Matematika pro ekonomickou praxi
Jiri Fiser
30. října 2025
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
1 /28
Rekapitulace a cíl
• V minulé přednášce jsme se zabývali soustavami n rovnic o n neznámých.
• Již známe:
► obecnou (Gaussovu) metodu
► Cramerovo pravidlo (pro soustavy nxnsdetA^O)
• Dnes se zaměříme na slíbený druhý přístup pro regulární soustavy:
h( w —
1     i A
J J
/   r\\ Ji
= b
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
2/28
Rekapitulace a cíl
• V minulé přednášce jsme se zabývali soustavami n rovnic o n neznámých.
• Již známe:
► obecnou (Gaussovu) metodu
► Cramerovo pravidlo (pro soustavy nxnsdetA^O)
• Dnes se zaměříme na slíbený druhý přístup pro regulární soustavy:
Řešení pomocí inverzních matic
o Připomenutí Frobeniovy věty: Pro regulární matici A (tj. h(A) = n neboli det A ^ o) má soustava Ax = b právě jedno řešení.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
2/28
Základní operace s maticemi
Součin čísla a a matice A:
a A = (occiij)
(každý prvek matice A vynásobíme číslem a, výsledkem je opět matice typu (m,n)).
Násobení matice číslem
íi -A
\
o i
3 -2
/2-1 2-(-l)\
2-0 2-1 ^2-3 2-(-2)y
(2 -2\ 0 2
6 -4
\
Jiří Fišer (MVSO)
□       g       - =
XLA-05
30. října 20Í
3/28
• Součet matic A a B typu (m, n)\
A + B = (oij + bij)
(sčítáme podle pozic po prvcích (jako u součtu vektorů), výsledkem je opět matice typu (m, n), matice A a B musí být stejného typu).
Sčítání matic
6 2   7 \     Í2   5   -l\_/6 + 2 2 + 5   7-1 \ _ Í8   7 6\ 1 4 -2y + \ 3 -8   0 J ~ [l + 3 4-8  -2 + OJ ~ \4 -4 -2j '
• Pro matice A, B, které jsou typu (m,n), nulovou matici Omn a a,f3 eR platí
1) A + B = B + A,
2) A -h Omn — A,
3) a(0A) = (a/3)A.
Násobení matic: Nechí A = (aij) je matice typu (m, n) a B = (bij) je typu (n,p). Potom matici C = (Cij) typu (m,p), pro kterou platí
Cij = anbij + ai2b2j +----h ainbnj,
označujeme A B a nazýváme součinem matice A a matice B (v tomto pořadí).
Vizuální schema (tzv. "skalami součin radku a sloupce")
^ •   •   • •   •   • •
• • •       • • • •
\
a
in
... ...
y. . .     bnj     . . .
/...
A
c
V"
7
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
Vizuální schema (tzv. "skalami součin radku a sloupce")
^ •   •   • •   • •
^ • • •        • • •
\
a
in
)
... ...
y. . .     Onj     • • • /
/...
A
l3
v • •
7
• Prvek cíj vzniká vynásobením i-tého řádku matice A s j-tým sloupcem matice B.
• K tomu je potřeba, aby tento i-tý řádek a tento j-tý sloupec měly stejný počet prvků.
• Proto musí platit, že matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců.
• Výsledná matice má pak tolik řádků, kolik jich má matice A, a tolik sloupců, kolik jich má matice B.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
6/28
Úloha (Násobení matic)
Vypočtěte A •B pro matice A =
l -l
a B =
10-1 3-12
Řešení.
Matice A má dva sloupce a matice B dva řádky, součin A • B tedy existuje. Výsledná matice bude mít dva řádky (=počet řádků matice A) a tři sloupce (=počet sloupců matice B).
A B =
2 3 1 -1
10-1 3-12
2-1 + 3-3       2-0 + 3- (-1) 2-(-l)+3-2 1 •! + (-!)-3   1-0+(-1) • (-1)   1 •(-!) + (-!)-2
11 -3 4 -2    1 -3
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. října 2025
7/28
V předchozím případě nelze vypočítat B • A, neboí matice B má jiný počet sloupců (3) než má matice A řádků (2).
Necht A, B, C jsou matice a E je jednotková matice (vhodného rozměru). Potom každá z rovností
1) A • E = A,
2) E • A = A,
3) (A + B)-C = A-C + B-C,
4) A(B + C) = A-B + A-C,
5) A • (B • C) = (A • B) • C,
platí, pokud mají příslušné operace smysl.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. října 2025
Historická "historka": Zrod nekomutativity
Zatímco sčítání nebo násobení čísel je komutativní (a + b = b + a, a-b = b- a), násobení matic obecně není (a • b ^ b • a). To byl obrovský myšlenkový posun!
Objevil to irský matematik William Rowan Hamilton kolem roku 1843. Zjistil, že aby mohl násobením popsat otáčení v 3D prostom (hledal tzv. "kvaterniony"), musel se vzdát komutativity. Zpočátku byl z toho tak frustrovaný, že si myslel, že se mu nedaří, ale nakonec pochopil, že právě objevil novou, zásadní vlastnost algebry
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
9/28
Inverzní matice
Necht A a B jsou čtvercové matice typu (n, n). Jestliže platí
AB = BA = E
n-)
potom B nazýváme inverzní matici k matici A a značíme ji A
-i
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
10/28
Regulární a singulární matice
Nechí A je čtvercová matice typu (n, n).
► Jestliže
► Jestliže
pak A nazývame regulární maticí.
pak A nazývame singulární maticí
Nechí je dána čtvercová matice A typu (n, n). Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:
1) A je regulární {h(A) = n),
2) det A 7^ 0,   (Víme z minulé přednášky!)
3) k matici A existuje inverzní matice A~\
4) matici A lze převést pomocí konečně mnoha ekvivalentních úprav na jednotkovou matici En.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
11/28
Nyní je potřeba vypočítat det A a tím také zjistit, zda A je regulární
(det A    0):
A-A-1 =
/l 2 2 0
V1 "2
-A 1
í\    o \\
1
4
1
2
3
4
\-l    1 -1/
	0	
0	1	0
\o	0	1/
/5 0
A"1 • A =
i
4
1
2
3
4
íl
2
\
1
2 0
-2
-1\ 1
	0	
0	1	0
\o	0	1/
Je-li A-1 inverzní k A, potom je i A inverzní k A-1, tj
AA"1 = A_1A = En.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
12/28
Výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav
• Zapíšeme danou (regulárni) matici A ve dvojici s En:
(A|En) =
/ «11 a\2
«21 «22
«ln «2n
\ «nl «n2
a
nn
i o o i
o \
o
0   0   ... 1
/
• Nyní pomocí ekvivalentních úprav (kromě přehazování sloupců) převedeme A na jednotkovou matici En, přičemž stejné úpravy budeme vždy aplikovat i na pravou část matice (za svislou čarou).
• V okamžiku, kdy se vlevo objeví En, vpravo získáme A-1:
(A|En) =
/ «11 «12
«21 «22
«ln «2n
\ «nl «n2
a
Jiří Fišer (MVSO)
nn
XLA-05
1 0 0 1
o \
o
o o
1
r^j • • • r^j
En A
-i
/
30. října 20Í
13/28
Výpočet inverzní matice - Příklad (G eliminace)
íl    2 -l\
Určete inverzní matici A-1 k matici   A =
\
2 0 1 1-2 1
/
Zapíšeme matici (A|E3) =
12-1
0
1
\
1-2 1
1 o o\
0 1 o
o o i y
Pomocí ekvivalentních řádkových úprav (Gaussova eliminace)
► převedeme A (vlevo) na jednotkovou matici E
► stejné úpravy aplikujeme na En (vpravo).
n i
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20í
14/28
Výpočet inverzní matice pomocí ekvivalentních úprav
(a, e3) =
				
		f 1		2
		0		-4
		^°		0
	f 1		2	0
		0	1	0
	\	0	0	1
/1
2 1
2 0
-2
-1 1 1
1 0 0
-1 3
-1 0
_i
4
-1
Tedy
a-x =
1
-2 1
1
1
2 1
3
4
1
0
1
0
o
0   o \
1 o
-1 1
-1 \
\
í 1 0
V
o
2 -1 -4 3 -4 2
1
-2
-1
/ 1
\
Jiří Fišer (MVSO)
í i	0		
1 4	1 2	3 4	
\ "I	1	"I ^	
XLA-05			
1
4
0
0-4 0 0 0-1
/ 1 0 0 0 10 0   0 1
1
2
0
_l i
4 2 -1 1
\
2 0 -1 2 -4 4
0 1
1 -2 1 -1
1 \
2 *
_3
4
-1 /
2 \
-3
-4/
0
1 0
o\
0
1
-1 \
3
1 /
e3 a"1
30. října 20í
15/28
Provedeme zkoušku: A-A"1 =
/1		2	-1 ^		1		í	2	0	2	\
	2	0	1		1 A			-1	2 -	-3	
v	1 -	-2	1	)	4			-4	4 -	-4	/
1	(1	2		■1 ^			í	2	0	2	\
_L 4	2	0	1					-1	2 -	-3	
4	^1	-2	1		/			-4	4 -	-4	/
1	f 4	0	0 ^			1	' i	0	0 ^		
1 4	0	4	0				0	1	0		E
4		0	4)			\	0	0	1 >		
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
16/28
Řešení soustav LR pomocí inverzních matic
Nechí je dána soustava n rovnic o n neznámých
anXi+CLi2X2-\-----h d\nXn    = 61,
a2\Xi + CL22%2 H-----h &2n%n    = &2j
anixi + an2x2 H-----h &nn^n   = &n-
A =
/ Gll &12
&21 a22
&2n
\
X2
X =
Soustavu lze nyní zapsat pomocí maticové rovnice
Ax = b.
b =
b2
\bn/
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
17/28
Řešení soustav LR pomocí inverzních matic
Jestliže A je regulární matice, pak podle Frobeniovy věty existuje právě jedno řešení soustavy. Vynásobíme-li rovnici Ax = b maticí A-1 zleva, dostaneme
Ax
A"1 • (Ax) (A~ľA)x
x =
b,
A'1 ■ b,
A_1&, (asociativita)
A-1 b, A_1b,
což dava další možnost určovaní resení soustavy.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
18/28
Úloha (Řešení soustavy lin. rovnic pomocí inverzní matice) Pomocí inverzní matice vyřešte soustavu rovnic
X\ + 2x2 - %3
2x\ + xs X\ - 2x2 + xs
-3, 7.
Máme
a =
-1\
\
2 0 1 1-2 1
x —
X2 \X3J
b =
/-3\ 7
\7/
Dále z předchozích příkladů známe inverzní matici
/ i   o   \ \
a-x =
i
4
1
2
3
4
V -i i -i /
1
4
/ 2 -1 -4
\
0 2 4
2 \
-3
"4/
□        S> - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
30. října 20Í
19/28
Podle vzorce máme
Tedy
X
í   3    0    3 \
1
4
"16 =		i 4	1 2	-	3 4
		-1	1		1 V1
( 2	0	2	\		-3\
-1	2	-3			7
\ "4	4	-4	/	V	7 )
X
I Xi\
X2 \X3J
Í2\
-1
\3/
/-3\ 7
\7/
/2\ -1
\3/
(Pozn.: Jde o stejnou soustavu jako v minulé přednášce, kde jsme ji řešili Cramerovým pravidlem. Řešení je, jak se dalo čekat, stejné.)
Teoretický úvod (Aplikace: Šifrování)
• Šifrování pomocí matic spočívá v převodu zprávy na číselné hodnoty a v maticovém násobení.
• Klíčové pojmy:
► Šifrovací matice A - matice (klíč), kterou násobíme vektor zprávy.
► Inverzní matice A-1 - umožňuje dešifrování zprávy. Musí existovat, což znamená, že A musí být regulární (det A ^ 0).
• Historie:
► Hillova šifra (vynalezl Lester S. Hill, 1929) byla první polygrafická šifra, která zpracovávala více písmen najednou (jako bloky).
► Tím byla mnohem odolnější proti frekvenční analýze, která snadno "zlomila"jednoduché záměny (např. Cézarovu šifru), kde stačilo spočítat nejčastější písmeno.
► Historka: Ironií je, že Hillova šifra byla na svou dobu tak pokročilá, že ji armáda USA zpočátku odmítla. Byla považována za příliš složitou na "polnľ'použití. K jejímu prolomení je totiž potřeba znalost právě lineární algebry - Gaussovy eliminace a inverzních matic!
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-05	30. října 2025 21/28
Úvod do šifrování zprávy
Zašifrujte zprávu „Matice jsou užitečné" pomocí matice
A =
Í2   1 l\
4 3 2 2   0 2
\
/
• Pro šifrování je nutné, aby měla šifrovací matice nenulový determinant, tedy aby byla regulární.
• Vzhledem k tomu, že jde o matici 3x3, použijeme Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:
det(A) = 2-3-2 + 4-0-1 + 2-1-2-(1-3-2 + 2-0-2 + 2-1-4) = 2 +- 0.
Matice je tedy regulární a lze ji použít k šifrování.
□ S
5    "O ^ O-
Prirazení číselných hodnot písmenům
• Každému písmenu abecedy priradíme číselnou hodnotu. Diakritiku ignorujeme a písmeno ch vynecháme.
• Znak     představuje mezeru v textu.
• Používáme následující schéma:
0	— -	5	= E	10	= J	15 =	O	20	= T	25	= Y
1	= A	6	= F	11	= K	16 =	P	21	= U	26	= Z
2	= B	7	= G	12	= L	17 =	Q	22	= V		
3	= C	8	= H	13	= M	18 =	R	23	= w		
4	= D	9	= I	14	= N	19 =	S	24	= x		
Číselné vyjádření zprávy (bez diakritiky) je:
13 1 20 9 3 5 0 10 19 15 21 0 21 26 9 20 5 3 14 5
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-05	30. října 2025 23/28
Vytvoření matice pro šifrování
• Přepíšeme číselnou reprezentaci zprávy do matice Z tak, aby součin s maticí A existoval.
o Protože je A matice 3x3, musí mít matice Z tři řádky.
• Zprávu přepíšeme po sloupcích a doplníme nulou:
/13  9   0   15  21   20 14\
Z =
\
1
20
3 5
10 19
21 0
26 9
5 3
5 0
/
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. říina2025 24/28
Zašifrování zprávy pomocí maticového násobení
• Vynásobíme šifrovací matici A s maticí Z:
		1	l\	/13	9	0	15	21	20	14\
A Z =	4	3	2 •	1	3	10	21	26	5	5
	^2	0	V	^20	5	19	0	9	3	
• Výsledkem je:
/47 26 29 51 77 48 33\
95 55 68 123 180 101 71
^66 28 38 30 60 46 28y
Přepisem po sloupcích získáme zašifrovanou zprávu jako řetězec čísel.
Odšifrování zprávy pomocí matice
Ukol
Představte si, že jste kryptoanalytik a zachytili jste zprávu. Váš tým zjistil, že jde o Hillovu šifru 2x2.
Odšifrujte zprávu
41 55 70 95 41 55 78 107 35 47 20 30 15 20 69 98 41 61 44 59
zašifrovanou maticí
• Matice A má determinant 3-3-2-4 = 9- 8 = 1^0, takže je regulární a má inverzní matici A-1.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-05
30. říina2025 26/28
Výpočet inverzní matice a dešifrovaní
• Inverzní matice (pro matici 2 x 2 lze snadno spočítat)
a-x =
3 -2 -4 3
,„ '3   2\   f 3    -2\     f 9-8    -6 + 6\     (l 0'
(Overen,:(4  J .  _4   3) = í12_12  _8 + 9) = L  1 »
9 Násobíme tuto matici zleva na matici zašifrované zprávy Zšifr:
/ 3    _2\   /41   70   41    78    35   20   15   69   41 44 A-1 • ZŠHr = (_4    3 j • (,55   95   55   107   47   30   20   98   61 59
/13 20 13 20 11 0 5 15 0 14\ VI    0    9    0    18   0   10   18   26 h)
v i r
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XLA-05	30. října 2025	
Výpočet inverzní matice a dešifrovaní
• Inverzní matice (pro matici 2 x 2 lze snadno spočítat)
A-x =
3 -2 -4 3
,„ '3   2\   f 3    -2\     f 9-8    -6 + 6\     (l 0'
(Overen,:(4  J .  _4   3) = í12_12  _8 + 9) = L  1 »
o Násobíme tuto matici zleva na matici zašifrované zprávy Zšjfr:
!        _ / 3    -2\   /41   70   41    78    35   20   15   69   41 44' šifr ~ l -4    3 / ' 155   95   55   107   47   30   20   98   61 59
• Výsledkem je matice původní zprávy Z:
/13 20 13 20 11 0 5 15 0 14\ VI    0    9    0    18   0   10   18   26 h)
(kterou pak převedeme na písmena).
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XLA-05	30. října 2025 27/28
Převod čísel zpět na text
Přečteme matici Z po sloupcích a převedeme hodnoty na písmena podle původního schématu:
13  20   13  20   11   0   5   11   1 14 1    5    1    9    1    10   0   18   19 1
13 -»• M, 1 -»• A, ...
MATEMATIKA_JE_KRÁSNA
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-05
□       g        - =
30. října 2025