Matematika pro ekonomickou praxi 1
in Fiser 2. října 2025
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 1/45
Co je to lineární algebra?
• Algebra = počítání se symboly, nejen s čísly.
o Lineární = přímkový, jednoduchý, bez složitých křivek, o Vektory = seznamy čísel (např. údaje o firmě).
• Matice = tabulky čísel (např. účetní výkazy, data v Excelu).
9 Soustavy rovnic = více podmínek najednou (rozpočet, kapacita, poptávka).
• Pro ekonomy: základní jazyk pro modelování, analýzu dat, rozhodování.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 2/45
Historie pojmu „vektor"
• Mladý pojem: objevuje se až v 19. století v souvislosti s fyzikou a novými číselnými systémy.
• Na rozdíl od geometrie: ta má tisíciletou tradici, vektory v dnešní podobě existují teprve dvě století.
o Etymologie:
► vector (lat.) = „nosič, přenašeč"
► od slovesa vehere = „nést, vézt"
• Význam: vektor „přenáší" bod z jednoho místa na jiné - určuje směr a velikost posunu.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 3/45
Vektory a operace s nimi
• r?-rozměrný vektor (uspořádaná r?-tice reálných čísel)
x — (xi, X2,..., xn) G Kn,    r? G N, x; G IR, / = 1,..., n
► x/, / = 1,..., n — i-tá složka vektoru Ú
• součet dvou vektorů z W1 (musí mít stejný rozměr):
u + ý = (xi,x2,... ,x„) + (yi,y2,... ,yn)
= (xi +yi,x2 +y2,... ,x„ + y„) G íť7.
► výsledkem je opět n-rozměrný vektor,
► (2,3)+ (1,-1) = (2+ 1,3-1) = (3,2).
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 4/45
Násobení vektoru číslem
Definice: Násobení vektoru a — (ai, a2,..., an) reálným číslem (skalárem) k spočívá v tom, že každý prvek vektoru vynásobíme tímto číslem:
k • a — (/c • ai, /c • a2,..., /c • an)
Vlastnosti:
• Výsledkem násobení vektoru číslem je nový vektor ve stejném směru jako původní vektor (pokud k > 0).
• Pokud k < 0, výsledný vektor směřuje opačným směrem.
• Pokud k = 0, výsledkem je nulový vektor.
Příklad: Mějme vektor a = (2, —3,5) a skalár k = 4. Vynásobíme vektor číslem:
4-a = 4-(2,-3,5) = (8,-12,20)
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 5/45
Skalární součin vektorů
Definice: Skalární součin dvou vektorů a = (ai, a2,..., an) a
b — (bi, £>2,..., bn) je dán vztahem:
a-b = a\b\ + a2b2 H-----h anb„
Vlastnosti:
• Výsledkem skalárního součinu je číslo (skalár).
• Skalární součin je komutativní: a - b — b - a.
• Pokud je skalární součin nulový, vektory jsou na sebe kolmé (ortogonální).
Příklad: Mějme dva vektory a — (1,2,3) a b — (4,-1,2). Vypočítejme jejich skalární součin:
a • b = 1 • 4 + 2 • (-1) + 3- 2 = 4- 2 + 6 = 8
Výsledek: Skalární součin vektorů a a b je 8.
Vypočtěte
a) (5,-3,9)+ (2,8,-13),
b) -1(4,8,-1),
c) (2,-3,1)-(2,3,-1).
M ' I I
(2,   3,1) (2,3,
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 7/45
dj   yu.      O, V) T" ^Z, O, -LOJ,
4 V    w"      /'
c) (2, -3,1) • (2,3,
a) Součet vektorů:
(5,-3, 9)+ (2, 8,-13) = (7,5,-4).
b) Násobek vektoru:
4(4,8,-1)= (-1,-2, J).
c) Skalární součin vektorů:
(2, -3,1) • (2,3, -1) = 2 • 2 + (-3) • 3 + 1 • (-1) = 4 - 9 - 1 = -6.
Geometrický význam - součet vektorů
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 8/45
Vektory - nulový a opačný
• o = (0,0,...,0)Gln — r?-rozmerný nulový vektor:
u + o = (xi,x2,... ,x„) + (0,0,... ,0) = (xi,x2,
► v R2: o = (0,0).
• —Ú— opačný vektor k vektoru u — (xi, x2,... ,xn),
-J = (-xi, -x2,..., -xn).       u + (-u)
► -(1,3) = (-1,-3).
Jiří Fišer (MVŠO)
P1MEP-02
□ iS1
Geometrický význam - opačný vektor
	X2'	u--u-	=(2,1) =(-2,-1)
	1		
			
	2		
		2 X	
		-1	
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 10/45
Lineární kombinace vektorů
Definice: Lineární kombinace k vektorů xi,X2, ... ,x/c (kde k £ N) s reálnými koeficienty cti,     ...,     je vektor u, který můžeme vyjádřit jako:
Příklad: Mějme tři vektory:
x = (2,3,4),   ý= (1,0,4),   z = (1,1,1)
a koeficienty —1,2,5. Lineární kombinace těchto vektorů s uvedenými koeficienty je:
-x + 2y + 5z = -1(2, 3,4) + 2(1, 0,4) + 5(1,1,1)
= (-2, -3, -4) + (2,0,8) + (5, 5, 5) = (5,2,9)
Výsledek: Výsledný vektor je u = (5,2,9).
4 iSP 1
Jiří Fišer (MVŠO) P1MEP-02
2. října 2025
Geometrický význam - lineární kombinace vektorů
x2Í
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 12/45
Lineární závislost a nezávislost vektorů
• Řekneme, že množina vektorů {Ji, Ú2,..., Uk} je lineárně závislá, jestliže alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. ► V opačném případě řekneme, že je lineárně nezávislá.
9 Lineární (ne)závislost se dá také vyjádřit pomocí vektorové rovnice
OL\U\ + OL2Ú2 H-----Y QikUk = O,
kde neznámými jsou koeficienty cti,... ,ak- Tato rovnice má vždy tzv. triviální řešení
Ol = (i2 — ■ ■ ■ — a k = 0.
► Pokud má pouze toto triviální řešení, potom je množina vektorů {ui, Ď2,..., Uk} lineárně nezávislá,
► pokud existuje i netriviální řešení (alespoň jedno a/ 7^ 0), potom je lineárně závislá.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 13/45
Lineární závislost a nezávislost vektorů
Rozhodněte, zda množina vektorů {(1, 0,1), (—3, 2, — 1), (2,1, 3)} lineárně závislá nebo nezávislá.
Budeme zkoumat rovnici
ai(l, 0,1) + a2(-3, 2, -1) + a3(2,1, 3) = (0, 0, 0),
(ai, 0, ai) + (-3c^2, 2c*2, —a2) + (2c*3, «3, 0^3) = (0, 0, 0). Rozepíšeme ji po složkách (soustav tří rovnic o třech neznámých):
ol\ — Z0L2 + 2^3   = 0,
2(^2 + Oí3    = 0, Oíl — OL2 + 3(^3    = 0,
Tato soustava má kromě triviálního řešení    ol\ — ol^ — 0^3 = 0 také netriviální řešení    ol\ =7,   a2 = 1,   03 = —2, a tak jde o lineárně závislou množinu vektorů.
Lineární závislost a nezávislost vektorů
pokračování
Rozhodněte, zda množina vektorů {(1, 0,1), (—3, 2, — 1), (2,1, 3)} lineárně závislá nebo nezávislá.
Netriviální řešení    ol\ = 7,        = 1,    olz — —2:
• 0,1) + a2(-3, 2, -1) + a3(2,1, 3) = (0, 0, 0),
• 7(1,0,1) + l(-3,2, -1) - 2(2,1,3) = (0,0,0), o l(-3,2, -1) = (0, 0,0) - 7(1,0,1) + 2(2,1,3),
• (-3,2,-1) = -7(1,0,1)+ 2(2,1,3)
(druhý vektor je lineární kombinací prvního a třetího vektoru, tedy tato trojice vektorů je lineárně závislá)
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 15/45
Příklad: Firma prodává čtyři druhy zboží
Firma prodává čtyři druhy zboží na třech pobočkách. Cena za jeden kus zboží je následující:
• 1. zboží: 12 Kč
• 2. zboží: 7 Kč
• 3. zboží: 18 Kč
• 4. zboží: 5 Kč
Během jednoho dne se na pobočkách prodalo následující množství zboží:
• 1. pobočka: 5, 2, 7, 8
• 2. pobočka: 6, 4, 2, 1
• 3. pobočka: 3, 5, 0, 4 Úkoly:
O Kolik se prodalo tento den celkem kusů jednotlivých druhů zboží? O Jaké byly tržby na jednotlivých pobočkách? O Jaké byly firemní celkové tržby?
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 16/45
Řešení: Kolik se prodalo celkem kusů jednotlivých druhů zboží?
Postup: Sečteme vektory prodaného zboží na jednotlivých pobočkách po složkách.
Celkem prodané množství = (5,2,7, 8) + (6,4,2,1) + (3,5,0,4)
= (5+ 6 +3,2 + 4 +5, 7 + 2 +0,8 + 1 +4) = (14,11,9,13)
Výsledek: Celkem se prodalo 14 kusů 1. zboží, 11 kusů 2. zboží, 9 kusů 3. zboží a 13 kusů 4. zboží.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 17/45
Řešení: Jaké byly tržby na jednotlivých pobočkách?
Postup: Pro každou pobočku vynásobíme vektory prodaného množství
vektorem cen.
Tržby pro 1. pobočku:
(5,2,7,8)-(12,7,18, 5) = 5-12+2-7+7-18+8-5 = 60+14+126+40 = 240 Kč Tržba 2. pobočky:
(6,4,2,1)-(12,7,18,5) = 6-12+4-7+2-18+1-5 = 72+28+36+5 = 141 Kč Tržba 3. pobočky:
(3,5,0,4)-(12,7,18,5) = 3-12+5-7+0-18+4-5 = 36+35+0+20 = 91 Kč
Výsledek: Tržby na pobočkách jsou: 1. pobočka: 240 Kč, 2. pobočka: 141 Kč, 3. pobočka: 91 Kč.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 18/45
Řešení: Jaké byly firemní celkové tržby?
Postup: Sečteme tržby na všech pobočkách:
240 + 141 + 91 = 472 Kč Výsledek: Celkové tržby firmy byly 472 Kč.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 19/45
Příklad: Tomášův nákup
Tomáš dostal od rodičů 300 Kč a seznam na nákup: 4 housky, 2 másla, 1 pomerančový džus, 15 dkg salámu a 2 jablka.
Blízko jeho domu jsou dva obchody, Tesco a Penny, ve kterých tyto věci (Kč za 1 kus nebo v tabulce uvedené množství) stojí:
	Tesco	Penny
Houska	3,00	2,80
Máslo	48	45
Džus	32	30
Salám (10 dkg)	25	28
Jablko	12	10
Peníze, které mu po nákupu zbudou, si může nechat. Do kterého obchodu je pro něj výhodnější jít? Kolik mu zbyde?
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 20/45
Řešení: Tomášův nákup
Ceny v obchodech:
• Tesco: Vektor cen: cT = (3,00; 48; 32; 25; 12)
• Penny: Vektor cen: cP = (2,80; 45; 30; 28; 10)
• Vektor počtu položek: q = (4; 2; 1; 1,5; 2) Náklady v Tescu:
cT - q = 3,00 • 4 + 48 • 2 + 32 • 1 + 25 • 1,5 + 12 • 2 = 201,50 Kč. Náklady v Penny:
ČP • q = 2,80 • 4 + 45 • 2 + 30 • 1 + 28 • 1,5 + 10 • 2 = 193,20 Kč. Závěr:
o V Tescu Tomáš zaplatí 201,50 Kč. 9 V Penny Tomáš zaplatí 193,20 Kč.
• Penny je pro Tomáše výhodnější.
9 Zbyde mu 300 - 193,20 = 106,80 Kč.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025              21 /45
Matice
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 22/45
Historie pojmu „matice"
9 Původ slova: lat. matrix = „děloha", „matka", „zdroj" (od m?ter— matka).
9 Obrazný význam: označovalo místo, kde se něco tvoří nebo vyvíjí.
• Další obory: v geologii „matrix" = základní horninová hmota s krystaly/fosiliemi.
9 V matematice:
► 1850 - James J. Sylvester použil „matrix" jako obdélníkové pole termínů,
► determinanty byly chápány jako „potomci" matice.
9 Cayley (1858): první systematická práce o maticích a jejich algebře.
• Proč „matice"? ? vnímána jako „matka" nebo „zdroj" dalších objektů (determinantů, operací).
Jiří Fišer (MVŠO)
P1MEP-02
2. října 2025 23/45
Matice
Schéma m x n reálných čísel
/  3n     3i2 ai3 321     322 323
\ 3ml    3m2 3m3
• 3in ^
• 32n
= M
J
• matice typu (m. n) (tvořena m řádky a n sloupci)
■v
• Čísla a,j jsou prvky matice.
B je typu (3,3)
C =
	2^
3	0
4	5
	6/
D
12 3 0 4  5  0 6
C je typu (4, 2)       D je typu (2,4)
□       rS1       ~ =
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 24/45
Diagonální prvky matice
/  3n     3i2 ai3 321     322 323
\ 3ml    3m2 3m3
• 3in ^
• 32n
= (a,y)
o Prvky a,-,- se nazývají diagonální a tvoří hlavní diagonálu
1   2 3' B = I 0   4 5 0  0 6
C =
(1 2\
3 0
4 5 \0 6/
D
12 3 0 4  5  0 6
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 25/45
Pojmenované typy matic
Horní lichoběžníková matice (m < n)
o všechny diagonální prvky nenulové
• a všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové;
• v případě (m = n) horní trojúhelníková matice).
horní lichoběžníková
horní A
□ iS1
Pojmenované typy matic
Matici typu (m,n), která má všechny prvky nulové nazýváme nulová matice O
,0 o o o1
o23 = |°„°°l o34=loooo
0  0 0
0  0  0 0
Jestliže m = n, pak matici nazýváme čtvercová matice
Jestliže m ^ n, pak ji nazýváme obdélníková matice.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 27/45
Pojmenované typy matic
Čtvercovou matici typu (r?, n), jejíž všechny diagonální prvky jsou rovny jedné a všechny ostatní prvky rovny nule, nazýváme jednotková matice a značíme En
■4 =
/i o
o
0
1 o o
o 0\
0 o
1 o
0 1/
■2 =
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 28/45
menujte různé typy matic
D
/l 2 O 5 O O \0 O
3 6 8 O
4 7
9
10
1\ 1
1
V
B
O O
o
B: C: D:
Různé typy matic
A   2   3   4   1\ /l   2 3\
a-   °  5  6   7   1      b= c=f1 21
0  0  8   9   1 \0  O  6/ V3 4j
\0 O O 10 i/ vu u b/
d= o i o    e= o o o    f= (í * ; ľ
Vo  0   1/ VO  O  O/ V5  6  7 8/
• a: obdélníková (4,5) + horní lichoběžníková matice
• b: čtvercová (3,3) + horní trojúhelníková matice
• c: čtvercová matice (2,2) 9 d: čtvercová (3,3) + jednotková matice
• e: čtvercová (3,3) + nulová matice
• f: obdélníková matice (2,4)
Matice
• Transponovaná matice k matici A =
(a,y) je matice
AT = (3,-,).
1. řádek se stane 1. sloupcem,    2. řádek se stane 2. sloupcem,
Příklad
Určete transponovanou matici k matici    A =
1 2 3 4  5 6
1 2 3 4  5 6
3ll 3i2 3i3 321    322 323
T
3\\ 321 3\2 322 3lZ 323
1 4
2 5
3 6
			
Jiří Fišer (MVŠO)	P1MEP-02	2. října 2025	
Základní operace s maticemi
Součin čísla a a matice A:
(každý prvek matice A vynásobíme číslem a, výsledkem je opět matice typu (m, n)).
Násobení matice číslem
'2-1 2-(-l) 2-0 2-1 2-3   2 • (-2)
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 32/45
Základní operace s maticemi
• Součet matic A a B (obě typu (m, n))\
A + B = (af7 + bij)
► sčítáme podle pozic po prvcích (jako u součtu vektorů),
► výsledkem je opět matice typu (m, n),
► matice A a B musí být stejného typu.
Sčítání matic
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 33/45
Základní operace s maticemi
• Pro matice A, B, které jsou typu (m, n), nulovou matici Omn a a,/3 e R platí:
► A + B = B + A,
► A + Omn — A,
► a(/3A) = (a/3)A.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 34/45
Základní operace s maticemi - násobení matic
Nechť
• A = (a,y) je matice typu ( m , n )
• B = (bij) je typu ( n , p ) (počet řádků B = počet sloupců A)
• Potom existuje součin matic C = A • B    (matice typu ( m , p ))
• Prvky matice C = (c,y) vypočteme jako skalární součiny:
► en = (1- řádek A) • (1. sloupec B)
► en = (1. řádek A) • (2. sloupec B) ...
► Qj = (/-tý řádek A) • (y-tý sloupec B) .. .
9 Zapsáno po složkách
Qj = anbij + ai2b2j H-----h ainb
Úloha (Násobení matic) Vypočtěte A • B pro matice A =
2 3 1 -1
a B =
10-1 3-12
Matice A (2, 2 ) má dva sloupce a matice B (B,3) dva řádky, součin A • B tedy existuje. Výsledná matice bude mít dva řádky (=počet řádků matice A) a tři sloupce (=počet sloupců matice B).
A B
2 3 1 -1
10-1 3-12
2-1 + 3-3       2-0 + 3-(-1)       2-(-l) + 3-2 11 + (-1) • 3   10 + (-1) • (-1)   1 • (-1) + (-1) • 2
11   -3 4
-2    1 -3
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 36/45
Násobení matic
• V předchozím případě nelze vypočítat B • A, neboť matice B má jiný počet sloupců (3) než má matice A řádků (2).
• Nechť A, B, C jsou matice a E je jednotková matice (vhodného rozměru). Potom každá z rovností
► A • E = A,
► E • A = A,
► (A + B) C = A C + B C,
► A(B + C) = A B + A C,
► A-(B-C) = (A-B)-C,
platí, pokud mají příslušné operace smysl.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 37/45
Index bídy: Definice
• Index bídy je ekonomický ukazatel, který se počítá jako součet míry inflace a míry nezaměstnanosti.
• Výpočet:
Index bídy = Míra inflace + Míra nezaměstnanosti.
• Vyšší hodnota indexu značí horší ekonomickou situaci pro obyvatele.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 38/45
Index bídy: Příklad s reálnými daty
Mějme následující reálná data o inflaci a nezaměstnanosti:
Stát	2001	2002	2003	2004	2005
Německo	1,9%	1,4%	1,0%	1,6%	1,8%
Nizozemsko	4,5%	3,4%	2,1%	1,2%	1,7%
Velká Británie	1,2%	1,3%	1,4%	1,3%	1,9%
Španělsko	3,6%	3,5%	3,0%	3,1%	3,4%
Tabulka: Průměrná roční míra inflace (2001-2005)
Stát	2001	2002	2003	2004	2005
Německo	8,3%	8,7%	9,3%	10,5%	11,1%
Nizozemsko	2,5%	2,8%	3,7%	4,6%	4,7%
Velká Británie	5,1%	5,0%	4,9%	4,7%	4,7%
Španělsko	10,5%	11,5%	11,0%	10,8%	9,2%
Tabulka: Průměrná roční míra nezaměstnanosti (2001-2005)
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 39/45
Index bídy: Príklad s reálnými daty
Index bídy vypočteme jako součet matic: Index bídy = Inflace + Nezaměstnanost
/1,9 4,5
1.2 \3,6
/10,2 7,0
6.3 \14,1
1,4
3.4
1,3
3.5
1.0
2.1 1,4 3,0
1,6
1.2
1.3 3,1
10,1
6.2
6.3 15,0
10,3 5,8 6,3 14,0
1,8\ 1,7 1,9 3,4/
12,1 5,8 6,0 13,9
+
/8,3 2,5 5,1 \10,5
12,9\ 6,4 6,6 12,6/
8.7
2.8 5,0 11,5
9,3 3,7 4,9 11,0
10,5
4.6
4.7 10,8
H,l\ 4,7
4,7 9,2/
Jiří Fišer (MVŠO)
P1MEP-02
Index bídy: Príklad s reálnými daty
Stát	2001	2002	2003	2004	2005
Německo	10,2%	10,1%	10,3%	12,1%	12,9%
Nizozemsko	7,0%	6,2%	5,8%	5,8%	6,4%
Velká Británie	6,3%	6,3%	6,3%	6,0%	6,6%
Španělsko	14,1%	15,0%	14,0%	13,9%	12,6%
Tabulka: Index bídy (2001-2005)
Závěr:
• Země s vyšším indexem bídy čelí průměrně horším ekonomickým podmínkám pro obyvatelstvo.
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025              41 /45
Praktický príklad - zadaní
Firma vyrábí 2 druhy výrobku V\ a V2, pritom:
výrobek	doba výroby (1 ks)	spotřebovaný materiál na 1 ks
Vi	4 hod	2 kg
v2	3 hod	3 kg
• 1 hodina výroby stojí 3 500 Kč a materiál stojí 2 000 Kč za 1 kg.
• 1 ks Vi se prodává za 26 500 Kč a 1 ks V2 za 21000 Kč.
a) Kolik stojí výroba 1 ks jednotlivých výrobků?
b) Jaký zisk přinese prodej 1 ks jednotlivých výrobků?
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 42/45
Výpočet výrobních nákladů
Nejprve vypočítáme výrobní náklady na 1 ks výrobku pomocí matic. Mějme matici a, která reprezentuje dobu výroby a spotřebu materiálu:
Dále mějme vektor b, který obsahuje náklady na hodinu výroby a cenu materiálu za 1 kg:
r_ f3 500 \2 000
Nyní spočítáme výrobní náklady jako maticový součin:
M,M  ,      A    r    /4  2\    /3 500\     /19 000\ ^
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 43/45
Výpočet zisku z prodeje
Zisk z prodeje 1 ks každého výrobku vypočítáme jako rozdíl mezi prodejní cenou a výrobními náklady. Prodejní ceny:
= f26500\ ^21000)
Zisk spočítáme jako rozdíl mezi prodejní cenou a výrobními náklady:
y i,    r    m'h a      ŕ2650(A    /19 000\     /7 500\ Z,sk = C - Náklady = (^^j - ^.^j = Kc
Jiří Fišer (MVŠO)		P1MEP-02	2. října 2025 44/45
Záver
a) Náklady na výrobu 1 ks výrobku jsou
► Vi: 19 000 Kč,
► V2: 16 500 Kč.
b) Zisk z prodeje 1 ks výrobku je:
► Vi: 7 500 Kč,
► V2: 4 500 Kč.