Aplikace číselných řad: Finance a úvěry
Matematika pro ekonomickou praxi
J.W     l~~ ■ V in Fišer
Moravská vysoká škola Olomouc
27. listopadu 2025
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 1/12
Obsah přednášky
Q Geometrická řada v kostce
Q Odvození vzorců (Spoření)
Q Řešené příklady
Q Plánování: Kolik musím spořit?
Q Úvěry a hypotéky (Present Value)
Q Závěr
Jiří Fišer (MVSO) Aplikace číselných řad 27. listopadu 2025 2/12
Rychlé opakování: Geometrická řada
Většina finančních modelů stojí na jediném vzorci - součtu geometrické posloupnosti.
Geometrická posloupnost
2 n—1
cii,    cti •       cti • q ,    ...,    d\ - q
Klíčový vzorec pro konečný součet (např. n splátek)
sn = a>ľ
qn - 1 9-1
Kde ve financích: a\ — vklad, q — (1 + r) úročitel, n — počet let.
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 3/12
Odvození: Polhůtní spoření (konec období)
Spoříme částku K na konci každého období po dobu n let.
• 1. vklad se úročí (n - l)-krát.
• Poslední vklad se neúročí vůbec.
Součet naspořené částky (FV)
FV = K • (1 + r)n_1 +K-(1 + r)n_z + • • • + ^
poslední vklad
n-2
1. vklad
Toto je geometrická řada: a\ — K, q = 1 + r.
n—l /-i   , -i
FV = K-Y(l + r)k = K- {,      \ ~
t, (l + r)-l
Výsledek (Polhůtní)
FV = K>
(1 + r)n - 1
r
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 4/12
Odvození: Předlhůtní spoření (začátek období)
Spoříme částku K na začátku každého období.
• Každý vklad leží v bance o jedno období déle než u polhůtního případu.
FV = K(l + r)n + K(l + r)n~l + • • • + K(l + r)
= (l + r)- Ktl + r)71'1 + --- + K
Polhůtní případ
Výsledek (Předlhůtní)
(1 +r)n _i
FV = K- ^—-^--        • (1 + r)
r
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 5/12
Příklad 1: Spoření s ročními vklady
Úloha: Kolik naspoříme za 4 roky, ukládáme-li počátkem každého roku 1000 Kč? Roční úroková míra je 5%, úroky se připisují na konci roku.
Řešení:
• K = 1000, r = 0,05, n = 4.
• Jde o předlhůtní spoření.
(l + 0,05)4-l   ,., nnr.
FV = 1000 ■---f—7--(1 + 0,05)
0,05
1,2155 - 1 _
FV = 1000-   '    „F--1,05
0,05
« 1000 • 4,3101 • 1,05 « 4 525,63 Kč
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 6/12
Příklad 2: Spoření s daněním úroků
Úloha: Stejné zadání (1000 Kč, 4 roky, 5%, předlhůtní), ale úroky jsou daněny 15 % daní.
Řešení:
• Musíme použít efektivní úrokovou sazbu:
rnet = 0,05 • (1 - 0,15) = 0,05 • 0,85 = 0,0425 Dosadíme r = 0,0425:
F V = 1000. (1 + 0:°45 - 1 ■ d + 0,0425)
0,0425
0 1859
FV pal 000 •--- 1,0425 « 4 561,71 Kč
0,0425 '
Pozn.: Nižší úrok (kvůli dani) paradoxně trochu kompenzuje fakt, že u reálných produktů se často daň strhává až při připsání, ale zde snižujeme bázi pro úročení.
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 7/12
Príklad 3: Polhůtní varianta
Úloha: Kolik naspoříme za 4 roky, ukládáme-li 1000 Kč na konci každého roku? (r = 5%, bez daně).
Řešení:
• Použijeme vzorec pro polhůtní spoření (bez násobení 1 + r na konci).
(l + 0,05)4-l
FV = 1000 • ^--f—1-
0,05
0 2155
FV « 1000 •--« 4 310,13 Kč
0,05
Rozdíl proti předlhůtnímu: 4 525 - 4 310 = 215 Kč.
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 8/12
Inverzní úloha: Finanční plánovaní
"Chci mít za 5 let 100000 Kč. Kolik musím ročně odkládat?" (r = 10%)
Známe FV = 100000, hledáme K. Ze vzorce pro předlhůtní spoření vyjádříme K:
K =
FV
(i±r^i.(l + r)
Dosazení:
K =
100 000
100 000
(L10)7-1 . i in 10,4359 o,io -L'-LU
9 586,79 Kč
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 9/12
Časová hodnota peněz: Vztah PV a FV
Dnes
ÚROČENI
x(l + r)''
x(l + r)
—n
DISKONTOVANÍ
+
Budoucnost
Čas (£)
« Spoření: Posíláme peníze do budoucna (—>► FV).
9 Hypotéka: Půjčujeme si peníze z budoucnosti («— PV)
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 10/12
Výpočet splátky hypotéky
Banka půjčí PV (Jistinu). Splácíme anuitou A. Vzorec pro splátku (z PV)
r • (1 + r)n (1 + r)n - 1
A — PV ■
Příklad: Hypotéka 3 mil. Kč, 30 let, 5% p.a., měsíční splácení.
• PV = 3 000 000
• n = 30 x 12 = 360
o r = 0,05/12 = 0,004167
0,004167-1,004167360 „v, v
A = 3 000 000 •--^-« 16 105 Kč/měs.
L004167360 - 1 '
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 11/12
Shrnutí
• Geometrická řada je základ financí.
• Vzorce není třeba "biflovat":
► Stačí umět sečíst geometrickou řadu.
► Předlhůtní = Polhůtní x(l + r).
o Daně: Snižují efektivní úrok (r x 0,85).
• Hypotéka: Je jen "otočené"spoření (diskontovaní budoucích splátek k dnešku).
Děkuji za pozornost.
Jiří Fišer (MVSO)
Aplikace číselných řad
27. listopadu 2025 12/12