Matematika pro ekonomickou praxi
Jiri Fiser
23. října 2025
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20í
1 /29
• V dnešní přednášce se vrátíme k soustavám lineárních rovnic.
• Již známe obecnou (Gaussovu) metodu jejich řešení.
• Dnes se zaměříme na soustavy n rovnic o n neznámých,
anXi-\-----\-alnxn   = 61,
se (čtvercovou) maticí soustavy
/&11 CL\2 0*21 a22
\ani an2
din &2n
\
a
nn /
o plné hodnosti n.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
2/29
Z Frobeniovy věty víme, že v tomto případě, kdy
h(A) = h(AR) = rc,
máme zajištěnu existenci právě jednoho řešení
Ukážeme si dva nove prístupy, jak toto resení získat:
1) pomocí Cramerova pravidla, kdy jsou jednotlivé složky řešení vyjádřeny jako podíly dvou determinantů ,
2) pomocí inverzních matic.
□    g    - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
3/29
• Determinant: Každé (pouze) čtvercové matici
A =
/&11 CL\2 0*21 a22
din &2n
\
\an\ an2
a
nn /
typu (n, n) lze přiřadit jisté číslo, kterému říkáme determinant matice A a značíme det A, | A| nebo i přímo
au ai2
^21 a22
&2n
dni    &n2    • • • a
nn
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
Subdeterminant prvku    v matici A:
► je determinant matice, která vznikne z matice A
* vynecháním Hého řádku a j-tého sloupce.
► Značíme A*-.
Úloha
Subdeterminantem prvku 3 v matici
je determinant
B =
V
5 0
B22 -
2\
6
-2
1 2 0 -2
(vynechali jsme druhý řádek a druhý sloupec)
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
Doplněk prvku    v matici A:
Úloha
Doplňkem prvku 3 v matici
	(1	2	2\
B =	5	3	6
		2	-v
je
B22 = (-l)2+2^2 =
1 2
0 -2
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
6/29
Výpočet determinantu
• Křížové pravidlo pro výpočet determinantů matic typu (2,2)
a b
c d
= ad — bc.
Příklady:
20 10 3 2
= 20 • 2 - 10 • 3 = 40 - 30 = 10
0 -1 3 2
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
7/29
Výpočet determinantu
o Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů matic typu (3,3)
a   b c
d   e   f\ = aei + dhc + gbf — ceg — fha — ibd. g   h i
Pomůcka
Příklad:
1 3 0
2 1 0
3 2 3
a
d e 9 h
a b
d
c
f
i c
f
= -\-aei-\-dhc+gbf—ceg- - fha—ibd
= l- l- 3 + 2- 2- 0 + 3- 3- 0-0-l-3-0-2-l-3-3-2
= 3 + 0 + 0-0-0-18 = -15
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
8/29
Výpočet determinantu
• Laplaceova věta pro výpočet determinantů vyšších radů Nechí je dána čtvercová matice A = (a^) typu (n, n).
Potom platí vzorec pro tzv.
► rozvinutí determinantu podle prvků Hého řádku
det A = au Au + ai2Ai2 H-----h ainAin,
► rozvinutí determinantu podle prvků j-tého sloupce
det A = aijAij + a2jA2j H-----h anjAnj.
□    [fp -
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 2025
Pomocí rozvinutí podle prvků druhého řádku vypočtěte
det A =
12 1 2 10 1   -1 -1
Resení.
det A    =    (221^21 + 022^22 + ^23^23
= 2(-l)2+1
2 1 -1 -1
+ l(_l)2+2
1 1 1 -1
+ 0(-l)2+3
1 2 1 -1
=   -2(-l) + l(-2) + 0 = 0.
□
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
10/29
Pomocí rozvinutí podle prvků třetího sloupce vypočtěte
det A =
12 1 2 10 1   -1 -1
Resení.
det A   =   a13A13 + a23^23 + 033^33
= 1(-1)1+3
2 1 1 -1
+ 0(-l)2+3
1 2 1 -1
_l(_l)3+3
1 2
2 1
=   l(-3) + 0-l(-3) = 0.
□
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
11/29
Vlastnosti determinantu
• Jestliže k některému řádku (sloupci) matice přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců), potom se hodnota determinantu nezmění.
1	2	co		1	2	co
co	2	0	—	3	2	0
2	1	6		0	-3	0
(Od třetího řádku jsme odečetli dvojnásobek prvního řádku.)
Vlastnosti determinantu
• Jestliže některý řádek (sloupec) je lineární kombinací zbývajících řádků (sloupců), potom je hodnota determinantu nula.
► Speciální případy: nulový řádek (sloupec), dva stejné řádky (sloupce).
Úloha
3 6 9 12 3 2 16
= 0,
(První řádek je trojnásobkem druhého.)
12 3 3 2 0 0  0 0
= 0.
(Třetí řádek je nulový.)
Vlastnosti determinantu
• Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) reálným číslem a, determinant výsledné matice bude o-násobkem determinantu původní matice.
3	6	9		1	2	co
3	2	0	= 3	3	2	0
2	1	6		2	1	6
(První matice má oproti druhé trojnásobný první řádek.)
Vlastnosti determinantu
• Vyměníme-li v matici A dva řádky (sloupce) a označíme novou matici písmenem B, potom platí:
detB = -det A.
Úloha
1	2	co		CO	2	0
co	2	0	— —	1	2	3
2	1	6		2	1	6
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20í
15/29
Postup při výpočtu determinantu
• Pomocí výše uvedených úprav se snažíme upravit determinant matice typu (n, n) tak, aby měl v některém řádku (sloupci) co nejvíce nul.
a Pokud jsme nedošli k samým nulám (nulový determinant), tak podle tohoto řádku (sloupce) provedeme rozvinutí determinantu, čímž se sníží o jedničku jeho rozměr.
• Tento postup opakujeme tak dlouho, až dojdeme k determinantům matic typu (3,3) (při použití Sarrusova pravidla), nebo (2,2), když chceme použít až křížové pravidlo.
• (Ve vhodném případě můžeme použít i převod na horní A matici.)
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
16/29
Vypočteme
1
-1 1 1
-2
0 0
1
2)
1
2 2
0 1 0 0
0 o
-1 2
1 1 -2 O
^4
-3 1
-2
O
1
-1 3
-2 -1 -3
O 3
-1 -3
5
-1
3
-1 1
-1 1
= 0 + 0 + l(-l)
3+2
1 1
-1 2 1 1 -2 O
-1 3
3 -1
-1 -1
-3 1
+ 0 + 0 =
4
-1 -1 1
3)
0 + 0 + 0 + 4(-l)1+4
\
-1 2 1 1 -2 O
3
-1 -3
\
/
4)
O -3
^4(0 + l(-l)
2+2
-3 5 -2 -3
+ O I = 4(9 + 10) = 76
Popis úprav: 1) Rozvinutí podle druhého sloupce. 2) 1 .ř.-3.ř. 3) Rozvinutí podle prvního řádku. 4) 1 .ř.-2-2.ř. 5) Rozvinutí podle druhého sloupce. 6) Křížové pravidlo. „ Q „
Jiří Fišer (MVSO)
23. října 2025
Determinant horní trojúhelníkové matice
Horní A matice
Matice, která má pod hlavní diagonálou samé nuly.
Determinant horní A matice AA
det AA = au «22 • • • «nn (součin prvků na hlavní diagonále).
1	2	0	5
0	3	2	4
0	0	-1	6
0	0	0	2
= l-3-(-l)-2 = -6
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
23. října 20Í
18/29
Determinant horní trojúhelníkové matice
Převod determinantu na horní A tvar
• Postup podobný převodu na horní stupňovitou matici.
• Pozor! Některé úpravy by nám mohly změnit hodnotu determinantu (viz vlastnosti determinantu):
► Přičtení násobku řádku k jinému řádku (sloupce k jinému sloupci) hodnotu nemění.
► Například zdvojnásobení řádku zdvojnásobí i hodnotu determinantu. Pro zachování rovnosti je třeba determinant nové matice vydělit dvěma.
► Přehození dvou řádků (sloupců) změní znaménko derminantu.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
Determinant horní trojúhelníkové matice
1) Příklad převodu na horní A matici (hodnost = 3    det ^ 0):
co	0	co		1	0	1		1	0	1		1	0	1
2	1	2	= 3	2	1	2	= 3	0	1	0	= 3	0	1	0
-1	1	0		-1	1	0		0	1	1		0	0	1
= 3(1 • 1 • 1) = 3
1 .ř/3
2.ř-2-1.ř,3.ř.+1.ř.
3.ř.-2.ř.
horní A matice
2) Příklad převodu na horní A matici (hodnost = 2 < 3    det = 0)
1	0	1		1	0	1		1	0	1
2	1	2	—	0	1	0	—	0	1	0
-1	1	-1		0	1	0		0	0	0
= 1-1-0 = 0
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
23. říina2025 20/29
Cramerovo pravidlo
Nechí je dána soustava n rovnic o n neznámých
anXi+ai2X2~\----+ ainxn = 61,
CL2\X\ + CL22%2 H-----h &2n%n = &2j
■ ■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
an\x\ + an2X2 H-----h annxn = 6n.
Jestliže pro matici (této) soustavy A = (a^) platí det A ^ 0 , pak daná soustava má právě jedno řešení     x2,..., xn), přičemž platí:
= detA^    pro každé  i e {1,2,... ,nj,
det A 1 J
kde Ai je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec v matici A nahradíme sloupcem pravých stran a ostatní sloupce ponecháme beze změny.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
23. říina2025 21/29
Užitím Cramerova pravidla vyřešte soustavu
x\ + 2x2 — %3   = —3,
2xi + x3   = 7, Xi — 2^2 + ^3   = 7.
	1	2	-1		3	2 -1	
det A	2	0	1	—	0	0 1	= 1(-1)2+3
	1	-2	1		-1	-2 1	
3 2 -1 -2
= 4^0\
	:;	2 -1			1	-3 -1	
det Ai	7	0 1	= 8,	det A2	2	7 1	= -4,
	7	-2 1			1	7 1	
	1	2 -3	
det A3	2	0 7	= 12
	1	-2 7	
_ det Ai _ 8 Xl ~ ďetX ~ 4 '
det A2 -4
X2 = —-— = — = —1
det A
4
det A3 12
^3 = -;-r~ = — = 3.
det A 4
Řešení soustavy je vektor (2, -1,3).
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-04	23. října 2025 23/29
Užitím Cramerova pravidla vyřešte soustavu
2xi + X2 + Xs   = 1,
xi +2x2 + x3 = 6, x\ + 2x2 — x s   — 2.
Řešení. I
	Řešení (-2,3,2)	□		
			<□► < rn? ► <     ► < -ž ►     š    -O <\ O	
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-04	23. října 2025 24/29	
Užitím Cramerova pravidla vyřešte soustavu
a)
X\ + 2X2 + ^3 + 2^4 3xi + Xs — X4 X\ + X2 + 2xs + x4 X2 + 2X4
o,
o,
o, o.
b)
X\ + 2X2 + ^3 + 2^4 3xi + Xs — X4 X\ + X2 + 2xs + x4 X2 + 2X4
1,
2,
1,
2.
Úlohy a) a b) se liší pouze pravými stranami, a tak mají shodnou matici soustavy:
A =
(1	2	1	2\
3	0	1	-1
1	1	2	1
	1	0	2)
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
23. říina2025 25/29
Pro další řešení bude rozhodující, zda determinant matice A je nenulový.
det A =
1	2	1	2		1	2	1	-2
co	0	1	-1		3	0	1	-1
1	1	2	1		1	1	2	-1
0	1	0	2		0	1	0	0
	1	1	-2
1 • (-1)4+2	3	1	-1
	1	2	-1
= 1
1	1	-2		0	1	0	
3	1	-1	—	2	1	1	= !■(
1	2	-1		-1	2	3	
1+2
2
-1
1 3
=   -1- (6 + 1) = -7^0.
V obou případech tedy půjde použít Cramerovo pravidlo.
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-04	23. října 2025 26/29
ad a)
detv4i
u 2
O O
O 1
O 1
1
1
2 O
2
-1
1
2
= O, neboí A\ obsahuje nulový sloupec
(viz Vlastnosti determinantů).
Stejně to dopadne i pro matice A2, A3 a A4
Tudíž máme
0
X\ = X2 = X% = X\ =
-7
= 0.
Jediné řešení je tedy (0,0,0,0).
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
23. říina2025 27/29
ad b)
det Ai =
1	2	1	2		-1	2	1	co
2	0	1	-1		0	0	1	0
1	1	2	1		-3	1	2	3
2	1	0	2		2	1	0	2
= 1(-1)
2+3
-12 3 -3   1 3 2 12
= -1 -1(-1)1+1
1 3 1 2
+ 2(-l)1+2
-3 3 2 2
+ 3(-l)1+3
= - -1
1 3 1 2
- 2
-3 3 2 2
+ 3
-3 1 2 1
= 1
1 3 1 2
+ 2
-3 3 2 2
- 3
-3 1 2 1
= 1(2 - 3) + 2(-6 - 6) - 3(-3 - 2) = -1 - 24 + 15 = -10.
det A2 = • • • = 16,   det A3 = ••• = !
-3 1 2 1
det A4 = • • • = —15.
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-04	23. října 2025 28/29
Složky jediného řešení     x2l x3l x4) jsou tedy
X\ —
X2 =
X3 =
X4 =
Soustava má jediné řešení
det Ai	-10	10
det A	-7	" 7'
det A2	16	16
detA	~ -7 ~	7
det A3	1	1
detA	~ -7 ~	~7'
det A4	-15	15
detA	-7	• 7
/10	16 1	15\
	7' 7'	
		□
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-04	23. října 2025 29/29