STATISTIKA 2 Statistika a statistické zpracování dat
Blok 2-2
in Fišer 22. listopadu 2024
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 1/47
Základní diskrétní rozdělení pravděpodobností
o Alternativní rozdělení
• Binomické rozdělení
• Hypergeometrické rozdělení
• Diskrétní rovnoměrné rozdělení
• Poissonovo rozdělení
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 2/47
Binomické rozdělení X ~ Bi(n, p)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n nezávislých dichotomických pokusů
Příklady
• počet děvčat v rodině s n dětmi
• počet zmetků mezi n výrobky
• počet úspěšných zkoušek přístroje z celkem n zkoušek
Parametry rozdělení
• n ... počet nezávislých dichotomických pokusů
• p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 3/47
Binomické rozdělení X ~ Bi(n,p)
Pravděpodobnostní funkce (Bernoulliho schéma)
P(X = k) = ( l) p*(1-p)n~k, k = 0,...,n,   n>1, pe(0,1)
Distribuční funkce
0
F(x;p,n) = {
1
n
x < 0
n<x\k\Pk0-P)n-k 0<x<n
x > n
Excel: BINOM.DIST(k;n;p;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X =
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 4/47
Binomické rozdělení X ~ Bi(n,p)
Číselné charakteristiky
E(X) = np,   D(X) = np(1-p),   ax = y/npO - p)
p = 1 /2 symetrické rozdělení, jinak asymetrické
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 5/47
Príklad (Barva kvetú hrachu)
Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že f nově vzniklých rostlin (potomků)
pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově?
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 6/47
Příklad (Barva květů hrachu)
Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že f nově vzniklých rostlin (potomků) pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově?
Řešení
X... počet fialově kvetoucích rostlin z 10 rostlin
X~Bi(10;0,75)
P(X = 9) = ( 1g° ) 0 J59 0,251 = 0,188
Excel: BINOM.DIST(9;10;3/4;0)
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, rí)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n závislých dichotomických pokusů (výběr bez vracení)
Příklady
• počet vybraných zmetků, vybíráme-li n výrobků z N výrobků, přičemž M z nich jsou zmetky
• počet vybraných nenaučených otázek, losujeme-li n otázek z A/, přičemž na M z nich nejsme naučeni
Parametry rozdělení
• n ... počet vybraných jednotek (závislých dichotomických pokusů)
• N ... počet všech jednotek
m M ... počet jednotek, které mají sledovanou vlastnost
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 8/47
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, rí)
Pravděpodobnostní funkce
P(X = k)=      (N~k  , /c = 0, . . . , /7, A/>A7>1,0<M<A/
Distribuční funkce
F(x; A/, M, n)
Číselné charakteristiky
£(X) = -jr,   D(X) = n-(j--^_j
^31 22. listopadu 2024 9/47
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 9/47
'0
1
(M\(N-M\ \k)\n-k )
x < 0
0 < X < A7
x > n
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, h)
Excel: HYPGEOM.DIST(k;n;M;N;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
□       g        - =
Jiří Fišer (MVSO)
YSTA2-02-2
22. listopadu 2024
Příklad (Vadné výrobky)
Mezi 100 výrobky je 20 zmetků. Vybereme 10 výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými výrobky Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali právě 3 zmetky?
Nejaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 11/47
Příklad (Vadné výrobky)
Mezi 100 výrobky je 20 zmetků. Vybereme 10 výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali právě 3 zmetky?
Řešení
X ... počet vybraných zmetků N= 100, M = 20, n= 10
X-Hg(100;20;10)
p(* = 3) = ^jmír = °>209
110 )
Excel: HYPGEOM.DIST(3;10;20;100;0)
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 12/47
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Model: počet událostí, které nastanou při provedení velkého počtu nezávislých dichotomických pokusů, přičemž pravděpodobnost vzniku události je velmi malá
• výskyt jevu v daném časovém/prostorovém intervalu nezávisí co se stalo jindy/jinde
• v daném okamžiku/bodě nemohou nastat 2 jevy současně
• pro každý časový okamžik/bod je pravděpodobnost výskytu jevu v malém časovém/prostorovém intervalu stejná
• A ... intenzitu výskytu události za jednotku času/délky/objemu Příklady
• # částic emit. za jedn. času radioaktivní látkou dané hmotnosti
• # signálů, které dojdou do telefonní ústředny za jednotku času
• # jednob. organizmů na ploše velikosti t v zorném poli mikroskopu
• # dopravních nehod za jednotku času
• # typografických chyb na stránce
• # volných dnů ve firmě během měsíce
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 13/47
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Pravděpodobnostní funkce
A*
P(X = k) = ^-e"A, /f = 0,1,2,..., A>0
a !
Distribuční funkce
F(x; A) =
0 x < 0
Číselné charakteristiky
E(X) = A,   D(X) = A,   ax = V A
Excel: POISSON.DIST(/c;A;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 15/47
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky? Řešení
X... počet výpadků za 1 den
průměrně 2 výpadky za 24 hodin   =4>   A = 2
X
Po(2)
P(X = k)='—e-x,   /c = 0,1,2,...
k\
P(X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X Excel: 1-POISSON.DIST(0;2;0)
= 0) = 1 - e~2 = 0,865
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
< S1 ► < .g ► < -š ►     -E     -O Q, O 22. listopadu 2024 16/47
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
Řešení
Y ... počet výpadků za 1 týden
průměrně 2 výpadky/24 hodin průměrně 2-7 = 14 výpadků/týden
V ~Po(14)
142    143
P(V<3) = e"14( 1 +14 + —+       ] =0,000474
2!
3!
Excel: POISSON.DIST(3;14;1)
□ i5P
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
22. listopadu 2024
17/47
2.5 Základní spojitá rozdělení pravděpodobností
a Rovnoměrné rozdělení
• Exponenciální rozdělení
• Normální rozdělení
o Studentovo rozdělení
• F-rozdělení
• Chi-kvadrát rozdělení
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(a, b)
Model X ~ R(0, d)
• modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky d
• čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který nikterak nesouvisí s minulým ani budoucím výskytem události
Příklady
• doba čekání na autobusové zastávce na autobus, který jezdí po d minutách R(0, d)
9 chyba při zaokrouhlení na 1 desetinné místo R(-0,05; 0,05)
• chyba při stanovení času z digitálních hodin v minutách R(0; 60) sekund
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 19/47
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(a, b)
Hustota
f(x) = ) 5=ä xe{a,b), -oo<a< b <oc { '   S0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
(0
x-a b-a
1
x < a x g (a, b) x > b
Číselné charakteristiky
E(X)=«±*.   D(X) = Í^, «x=b-a
12
v/12
□        S> - =
Jiří Fišer (MVSO)
YSTA2-02-2
22. listopadu 2024
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(—1,1)
Hustota
Distribuční funkce
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 21/47
Příklad (Dodávka zboží)
Prodejna očekává dodávku nového zboží určitý den v době od 8 do 10 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tri čtvrtě na devět?
Nejaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Příklad (Dodávka zboží)
Prodejna očekává dodávku nového zboží určitý den v době od 8 do 10 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tri čtvrtě na devět?
Řešení
X ... čas příjezdu v hodinách
X
Ro(8,10)
x g (8,10) jinak
x g (a, b) jinak
□   g    - =
22. listopadu 2024
23/47
Pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět
'8,75 h h
P(8,5 < X < 8,75) = /     -dx = -[8,75 - 8,5] = 0,125
8,5    2 2
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Model: modelování doby/vzdálenosti čekání na událost, která nemá paměť, tj. zbývající doba/vzdálenost čekání nezávisí na tom, jak dlouho už na událost čekáme
Příklady
• doba životnosti zařízení, u kterého dochází k poruše náhodně, nikoliv z důsledku opotřebení
• délka telefonního hovoru
• doba mezi 2 příchozími telefonáty
Parametr rozdělení
• A ... míra rizika výskytu sledované události za jednotku času/vzdálenosti
• I ■ ■ ■ očekávaná doba/vzdálenost do výskytu sledované události
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 25/47
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Hustota
tí . \\e~Xx x > 0, A > 0 fix) = <
w    ^0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
0 x < 0,
1 - e~Xx x>0
Číselné charakteristiky
E(X) = 1    D(X) = -1,   ax = l
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Hustota
tí . \\e~Xx x > 0, A > 0 fix) = <
w    ^0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
0 x < 0,
1 - e~Xx x>0
Číselné charakteristiky
E(X) = 1    D(X) = ±
1
Ä
Pozor! Někdy se používá jiná parametrizace
X ~ Ex(0),   9 = 1 /A
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 26/47
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(1)
Hustota Distribuční funkce
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Excel: EXPON.DIST(x;A;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet f(x)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 28/47
Příklad (Obsluha v restauraci)
Doba čekání hosta na pivo v restauraci U Lva je průměrně 5 minut. Určete
a) pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
b) dobu čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9.
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Příklad (Obsluha v restauraci)
Doba čekání hosta na pivo v restauraci U Lva je průměrně 5 minut. Určete
a) pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
b) dobu čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9.
Řešení X... doba čekání na pivo (v minutách)
průměrná doba čekání na pivo ... 5 minut
X~Ex(A), A
5
□   g    - =
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
P(X > 12) = 1 - P(X < 12) = 1 - F(12) = 1 - (i - e-5'12)
= e~T = 0,09 Excel: 1-EXPON.DIST(12;1/5;1)
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Doba čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9
P(0 < X < t) = 0,9 F(t) - F(0) = 0,9 1 - e~t/5 - 0 = 0,9 e-f/5 = 0,1 ř = -5 ln(0,1 )=11,51 min=11 min 30 s
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 32/47
Normální rozdělení X ~ n(/i, a2)
Hustota
f(x) = —^e~^~,   x e IR1, /ígI1, a > 0
v 27t(j
Vlastnosti
• X může nabývat jakýchkoli reálných hodnot
• hustota je symetrická kolem ji
• hustota nabývá maxima v bodě x = /i,       = -^=;)
• normální rozdělení s parametry /i = 0 a a2 = 1 nazýváme normované (standardizované) normální rozdělení.
9 n parametr polohy (střední hodnota)
• a parametr měřítka (směrodatná odchylka)
□ S" ►   4 .F ►   4 =
Jiří Fišer (MVSO)
YSTA2-02-2
22. listopadu 2024
Normální rozdělení X ~ n(/i, a2)
Číselné charakteristiky
E(X) = ii,   x0.5 = ^   * = M>   D(x) = °2
71 (X) = 0 (šikmost),   72(X) = 0 (špičatost)
Excel: NORM.DIST(x;/i;cr;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet f(x) 9 logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
NORM.S.DIST(x;logická proměnná) pro práci s N(0,1) NORM.INV(a;/i;<r) výpočet a kvantilu NORM.S.INV(a) výpočet a kvantilu pro X - N(0,1)
□       ť5P        -        = -š^O^O
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 34/47
Hustota normálního rozdělení
0.4 0.35 0.3 0.25 S 0.2 0.15 0.1 0.05 0
-N(0,1)
---N(-1,1)
N(-2,1)
X~N(0,a2): f(-x) = f(x),    Ui-a = -Ua
X ~ N(/i, o-2) : f(-x + /i) = f(x + /i)
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Distribuční funkce normálního rozdělení
1 r
0.9 ■ 0.8-0.7-0.6-0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ■ 0 ■
-N(0,1)
---N(-1,1)
■■ N(-2,1)
X ~ N(0, a2) : F(-x) = 1 - F(x) X ~ N(fi, a2) : F(-x + fi) = 1 - F(x + /i)
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 36/47
Vztah mezi n(/x, a2) a n(0,1)
X-N(/í,(t2) -^~N(0,1)
(T
X~N(0,1), /íGE1, a2 > O    4»    crX + /i ~ N(/i, o-2)
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
□       g        - =
Pravidlo 3 sigma
Pro X ~ N(n, a2) platí
P[/i - a < X < /x + a] « 68,3% P[/j - 2a < X < \x + 2a] » 95,5% P[ju - 3a < X < ^ + 3<x] » 99,7%
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 38/47
Příklad (IQ testy)
Hodnota IQ se řídí normálním rozdělením N(100,152). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude mít
a) IQ více než 130 bodů,
b) IQ méně než 90 bodů,
c) IQ v intervalu od 100 do 130 bodů?
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Příklad (IQ testy)
Hodnota IQ se řídí normálním rozdělením N(100,152). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude mít
a) IQ více než 130 bodů,
b) IQ méně než 90 bodů,
c) IQ v intervalu od 100 do 130 bodů?
Řešení Přímý výpočet s využitím softwaru
P(100 < X < 130) = F(130) - F(100) = 0,9772 - 1 = 0,4772, kde F(x) je distribuční funkce A/(100,152)
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Studentovo rozdělení
• Studentovo rozdělení je pojmenováno po Williamu Sealy Gossetovi, statistikovi pracujícím pro pivovar Guinness.
• Aby se vyhnul problémům s publikováním, používal pseudonym „Student".
• V roce 1908 zveřejnil práci, která popisovala rozdělení nyní známé jako Studentovo rozdělení.
• Jeho cílem bylo vyřešit problémy s malými vzorky v průmyslu.
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Definice
Definition
Studentovo rozdělení s v (řecké písmeno „ný") stupni volnosti je užitečné při odhadu střední hodnoty normální populace na základě malého vzorku, pokud směrodatná odchylka populace není známa. Hustota Studentova rozdělení je dána vzorcem:
f{x- v) =
kde v je počet stupňů volnosti a r je gama funkce.
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Základní číselné charakteristiky
• Střední hodnota: 0 (pro v > 1) o Rozptyl:   - - (pro v > 2)
v — 2
• Asymptotické chování: Pro velké v se Studentovo rozdělení blíží normálnímu rozdělení.
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Grafy hustot a distribuční funkce
Grafy znázorňující hustotu a distribuční funkci Studentova rozdělení pro v = 2 a v = 5 stupňů volnosti:
-5 0 5 -5 0 5
x x
Obrázek: Grafy hustot a distribučních funkcí Studentova rozdělení pro 2 a 5 stupňů volnosti
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 44/47
Excelovské funkce
Pro práci se Studentovým rozdělením lze v Excelu použít následující funkce:
• Hustota pravděpodobnosti (PDF): t.dist (x; vr falše)
• Distribuční funkce (CDF): t.dist (x; vr true)
• Kvantilová funkce: Funkce t . inv (p; v) vrací kvant i I pro danou pravděpodobnost p a v stupni volnosti.
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2
Procvičení
Použijte vhodné excelovské funkce k procvičení práce s rozdělením:
O Vypočítejte hodnoty hustoty pravděpodobnosti pro Studentovo rozdělení s v = 8 a následující hodnoty x = -2, -1,0,1,2.
O Vypočítejte hodnoty distribuční funkce pro Studentovo rozdělení s v = 8 a stejné hodnoty x = -2, -1,0,1,2.
O Pomocí funkce t . inv () najděte kvantily pro pravděpodobnosti p = 0,05; 0,5; 0,95 při v = 8. Co nám ty výsledky říkají?
O Vytvořte přibližné grafy hustoty a distribuční funkce pro
Studentovo rozdělení v Excelu pomocí výpočtu jejich hodnot v dostatečně husté síti bodů na ose x. Můžete opět použít v = 8 a
x —   6,   5,5,   5,..., 5,5, 6.
Alternativně použijte GeoGebru.
			
Jiří Fišer (MVŠO)		YSTA2-02-2	22. listopadu 2024 46/47
Podobně projděte a procvičte další dvě rozdělení ze skript:
• F-rozdělení
• Chi-kvadrát
Jiří Fišer (MVŠO)
YSTA2-02-2