v _
Číselné řady: Teorie, praxe a paradoxy
Matematika pro ekonomickou praxi
J.W     l~~ ■ V in Fišer
Moravská vysoká škola Olomouc
20. listopadu 2025
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 1/18
Obsah přednášky
Q Motivace a historie Q Definice a základní pojmy Q Geometrická řada a fraktály Q Nutná podmínka konvergence
armonická řada Q Kritéria konvergence O Aplikace v praxi
Jiří Fišer (MVSO) Číselné řady 20. listopadu 2025 2/18
Proč se učíme řady?
• Historický kontext: Rady vznikly z praktické potřeby počítat majetek, úrodu a dluhy.
• Babylón (2000 př. n. I.):
► Bankéři řešili otázku: „Kdy se zdvojnásobí dlužná částka?"
► Jde o předchůdce dnešní finanční matematiky (složené úročení).
o Dnešní aplikace v ekonomii:
► Spoření a anuity (součet geometrické řady).
► Oceňování nekonečných dluhopisů (perpetuity).
► Diskontované cash-flow (DCF modely).
Význam
Pochopení principu nekonečných řad je nutné pro správné chápání dlouhodobých finančních instrumentů.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 3/18
Paradox: Může být nekonečno konečné?
Zénón z Eleje - Paradox Achilla a želvy
• Achilles (běžec) nikdy nedohoní želvu, protože musí nejdřív doběhnout tam, kde želva byla před chvílí.
9 Vzniká nekonečně mnoho stále kratších časových úseků:
tl + Í2 + ^3 + • • •
Matematické rozuzlení:
9 Intuitivně víme, že ji předběhne.
• Matematicky: Součet nekonečného množství čísel může být konečné číslo.
• Příklad: i+J+i+... = i
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 4/18
Posloupnost vs. Rada
Je třeba striktně rozlišovat:
Posloupnost (an)
• Seznam čísel seřazených za sebou.
• Oddělovač: čárka.
• Př.: 1,2,4,8,16,...
o Zkoumáme n-tý člen (an).
Rada an
• Součet členů posloupnosti.
• Oddělovač: plus.
• Př.: 1 + 2+ 4+ 8 + ... o Zkoumáme součet (s).
Definice součtu řady
Součet řady definujeme jako limitu posloupnosti částečných součtů sn\
s = lim sn = lim (ai + CL2 + • • • + an)
n—>-oo n—>-oo
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 5/18
Typy chování řady
Rada J2^=i an může mít: O Konečný součet (Konverguje)
► X)     = 1. V ekonomii žádoucí stav (rovnováha). O Nekonečný součet (Diverguje k +00 nebo —00)
► 1 + 2 + 3H----= 00.
O Nemá součet (Osciluje)
► 1 — 1 + 1 — 1 + ... (součet skáče mezi 0 a 1).
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 6/18
Geometrická řada
Pro ekonomii nejdůležitější typ řady.
oo
ai • qn 1 = ai + a\q + aiq2 +
n=l
kde q je kvocient.
Podmínka konvergence:
o Rada konverguje \q\ < 1 (tj. q £ (—1; 1))
Vzorec pro součet (když \q\ < 1)
s =
l-q
Poznámka: Pokud \q\ > 1, řada diverguje (nebo osciluje).
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 7/18
Aplikace: Kochova vločka (Matematický paradox)
Představte si útvar, který vzniká postupným přidáváním trojúhelníků na
strany předchozího útvaru. Obvod (Délka hranice):
a V každém kroku se délka zvětší o 1/3 (kvocient q — 4/3).
• q > 1 Geometrická posloupnost diverguje.
9 Obvod je nekonečný!
Obsah (Plocha):
Přidáváme stále menší trojúhelníčky.
• Ty tvoří geometrickou řadu s q = |.
q < 1
v
Rada konverguje
• Obsah je konečný!
Paradox: Nekonečně dlouhá čára, která ohraničuje konečnou plochu.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
listopadu 2025
Nutná podmínka konvergence (NPK)
Věta (Nutná podmínka)
Pokud řada J2an konverguje, pak musí platit:
lim an — 0
n—>-oo
Logika: Aby součet nepřerostl přes hlavu, musí být přičítaná čísla zanedbatelná.
POZOR! (Častá chyba)
o liman = 0 nestačí k tomu, aby řada konvergovala! • Je to podmínka nutná, nikoliv postačující.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 9/18
Harmonická řada: Klasický "chyták"
Základní harmonická řada:
~ 1 111
E- = 1 + ô + ^ + i +
71=1
n
a Splňuje NPK? ANO (lim ± = 0).
• Konverguje? NE, součet je nekonečný (diverguje).
• Diverguje pomalu: siooo = 7,485 ... , sioooooo = 14,392
Zobecněná harmonická řada:
• Pokud k > 1 (např.        Konverguje (členy klesají rychle)
• Pokud fc < 1 (např. i, -4=): Diverguje (klesají pomalu).
S1
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 10/18
Rady s nezápornými členy
Definice
v _
Rada J2an má nezáporné členy, pokud an > 0 pro všechna n.
Důležitá vlastnost:
• Protože stále přičítáme kladná čísla (nebo nulu), součet sn neustále roste (je neklesající).
• Taková řada buď konverguje (narazí na strop), nebo diverguje k +00 Nemůže oscilovat.
Pro tyto řady máme silná kritéria:
• Limitní podílové
9 Limitní odmocninové
• Srovnávací (Limitní srovnávací)
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 11/18
Limitní podílové kritérium (D'Alembertovo)
Vhodné, když člen an obsahuje faktoriály (n!) nebo exponenciály (3n) Spočítáme limitu podílu sousedních členů:
L — lim
n-^oo a
n
Rozhodnutí:
• L < 1 =
• L > 1 =
• L = 1 =
Konverguje Diverguje
Nevíme (zkusit jiné kritérium)
Příklad: V ^
^-^ n!
1 ,
lim ^l"1^' — lim--— — lim
á (n+1)!
i
n + 1
0 < 1 ==> Konv.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
listopadu 2025
Limitní odmocninové kritérium (Cauchyho)
Vhodné, když je celý člen "na n-tou" Spočítáme limitu n-té odmocniny:
L — lim \fa^
n—>-oo
Rozhodnutí: (Stejné jako u podílového)
• L < 1 Konverguje
• L > 1 Diverguje
• L = 1 Nevíme
Příklad:
2n
3n + l
L — lim
2n
n
3n+ 1
= lim
2n
3n+ 1
2
Konv.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 13/18
Limitní srovnávací kritérium (Metoda "selského rozumu")
Jak vyřešit složité zlomky s polynomy?
Princip: Pro obrovská n se řada chová stejně jako její "dominantnf'členy. Konstanty a nižší mocniny zanedbáváme.
Příklad 1: £ 3Ä5
• Pro n —>► oo je 5 zanedbatelné.
Chová se jako        = ±£± Harmonická řada (1/n) diverguje
Původní řada diverguje
Příklad 2: E
(4n-3)2
9 Zanedbáme -3. o Chová se jako
16 Z^ n2
(4n)2 16
Rada typu 1/n (fc = 2 > 1) konverguje konverguje.
Původní řada
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 14/18
Spoření a finance (Anuity)
Řada finančních vzorců vychází z geometrické řady.
Budoucí hodnota (Future Value) Pravidelně spoříme částku A s úrokovou mírou r. Kolik naspoříme za n let?
o Pokud ukládáme vždy na konci období (spoření polhůtní):
FV = A •
(1 + r)n - 1
r
Pokud ukládáme vždy na začátku období (spoření předlhůtní)
FV = A>(l + r)
(1 + r)n - 1
r
Věčná renta (Perpetuita) Chci dostávat částku R navždy. Kolik musím vložit dnes (PV)1 Jde o součet nekonečné geometrické řady:
T
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 15/18
Spoření a finance (Anuity)
Úloha:
Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li počátkem každého roku 500 Kč? Roční úroková míra je 4%, úroky se připisují na konci roku. Řešení:
s
o Úroková sazba r = 0,04. • Počet období n — 5.
o Využijeme (předlhůtní) vzorec: • Výpočet:
FV = A- (1 + r)
(1 + r)n - 1
r
FT/ = 500 • (1 + 0,04)
(l + 0,04)5-l ČUĎ4
1 045 - 1
= 500 • 1,04 •---— = 2 816,49 Kč
0,04
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 16/18
Spoření a finance (Anuity)
Úloha:
Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li počátkem každého roku 500 Kč? Roční úroková míra je 4%, úroky se připisují na konci roku. Zahrňte zdanění. Řešení:
s
• Úroková sazba r = 0,04.
• Počet období n — 5.
• Využijeme (předlhůtní, zdanění) vzorec:
FV = A- (1 + r -0,85)
(l + r-0,85)n- 1
r
Výpočet:
FV = 500 • (1 + 0,04 • 0,85) •
L0345 - 1
(1 + 0,04 • 0,85)5 - 1
= 500 • 1,034 •
0,034
0,04 • 0,85 = 2 766,86 Kč
<     >     1    -O °s O
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
20. listopadu 2025 17/18
Závěrečné shrnutí
O Geometrická řada: Základ financí. Konverguje pro \q\ < 1.
O Kochova vločka: Ukazuje, že konečná plocha může mít nekonečný obvod.
O Nutná podmínka: liman ^ 0 Divergence.
O Harmonická řada: 1/n diverguje, 1/n2 konverguje. 0 Kritéria:
► Máme faktoriál? —>- Podílové.
► Máme "vše na n-tou"? —> Odmocninové.
► Máme ve jmenovateli polynom? —>» Srovnávací (škrtáme nižší mocniny a konstanty).
Děkuji za pozornost.
Jiří Fišer (MVSO)
Číselné řady
□ S
20. listopadu 2025 18/18