STATISTIKA 2 Statistika a statistické zpracování dat Blok 1-3 in Fišer 8. listopadu 2024 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 1/47 Pravděpodobnost Pravděpodobnost náhodného jevu A je číslo mezi 0 a 1, které vyjadřuje míru pravděpodobnosti jeho výskytu. Různé definice pravděpodobnosti: o Klasická pravděpodobnost: Předpokládá rovnoměrně rozložené výsledky. • Geometrická pravděpodobnost: Pravděpodobnost na základě poměru délek, ploch, objemů. • Statistická pravděpodobnost: Odvozená z relativní četnosti výskytu jevu při opakovaných pokusech. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 2/47 Klasická pravděpodobnost Definice: Klasická pravděpodobnost pro jev A je: P(A) Počet příznivých výsledků Celkový počet možných výsledků Předpoklady: O Konečný počet možných výsledků: Počet všech možných výsledků (elementárních jevů) je konečný a jasně definovaný. O Stejná pravděpodobnost všech výsledků: Každý možný výsledek je stejně pravděpodobný. O Určitelnost jevů: Všechny možné výsledky jsou dopředu známy. Nezávislost pokusů: Jednotlivé pokusy jsou nezávislé. □ rS1 ~ = 8. listopadu 2024 3/47 Příklad: Výběr kuličky V urně je 5 červených a 3 modré kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru vytáhnete červenou kuličku? Řešení: 5 5 P(červená kulička) =-- = - = 0,625 5 + 3 8 S1 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 4/47 Sjednocení a průnik jevů 9 Sjednocení jevů (A nebo B) ► Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden zjevů A nebo B p (A U B) = P (A) + P(B) - P{A n B). Průnik jevů (A a B) ► Pravděpodobnost, že nastanou oba jevy současně. ► Označuje se P(AnB). □ s Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 5/47 Příklad: Sjednocení a průnik jevů Událost A: padne liché číslo při hodu kostkou. • Událost B\ padne číslo větší než 4. Řešení: • Dílčí pravděpodobnosti: ► P(/l) = P(l,3,5) = f = |, ► P(e) = P(5,6) = § = |, ► P(AnB) = P(5) = |. • Pravděpodobnost sjednocení: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(An B) = \ + i - i = |. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 6/47 Příklad: Pravděpodobnost součtu na dvou kostkách S jakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet: o a) šest, • b) menší než 7? a) Součet 6 padne v následujících případech: (1,5), (5,1), (2,4), (4, 2), (3, 3) Počet příznivých možností: 5, celkový počet možností: 36. P(součet 6) = 36 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 □ S1 ~ = 8. listopadu 2024 Řešení: Pravděpodobnost součtu menšího než 7 b) Možnosti pro součet menší než 7: Součet Možnosti 6 (1,5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5,1) 5 (1,4), (4,1), (2, 3), (3, 2) 4 (1,3), (3,1), (2, 2) 3 (1,2), (2,1) 2 (1,1) Počet příznivých možností: 15, celkový počet možností: 36 15 5 Písoučet menši než 7) = — = — v 1 36 12 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 8/47 Narozeninový problém (R. von Mises, 1939) Otázka: Kolik minimálně osob musí být ve skupině, aby, ignorujeme-li 29. únor, alespoň dva z nich měli narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50 %? Řešení: Nejprve uvažujeme opačný jev: že žádní dva lidé nemají narozeniny ve stejný den. o Předpokládáme, že každý den v roce je pro narozeniny stejně pravděpodobný a že rok má 365 dní. Pravděpodobnost různých narozenin pro n osob: n, o , . , , 364 363 365 - n +1 Píruzne narozeniny) = 1 x - x - x • • • x -. v yj 365 365 365 Doplňková pravděpodobnost (pr. opačného jevu): P(alespoň dva mají stejné narozeniny) = 1 — P(různé narozeniny). 1 -O°sO Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 9/47 Výpočet pro n = 23 Zkusmo jsme výpočtem zjistili, že hledané n je 23, neboť: Pro n = 22: D, . , . ... 364 363 344 F(ruzne narozeniny) «1 x x x • • • x 0,5243. 365 365 365 Doplňková pravděpodobnost: P(alespoň dva z 22 mají stejné narozeniny) = 1 — 0,5243 = 0,4757< 0,5 Pro n = 23: o , . x , 364 363 343 „ _ P(ruzne narozeniny) «lx x x • • • x ~ 0,4927. 365 365 365 Doplňková pravděpodobnost: P(alespoň dva z 23 mají stejné narozeniny) = 1 — 0,4927 = 0,5073> 0,5. Odpověd : Minimální počet osob ve skupině, aby pravděpodobnost stejného dne narozenin byla alespoň 50 %, je n = 2^. 0. Tento koncept je užitečný v mnoha praktických situacích, například při odhadu pravděpodobnosti úspěchu produktu na trhu, pokud víme, že byl úspěšný v podobném segmentu. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 11/47 Příklad: Problémy s motorem a převodovkou V automobilovém servisu bylo zjištěno, že 70 % automobilů potřebuje opravu motoru (jev M), 50 % automobilů má problém s převodovkou (jev P), a 30 % automobilů má problém s obojím (jev M n P). Jaká je pravděpodobnost, že automobil, který má problém s převodovkou, má také problém s motorem? Řešení: • Zadáno: P(M) = 0,7, P(P) = 0,5, P(M n P) = 0,3. • Podmíněná pravděpodobnost, že automobil má problém s motorem za předpokladu, že má problém s převodovkou: o,mir^ P(MnP) 0,3 _ P(M\P) = v„/r^ ; = ^ = 0,6. P(P) 0,5 • Závěr: Existuje 60% pravděpodobnost, že automobil s problémem převodovky má také problém s motorem. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 12/47 Upíná pravděpodobnost Definice: Zákon úplné pravděpodobnosti umožňuje vypočítat pravděpodobnost jevu na základě rozkladu prostoru jevů na několik disjunktních (vzájemně neslučitelných) událostí. Vzorec: p (a) = p {a n Si) + p (a n b2) + • • • + p{a n e„), kde 61, 62, • • • 5 bn jsou vzájemně neslučitelné události, které tvoří úplný prostor. Úprava s podmíněnými pravděpodobnostmi: p(a) = P(6i) • p(a I Bi) + P(B2) • P(/\ I B2) + • • • + P(B„) • P(4 | B„). Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 13/47 Příklad: Použití úplné pravděpodobnosti • V obchodě jsou 3 pokladny, kde dochází k chybám v účtování ► s pravděpodobnostmi 0,1; 0,05 a 0,2. • Pravděpodobnosti odbavení pokladnami jsou ► 0,3; 0,25 a 0,45. 9 Jaká je pravděpodobnost, že osoba vycházející z obchodu má chybný účet? Řešení: Označme: • A: jev, že došlo k chybě v účtování, • B\\ zákazník byl obsloužen u první pokladny, • B2'. zákazník byl obsloužen u druhé pokladny, • 63: zákazník byl obsloužen u třetí pokladny. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 14/47 Výpočet úplné pravděpodobnosti Hledáme pravděpodobnost p(a), že osoba má chybný účet: p{a) = p(6i) • p(a | Si) + P(e2) • p(a | e2) + p(b3) ■ p (a | e3). Dosadíme hodnoty: p(a) = 0,3 x 0,1 + 0,25 x 0,05 + 0,45 x 0,2. Spočítáme jednotlivé členy: p (a) = 0,03 + 0,0125 + 0,09 = 0,1325. Odpovědí: Pravděpodobnost, že osoba vycházející z obchodu má chybný účet, je p (a) = 0,1325. Bayesova věta Definice: Bayesova věta umožňuje přepočítat podmíněnou pravděpodobnost na základě nové informace. Používá se k úpravě pravděpodobnosti příčiny při znalosti důsledku. Vzorec: P{Bi | A) = P(A B;) ■ P(Bi) Bj) ■ P(Bj) kde: • P(B; | A) je pravděpodobnost jevu B;, pokud nastal jev A, • P(A | B i) je podmíněná pravděpodobnost jevu A, pokud nastal jev 6/, • P(6/) je pravděpodobnost jevu B;. Použití: Často se používá při zpětném vyhodnocování pravděpodobnosti příčiny na základě výsledků nebo nových pozorování. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 16/47 Příklad: Bayesova věta V obchodě jsou tři pokladny s následujícími pravděpodobnostmi chyb v účtování: na první pokladně 0,1, na druhé 0,05, na třetí 0,2. Pravděpodobnosti odbavení zákazníků jednotlivými pokladnami jsou 0,3, 0,25, a 0,45. Jaká je pravděpodobnost, že k chybě v účtování došlo na třetí pokladně? Řešení: Použijeme Bayesovu větu: P(B3 | A) = Kde: • A — došlo k chybě, • 63 — zákazník byl obsloužen na třetí pokladně. P(A B3) ■ P(B3) P(A 1 Bi) ■ P(6i) + P(A 1 B2) ■ P(B2) + P(A 1 B3) ■ P(B3) Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 17/47 Výpočet pomocí Bayesovy věty Dosadíme známé hodnoty: __0,2 x 0,45_ ^ 3 ' ' ~ 0,1 x 0,3 + 0,05 x 0,25 + 0,2 x 0,45 Vypočítáme jmenovatel a čitatel P(B3 | A) = 0,09 0,09 0,03 + 0,0125 + 0,09 ~ 0,1325 0,6792 Výsledek: Pravděpodobnost, že k chybě došlo na třetí pokladně, pokud víme, že chyba nastala, je přibližně 67,92%. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 18/47 Poznámka k příkladu - Bayesova věta Tento příklad ukazuje, jak Bayesova věta umožňuje upravit pravděpodobnost příčiny (pokladna, kde došlo k chybě) na základě nové informace (chyba v účtování). Bayesova věta je užitečná při práci s podmíněnými pravděpodobnostmi a nachází uplatnění v mnoha praktických oblastech, jako je diagnostika, rizikové analýzy a rozhodování. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 19/47 Příklad: Pozitivní lékařský test Zadání: Prevalence výskytu AIDS v populaci je 0,6 %. Použitý test má: • Senzitivitu 99,9 % - je pozitivní, je-li osoba nakažená, 9 Specificitu 99 % - je negativní, je-li osoba zdravá. Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem skutečně má AIDS? Jiří Fišer (MVSO) YSTA2-01-3 Řešení pomocí Bayesovy věty Označíme: • P(A) = 0,006 - pravděpodobnost, že osoba má AIDS (prevalence), • P(A) = 0,994 - pravděpodobnost, že osoba je zdravá, • P(T+\A) = 0,999 - pravděpodobnost pozitivního testu, má-li osoba AIDS (senzitivita), • P(T+\A) = 0,01 - pravděpodobnost falešně pozitivního testu (1 -specificita). Hledáme pravděpodobnost P(A\T+), že osoba má AIDS, pokud byl test pozitivní: +._ P(T+\A)-P(A) P(A\T+) = P(T+\A) ■ P(A) + P(T+\A) ■ P(A) Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 21/47 Výpočet Dosadíme hodnoty: r,/,iT+x 0,999 x 0,006 nn_r P(A\T+) =-----« 0,376, v 1 ; 0,999 x 0,006 + 0,01 x 0,994 Odpověd: Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem má skutečně AIDS, je přibližně 37,6 %. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 22/47 Geometrická pravděpodobnost Definice: Geometrická pravděpodobnost se používá v případech, kdy jev nemá konečný počet výsledků, ale lze jej popsat pomocí délky, obsahu nebo objemu. Pravděpodobnost určitého jevu je pak poměr odpovídající geometrické míry jevu k míře celkového prostoru. Míra příznivého geometrického jevu Celková míra možného geometrického prostoru Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 23/47 Předpoklady geometrické pravděpodobnosti O Nepřetržitý prostor výsledků: Výsledek může spadat do nekonečného nebo kontinuálního prostoru. O Stejná pravděpodobnost na jednotku plochy (objemu): Pravděpodobnost je úměrná míre prostoru. O Geometrická definice prostoru: Prostor, ve kterém počítáme pravděpodobnost, musí být geometricky definován. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 24/47 Příklad: Geometrická pravděpodobnost Zadání: Máme čtverec o straně 20 cm, uvnitř kterého je umístěn kruh o poloměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný bod uvnitř čtverce spadne do kruhu? 20 cm Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 25/47 Řešení příkladu Nejprve vypočítáme plochu čtverce a kruhu: Sctverec = 20 x 20 = 400 cm2, Skruh = 7ľ X 52 = 257T ČITI2 « 78,54 ČITI2. Pravděpodobnost, že náhodně vybraný bod spadne do kruhu Píkruh) = —-= —— « ——— « 0,196. V ^ Sčtverec 400 400 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 26/47 Statistická pravděpodobnost Definice: Statistická pravděpodobnost je relativní četnost, s jakou určitý jev nastává v dlouhodobém opakování experimentu. Vzorec je: Počet výskytů jevu A PIA) = lim ——--;-;--. awoo Celkový počet pokusu Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 27/47 Předpoklady statistické pravděpodobnosti O Opakovatelnost experimentu: Experiment lze opakovat za stejných podmínek. O Stabilní výsledky při velkém počtu pokusů: Relativní četnost se stabilizuje a blíží se určité hodnotě. O Nezávislost pokusů: Výsledky jednotlivých pokusů jsou nezávislé. O Dostatečně velký počet pokusů: Význam statistické pravděpodobnosti roste s velkým počtem opakování. < rS? ► < -ž ► < > -e -O °n O Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 28/47 Aplikace statistické pravděpodobnosti Statistická pravděpodobnost je vhodná pro odhad pravděpodobnosti na základě relativních četností u: • Diskrétní konečné situace: Např. hod kostkou. • Diskrétní nekonečné situace: Např. počet zákazníků přicházejících do obchodu za den. • Spojité situace: Např. měření délky času zdržení zákazníků. Jiří Fišer (MVSO) YSTA2-01-3 Příklad: Statistická pravděpodobnost Sledujeme dobu, po kterou se zákazníci zdržují v obchodě. Data o četnostech pro intervaly jsou shrnuta v tabulce: Interval (min) Četnost 0-5 77 5-10 83 10-15 25 15-20 15 Celkem 200 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 30/47 Řešení příkladu Pravděpodobnosti pro jednotlivé intervaly: • P(0-5 minut) = ^ = 0,385 • P(5-10 minut) = ^ = 0,415 P(10-15 minut) = ^ = 0,125 • P(15-20 minut) = ^ = 0,075 a Pravděpodobnost, že se zákazník zdrží v obchodě ► mezi 0 a 5 minutami, je 0,385, ► mezi 5 a 10 minutami je 0,415, ► a podobně pro další intervaly. □ s Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 31/47 Nezávislé jevy Definice: Dva jevy A a B jsou nezávislé, pokud výskyt jednoho neovlivňuje výskyt druhého, což znamená, že: P(AHB) = P (A) • P(B). Nezávislost je důležitá v mnoha reálných situacích, např. při opakovaných náhodných pokusech. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 32/47 Příklad: Nezávislé jevy Příklad: Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na první padne číslo 3 a na druhé číslo 5? • Jev A: Na první kostce padne číslo 3, tedy P (A) = |. • Jev B\ Na druhé kostce padne číslo 5, tedy P(B) = |. Protože jsou jevy nezávislé: P(^ne) = P(d)-P(e) = 7- 7= 1 6 6 36 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 33/47 Skupinově nezávislé jevy Tři jevy A, B, a C jsou skupinově nezávislé, pokud platí: o Nezávislost po dvou: Pro každou dvojici platí nezávislost, nap P(AnB) = P (A) • P(B). • Nezávislost po třech: Současný výskyt všech tří jevů splňuje P(AHBnC) = P (A) • P(B) • P(C). Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 □ - = 8. listopadu 2024 Příklad: Skupinově nezávislé jevy Příklad: Dvakrát hodíme férovou mincí. Uvažujme jevy: • A V 1. hodu padne líc, • B\ Ve 2. hodu padne líc, • C: V obou hodech padne totéž. Kontrola po dvou a po třech ukazuje, že P(AnBnC)^ P{A) • P(B) • P(C), tedy A, B, C nejsou skupinově nezávislé. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 35/47 Příklad: Střelba na terč Petr, Tomáš a Cyril střílí na terč: • Pravděpodobnosti zásahu: P(P) = 0,2, P(T) = 0,4, P(C) = 0,5. • Pravděpodobnosti neúspěchu: P(P) = 0,8, P(T) = 0,6, P(Č) = 0,5. 9 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 36/47 Řešení - Střelba na terč a) Pravděpodobnost, že všichni zasáhnou terč: P(P n T n C) = P(P) • P(T) • P(C) = 0,2 • 0,4 • 0,5 = 0,04. b) Pravděpodobnost, že nejvýše jeden zasáhne terč: P(nejvýše jeden) = P(PnTnČ)+P(PnTnČ)+P(PnTn"Č)+P(PnTnC) = 0,24 + 0,06 + 0,16 + 0,24 = 0,7. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 37/47 Opakované pokusy Opakované pokusy • představují situace, kdy se experiment provádí vícekrát za stejných podmínek. • Zajímají nás zde pravděpodobnosti jevů v závislosti na počtu pokusů. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 38/47 Nezávislé a závislé opakované pokusy Nezávislé opakované pokusy: • Výsledek jednoho pokusu nemá vliv na výsledky dalších. • Pravděpodobnost daného jevu zůstává ve všech pokusech stejná. Závislé opakované pokusy: • Výsledek jednoho pokusu ovlivňuje pravděpodobnost výsledků následujících pokusů. • Napríklad výběr bez vracení (kuličky v urně) ► pravděpodobnost se měníš každým pokusem. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 39/47 Příklad: Chevalier de Méré Je výhodné vsadit, že: O Při čtyřech hodech kostkou padne alespoň jedna šestka? O Při dvaceti čtyřech hodech dvěma kostkami padnou alespoň jednou dvě šestky? Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 40/ 47 Řešení - Chevalier de Méré (1) 1. Pravděpodobnost alespoň jedné šestky při čtyřech hodech jednou kostkou: • Pravděpodobnost, že při jednom hodu kostkou nepadne šestka: |. • Pravděpodobnost, že při čtyřech hodech nepadne šestka ani jednou: Pŕžádná šestka) = (-} = « 0,482. v V6/ 1296 • Pravděpodobnost alespoň jedné šestky: P(alespoň jedna šestka) = 1 — P(žádná šestka) = 0,518. Odpověď: Ano, je výhodné vsadit (pravděpodobnost je vyšší než 50 %). Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 41/47 Řešení - Chevalier de Méré (2) 2. Pravděpodobnost alespoň jedné dvojité šestky při 24 hodech dvěma kostkami: • Pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami nepadnou dvě šestky: ||. 9 Pravděpodobnost, že při 24 hodech nepadnou dvě šestky ani jednou: • Pravděpodobnost alespoň jedné dvojité šestky: P(alespoň jedna dvojitá šestka) = 1 — P(žádné dvě šestky) = 0,4914. Odpověď: Ne, není výhodné vsadit (pravděpodobnost je menší než 50 %). □ r5> - = 8. listopadu 2024 42/47 Bernoulliho schéma Bernoulliho schéma: Při n nezávislých pokusech, kdy každý pokus má pravděpodobnost úspěchu p, pravděpodobnost k úspěchů je: p(Ak)=(nl)pk(i-Py-k. Nepravděpodobnější počet úspěchů (k splňuje) : p- (n + 1) - 1 < k < p- (n + 1). Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 43/47 Příklad: Bernoulliho schéma Příklad: Student hádá odpovědi na test s 10 otázkami, v každé vybírá z 4 možností. O Pravděpodobnost, že uhodne vše správně: 1\ 10 0,00000095. 4 O Pravděpodobnost, že neuhodne ani jednu odpověď správně: 10 « 0,0563. 3 O Pravděpodobnost, že uhodne 6 odpovědí správně: '10' 6 6 /o\ 4 lid 0,0162, O P • (n + 1) - 1 < k < p • (n + 1) i • (10 + 1) - 1 < k < i • (10 + 1) íl 11 7 11 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 44/47 Dichotomické pokusy a výběr bez vracení Dichotomické pokusy: • Pokusy, které mohou vést pouze ke dvěma výsledkům (např. úspěch/neúspěch). Výběr bez vracení: • Mějme soubor N prvků, • z toho M má určitou vlastnost. • Pokud vybíráme bez vracení n prvků, • pravděpodobnost výběru k prvků s touto vlastností je: P(Ak) □ iS1 - = 8. listopadu 2024 45/47 Příklad: Výběr bez vracení Příklad: V osudí jsou 2 bílé a 3 černé kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že bez vracení vytáhneme 3 kuličky: O z nichž 2 budou černé a 1 bílá? O které budou postupně barvy černé, bílé a černé? Řešení: O Pravděpodobnost, že 2 budou černé a 1 bílá: P{2 černé a 1 bílá) = O Pravděpodobnost, že budou postupně černá, bílá a černá: 3 2 2 Přčerná, bílá, černá) = - x - x - = 0,2. v ; 5 4 3 Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 46/47 Příklad: Pravděpodobnost uhádnutí alespoň 4 čísel v loterii Úloha: V loterii je treba vybrat 6 čísel z celkem 15 čísel. Jaká je pravděpodobnost, že při jednom losování uhádneme alespoň 4 čísla správně? Řešení: g) = 5005. • Dílčí pravděpodobnosti: i 0,1079. 00 540 (?) 5005 00 54 (?) 5005 OO 1 (?) — 5005 0,0108. 0,0002. • Celková pravděpodobnost: P(alespoň 4 správně) = 0,1079 + 0,0108 + 0,0002 = 0,1189. Jiří Fišer (MVŠO) YSTA2-01-3 8. listopadu 2024 47/47