Matematika pro ekonomickou praxi in Fiser 13. listopadu 2025 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 1 /39 Význam limit v praxi: Prognóza na "dlouhý horizont" a Limity umožňují analyzovat chování systémů při extrémních hodnotách. 9 V ekonomii pro modelování trendů a predikci. ► "Kam směřuje státní dluh, pokud poroste tímto tempem?" ► "Máme nový produkt. Jaký je maximální (limitní) počet uživatelů, kterého můžeme na trhu dosáhnout, než se trh 'nasytí'?" ► "Kolik budu mít naspořeno za 40 let při složeném úročení?" • V inženýrství pro analýzu stability systémů. • V informatice při analýze algoritmů a jejich složitosti. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Motivační příklady: Kam to smeruje? Prozkoumejme, zatím Jaicky", následující posloupnosti: 1) Posloupnost 1,4,9,..., n2,...: 100 80 60 40 20 Hodnoty rostou nade všechny meze. Limita je +oo Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 3/39 Motivační příklady: Kam to směřuje? 2) Posloupnost -1, -2, -3,..., -n,...: 7 e 9 10 Hodnoty klesají pode všechny meze. Limita je -oo Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 4/39 Motivační příklady: Kam to smeruje? 3) Posloupnost i, \ , \ i • ' n' Hodnoty leží v intervalu (0; 1] a s rostoucím n se blíži nule. Limita je 0 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 5/39 Motivační příklady: Kam to smeruje? 4) Posloupnost 1, -2, 3, -4, 5,..., 2n - 1, -2n,.. -10 -15 Hodnoty střídají znaménko (oscilují) a rostou (v absolutní hodnotě) nade všechny meze. Limita neexistuje Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 6/39 Motivační příklady: Kam to směřuje? 5) Posloupnost 1, i, 1, \, 1..., 1,^L,...: f □ ů o ů □ o.a 0.6 y 0.4 o Q2 □ G1234567B9 1G n Hodnoty "skáčou", ale neustálí se na jedné hodnotě. Limita neexistuje Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 7/39 Klíčové pojmy: Konvergence vs. Divergence Definice Řekneme, že posloupnost (an^j je konvergentní, jestliže má vlastní limitu (tj. konkrétní reálné číslo, např. 0 nebo 1). Řekneme, že posloupnost (an^j je divergentní, jestliže má nevlastní limitu (uteče do +00 nebo -00) nebo limitu nemá (skáče, osciluje). Vrc+1/ J ■ 7 f / \ f 1 ■ ■ ■ V 7 J íld. 1 IHLU C, imitu 0 1 1 1 1 1 lu vv 5 /~\ /10 01 n 1 11 k nitu +00, (V) je pro q < -1 div [n 1, ne m c 1 limitu (osciluje). Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 8/39 Klíčové pojmy: Konvergence vs. Divergence Definice Řekneme, že posloupnost (an^j je konvergentní, jestliže má vlastní limitu (tj. konkrétní reálné číslo, např. 0 nebo 1). Řekneme, že posloupnost (an^j je divergentní, jestliže má nevlastní limitu (uteče do +00 nebo -00) nebo limitu nemá (skáče, osciluje). Ti 1 je konvergentní, má limitu 1 n+1 • stacionární posloupnost (V) je konvergentní, má limitu c, -) je konvergentní, má limitu 0, 77y Ti \ —J je divergentní, má nevlastní limitu +00, qn^j je pro q < -1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 8/39 Rozšířená reálná osa (pro připomenutí) Definice Rozšířenou reálnou osou nazýváme množinu IR* =]Ru{-oo,+oo}, kde -oo a +00 jsou nevlastní čísla, přičemž pro každé x e R platí —00 < x < +00. Nekonečno je koncept, ne číslo. Berte ho jako "něco, co je větší / menší než cokoli, co si dokážete představit." Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Početní operace s nevlastními čísly: • Sčítania odčítání: M x e R definujeme oo ± x = oo, —oo ± x — — oo, 00 + 00 = 00, — (—00) = 00, —00 — 00 = —00. — Nedefinujeme (NEURČITÝ VÝRAZ) — 00-00 (Nevíme, kdo "vyhraje") • Násobení: \/x e R, x > 0 definujeme x • (+00) = (+00) • (+00) = (—00) • (—00) = +00, x • (—00) = (+00) • (—00) = (—00) • (+00) = —00. Podobně pro x < 0: x • (+00) = -00, x • (-00) = 00 — Nedefinujeme (NEURČITÝ VÝRAZ) — 0 • (+00), 0 • (-00) (Přetahovaná: nula vs. nekonečno) Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 10/39 Početní operace s nevlastními čísly (pokr.) • Dělení: Mx e R definujeme x x (+00) (-00) Pro x > 0 je = 0 (Klíčové pravidlo! "Koláč pro nekonečno lidí") pro x < 0 je +00 x +00 = +00, —00 x —00 = —00, = —00, = +00. ry ry Nedefinujeme (NEURČITÉ VÝRAZY) ±00 x 0 - pro žádné x g IR*, tj. ani - ±00' Mocniny. Vn e N definujeme (+oo)n = +00, (+oo)"n = 0, (-oo)n = (-l)n • (+00). — Nedefinujeme (NEURČITÉ VÝRAZY) — (+oo)°, (-00)0, 0°, l+~„V~t>«i> Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 11/39 Procvičení počítání s nekonečny Úloha Vypočtěte (-00) xo , N 1200! a = +00 • 5 - ^-+ (-00)3 • (100 - 00) - +00 / r* \ (_ 00) / N S /-. ™ \ 1200! a — (+00 • 5) —--- + (—00) • (100 — 00)-- N-v-' s_3, ^-v-' ^-v-' +oo +00 -00 -00 ^ -oc 0 a = +00 — (—00) + (—00) • (—00) — 0 = +00 + 00 + 00 — 0 = oo, Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 12/39 Procvičení počítání s nekonečny Úloha Vypočtěte (-00) xo , N 1200! a = +00 • 5 - ^-+ (-00)3 • (100 - 00) - +00 , (-00) xo , x 1200! a = (+00 • 5) - ^—t + (-00)3 • (100 - 00)-- ^-v-' 3 ^-v-' ^-v-' +oo -00 o a = +00 — (—00) + (—00) • (—00) — 0 = +00 + 00 + 00 — 0 = oo, Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 12/39 Věta o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu: Nechí liman = a, lim&n = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v IR* smysl (tj. nejsou neurčité!): 1) lim(an + bn) = a + b, lim(an - bn) = a - b, 2) lim(an -bn) = a • b, 3) pro bn ŕ 0, b ŕ 0 je lim(an/6n) = a/b, 4) lim \an\ = \a\. Ukázka: limn2 = oo, lim - = 0: • limn2 + i = [oo + 0] = oo. (Toto jde spočítat rovnou) 2 m n • - n t 2 limn • - n = limn = oo; J r \ r □ gi - = Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 Věta o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu Nechí liman = a, lim&n = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v IR* smysl (tj. nejsou neurčité!): 1) lim(an + bn) = a + b, lim(an - bn) = a - b, 2) lim(an • bn) = a • &, 3) pro 6n ^ 0, & ^ 0 je lim(an/6n) = a/6, 4) lim |an| = \a\. Ukázka: limn2 = oo, lim - = 0: • limn2 + i = [oo + 0] = oo. (Toto jde spočítat rovnou) • limn2 • i = [oo • 0] není definováno, větu nelze použít. Musíme výraz nejdřív upravit: limn2 • ^ = limn = oo; Pointa: Pokud dosazením dostaneme neurčitý výraz, musíme výraz algebraicky upravit ("použít trik"). Konkrétní výpočty limit: „tabulkové" limity Základní "stavební kameny", které si pamatujeme: +00 , a > 0; (např. limn2 = 00) 1 , a = 0; 0 , a < 0. (např. limn-1 = lim ^ n—řH-oo 1) lim na = < = 0) n—ř-h 00 2) lim qn = < 0 1 +00 neexistuje g G (-1,1); (např. lim(0.8)n = 0) 9 = 1; g > 1; (např. lim(1.05)n = 00) q < -1. (např. lim(-l)n) 3) Pro q > 0 platí lim ^fq = 1. 4) lim \/ň = 1. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 14/39 Kuchařka: Trik č. 1 (pro oc - oc) • lim (n2 + 5n) = +00 + (+00) n—ř-h 00 = +00. n—ř-h 00 lim (n2 - 5n) = +00 - (+oo)ND (Musíme upravit!) Trik: Vytkneme „nejsilnejsího hrace' = lim n(n — 5) n—ř-h 00 +00 • (+00) = +00. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 13. listopadu 2025 15/39 Kuchařka: Trik č. 2 (pro g) 3n2 - 4n + 5 lim--- n-^+oo 4nz + n — 3 L+oondJ (Musíme upravit!) Trik: Vytkneme „nejsilnejsího hrace" z čitatele i jmenovatele n2(3-^ + 4) lim _:_a_vLL ^0 3--+ lim n—>-+oo 4 n 7V 4+ - - 1 n -v ->0 3-0 + 0 4 + 0-0 3 4 Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 □ g - = 13. listopadu 2025 Limity podílu dvou polynomů ("Pravidlo nejsilnějšího hráče") • Při výpočtu limit podílu dvou polynomů pro n oo porovnáváme stupně nejvyšších mocnin v čitateli a jmenovateli. • Intuitivně: Pro n = 1 miliarda je n2 (miliarda miliard) tak obrovské, že 5n (5 miliard) jsou proti tomu "drobné". Díváme se tedy jen na "velké šéfy"(vedoucí členy). Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Limity podílu dvou polynomů ("Pravidlo nejsilnějšího hráče") • Pokud je stupeň čitatele r < s (stupeň jmenovatele), potom P(n) lim ttt4 = 0. (Jmenovatel vyhraje) n^oo Q[n) • Pokud je r = s, potom lim P^ - veclouc' koeficient čitatele n^oo Q(n) vedoucí koeficient jmenovatele' • Pokud je r > s, potom P(n) lim^ diverguje k +00 nebo -00 (Čitatel vyhraje) podle znamének vedoucích koeficientů. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 Příklad 1 (Pravidlo nejsilnějšího hráče) Přikladl ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^H Vypočítejte limitu: 4n3 + 2n2 - n + 5 lim —=-7j- n->oo 2nd — nz + 3n — 1 Řešení: • Stupeň čitatele r = 3, stupeň jmenovatele 5 = 3. • Stupně jsou stejné ==> "Remíza". • Vedoucí koeficient čitatele je 4, vedoucí koeficient jmenovatele je 2. • Podle pravidla: 4n3 +... 4 lim —-= - = 2 Twoc 2nd + ... 2 • Závěr: Limita je 2. □ s Příklad 2 (Pravidlo nejsilnějšího hráče) Příklad 2 Vypočítejte limitu: _ 5n — 3n + 7 lim--- n-xx> 2n4 + n — 1 Řešení: • Stupeň čitatele r = 2, stupeň jmenovatele 5 = 4. Jmenovatel je silnější a vyhraje (stáhne limitu k 0) • Podle pravidla: lim bn] + ---=0 n^oo 2n4 + . . . 9 Zaver: Limita je 0. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 20/39 Příklad 3 (Pravidlo nejsilnějšího hráče) Příklad 3 Vypočítejte limitu: 3n5 - n3 + 2 lim -7z--- n->oo nz + 4n Řešení: • Stupeň čitatele r = 5, stupeň jmenovatele 5 = 2. o r > s ==> Čitatel je silnější a vyhraje (přetáhne limitu k oo). • Vedoucí koeficient čitatele je 3 (kladný), vedoucí koeficient jmenovatele je 1 (kladný). • Znaménka vedoucích koeficientů jsou +/+, takže limita jde k +oo. • Závěr: Limita je +oo. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 21 /39 Příklad 4 (Pravidlo nejsilnějšího hráče) Vypočítejte limitu: -2n4 + 5n2 - 1 lim--- n^oo n4 — n + 3 Řešení: • Stupeň čitatele r = 4, stupeň jmenovatele 5 = 4. • Stupně jsou stejné ==> "Remíza". • Vedoucí koeficient čitatele je -2, vedoucí koeficient jmenovatele je 1. • Podle pravidla: 1 2 2 • Závěr: Limita je -2. □ g - = Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Příklad 5 (Pravidlo nejsilnějšího hráče) Příklad 5 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^H Vypočítejte limitu: n3 — 4n2 + n lim ——-5-^-- n^oo —2nó + nz — 5 Řešení: • Stupeň čitatele r = 3, stupeň jmenovatele 5 = 3. • Stupně jsou stejné ==> "Remíza". • Vedoucí koeficient čitatele je 1, vedoucí koeficient jmenovatele je -2. • Podle pravidla: lnó + ... lim ——r- n-Kx) -2nó + . . . -2 1 2 1 • Závěr: Limita je --. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 □ ť3> - 13. listopadu 2025 Shrnutí: Kuchařka č. 1 (Polynomy) • Při výpočtu limit podílu ^4 je klíčové porovnání stupňů ras • r = s: Limita je g|£ (podíl "šéfů"). • r < s\ Limita je 0 (jmenovatel je silnější). • r > s\ Limita je +00 nebo -00 (čitatel je silnější). □ g - = Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 Limity podílu výrazů s a • Pravidlo: Exponenciální růst (např. 2n) je vždy rychlejší než polynomiální růst (např. n1000). • Při výpočtu limit s an (např. 2n, 5n) je klíčové porovnat základy a. • "Nejsilnější hráč"je ten s největším základem (v absolutní hodnotě). ► Pokud a > 1, an -> oo (roste). ► Pokud 0 < a < 1, an -> 0 (klesá k nule). • Při limitách pro n -> oo je klíčové identifikovat nejrychleji rostoucí člen ("šéfa"). □ 3 Příklady limit s a Příklad Vypočítejte limitu: lim 5 • 2n + 3 • 5n n^oo 4 . 3™ -f 6 • 5n Řešení: • Základy jsou 2, 5, 3, 5. "Nejsilnější hráč"(největší základ) je 5 • Všichni ostatní (2n,3n) jsou proti 5n zanedbatelní. • Díváme se tedy jen na "šéfy": n lim n—>-oo . + 3-5 n . + 6-5 n 3 • 5n lim - n—>-+oo 6 • 5n 3 6 1 2 Závěr: Limita je ^ Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 26/39 Obecná pravidla pro limity s an • Pokud a > b > 1, pak pro n oo platí: an (a\n v 3n lim -— = lim í — I =00 (např. lim— = lim(1.5) n-Kx) bn n^oo \b J 2n n Pokud 0 < a < b < 1, pak: an fa\n (0 l)n lim — = lim - =0 (např. lim )-'— = lim(0.2) n^řoo bn n^oo\bJ (0.5)n Pokud a>U0<6 1, limita je 00. ► Pokud a • b = 1, limita je konstantní. ► Pokud a • 6 < 1, limita je 0. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 □ g - = 13. listopadu 2025 Príklady limit s a Příklad ^^^H Vypočítejte limitu: n lim 2n + 3n n—>-oo 5n Řešení: • Porovnáme základy: 5 > 3 > 2. • "Šéf'V čitateli je 3n. "Šéf"ve jmenovateli je 5n. • Celkový "šéf"je 5n. Jmenovatel je silnější. • Formálně (Trik: Vytkneme nejsilnějšího hráče čitatele i jmenovatele): lim n—>-oo 3n ((I)n + l) lim 3x n 5 -i-0 / Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 28/39 Limity typu [„omezená" x 0] a • Posloupnosti jako sin n, cos n, nebo (-l)n nemají limitu. • Ale jsou omezené - jejich hodnoty nikdy "neutečoď'do oo. (Skočí si mezi -1 a 1). • Pravidlo: Pokud omezenou posloupnost násobíme něčím, co jde k nule, výsledek je nula. • Pravidlo: Pokud omezenou posloupnost dělíme něčím, co jde k nekonečnu, výsledek je nula. „omezena oo Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Příklad: „omezena oo Příklad Vypočítejte limitu: _ cos(n2) lim - n—>-oo fi Resení: • cos(n2) je omezená (skáče mezi -1 a 1). • n jde do nekonečna. • Máme tedy typ "om^)ena", což se blíží k nule. • Závěr: Limita je 0. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 30/39 Příklad: „omezena oo Příklad Vypočítejte limitu: lim <4£ Řešení: 9 (-l)n je omezená (skáče mezi 1 a -1) • yjň jde do nekonečna. • Máme tedy typ "ome^ená". 9 Limita se blíží k nule: (-l)n lim = 0 • Závěr: Limita je 0. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 31 /39 Neexistence limity posloupnosti • Ne všechny posloupnosti mají limitu pro n oo. • Když posloupnost nemá limitu, říkáme, že diverguje. o Metoda důkazu: Najdeme dvě podposloupnosti, které mají různé limity. • Pokud se posloupnost "roztrhne"a její části míří jinam, pak limita celé posloupnosti neexistuje. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Příklad: Neexistence limity Příklad Ukažte, že limita posloupnosti {an}, kde an = (-l)n -n, neexistuje. Průběh posloupnosti: -1,2, -3,4, -5,6,... Jiří Fišer (MVŠO) XLA-09 Řešení (Metoda podposloupností) Krok 1: Najdeme dvě podposloupností. • Podposloupnost 1 (sudá n): n = 2k (tj. n = 2,4,6,...) an = {-l)2k • 2k = (1) • 2k = 2k. • Tato podposloupnost {2k} (tedy 2,4,6,...) jde k +oo. • Podposloupnost 2 (lichá n): n = 2fc + 1 (tj. n = 1,3,5,...) an = (-l)2^1 . (2k + 1) = (-1) • (2fc + 1). • Tato podposloupnost {-(2fc + 1)} (tedy -1, -3, -5,...) jde k Krok 2: Porovnání limit. • Limita sudé podposloupností je +oo. • Limita liché podposloupností je -oo. • Protože +oo ^ -oo, limita celé posloupnosti {aA neexistuje. —oo. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 34/39 Limity typu [1 • Toto je speciální neurčitý výraz. • Typicky se objevuje u posloupností ve tvaru an = ( 1 + - n Motivace z financí: Spojité úročení. Když úročíte 100% úrok (k = 1) stále častěji (n oo), váš vklad (1 + l/n)n nedoroste do oo, ale doroste přesně k číslu e « 2.718. Pro výpočet těchto limit využijeme známé vzorce. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 35/39 Klíčové vzorce (Zapamatovat!) Základní limita: lim 1 H— 1 = e n—>-oo V fi Obecnější tvar (pro cvičení): lim ( 1 + - 1 = ek n—>-oo \ ti kde k je realne číslo. Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 36/39 Příklad 1 (Typ 1°°) Příklad 1 Vypočítejte limitu: lim I 1 + - n—>-oo \ ji Řešení: • Použijeme vzorec: lim ( 1 + - — e k V našem případě je k = 2, tedy: lim ( 1 + = e' n—>-oo V xi • Zaver: Limita je e . □ s1 - = -E 'o q. o Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 37/39 Příklad 2 (Typ 1°°) Příklad 2 ^^^B Vypočítejte limitu: c\ n+2 lim I 1 + - Řešení: Trik: Rozdělíme exponent, c \ n+2 i + - n i+5- n n i+5- n -Ki+o)2=i Víme, že: lim n—>-oo , 5\n 1 + - I = e" n • A také (dosadíme oo): 5 \ 2 lim I 1 + - J = n—>-00 \ fl 1 + oo = (1 + 0)2 = 1 □ ~ = -š -o q, o Jiří Fišer (MVSO) XLA-09 13. listopadu 2025 38/39 Příklad 3 (Typ 1°°) Příklad 3 Vypočítejte limitu: ,n + 6xn lim n—řoo \ ji Řešení: • Trik: Upravíme základ na tvar (1 + ...). n + 6 n 6 6 -=-+-=l+- n n n n • Nyní máme výraz: g\ n lim ( 1 + - n—>>oo V ji • Podle vzorce (k = 6) je limita e6. • Závěr: Limita je e6.