Matematika pro ekonomickou praxi
Jiri Fiser
16. října 2025
□       g        - =
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20í
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých:
anxi + a\2x2 H-----h a\nxn   = 61,
a2iXi+a22^2H-----ha2n^n   = &2,
■
■
■
kde dij, fy, i = 1,... ,m, j = 1,...,n, jsou reálná čísla a x neznámé.
/  «11     «12     • • •     «ln \
«21
A =
«12 «22
«ln «2n
\ «777,1 «m2
/ «11 «12
. «21 «22
Ar =
y «7771 «m2
soustavy.
Jiří Fišer (MVSO)
a
matice soustavy
mn /
«ln «2n
a
mn
6l \
b2
rozšířená matice
'm /
□      g      - =
XLA-04
16. října 20Í
(Počet) řešení soustavy lineárních rovnic
• Řešením soustavy nazýváme každý vektor
u = (m,    ..., un) g Rn, jehož složky u j (dosazené za xj) přemění soustavu rovnic na soustavu rovností.
o Frobeniova věta: Označme hodnost matice soustavy h(A) a hodnost rozšířené matice soustavy h(AR).
O Jestliže h(A) < h(AR), pak soustava nemá řešení.
O Jestliže h(A) = h(AR) = n, pak soustava má právě jedno řešení.
O Jestliže h(A) = h(AR) < n, pak soustava má nekonečně mnoho řešení
závislých na (n - h(AR)) parametrech.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic
O Napíšeme rozšířenou matici soustavy.
O Pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na horní stupňovitou matici (pokud budeme zaměňovat sloupce, dodržíme následující zásady:
a) poslední sloupec pravých stran zůstane vždy na místě,
b) při záměně sloupců zaměníme odpovídajícím způsobem také proměnné).
O K získané matici napíšeme odpovídající soustavu lineárních rovnic, kterou už snadno vyřešíme.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
4/19
Vyřešte soustavu rovnic:
x\ — 2X2 + 3^3 + X4
2x\ — 3^2 + X3 — 2x4
x\ + x2 + x3 + X4
3xi + 2x2 + 5xs — X4
-5;
-7,
1.
Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji na horní stupňovitou:
AR =
í	1	-2	3 1	-5 \	/ 1	-2	3	1	-5 \
	2	-3	1 -2	-7	0	1	-5	-4	3
	1	1	1 1	3	0	3	-2	0	8
v	3	2	5 -1	1 /		8	-4	-4	16 )
(1	-2	3	1	"5 \		f 1	-2	3	1	-5 \
0	1	-5	-4	3		0	1	-5	-4	3
0	3	-2	0	8		0	0	13	12	-1
V 0	2	-1	-1	4 )		^0	0	9	7	-2/
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
5/19
/1	-2	3	1	"5 \		( 1	-2    3 1	-5	
0	1	-5	-4	3		0	1    -5 -4	3	
0	0	13	12	-1		0	0    13 12	-1	
\o	0	9	7	"2 )			0     0 -17	-17	J
/1	-2	3	1	-5 ^		x\ —	2x2 + 3^3 + x4	—	—
0	1	-5	-4	3			x2 — 5^3 — 4^4	=^	3
0	0	13	12	-1			13^3 + 12a;4	=^	—
	0	0	1	1 )			x4	=^	1
• Výsledná horní stupňovitá (dokonce lichoběžníková) matice má čtyři řádky, takže hodnost rozšířené matice soustavy i matice soustavy je 4.
• Počet neznámých je také 4 = n.
• Podle Frobeniovy věty má soustava právě jedno řešení.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
6/19
Nyní ho najdeme:
X\ — 2X2 + 3X3 + X4 X2 — 5X3 — 4X4 13X3 + 12X4
X4
-5 3
-1 1
13X3 + 12X4
13x3 + 12(1)
13^3
~X3~
-1
-1
-13 -1
X2 — 5X3 — 4X4
x2-5(-l)-4(l)
X2 + 1
X2
3 3 3 2
X\ — 2X2 + 3X3 + X4
X! -2(2)+3(-l) + (l)
x\ — 6
X\
-5 -5 -5 1
Řešení je tedy skutečně právě jedno, a to vektor (1,2, -1,1).
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
7/19
Vyřešte soustavu rovnic:
x\ + 2x2 = 1, 2x\ + 4x2   = 2.
Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a tu dále upravíme na horní stupňovitou matici:
1 2
2 4
1
2
1 2 0 0
1 0
1   2 1
• Výslednou matici prepíšeme zpet na soustavu" (v tomto prípade jen jednu rovnici):
x\ + 2x2   — 1-
o Platí h(A) = h(AR) = 1, přičemž n = 2 (počet neznámých).
• Tedy soustava má (podle Frobeniovy věty) nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru (2 - 1 = 1).
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20Í
Volba parametru a)
x\ + 2x2
1.
a) Jako tento parametr můžeme volit například přímo x2.
Řešením naší soustavy je tedy každý vektor tvaru
(xi,x2) = (1 - 2ŕ,ŕ),     kde ŕ je libovolné reálné číslo.
Například pro t = 0 dostaneme řešení (1 - 2 • 0,0) = (1,0),
pro t = 1 zase (1-2-1,1) = (-1,1) atd.
Pro ilustraci můžeme provézt zkoušku, například pro řešení (1,0):
xi+2x2   =   1, 1 + 2-0   =   1, 1   = 1,
2xi+4x2   =   2. 2-1 + 4-0   =   2, 2   = 2,
Zapíšeme
x2 = ŕ,
Tuto volbu použijeme v rovnici:
kde  t g R.
x\ + 2^2 = 1
xx + 2t = 1
xi = 1 - 2t.
□    g     - =
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
9/19
Volba parametru a)
Nebo obecně pro (1 - 2t,t):
Xl + 2x2   =   1, (1 - 2í) + 2t   =   1, 1   = 1,
2a?i +4x2   =   2. 2 ■ (1 - 2í) + 4í   =   2, 2   = 2,
pro všechna tel.
Volba parametru b)
b) Pokud bychom na počátku volili naopak x\\
xi = ŕ,     kde  í gM,
tak dostáváme:
x\ + 2x2 — 1-       t + 2x2 — 1?
1
x2 = "(I ~t).
Řešením naší soustavy je tedy každý vektor tvaru
kde t je libovolné reálné číslo.
Například pro t = 0 dostaneme řešení (o, \ (l - 0)) = (o,   , pro t = 1
zase (l, 7,(1 - 1)) = (1,0), tedy řešení, které jsme získali při
předchozí parametrizaci pro t = 0. Jde o stejnou množinu řešení, jen zapsanou jiným způsobem. Přidejme ještě obecný důkaz, že
ŕ, 7,(1 -1)) je řešením pro každé reálné ť.
xi + 2x2 = 1, 2xi + 4x9   = 2.
1   = 1
t + 2-\(l-ť)   = 1,
Vyřešte soustavu rovnic:
x\ + 2X2 — %3 + 4^4 = I? 2xi + 4^2 + 2^3 — X4   = 0.
Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a tu dále upravíme na horní stupňovitou matici:
12-14 2   4    2 -1
1 0
12-14 0  0    4 -9
1
-2
• Máme tedy ft, = A; = 2an = 4.
• Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení závislých na dvou parametrech.
• Budeme tedy při vyjadřování řešení postupně volit dvě složky.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20Í
12/19
Výslednou matici přepíšeme na soustavu:
4x3    9x4   = —2.
a Ve druhé rovnici při volbě x4 = t dostaneme:
1 9
4x3    9x4 = 4x3 — 9ŕ = —2,   X3 = — — + -t.
• Dále z první rovnice, při volbě x2 = s, dostaneme:
/ 1    9 \ 7     1 1 7
xi+25----h -í +4ŕ = 1,   xi+25+-ŕ = -,   xi = -    25 -ŕ.
V   2    4/ '42' 2 4
Řešením je tedy každý vektor tvaru
1 o     7 19
--25--1, s.---1—t.
2 4 ' '   2    4 '
s,t6t
například (5,0, -5,0) (pro 5 = ŕ = 0).
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20í
13/19
Vyřešte soustavu rovnic:
x - 2y + 4z = 2, 2x-4y + 8z   = 1.
1- 2 4
2- 4 8
1 -2 4 0    0 0
Zpetne prepíšeme na soustavu:
x - 2y + Az   = 2,
0   = -3.
• Zřejmě druhá rovnice nemá řešení, a tak ani celá soustava nemůže mít řešení.
Z pohledu Frobeniovy věty: a hodnost rozšířené matice soustavy je k = 2 , ale hodnost matice soustavy je jen h = 1.
• Máme tedy situaci, kdy h ^   , z čehož podle Frobeniovy věty
plyne neexistence řešení.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20Í
14/19
Další úlohy
—4xi + 4X2 — %3 + %4 — 7x5 = —11
Vyřešte soustavu rovnic:     ,      2xx - 2x2 + x3 + 3x5 = 4,
4xi - 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = -3,
—6xi + 6x2 — 4^3 + ^4 — 12x5 = —7.
Vyřešte soustavu rovnic:
x\ + 2X2 + 3X3 + X4 = 1,
2xi + 4x2 + 7x3 + 7x4 = 4,
xi + 2x3 = -2,
3xi + 7x2 + 10x3 + 6x4 = 7.
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20Í
15/19
Zadání úlohy - Sestavení diety
V nemocnici se připravuje speciální dieta kombinováním 4 základních potravin 1, 2, 3 a 4 tak, aby obsahovala:
• 110 jednotek vápníku (Ca)
• 120 jednotek železa (Fe)
• 130 jednotek mědi (Cu)
• 140 jednotek vitamínu A (A)
Počet jednotek těchto složek v jedné jednotce příslušné potraviny je uveden v tabulce:
	1	2	3	4
Ca	10	20	30	40
Fe	20	30	40	10
Cu	30	40	10	20
A	40	10	20	30
Úkol: Kolik jednotek potravin 1-4 se má použít na sestavení takové diety?
Jiří Fišer (MVSO)
XLA-04
16. října 20Í
16/19
Matematická formulace
• Daný problém lze transformovat na soustavu
► 4 lineárních rovnic o 4 neznámých:
• označíme-li xí množství Hé potraviny použité při přípravě diety
(i = 1,2,3,4),
• pak má příslušná soustava tvar
10a; i + 20^2 + 30a;3 + 40^4 20a: i + 30^2 + 40a;3 + 10^4 30a: i + 40^2 + 10a?3 + 20a:4 40a: i + 10^2 + 20a:3 + 30a:4
= 110, (Ca)
= 120, (Fe)
= 130, (Cu)
= 140. (A)
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
17/19
Řešení soustavy
( 10	20	30 40	110 \			( 10		20	30	40	110 \			
20	30	40 10	120				0	-10	-20	-70	-100			
30	40	10 20	130				0	-20	-80	-100	-200			
\ 40	10	20 30	140	/			0	-70	-100	-130	-300 )			
1 10	20	30	40		110			( 10	20	30	40	110		
0	-10	-20	-70		-100			0	-10	-20 -	-70	-100		
0	0	-40	40		0			0	0	-40	40	0		
\ 0	0	40	360		400	/		^ o	0	0 400		400		/
Frobeniova věta: Vidíme, že h(A) = h(AR) = 4, což je také počet neznámých. Podle Frobeniovy věty má soustava právě 1 řešení.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
18/19
Výpočet řešení
400^4 -40x3 + 40-1 -10x2 - 20-1 - 70-1 lOxi +20-1 + 30-1 + 40-1
400 x4 = l,
0   =>-   xs = 1, -100   =>■   x2 = l, 110 xi=2.
Závěr:
• Řešením soustavy je vektor x = (2,1,1,1).
• Dieta se tedy má sestavit
► ze dvou jednotek potraviny 1
► a jedné jednotky každé z potravin 2, 3 a 4.
Jiří Fišer (MVŠO)
XLA-04
16. října 20