Matematika pro ekonomickou praxi in Fiser 16. října 2025 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 □ S1 ~ = 16. října 2025 Motivace - soustavy lineárních rovnic Určete reálná čísla a, b, c tak, aby platila rovnost 0 • a + 0 • b + 2 ■ c\ /2\ 1 • a + 0 • f>+ 1 • c ] = I 3 I , 2-3 + 1-6 + 0-c/ \4/ 0 • a + 0 • b + 2- c 1 • a + 0 • 6+ 1 • c 2-a + l- Ď + O-c 2 3 4 «—)• 0 0 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 2/20 0 • a + O • b + 2- c 1 • a + 0 • 6+ 1 • c 2-a + l- Ď + O-c 1- a + 0- 6+ l- c 2- a + l- Ď + O-c 0-a + 0-/? + 2-c 2 3 4 3 4 2 <—y <—> 0 0 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 1 0 1 3 2 1 0 4 0 0 2 2 l-a + 0- 6+ l- c 0 • a + 1 • /?- 2 • c 0-a + 0-/? + 2-c l-a + 0- 6+ l- c 0 • a + 1 • /?- 2 • c O-a + 0-Ď+l-c 3 2 2 3 2 1 <;—)► <—> 1 0 1 3 0 1 -2 -2 0 0 2 2 1 0 1 3 0 1 -2 -2 0 0 1 1 □ ► < 1 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 3/20 1-a + O-b+l-c = 3 O-a + l- Ď- 2- c = -2 O-a + O-b+l-c = 1 ^—> 1 0 1 3 0 1 -2 -2 0 0 1 1 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 4/20 2c = 2 a + c = 3 —> 2a + b =4 / O O 2 10 1 \ 2 1 0 Řešení: 1 0 1 3 0 1 -2 -2 00 1 1 1 0 1 3 0 1 -2 -2 0 0 2 2 + c = 3 b — 2c = -2 c= 1 (x,y,z) = (2;0;l) Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 5/20 Motivace - soustavy lineárních rovnic Určete reálná čísla x,y,z, aby platila rovnost 1- x + l- y + l- z 2- x + 2- y + 2- z l-x + 0- y + l- z 1- x+l-y + l- z = 1 2- x + 2-y + 2-z = 2 l-x + 0- y + l- z = 0 <—> Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 6/20 1-x+l-y + l- z = 1 O-x + O-y + O-z = O 1 -x + O-y + 1 -z = O «—> 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1-x + l- y + l- z O 1-x + O- y + l- z 1 O O <—> 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1-x+l-y + l- z 1 -x + O-y + 1 -z 1 O <—> Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 7/20 1 x + 1 y + 1 -z = 1 /lil 1 O-x + O-y+l-z = -1 < ^ \ O O 1 -1 1 x + 1 y + 1 -z = 1 /lil 1 z = -1 ^ ^ V O O 1 —1 Řešení soustavy tedy dává z = —1, x + y —1 = 1 —> z = —1, y = 2 — x, Budeme zapisovat (x,y,z) = (ř,2-ř,-l), tGR, Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 8/20 Hodnost matice • Hodností matice A nazýváme maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků. Značíme h(A). • Platí tedy: h(A) < m — počet řádků. • Také platí: h(hJ) = /?(A), tedy /?(A) < n = počet sloupců. 9 Dohromady: /?(A) < min(m, n). Dokázali byste určit nebo alespoň shora odhadnout její hodnost? Příklad Co byste řekli o této matici • Jak určit hodnost matice? • Nejprve si řekneme, že hodnost každé horní lichoběžníkové matice typu (m. n), m < n, je m. 9 Například /l 2 1 4\ A = 0 6 4 4 1, \0 0 3 0/ je horní lichoběžníková, a tak by mělo platit h(/K) — 3. • To znamená, že ji tvoří m — 3 lineárně nezávislých řádků. 9 Nebudeme to dokazovat obecně, jen si to ukážeme na tomto jednom příkladu. Jiří Fišer (MVSO) XLA-03 / 12 14 Určete hodnost horní lichoběžníkové matice A = I 0 6 4 4 0 0 3 0 Ukážeme, že tato matice je tvořena trojicí lineárně nezávislých řádků Řešíme vektorovou rovnici (z definice lineární nezávislosti vektorů) 2,1,4) + a2(0, 6,4,4) + a3(0, 0, 3, 0) = (0, 0, 0, 0). Po složkách 1 + ol2 2 + ol2 1 + ol2 A + a2 0 + a3 6 + a3 4 + a3 4 + a3 0 0 3 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ol\ — 0 2ai + 6^2 = 0 cti + Aoi2 + 3a3 = 0 4ai + 4a2 = 0 Vyšlo nám tedy jen triviální řešení ol\ — a2 = a3 = 0, a tak jde o trojici lineárně nezávislých řádků (vektorů). Tedy skutečně h(A) = 3. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 11/20 Stejnou vlastnost mají i tzv. horní stupňovité matice • Jestliže v matici má každý následující řádek více nul na začátku než řádek předchozí a poslední řádek je nenulový, pak tuto matici nazveme horní stupňovitou maticí. • Každá horní lichoběžníková matice je současně horní stupňovitá matice. • Hodnost horní stupňovité matice je rovna počtu jejích řádků. Matice B = 12 14 0 0 4 4 | je horní stupňovitá matice. Tedy h(B) 0 0 0 1 = 3 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 12/20 Ekvivalentní úpravy Hodnost matice se nezmění, jestliže v ní provedeme následující úpravy: 9 zaměníme poradí řádků nebo sloupců, Příklad: 1 2 -1\ /l 2 -1\ /l 2 -1\ /2 1 -1\ 00 1-01 3 ) , 20 1 - 0 2 1 013/ \0 0 1 / V0 03/ \0 0 3 / • vynásobíme některý řádek nenulovým číslem, Příklad: Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 13/20 Ekvivalentní úpravy 9 přičteme k některému řádku lineární kombinaci zbývajících řádků, nejčastěji násobek jiného řádku Příklad: 1 2 -1\ /l 2 -1\ 0 3 1 - 0 3 1 (3. řádek-2-1. řádek) 2 13/ \0 -3 5 / • vynecháme řádek, který je lineární kombinací zbývajících řádků speciálně nulový řádek, nebo jeden ze dvou stejných řádků Příklad: (i i í) - e s -■') ■ (i i T) - e s -■') Předchozí úpravy nazýváme ekvivalentní (zachovávají hodnost matice). — 1 1 Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 14/20 Gaussův algoritmus pro určení hodnosti matice: • Danou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou (stupňovitou) matici. • Ta má stejnou hodnost jako výchozí matice. • Již víme, že hodnost horní lichoběžníkové (stupňovité) matice je dána počtem jejích řádků. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 15/20 Určete hodnost matice A = v 1 3 2 6 -1 1 -2 2 -2 3 3 13 2 0 1 2 4\ -1 5 1 / Máme vynulovat oblast matice vlevo dole pod diagonálou 1 3 -2 2 4\ 2 6 3 0 -1 -1 1 3 1 5 v -2 2 13 -2 1 / Budeme postupovat po sloupcích zleva doprava v 1 3 2 6 -1 1 -2 2 -2 3 3 13 2 0 1 ■2 4\ •1 5 1 / O První řádek ponecháme. Je výhodné, že na první pozici je jednička. Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku (značíme 2.ř.—2-l.ř), ke třetímu řádku přičteme první řádek (3.r.+l.r) a ke čtvrtému přičteme dvojnásobek prvního (4.ř.+2-l.ř.). Tím dostaneme matici (se stejnou hodností): A = 1 3 -2 2 3 -2 2 2 6 3 0 -1 0 0 7 -4 -9 -1 1 3 1 5 0 4 1 3 9 v -2 2 13 -2 1 / Vo 8 9 2 9 / O V dalším kroku zaměníme druhý a třetí řádek: /1 3 -2 2 3 -2 2 0 0 7 -4 -9 0 4 1 3 9 0 4 1 3 9 0 0 7 -4 -9 Vo 8 9 2 9 / Vo 8 9 2 9 / Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 17/20 O Od 4. řádku odečteme dvojnásobek druhého řádku (4.ř.-2-2.ř.): /1 3 -2 2 4\ 3 -2 2 0 4 1 3 9 0 4 1 3 9 0 0 7 -4 -9 0 0 7 -4 -9 \o 8 9 2 9 / Vo 0 7 -4 "9 / O Vynecháme čtvrtý řádek, neboť je stejný jako třetí řádek (je tedy lineární kombinací zbývajících řádků): 2 2 4 \ 1 3 9 1. 7 -4 -9 / Výsledkem je horní lichoběžníková matice, která má tři řádky, a tak i hodnost 3, stejně jako původní matice: /?(A) = 3. Jiří Fišer (MVŠO) XLA-03 16. října 2025 18/20 / 1 3 -2 2 4 \ 0 4 1 3 9 0 0 7 -4 -9 \ 0 0 7 -4 "9 / Určete hodnost matice B = 1 -4 5 0 2\ 2 1 -1 1 -2 5 -2 3 2 -2 4 -11 13 -3 8 / B / 1 2 5 V -4 -4 1 -2 -11 5 -1 3 13 0 1 2 3 2 \ ■2 ■2 8 / i) / 1 0 0 -4 5 0 9 -11 1 -6 18 -22 2 -12 -27 33 -3 i6 y 1) 2.1.-2-1.1., 3.ř.-5-l.ř., 4.ř.+4-l.ř.; 1 -4 5 0 2 \ 0 9 -11 1 -6 0 18 -22 2 -12 V o -27 33 -3 16/ -4 5 0 0 9 -11 1 -6 0 9 -11 1 -6 \o -27 33 -3 16 2) O O 3) -4 5 0 2 9 -11 1 -6 9 -11 1 -6 -27 33 3 16 -4 5 0 2\ 9 -11 1 6 0 0 0 2 i 2) 3.ř.-| ; 3) 3. řádek vynecháme (neboť je stejný jako druhý řádek), 4.ř.+3-2 h(B) = 3.