Zadání příkladů k zápočtu z P1MEP
Jiří Fišer a Martina Pavlačková Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 2025
1 Množiny
Příklad 1. Uvažujme množiny A = {1,2,4,5} a B = {—5,0,1,4}. Určete množiny A U B, A H B, A \ B, B \ A.
Příklad 2. Uvažujme množiny (intervaly) A = (3; 5) a B = (4; 6). Určete množiny A U B, A H B, A \ B, B \ A.
Příklad 3. Určete, pro která reálná čísla x platí
a) \x — 3| = 4,
b) \x + 2\ > 2,
c) \x+ 1| < 3.
Příklad 4. Zjistěte, je-li výraz definován, a pokud ano, tak jej vypočítejte:
-17-00 3
a) -3 • oo H------,
5 oo
b---- — oo • — oo).
; -100 000    oo3 V ;
2 Vektorové prostory
Příklad 5. Uvažujme vektorový prostor IR3 a jeho dva prvky a = (3,-2,5) a b = (—2,1,2) Vypočítejte:
a) součet těchto vektorů,
b) lineární kombinaci těchto vektorů s koeficienty 3 a -2,
c) skalární součin těchto vektorů.
Příklad 6. Potřebujeme koupit 20 sazenic rajčat, 15 sazenic paprik a 25 sazenic jahod. Na výběr máme dvě prodejny nabízející tyto sazenice. Z časových důvodů můžeme jet jen do jedné z nich.
V první prodejně stojí sazenice rajčat 16 Kč/ks, sazenice paprik 25 Kč/ks a sazenice jahod 28 Kč/ks. Ve druhé prodejně stojí sazenice rajčat 20 Kč/ks, sazenice paprik 20 Kč/ks a sazenice jahod 30 Kč/ks.
Která prodejna bude pro nás výhodnější?
2
3 Matice
Příklad 7.
A
^12    1     1 \
0 5-2-1 \0 0  -3    1 y
B
^5 2 0 -3 ^4 0
-4
-v
c
Vypočítejte A • B, AT • B a C • B (pokud to rozměry matic umožňují).
Příklad 8. Uvažujme firmu, která ve 2 výrobních halách vyrábí 4 druhy produktů. Objem produkce v 1. roce je popsán následující tabulkou:
	1. produkt	2. produkt	3. produkt	4. produkt
1. hala	1 000 ks	2 000 ks	1 500 ks	7000 ks
2. hala	500 ks	0 ks	2 000 ks	2 000 ks
ve 2. roce je popsán následující tabulkou:				
	1. produkt	2. produkt	3. produkt	4. produkt
1. hala	1 000 ks	11000 ks	5 000 ks	4000 ks
2. hala	0 ks	0 ks	6 000 ks	2 000 ks
Navíc víme, že 1 ks 1. produktu přinese zisk 87 Kč, 1 ks 2. produktu přinese zisk 24 Kč, 1 ks 3. produktu přinese zisk 29 Kč a 1 ks 4. produktu přinese zisk 37 Kč.
Určete pomocí maticových operací objem produkce za oba roky dohromady (v jednotlivých halách) a také velikost zisku za oba roky v jednotlivých halách a nakonec za celou firmu.
Příklad 9. Firma vyrábí dva typy výrobků, V\ a V^. Počet hodin práce člověka, hodin práce stroje a množství kilogramů materiálu, které jsou potřeba na výrobu jednoho výrobku, jsou popsány následující tabulkou:
Výrobek	Lidská práce (h)	Práce stroje (h)	Materiál (kg)
V\	2	3	5
v2	1	3	3
Dále ceny jednotlivých výrobních faktorů jsou následující:
Výrobní faktor	Cena
Lidská práce	300Kč/h
Práce stroje	50 Kč/h
Materiál	110Kč/kg
V další tabulce je popsáno nastavení cen za 1 ks výrobku:
3
Výrobek	Cena (Kč)
V\	1 150
v2	900
Jaký zisk (ztrátu) přinese 1 ks prodaného výrobku V\ a jaký výrobku V<p.
Příklad 10. Tři studenti ZS shání pomůcky do školy. Vzhledem k výši poštovného chce každý z nich objednávku pomůcek realizovat pouze v jednom z e-shopů, který je nabízí. Který e-shop bude pro jednotlivé studenty nejvýhodnější, když víme, že množství, která potřebují koupit, a jednotkové ceny jsou popsány následujícími tabulkami:
	Tužky	Sešity	Obaly
1. student	24 ks	16 ks	17 ks
2. student	6 ks	18 ks	11 ks
3. student	5 ks	16 ks	29 ks
	Cena v 1. e-shopu	Cena ve 2. e-shopu	Cena ve 3. e-shopu
Tužka	2,5 Kč/ks	3 Kč/ks	4 Kč/ks
Sešit	30 Kč/ks	29 Kč/ks	21 Kč/ks
Obal	4 Kč/ks	3,5 Kč/ks	4,5 Kč/ks
Příklad 11. Uvažujme následující matice:
	f 2	3 2^		fl	4	i\
A =	-2	-3 3	,  B =	0	2	-2
	l1	0 3j		l1	6	-v
2 2 4
-2 4 8
0 2 4
-2 5 1C
Vypočítejte jejich hodnosti.
Příklad 12. Uvažujme vektorový prostor IR3 a jeho tři prvky (2, 2,1), (2, 2, 5) a (0, —1, 0). Určete (s využitím hodnosti matice), zda jsou tyto vektory lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad 13. Uvažujme vektorový prostor IR3 a jeho tři prvky (1,2,4), (2,0,5) a (0,4,3). Určete (s využitím hodnosti matice), zda jsou tyto vektory lineárně závislé nebo nezávislé.
4   Determinanty a inverzní matice
Příklad 14. Vypočítejte determinanty det(A), det(B) a det(C), je-li to možné:
/   i    i     n \
'4  0 1
A
2 -1 1 -3
B
V
■1 1 0 3 1 2 -1  2 -4
C
1   1 0
4
Příklad 15. Vypočítejte determinant det(A):
A
V
1-212
-1 1 -2 1 1-202
2 1-12
Příklad 16. Vypočítejte inverzní matici k matici:
A
Správnost svého výpočtu ověřte zkouškou.
Příklad 17. Vypočítejte inverzní matici k matici:
/
A =
V
1    0 2 -1   1 -2 1    0 3
Výpočet můžete provést manuálně nebo pomocí softwaru (v takovém případě uveďte použitý software / příkazy).
Správnost výpočtu ověřte zkouškou.
Příklad 18. Zašifrujte zprávu „REINKARNACE" pomocí matice
^3  0 2^
A =
3 0 2
4 3 2 1  0 1
Přiřazení čísel písmenům proveďte podle kódovací tabulky:
0 =	9 = 1	18 = R
1 = A	10 = J	19 = S
2 =B	L1=K	20 = T
3 =C	12 = L	21 =U
4 = D	L3 = M	22 = V
5 = E	14 = N	23 = W
6 = F	15 = O	24 = X
7 = G	16 = P	25 = Y
8 = H	17 = Q	26 = Z
5   Soustavy lineárních rovnic
Příklad 19. Řešte soustavu lineárních rovnic
5
a)      2xi — 3x2 — 3x3   = 1, —x2 — x3   = 0.
xi-2x2 + x3  = -1,
b) 2^i - 5rc2 + 2x3  = 0, 3^1 — 7x2 + 5^3  = —1.
X\ — x3 — x ^   = 3,
c) 2xi + x2 — 2x3 + 3x4  = 3,
— X2 — X4   = 0.
Příklad 20. Řešte soustavy lineárních rovnic z předchozího příkladu Cramerovým pravidlem (pokud to je možné).
Příklad 21. Ve firmě vyrábí dva druhy výrobků (1;2) a každý z nich musí při své výrobě projít 2 výrobními linkami (v libovolném pořadí). Počet hodin, který výrobky stráví na jednotlivých linkách jsou uvedeny v následující tabulce:
	1	2
1. výrobní linka	0,9	2
2. výrobní linka	0,4	0,8
První výrobní linka může být v provozu maximálně 1725 hodin/období, druhá 724 hodin/období. Kolik jednotlivých výrobků je možné měsíčně vyrobit, aby byla využita maximální kapacita linek?
Příklad 22. Máme za úkol připravit ovocný salát kombinováním 3 ovocí 1, 2, 3 tak, aby obsahoval 34 jednotek vitamínu A, 27 jednotek vitamínu B, 39 jednotek vitamínu C. Počet jednotek těchto složek v 1 dkg příslušného ovoce je uveden v následující tabulce:
	1. ovoce	2. ovoce	3. ovoce
Vitamín A	1	3	2
Vitamín B	1	2	2
Vitamín C	2	3	2
Kolik dkg jednotlivých druhů ovoce se má na salát použít?
6 Posloupnosti
Příklad 23. Určete první čtyři členy posloupnosti dané n-tým členem
n — 1
an =-, nGff,
n
6
a nakreslete příslušnou část grafu této posloupnosti.
Příklad 24. Předpokládejme, že je na začátku roku vložena částka 3 000 Kč na spořící účet s roční úrokovou mírou 4 %, který je úročen jednou ročně vždy na konci roku. Vypočítejte, kolik bude na tomto účtu po 1, 2, 3 a 4 letech.
Příklad 25. Předpokládejme, že je na začátku roku vložena částka 3 000 Kč na spořící účet s roční úrokovou mírou 4 %, který je úročen jednou ročně vždy na konci roku a předpokládejme, že jsou úroky daněny 15% daní.
Vypočítejte, kolik bude na tomto účtu po 1, 2, 3 a 4 letech.
Příklad 26. Na začátku roku vložíme částku 15 000 Kč na spořící účet s roční úrokovou mírou 6 %, který je úročen čtyřikrát ročně vždy na konci čtvrtletí. Vypočítejte, kolik bude na tomto účtu po 4 letech.
7   Limity posloupnosti
Příklad 27. Vypočítejte limity posloupností:
2n + 3
.   ,     -2n2-n + 2
e) lim---
n^oo    -2n3 + 4
f) lim (5n2 — n + 3),
b) lim
2n8 - n3 + 150
1 - 3n4
h) lim
3n2 — n
■ sin(3n)
5n6 + 1
d) lim
3 • 5n + 2 • 3' 2 • 5n - 2n
n
ch)  lim (5n2 - 2n4 + 3).
8
Příklad 28. Rozhodněte o konvergenci/divergenci řady:
oo
n=l
Příklad 29. Rozhodněte, zda je daná řada geometrická. Pokud je, tak stanovte její součet.
7
oo
1
oo
5
a
3n - 1
c
n=l
n=l
Příklad 30. Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li počátkem každého roku 8 000 Kč? Roční úroková míra je 5 %, úrok se připisuje vždy na konci roku. (Pro výpočet použijte vzorec odvozený ve studijní opoře.)
Příklad 31. Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li počátkem každého roku 8 000 Kč? Roční úroková míra je 5 %, úrok se připisuje vždy na konci roku a je daněn 15% daní. (Pro výpočet použijte vzorec odvozený ve studijní opoře.)
Příklad 32. Za 5 let chceme koupit automobil za 650 000 Kč. Kolik musíme spořit počátkem každého roku při roční úrokové míře 4 %, abychom si na něj našetřili? Úrok se připisuje vždy na konci roku. (Pro výpočet použijte vzorec odvozený ve studijní opoře.)
8