Matematika pro ekonomickou praxi
in Fiser 6. listopadu 2025
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025            1 /36
Definice posloupnosti
Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel:
an : N —± IR, n4an.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
□       g        - =
6. listopadu 2025
Definice posloupnosti
Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel:
an : N —± IR,    n i—>► an.
Grafické znázornění:
• Na vodorovné ose: čísla n e N,
• Na svislé ose: hodnoty an e R.
> n
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 2/36
Definice posloupnosti
Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel:
an : N —± IR,    n i—>► an.
Grafické znázornění:
• Na vodorovné ose: čísla n e N,
• Na svislé ose: hodnoty an e R.
> n
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 2/36
Způsoby zadání posloupnosti
Posloupnost lze zadat několika způsoby: O Výpisem několika prvních členů Q Rekurentně
Q Explicitním vzorcem pro n-tý člen
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
1. Zadání výpisem prvních členů
Příklad:
{an} = {2,4,6,8,10,...}
			J		
					
			J- V 7 8	■	
			6	■	
			4	■	
			2	•	
				12345	
Jiří Fišer (MVŠO)				XLA-08	6. listopadu 2025 4/36
1. Zadání výpisem prvních členů
Příklad:
{an} = {2,4,6,8,10,...}
Pozorování:
9 Z posloupnosti lze často odvodit pravidlo pro další členy. • V tomto případě se členy zvyšují o 2.
1. Zadání výpisem prvních členů
Příklad:
{an} = {2,4,6,8,10,...}
Pozorování:
9 Z posloupnosti lze často odvodit pravidlo pro další členy. • V tomto případě se členy zvyšují o 2. Grafické znázornění:
a
n
10
8 6 4 2
12345
- n
2. Rekurentní zadání
Posloupnost je určena vztahem mezi členy: a počátečním členem a\. Příklad:
a\ = 1,   an+\ = an + 2
ai + 2 = 3 a2 + 2 = 5
1 + 2(n - 1)
c63
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
2. Rekurentní zadání
Posloupnost je určena vztahem mezi členy: a počátečním členem a\. Příklad:
d\ = 1)     ďn+l = an + 2
ai + 2 = 3 a2 + 2 = 5
1 + 2(n - 1)
c63
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
2. Rekurentní zadání
Posloupnost je určena vztahem mezi členy: a počátečním členem ai. Příklad: Výpočet prvních členů:
cil — 1
a2 = ai + 2 = 3 «3 = «2 + 2 = 5
■
■
■
an = 1 + 2(n - 1)
3. Explicitní vzorec pro n-tý clen
Posloupnost je určena vzorcem:
_ 1
n
1
..=1=1
i
a2 = - = _ 1
(2.^ — ~7 ~ 0,333 3
3. Explicitní vzorec pro n-tý člen
Posloupnost je určena vzorcem:
an = f(n)
Příklad:			an —	1 n	
Vi/nnčpt nrwníph čl	^\ ^% 11 ■ 1 ^71 1 U ■				
					
		CL\	~ T ~ i		
			1		
		a3	- rs^ - — r>o 3		
					< □ ► < g ► <     ► < -ž ►     š O^O
Jiří Fišer (MVŠO)			XLA-08		6. listopadu 2025 6/36
3. Explicitní vzorec pro n-tý clen
Posloupnost je určena vzorcem:
Příklad:
Výpočet prvních členů:
«n = f(n)
_ 1
n
1
ai — — — 1 1
1
a2 = - = 0,5 1
a3 = - « 0,333
3. Explicitní vzorec pro n-tý člen
Grafické znázornění:
» n
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XLA-08	6. listopadu 2025	7/36
Shrnutí způsobů zadání
Výhody a nevýhody jednotlivých způsobů:
• Výpisem prvních členů:
► Jednoduché, ale neumožňuje určit obecný člen přímo.
• Rekurentně:
► Umožňuje definovat složité posloupnosti, ale pro výpočet an je třeba znát všechny předchozí členy.
• Explicitním vzorcem:
► Přímý výpočet libovolného členu, vhodné pro analýzu chování při
n —)> oo.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Základní vlastnosti posloupností
Každou posloupnost lze zkoumat z hlediska: O Monotónnosti Q Omezenosti Q Chování pro n -> oo
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Monotónnost posloupností
Definice: Posloupnost {an} je:
• Rostoucí, pokud platí Vn e N : an+1 > an.
• Klesající, pokud platí Vn e N : an+i < an.
• Nemonotónní, pokud není ani rostoucí, ani klesající.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Příklady monotónnosti
Příklad 1: Posloupnost {an} = {n}
• Každý další člen je o 1 větší než předchozí: an+i =an + l.
• Posloupnost je rostoucí.
■ r r
r ~\
Příklady monotónnosti
Příklad 1: Posloupnost {an} = {n}
• Každý další člen je o 1 větší než předchozí: an+i = an + 1
• Posloupnost je rostoucí.
Příklad 2: Posloupnost {bn} =
• Každý další člen je menší než předchozí: &n+i
• Posloupnost je klesající.
n+l n
r "i
{(-l)n)
□ S> - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
Příklady monotónnosti
Příklad 1: Posloupnost {an} = {n}
• Každý další člen je o 1 větší než předchozí: an+1 =an + l.
• Posloupnost je rostoucí.
9 Každý další člen je menší než předchozí: &n+i = ^ < ± = b
• Posloupnost je klesající. Příklad 3: Posloupnost {cn} = {(-l)n}
• Hodnoty střídají 1 a -1.
• Posloupnost je nemonotónní.
□ fiP       I 1 M * ►
6. listopadu 2025
11/36
Grafické znázornění monotónnosti
Rostoucí posloupnost
{an} = {n}:
n Klesající posloupnost
Omezenost posloupností
Definice: Posloupnost {an} je: 9 Omezená shora, pokud existuje reálné číslo M, že
Vn G N : an < M.
a Omezená zdola, pokud existuje reálné číslo m, že
Vn G N : an > m.
9 Omezená, pokud je omezená shora i zdola.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Příklady omezenosti
Příklad 1: Posloupnost {an} =
• an > 0 pro všechna n.
• Omezená zdola nulou.
• Největší hodnota je a\ = 1, takže Vn : an < 1. a Omezená shora jedničkou.
• Posloupnost je omezená.
■ r" ^ Tl J        t J
□ i5P
Příklady omezenosti
Příklad 1: Posloupnost {an} = |^|
• an > 0 pro všechna n.
• Omezená zdola nulou.
• Největší hodnota je ai = 1, takže Vn : an < 1. a Omezená shora jedničkou.
• Posloupnost je omezená. Příklad 2: Posloupnost {bn} = {n}
9 Hodnoty bn neomezeně rostou.
• Není omezená shora.
• Je omezená zdola, např. bn > 1 pro n > 1.
• Posloupnost je omezená zdola, ale neomezená shora.
□       [5P ► < s
Chování posloupností pro n -» oc
Konvergence a divergence:
• Posloupnost {an} konverguje k číslu L, pokud:
lim an — L
• Posloupnost {an} diverguje, pokud limitu nemá nebo je ±00.
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 15/36
Příklady chování pro n oo
Příklad 1: Posloupnost {an} =
• limn^oo i = 0
• Posloupnost konverguje k 0.
= w
«n = oo
říkldd 3. Posloupnost {cn}
■    ■ ■ ■      r   ■ ■ ■ ■ ■
■oo.
L V      / J
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 16/36
Příklady chování pro n -> oc
Příklad 1: Posloupnost {an} = |^
• lim^oo i = 0
• Posloupnost konverguje k 0. Příklad 2: Posloupnost {&n} = {n}
• limn^oo n = oo
• Posloupnost diverguje k +oo.
Příklady chování pro n -> oc
Příklad 1: Posloupnost {an} =
• Posloupnost konverguje k 0.
Příklad 2: Posloupnost {bn} = {n}
• limn^oo n = oo
• Posloupnost diverguje k +oo. Příklad 3: Posloupnost {cn} = {(-l)n}
• Posloupnost střídá hodnoty 1 a -1. a Limitní hodnota neexistuje.
• Posloupnost diverguje.
9 lim
0
n
Shrnutí základních vlastností
• Monotónnost určuje, zda posloupnost roste, klesá nebo se chová jinak.
• Omezenost určuje, zda hodnoty posloupnosti leží v nějakém intervalu.
• Chování pro n    oo informuje o limitním chování posloupnosti.
■ _ i   _ i ■ i__ ^i.^.
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 17/36
Shrnutí základních vlastností
• Monotónnost určuje, zda posloupnost roste, klesá nebo se chová jinak.
• Omezenost určuje, zda hodnoty posloupnosti leží v nějakém intervalu.
• Chování pro n    oo informuje o limitním chování posloupnosti.
Poznámka: Tyto vlastnosti jsou důležité pro analýzu posloupností a jejich aplikace v matematice a ekonomii.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Definice aritmetické posloupnosti
Aritmetická posloupnost (AP) je posloupnost, ve které je rozdíl mezi po sobě jdoucími členy konstantní.
ti
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
□ S
6. listopadu 2025
18/36
Definice aritmetické posloupnosti
Aritmetická posloupnost (AP) je posloupnost, ve které je rozdíl mezi po sobě jdoucími členy konstantní.
• Rekurentní zadání:
an+l — an + d
kde d je diference (konstantní rozdíl).
• Explicitní vzorec pro n-tý člen:
an — a\ + (n — l)d
Součet prvních n členů:
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-08	6. listopadu 2025 18/36
Grafické znázornění aritmetické posloupnosti
a
n
6 -5 -4 -3
2 - "
1
h—i—i—i—i—i—> n 1  2  3 4 5 6
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XLA-08	6. listopadu 2025	19/36
Grafické znázornění aritmetické posloupnosti
a
n
6 -5 -4 -3
2 - "
1
h—i—i—i—i—i—> n 1  2  3 4 5 6
Poznámka: Grafem aritmetické posloupnosti jsou body ležící na přímce.
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XLA-08	6. listopadu 2025	19/36
Příklad aritmetické posloupnosti
Příklad: Mějme aritmetickou posloupnost sai = 5 a d — 3
CL\ =			
(12 =	a\ + d =	5 + 3 =	= 8
a3 =	Cl2 + d =	8 + 3 =	
(24 =	as + d =	11 + 3	= 14
a5 =	CI4 + d =	14 + 3	= 17
	= 5 + (n -	- 1) -3	= 3n + 2
S5 = 2^ai + a5)
^(5 +
')    - • 22 2
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
20/36
Příklad aritmetické posloupnosti
Příklad: Mějme aritmetickou posloupnost s a\ = 5 a d = 3, • Výpočet prvních pěti členů:
CL\ —	5		
(12 =	CL\ + d =	5 + 3 =	= 8
a3 =	Cl2 + d =	8 + 3 =	= 11
(24 =	as + d =	11 + 3	= 14
a5 =	CI4 + d =	14 + 3	= 17
	= 5 + (n -	- 1) -3	= 3n + 2
Součet prvních pěti členů:
S5 = ^(ai + a5) = ^(5 + 17) = ^ • 22 = 55
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
20/36
Aplikace: Rostoucí úspory
Úloha: Osoba si každý měsíc odkládá o 50 Kč více než předchozí měsíc. První měsíc uložila 200 Kč. Kolik celkem ušetří (bez úročení) za 12 měsíců?
► a\ — 200 Y
► d = 50 Kč
12
S12 = — (al + a12)
2-
ai2 = ai + (12 - l)d = 200 + 11 ■ 50 = 200 + 550 = 750 Kč
+.
^12 —
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
21 /36
Aplikace: Rostoucí úspory
Úloha: Osoba si každý měsíc odkládá o 50 Kč více než předchozí měsíc. První měsíc uložila 200 Kč. Kolik celkem ušetří (bez úročení) za 12 měsíců?
• Identifikace posloupnosti:
► ai = 200 Kč
► d = 50 Kč
12
• Výpočet součtu:   Si2 = — (ai + ai2)
Nejprve spočítáme a12:
«12 = ai + (12 - l)d = 200 + 11 • 50 = 200 + 550 = 750 Kč
+.
Sl2 —
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
21 /36
Aplikace: Rostoucí úspory
Úloha: Osoba si každý měsíc odkládá o 50 Kč více než předchozí měsíc. První měsíc uložila 200 Kč. Kolik celkem ušetří (bez úročení) za 12 měsíců?
• Identifikace posloupnosti:
► ai = 200 Kč
► d = 50 Kč
12
• Výpočet součtu:   Si2 = — (ai + ai2) Nejprve spočítáme ai2:
«12 = ai + (12 - l)d = 200 + 11 • 50 = 200 + 550 = 750 Kč
+.
Sl2 —
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
21 /36
Aplikace: Rostoucí úspory
Úloha: Osoba si každý měsíc odkládá o 50 Kč více než předchozí měsíc. První měsíc uložila 200 Kč. Kolik celkem ušetří (bez úročení) za 12 měsíců?
• Identifikace posloupnosti:
► ai = 200 Kč
► d = 50 Kč
12
• Výpočet součtu:   Si2 = — (ai + ai2) Nejprve spočítáme ai2:
«12 = ai + (12 - l)d = 200 + 11 • 50 = 200 + 550 = 750 Kč Pak součet:   S12 =    (200 + 750) = 6 • 950 = 5 700 Kč
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Definice geometrické posloupnosti
Geometrická posloupnost (GP) je posloupnost, ve které je podíl po sobě jdoucích členů konstantní.
an+i = an- q
^1 J
an = ai • q
n—l
Sn a\
l-qn 1-9
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
22/36
Definice geometrické posloupnosti
Geometrická posloupnost (GP) je posloupnost, ve které je podíl po sobě jdoucích členů konstantní.
• Rekurentní zadání:
kde q je kvocient.
• Explicitní vzorec pro n-tý člen:
an = m • q
n—l
• Součet prvních n členů (pro q ^ 1):
Sn = a\
l-qn 1-9
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
22/36
Grafické znázornění geometrické posloupnosti
a
n
16 --
12 --
8 --
4 --
0
i i i i i > n 1 2 3 4 5
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
□     ůp      - -
6. listopadu 2025
Příklad geometrické posloupnosti
Příklad: Mějme geometrickou posloupnost s a\ = 3 a q = 2.
ai	= 3				
a2	= ai	• g =	3-	2 =	= 6
a3	= a2	• Q =	6-	2 =	= 12
a4	= a3	■ Q =	12	• 2	= 24
	= a4	■ Q =	24	• 2	= 48
Cin	= 3-	2n-l			
£5 3
1-25
1 — 9
= 3-
1-32 -1
1 "31
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
24/36
Příklad geometrické posloupnosti
Příklad: Mějme geometrickou posloupnost s a\ = 3 a q = 2, • Výpočet prvních pěti členů:
	= 3				
	= CL\	• g =	3-	2 =	= 6
a3	= CL2	• g =	6-	2 =	= 12
	= a3	• g =	12	• 2	= 24
	= CL4	• Q =	24	• 2	= 48
an	= 3-	2n-l			
• Součet prvních peti clenu:
1 - 25 1-32 S5 = 3---- = 3--— = 3
1-2
-1
-31
= 93
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
24/36
Aplikace: Úročení kapitálu
Úloha: Na účet vložíme 5 000 Kc s roční úrokovou sazbou 5%. Kolik budeme mít na účtu po 6 letech, pokud jsou úroky připisovány jednou ročně (na konci roku)?
► a\ —
r nr\|
► q    1 +
100
J I
J l
6-1
ciq = cli • q
6     al —
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
25/36
Aplikace: Úročení kapitálu
Úloha: Na účet vložíme 5 000 Kč s roční úrokovou sazbou 5%. Kolik budeme mít na účtu po 6 letech, pokud jsou úroky připisovány jednou ročně (na konci roku)?
• Identifikace geometrické posloupnosti:
► ai = 5000 Kč
* ? = 1 + T5Ď = 1'05
• Výpočet částky po 6 letech:
a6 = ai ■ q6'1 = 5 000 • 1,055 « 5 000 • 1,27628 « 6 381,41 Kč
• Celkový úrok:
Úrok = a6 - ai = 6 381,41 - 5 000 = 1381,41 Kč
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Složené úročení
Poznámka: Při častějším připisování úroků se používá složené úročení.
an = ai (1 + l) n
► aij
► r je
IL IG
(r = 0,04)
(i+äf)
r    _ o') c rořní q^7l
i   y /1 - J  \J  i wv^i
^ 2n
= ai • 1
Jiří Fišer (MVSO)
□      ůp      - -
XLA-08
6. listopadu 2025
Složené úročení
Poznámka: Při častějším připisování úroků se používá složené úročení.
• Vzorec pro částku po n letech při k úročeních ročně:
► ai je počáteční vklad,
► r je roční úroková sazba (v desetinném vyjádření),
► k je počet úročení za rok,
► n je počet let.
o Příklad: Při pololetním úročení (k = 2)s roční sazbou 4%
(r = 0,04):
□    g    - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Aplikace: Pololetní úročení
Úloha: Vložíme 10 000 Kč na účet s roční úrokovou sazbou 4%, úroky jsou připisovány pololetně. Kolik bude na účtu po 3 letech?
► ai = 10 000 Kč
► r = 0,04
► k = 2
*■ Počet období- n — 3 rokv x 2 — 6
/ 0,0
v1 + ^"
Urok = ae - ai = 11261,62 - 10 000 = 1261
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Aplikace: Pololetní úročení
Úloha: Vložíme 10 000 Kč na účet s roční úrokovou sazbou 4%, úroky jsou připisovány pololetně. Kolik bude na účtu po 3 letech?
• Parametry:
► oi = 10000 Kč
► r = 0,04
► k = 2
► Počet období: n = 3 roky x 2 = 6
• Výpočet:
6
11261,62 Kč
• Celkový úrok:
Urok = a6 - ai = 11261,62 - 10 000 = 1261,62 Kč
□ - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Shrnutí
• Aritmetická posloupnost:
► Konstantní diference d
► Lineární růst nebo pokles
• Geometrická posloupnost:
► Konstantní kvocient q
► Exponenciální růst nebo pokles
• Aplikace v praxi:
► Finanční matematika (úroky, investice)
► Ekonomické modely (růst populace, inflace)
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Daňové zatížení úroků
Zdanení úroku ovlivňuje konečný zůstatek na úctu
■      v, r      i v
i '
	r			r	r					
•>				•>						
1    i ■			1	1	v		r	1 °		
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
29/36
Daňové zatížení úroků
Zdanení úroku ovlivňuje konečný zůstatek na úctu: a Hrubý úrok je úrok před zdaněním.
• Čistý úrok je úrok po odečtení daně.
Čistý úrok = Hrubý úrok x (1 - sazba daně)
• V České republice je sazba daně z úroků 15%.
□   g    - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
Příklad: Vliv daně na úročení
Navážeme na poslední příklad z předchozí kapitoly: Připomenutí předchozího příkladu
Vložíme 10 000 Kč na účet s roční úrokovou sazbou 4%, úroky jsou připisovány pololetně. Po 3 letech máme na účtu:
/     0 04\2x3 an = 10000 í 1 + -^-j     « 11261,62 Kč
Otázka- .lak qp ympní yŮQtotpk nnknrl íp nrnk rian&n Qpyhnn 15%?
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Příklad: Vliv daně na úročení
Navážeme na poslední příklad z předchozí kapitoly: Připomenutí předchozího příkladu
Vložíme 10 000 Kč na účet s roční úrokovou sazbou 4%, úroky jsou připisovány pololetně. Po 3 letech máme na účtu:
Otázka: Jak se změní zůstatek, pokud je úrok daněn sazbou 15%?
2x3
11261,62 Kč
□    g    - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Řešení příkladu s daní
Postup:
O Spočítáme úroky za každé období a zdaníme je. O Připisujeme zdaněné úroky k jistině.
: i = ^ = 0,02
: kn = 6
an = ax (1 + i x (1 - 0,15))fen = 10 000 (1 + 0,02 x 0,85)°
an = 1
(1 + 0,017)6 = 10 000 x 1,017°
D x 1,107 « 11070 Kč
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025 31 /36
Řešení příkladu s daní
Postup:
O Spočítáme úroky za každé období a zdaníme je. O Připisujeme zdaněné úroky k jistině. Výpočet:
• Úroková sazba na období: i = ^ = 0,02 o Počet období: kn = 6
vypočet zustaiKu po o ODOODicn:
an = ai (1 + i x (1 - 0,15))fen = 10 000 (1 + 0,02 x 0,85)6 an = 10 000 (1 + 0,017)6 = 10 000 x 1,0176 « 10 000 x 1,107 « 11070 Kč
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Řešení příkladu s daní
Postup:
O Spočítáme úroky za každé období a zdaníme je. O Připisujeme zdaněné úroky k jistině. Výpočet:
• Úroková sazba na období: i = ^ = 0,02 o Počet období: kn = 6 Výpočet zůstatku po 6 obdobích:
an = a1(l + ix(l- 0,15))fen = 10 000 (1 + 0,02 x 0,85)6 an = 10 000 (1 + 0,017)6 = 10 000 x 1,0176 w 10 000 x 1,107 w 11070 Kč
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Výsledek a srovnání
Zůstatek po zdanení: 11070 Kc
11 261 62 Kč — 110
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
32/36
Výsledek a srovnání
Zůstatek po zdanění: 11070 Kč Rozdíl oproti nezdaněnému úroku
11261,62 Kč - 11070 Kč = 191,62 Kč
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
32/36
Výsledek a srovnání
Zůstatek po zdanění: 11070 Kč Rozdíl oproti nezdaněnému úroku
11261,62 Kč - 11070 Kč = 191,62 Kč
Závěr: Daň z úroků snížila konečný zůstatek o 191,62 Kč.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
32/36
Výpočet počátečního vkladu
Cíl: Chceme zjistit, kolik musíme dnes vložit, abychom po n letech měli požadovanou částku. Využití geometrické posloupnosti:
.n
Výpočet počátečního vkladu
Cíl: Chceme zjistit, kolik musíme dnes vložit, abychom po n letech měli požadovanou částku. Využití geometrické posloupnosti:
• Použijeme vzorec:
79
CLn = dl • q
• Přeskládáme rovnici pro výpočet a\\
Cin
Výpočet počátečního vkladu
Cíl: Chceme zjistit, kolik musíme dnes vložit, abychom po n letech měli požadovanou částku. Využití geometrické posloupnosti:
• Použijeme vzorec:
77
an = cil'q
* Přeskládáme rovnici pro výpočet a\\
a
a\ —
n
Kde:
• an je cílová částka,
• q — 1 + úroková sazba.
n
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
□ S1
6. listopadu 2025
Příklad: Výpočet počátečního vkladu
Úloha: Kolik musíme dnes vložit na účet s roční úrokovou sazbou abychom po 5 letech měli 20 000 Kč? Řešení:
o
í\ rif
r = 0,05
IX.
\t:q = l + r = 1,05
n = 5
Cin
CL\ —
1,055
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
34/36
Příklad: Výpočet počátečního vkladu
Úloha: Kolik musíme dnes vložit na účet s roční úrokovou sazbou abychom po 5 letech měli 20 000 Kč? Řešení:
• Úroková sazba: r = 0,05
• Kvocient: q = 1 + r = 1,05
• Cílová částka: an = 20 000 Kč
• Počet let: n = 5
o
a\ —
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
34/36
Příklad: Výpočet počátečního vkladu
Úloha: Kolik musíme dnes vložit na účet s roční úrokovou sazbou 5%, abychom po 5 letech měli 20 000 Kč? Řešení:
• Úroková sazba: r = 0,05
• Kvocient: q = 1 + r = 1,05
• Cílová částka: an = 20 000 Kč
• Počet let: n = 5 Výpočet počátečního vkladu:
a
n
20 000
20000
15 674,12 KČ
a\ —
n
1,055
1,27628
□        S> - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Ověření výsledku
Kontrola:
an = 01 • qn = 15 674,12 x 1,055 « 15 674,12 x 1,27628 « 20 000 KČ
I        I I     ^áJ Vy   V/ Vy Vy     I    »■
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-08
6. listopadu 2025
35/36
Ověření výsledku
Kontrola:
an = ai • qn = 15 674,12 x 1,055 « 15 674,12 x 1,27628 « 20000 KČ rróHMOTOKČ6 dn6S V'°ŽÍt PřlbhŽně ^ 6?4'12 KČ' abyCh0m Za 5 ,et
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Shrnutí kapitoly
• Daňové zatížení úroků snižuje konečný zůstatek na účtu.
• Výpočet počátečního vkladu umožňuje plánovat finanční cíle.
/ r\kn
an = ai +
CL\ —
0- + Í)
ief = i x (1 -
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08
Shrnutí kapitoly
• Daňové zatížení úroků snižuje konečný zůstatek na účtu.
• Výpočet počátečního vkladu umožňuje plánovat finanční cíle. Důležité vzorce:
• Konečný zůstatek s úročením:
a
• Počáteční vklad pro cílovou částku:
a
n
a\ —
kn
• Úprava úrokové sazby po zdanění:
ief = i x (1 - sazba daně)
□   g    - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-08