Matematika pro ekonomickou praxi
Jiri Fiser
30. října 2025
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
1 /27
• V dnešní přednášce se vrátíme k soustavám lineárních rovnic.
• Již známe:
► obecnou (Gaussovu) metodu jejich řešení
► a pro čtvercové" soustavy Cramerovo pravidlo, kdy jsou jednotlivé složky řešení vyjádřeny jako podíly dvou determinantů,
• Dnes u čtvercových" zůstaneme: soustavy n rovnic o n neznámých
anxi H-----\-alnxn   = &i,
se (čtvercovou) maticí soustavy
/&11 CL\2 0*21 a22
n
\ani an2
o plné hodnosti n.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
din &2n
\
a
nn /
30. října 20Í
Z Frobeniovy věty víme, že v tomto případě, kdy
h(A) = h(AR) = rc,
máme zajištěnu existenci právě jednoho řešení
Ukážeme si dva prístupy, jak toto resení získat:
1) pomocí Cramerova pravidla, kdy jsou jednotlivé složky řešení vyjádřeny jako podíly dvou determinantů,
2) pomocí inverzních matic.
□    g    - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
3/27
Základní operace s maticemi
Součin čísla a a matice A:
a A = (occiij)
(každý prvek matice A vynásobíme číslem a, výsledkem je opět matice typu (m,n)).
Násobení matice číslem
íi -A
\
o i
3 -2
/2-1 2-(-l)\
2-0 2-1 ^2-3 2-(-2)y
(2 -2\ 0 2
6 -4
\
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
• Součet matic A a B typu (m, n):
A + B = (aij + bij)
(sčítáme podle pozic po prvcích (jako u součtu vektorů), výsledkem je opět matice typu (m, n), matice A a B musí být stejného typu).
Sčítání matic
6 2 7 \ Í2 5 -l\ _ /6 + 2 2 + 5 7-1 \ _ /8 7 6 1   4   -2y) + lv3   -8    oJ~(vl + 3   4-8   -2 + 0y     \4   -4 -2
• Pro matice A, B, které jsou typu (m,n), nulovou matici Omn a a,/3 e R platí
1) A + B = B + A,
2) A -h Omn — A,
3) a(0A) = (aP)A.
Násobení matic: Nechí A = (a^) je matice typu (m, n) a B = (bij)]e typu (n,p).
Potom matici C = (c^-) typu (m, p), pro kterou platí
označujeme A B a nazýváme součinem matice A a matice B (v tomto pořadí).
► Prvek aj vzniká vynásobením i-tého řádku matice A s j-tým sloupcem matice B.
► K tomu je potřeba, aby tento i-tý řádek a tento j-tý sloupec měly stejný počet prvků.
► Proto musí platit, že matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců.
► Výsledná matice má pak tolik řádků, kolik jich má matice A, a tolik sloupců, kolik jich má matice B.
Úloha (Násobení matic)
Vypočtěte A •B pro matice A =
l -l
a B =
10-1 3-12
Řešení.
Matice A má dva sloupce a matice B dva řádky, součin A • B tedy existuje. Výsledná matice bude mít dva řádky (=počet řádků matice A) a tři sloupce (=počet sloupců matice B).
A B =
2 3 1 -1
10-1 3-12
2-1 + 3-3       2-0 + 3- (-1) 2-(-l)+3-2 1 •! + (-!)-3   1-0+(-1) • (-1)   1 •(-!) + (-!)-2
11 -3 4 -2    1 -3
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. října 2025
7/27
• V předchozím případě nelze vypočítat B • A, neboí matice B má jiný počet sloupců (3) než má matice A řádků (2).
• Necht A, B, C jsou matice a E je jednotková matice (vhodného rozměru). Potom každá z rovností
1) A • E = A,
2) E • A = A,
3) (A + B)-C = A-C + B-C,
4) A(B + C) = A B + A C,
5) A • (B • C) = (A • B) • C,
platí, pokud mají příslušné operace smysl.
[31 ► < š 1      =        -š    -O Q, O
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 2025
Inverzní matice
Necht A a B jsou čtvercové matice typu (n, n). Jestliže platí
AB = BA = E
n-)
potom B nazýváme inverzní matici k matici A a značíme ji A
-i
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
9/27
Regulární a singulární matice
9 Nechí A je čtvercová matice typu (n, n).
► Jestliže
► Jestliže
pak A nazývame regulární maticí.
pak A nazývame singulární maticí
• Nechí je dána čtvercová matice A typu (n, n). Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:
1) A je regulární {h(A) = n),
2) detA^O,
3) k matici A existuje inverzní matice A~\
4) matici A lze převést pomocí konečně mnoha ekvivalentních úprav na jednotkovou matici En.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
10/27
A-A-1 =
-i
• A =
/l 2	-A		ŕ i	0	
2 0	i		i 4	1 2	3 4
V "2				1	"1/
í\ 0	1 N	/l		2	-l\
i i 4 2	3 4		2	0	1
\-i i			V1	-2	
	0	
0	1	0
	0	1/
	0	
0	1	0
\o	0	1/
Je-li A-1 inverzní k A, potom je i A inverzní k A
AA"1 = A_1A = E„.
-i
tj
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
11/27
Výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav
• Zapíšeme danou (regulárni) matici A ve dvojici s En:
(A|En) =
/ «11 a\2
«21 «22
«ln «2n
\ «nl an2
a
nn
i o o i
o \
o
0   0   ... 1
/
• Nyní pomocí ekvivalentních úprav (kromě přehazování sloupců) převedeme A na jednotkovou matici En, přičemž stejné úpravy budeme vždy aplikovat i na pravou část matice (za svislou čarou).
• V okamžiku, kdy se vlevo objeví En, vpravo získáme A-1:
(A|En) =
/ «11 «12
«21 «22
«ln «2n
\ «nl «n2
a
Jiří Fišer (MVSO)
nn
XLA-05
1 0 0 1
o \
o
o o
1
r^j • • • r^j
En A
-i
/
30. října 20Í
12/27
Výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav
íl    2 -l\
Určete inverzní matici A-1 k matici   A =
\
2 0 1 1-2 1
/
• Zapíšeme matici (A,E3) =
12-1
0
1
V
1-2 1
1 0 0 \ 0   1 0
o o i y
Pomocí ekvivalentních úprav (kromě přehazování sloupců)
► převedeme A na jednotkovou matici En,
► přičemž stejné úpravy budeme vždy aplikovat i na pravou část matice (za svislou čarou).
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
13/27
Výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav
(A, E3) =
				
		f 1		2
		0		-4
		^°		0
	f 1		2	0
		0	1	0
	\	0	0	1
/1
2 1
2 0
-2
-1 1 1
1 0 0
-1 3
-1 0
_i
4
-1
Tedy
A-x =
1
-2 1
1
1
2 1
3
4
1
0
1
0
o
0   o \
1 o
-1 1
-1 \
\
í 1 0
V
o
2 -1 -4 3 -4 2
1
-2
-1
/ 1
\
Jiří Fišer (MVSO)
í i	0		
1 4	1 2	3 4	
\ "I	1	"I ^	
XLA-05			
1
4
0
0-4 0 0 0-1
/ 1 0 0 0 10 0   0 1
1
2
0
_l i
4 2 -1 1
\
2 0 -1 2 -4 4
0 1
1 -2 1 -1
1 \
2 *
_3
4
-1 /
2 \
-3
-4/
0
1 0
o\
0
1
-1 \
3
1 /
E3 A"1
30. října 20í
14/27
Provedeme zkoušku: A-A"1 =
/1		2	-1 ^		1		í	2	0	2	\
	2	0	1		1 A			-1	2 -	-3	
v	1 -	-2	1	)	4			-4	4 -	-4	/
1	(1	2		■1 ^			í	2	0	2	\
_l 4	2	0	1					-1	2 -	-3	
4	^1	-2	1		/			-4	4 -	-4	/
1	f 4	0	0 ^			1	' i	0	0 ^		
1 4	0	4	0				0	1	0		E
4		0	4)			\	0	0	1 >		
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
15/27
Řešení soustav LR pomocí inverzních matic
Nechí je dána soustava n rovnic o n neznámých
anXi+CLi2X2-\-----h d\nXn    = 61,
a2\Xi + CL22%2 H-----h &2n%n    = &2j
anixi + an2x2 H-----h &nn^n   = &n-
A =
/ Gll &12
&21 a22
&2n
\
X2
X =
Soustavu lze nyní zapsat pomocí maticové rovnice
Ax = b.
b =
b2
\bn/
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
16/27
Řešení soustav LR pomocí inverzních matic
Jestliže A je regulární matice, pak podle Frobeniovy vety existuje právě jedno řešení soustavy.
Vynásobíme-li rovnici Ax = & maticí A-1 zleva, dostaneme
Ax A~ľAx Enx
x =
b,
A_1&. A_1&.
A_1&.
což dává další možnost určování řešení soustavy.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
17/27
Úloha (Řešení soustavy lin. rovnic pomocí inverzní matice) Pomocí inverzní matice vyřešte soustavu rovnic
X\ + 2x2 - %3
2x\ + xs X\ - 2x2 + xs
-3, 7.
Máme
A =
-1\
\
2 0 1 1-2 1
x —
X2 \X3J
b =
/-3\ 7
\7/
Dále z předchozích příkladů známe inverzní matici
/ i   o   \ \
A-x =
i
4
1
2
3
4
V -i i -i /
1
4
/ 2 -1 -4
\
0 2 4
2 \
-3
"4/
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
18/27
Podle vzorce máme
Tedy
X —
í \   o   \ \
i
4
-1b =		i 4	1 2	-	3 4
		-1	1		1 /
í 2	0	2	\		-3\
-1	2	-3			7
v-4	4	-4	/	V	7/
/-3\ 7
\7/
a; =
/2\ -1
V3/
/2\ -1
\3/
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
19/27
30. října 20Í
Teoretický úvod
• Šifrování pomocí matic spočívá v převodu zprávy na číselné hodnoty a v maticovém násobení.
• Klíčové pojmy:
► Šifrovací matice - matice, kterou násobíme vektor zprávy.
► Inverzní matice - umožňuje dešifrování zprávy, musí existovat, což znamená, že šifrovací matice je regulární (má nenulový determinant).
• Historie:
► Hillova šifra (1929) využívala maticové násobení k šifrování textu, což umožnilo zakódování zprávy jako vektorového řetězce.
► Dnes jsou podobné metody používány v moderní kryptografii, ačkoliv základní maticové šifry jsou již považovány za kryptograficky slabé.
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-05	30. října 2025 20/27
Úvod do šifrování zprávy
Zašifrujte zprávu „Matice jsou užitečné" pomocí matice
A =
Í2   1 l\
4 3 2 2   0 2
\
/
• Pro šifrování je nutné, aby měla šifrovací matice nenulový determinant, tedy aby byla regulární.
• Vzhledem k tomu, že jde o matici 3x3, použijeme Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:
det(A) = 2-3-2 + 4-0-1 + 2-1-2-(1-3-2 + 2-0-2 + 2-1-4) = 2 +- 0.
Matice je tedy regulární a lze ji použít k šifrování.
□ S
5    "O ^ O-
Prirazení číselných hodnot písmenům
• Každému písmenu abecedy priradíme číselnou hodnotu. Diakritiku ignorujeme a písmeno ch vynecháme.
• Znak     představuje mezeru v textu.
• Používáme následující schéma:
0	— -	5	= E	10	= J	15 =	O	20	= T
1	= A	6	= F	11	= K	16 =	P	21	= U
2	= B	7	= G	12	= L	17 =	Q	22	= V
3	= C	8	= H	13	= M	18 =	R	23	= w
4	= D	9	= I	14	= N	19 =	S	24	= x
Číselné vyjádření zprávy (bez diakritiky) je:
13 1 20 9 3 5 0 10 19 15 21 0 21 26 9 20 5 3 14 5
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. října 2025 22/27
Vytvoření matice pro šifrování
• Přepíšeme číselnou reprezentaci zprávy do matice Z tak, aby součin s maticí A existoval.
o Protože je A matice 3x3, musí mít matice Z tři řádky.
• Zprávu přepíšeme po sloupcích a doplníme nulou:
/13  9   0   15  21   20 14\
Z =
\
1
20
3 5
10 19
21 0
26 9
5 3
5 0
/
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. října 2025 23/27
Zašifrování zprávy pomocí maticového násobení
• Vynásobíme šifrovací matici A s maticí Z:
	(*	1	l\	/13	9	0	15	21	20	14\
A Z =	4	3	2 •	1	3	10	21	26	5	5
	^2	0	V	^20	5	19	0	9	3	
• Výsledkem je:
/47 26 29 51 77 48 33\
95 55 68 123 180 101 71
^66 28 38 30 60 46 28y
Přepisem po sloupcích získáme zašifrovanou zprávu jako řetězec čísel.
Odšifrování zprávy pomocí matice
Odšifrujte zprávu
41 55 70 95 41 55 78 107 35 47 20 30 15 20 69 98 41 61 44 59
zašifrovanou maticí
A =
Matice A má determinant 1^0, takže je regulární a má inverzní matici A-1.
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-05	30. října 2025 25/27
Výpočet inverzní matice a dešifrování
• Inverzní matice je:
• Násobíme tuto matici zleva na matici zašifrované zprávy:
3    -2\   Ul   70  41   78   35   20   15   69  41 44 -4    3 J ' \55   95   55   107  47  30   20   98   61 59
Výsledkem je matice s číselnými hodnotami, které pak převedeme na písmena.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. říina2025 26/27
Převod čísel zpět na text
• Přepisem hodnot na písmena podle původního schématu získáme dešifrovanou zprávu:
MATEMATIKA_JE_KRASNA