u2, u3) v = (vi, v2, v3) J • V = L/i • V\ + U2 • V2 + U3 • V3 1-2 + 2- 0 + 3- (-l) = 2 + 0 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 54/56 Klíčová operace: Skalární součin Skalární součin nám umožňuje elegantně propojovat dva vektory (např. množství a ceny) a jeho výsledkem je jedno číslo (skalár). Definice: Vynásobíme odpovídající si složky a výsledky sečteme. u = (ui, u2, u3) v = (vi, v2, v3) J • V = L/i • V\ + U2 • V2 + U3 • V3 Príklad (1, 2,3) • (2,0, -1) = 1 • 2 + 2 • 0 + 3 • (-1) = 2 + 0- 3 =-1 Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 54/56 Praktická ukázka: Výpočet zisku Firma má pro 4 druhy zboží následující zisky za kus: • Vektor zisků: z = (5, 8,10, 6) Na první pobočce se prodalo: • Vektor prodejů: pí = (5,6,0,22) Spočítáme skalární součin vektorů z a oi" Ziski = z • pi — /'c o in a\ /'c a n oo\ = 5- 5 + 8- 6 +10- 0 + 6-22 Praktická ukázka: Výpočet zisku Firma má pro 4 druhy zboží následující zisky za kus: • Vektor zisků: z = (5, 8,10, 6) Na první pobočce se prodalo: • Vektor prodejů: pi = (5,6,0,22) Jaký byl zisk na 1. pobočce? Spočítáme skalární součin vektorů za p\\ Ziski = z • pi = (5,8,10,6)-(5,6,0,22) = 5- 5 + 8- 6 +10- 0 + 6-22 = 25 + 48 + 0 + 132 = 205 Kč IMIIP|IJ-II-Í-5-*)Uf Shrnutí a co vás čeká Co si odnášíte? • Vektor je uspořádaný seznam čísel, který skvěle reprezentuje data v ekonomii. • Základní operace (sčítání, násobení číslem) jsou intuitivní. • Skalární součin je klíčový nástroj pro výpočty jako jsou celkové náklady, tržby nebo zisk. Na cvičení si vyzkoušíte: • Procvičit všechny dnes uvedené operace. • Řešit praktické úlohy z firemního prostředí. a Definovat, co je a jak se realizuje lineární kombinace vektorů. Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-01 25. záři 2025 56/56