Matematická rozcvička pro KM A/M ATI a
KMA/MT1
Pro rozhýbání použijeme část podpůrných materiálů ke knize Sally Jordan, Shelagh Ross, and Pat Murphy: Maths for Science. Oxford University Press, 2012.
Začneme (velmi) opatrně
Počítání se zápornými čísly
Úloha Q.l.l: Bez použití kalkulačky vypočtěte:
(a) 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 (f) (-8) - 4 = -12
(b) 2-(-5) = 2 + 5 = 7 (g)8:(-4) = -2
(c) 2- (-5) = -10
(d) (-2).(-5) = 10 (h) ("8)+4 = -4
(e) (-2) - (-5) = -2 + 5 = 3 (i) (-10) : 5 = -2
Úloha Q.1.2: S použitím kalkulačky vypočtěte:
(a) (-1736) + 2678 = 942 (d) (-274) - (-5670) = 3745
(b) 356 - (-273) = 629 (e) 27 • (-367) = -9909
(c) (-1073) + (-578) = -1651 (f) (-20748) : (-76) = 273
Sčítání a odčítání zlomků
Úloha Q.1.3: Vypočtěte a výsledek převedte na co nejjednodušší zlomek:
/xl    3     1-5 + 3-3     14 /x3    1     3-2-1 5
(a) - + - =-—-      = — (e)
(b)
3    5 3-5 15 w 4
2    2    2-5 - 2-3 4
3    5 3-5 15 i    3     i      i-io -3 -5 + 1-2
(f) Ô-7 + T7T
, , 2 2 24 w2 4T10" 20 (C) 7 + 5 = 35 3
(d) --- = -- =~20 w 7    2 14
Násobení zlomků
Úloha Q.1.4: Vypočtěte a výsledek převeďte na co nejjednodušší zlomek:
7_ 3 _ 7-3 _ 21     rn 5   2 _ 10 _ _5_ n2I3_JL = ^
^ Iě'2 ~ 16 ■ 2 _ 32     ^ 8 ' 3 ~ 24 ~ 12 ^ 3 ' 5 ' 4 ~ 60 ~~ 10
Dělení zlomků
Úloha Q.1.5: Vypočtěte a výsledek převeďte na co nejjednodušší zlomek:
M—■- = —- = — = - (d) - ■- = -  - = — = 3
^ 14 ' 7     14 ' 2    28    4 U 3 ' 9    3 ' 2 6
(b) 8:5=8'5 = 4Ô
2 _ 3   5 _ 15 fc) 2/15 _ 2   5 _ 10 _ 1
^      5 ~ I " 2 ~ ~2~ 6/5     15   6    90 9
Počítání s procenty
Úloha Q.1.6: Následující procenta převeďte na co nejjednodušší zlomky: c=i        i 64 16
^^Wo^h       <-=> M* = 155 = M
(b) 60% = ^ = | (d) 60% = ^
Úloha Q.1.7: Následující zlomky převeďte na procenta:
(a) L = ™ = 70% (c) ? = 15° = 150%
w 10     100 W 2 100
(b) ^ =       = 52% (d) Tr = °>8125 = 81'25% 25     100 lo
Úloha Q.1.8: Vyčíslete následující podíly:
(a) l z 64 = f-64 = 5-8 = 40 (c) 3% z 1500 = ^ 1500 = 45
(b) ^ z 90 = | • 90 = 5 • 30 = 150 (d) 95% z 50 = || • 50 = f = 47,5
2
Mocniny
Úloha Q.1.14: Bez použití kalkulačky vypočtěte: (a) 6° = 1 (g) 23 = 8
3 _    1    _ n nm (h) 32 = 9
(b) l(Td =-= 0,001
v ; 1000
(c) —2=62 = S6
->4
(i) 5-1 = l- = 0,2 (j) 5~2 = ^ = 0,04
(d) 24 = 16 25
(e) 2-1 = i = 0,5 (k) ^ = T = 1
Y Zkontrolujte,    zda   stejné výsledky
(f) Tpj = 2 obdržíte i na kalkulačce.
Násobení a dělení s mocninami
Úloha Q. 1.15: Následující výrazy zjednodušte na co nej jednodušší mocniny:
(a) 627 : 63 = — = 627~3 = 624 (d) 10~8 " 10~19 = l(T8+(-19) = ÍO"27
(b) 36 • 33 = 36+3 = 39 (e) 10_4 : 10_27 = 10~4~(~27) = 1023 in8 i n . i n11
(c) = 108-4 = 1Q4 (f) ^     = 1Q1+11-Í-3) = 1015
v ; 104 W ÍO-3
Úloha Q.1.16: S použitím kalkulačky vypočtěte:
(a) 35 • 23 = 1944 (c) 43 + 44 = 320
(b) = 648 (d) 43 • 44 = 16384
Úloha Q. 1.17: Následující výrazy zjednodušte na co nej jednodušší mocniny:
/ 8 \9 43 43
(a) (£)  =49 = 218 (c) | = J = 42 = 24
(h) 910     (32)10 320 310      310 310
10
Mocniny mocnin
Úloha Q.1.18: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
(a) (52)  = 52'4 = 58
(b) (6-i)-6 = 6-i-(-6)=66
(c) (53)2 = 56
(d) (52)3 = 56
(e) (519)1 = 519
(f) 10
1-2
10
-6
(g) io
10"
(h) (2-1) =2-
(i) (sr1
(j)
V103
-10
10-3-(-10) = 1Q30
Úloha Q.1.19: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
(a) (lO3 • 105)2 = 10(3+5>2 = 1016
(b) ^5 = 7(6-2)-5 = 720
(c)
'22\4 _ 28 = 312
33
Odmocniny a mocniny s racionálními exponenty (podíl celého a přirozeného čísla)
Úloha Q.1.20: Bez použití kalkulačky vypočtěte (při výpočtech je dobré si
uvědomit, že 23 = 8, 24 = 16,2° = 32,3d = 27,4ř = 64, 5d = 125,9"
l3
100,io3 = 1000):
(a) 100^ = VTÔÔ = 10
(b) 1255 = ^125 = 5
(c) = 62 = 36
(d) 162 = ^16 = 2
(e) 32* = ^32 = 2
(f) 95 = ^9 = 3
(g) 81=
(h) 8*
(i) 27Í
x81 = 9 3 = 3 /27 = 3
25      V25      5 1 (i) 0,252 = J— = -1== = — = -
u; '      V100   v^ôô   10 2
Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce.
Úloha Q.1.21: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
1 \ 20
(a) (10*)" = 10*-20 = 1010
(c)   1010 5 =102
(b) IO2
101 = 10
(d) 3
3 \ 3
31 = 3
1 „1
(f) (a/ŤF)    = 7T*"4 = 7T2 V
(g) ^ = 3H = 34 (i) (lO^)7 • (lO9)1 = 10*-7+9-* = 108
Úloha Q.1.22: Bez použití kalkulačky vyčíslete následující výrazy (při výpočtech je dobré si uvědomit, že 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 33 = 27,43 = 64, 53 = 125, 92 = 81,102 = 100,103 = 1000):
ŕ = 27 (h) 9-i = i
25 = 32 x
(i) 4-1 = - = 0,125
3x (j) 125-i = — = 0,04
D = lO-3 = 0,001       W 25 '
(k) 0,25* = ^-J   = - = 0,125
Zkontrolujte,    zda   stejné výsledky 0,25 obdržíte i na kalkulačce.
Správné pořadí operací
Úloha Q.1.23: Bez použití kalkulačky vypočtěte (dejte pozor na správné pořadí operací):
(a) 2 • 4 + 3 • 7 = 8 + 21 = 29 (f) 2 • 6 - 22 = 8
(b) (2 + 4)(3-l) = 6-2 = 12 (g) 2(25_52)=o
(c) 3-22 = -1
(d) (2 + 5)2 = 49
(e) (6-22)-2 = 4 (i) ^p-4 = -2
Úpravy algebraických výrazů Úpravy rovnic Úloha Q.5.1:
(a) 9§ =	(32)l=í
(b) 162 =	= (24)t =
(c) 100-	1 1 2 ~ 10
(d) 100-	1 = io2-(-
(e) 42 =	25 = 32
(f) 32§ =	= 22 = 4
(g) 32-1	= 2-2 =
(h) 3 • 2 • (1 + 3) = 24
5
(a) Z rovnice h = 3g vyjádřete g. h
9 = o
(b) Z rovnice c = ba vyjádřete a. c
b
(c) Z rovnice g = f + h vyjádřete /. [f = 9~h]
(d) Z rovnice a = b — 4 vyjádřete b. [b = a + A]
(e) Z rovnice C = 27rr vyjádřete r.
- il ~ 2^
(f) Z rovnice h =  — vyjádřete /.
9
[f = hg]
(g) Z rovnice h
f
f
vyjádřete g.
9 = t, MO h
(h) Z rovnice a2 = 36 vyjádřete b.
„2"
(i) Z rovnice a2 = 3b vyjádřete a. a = VŠb, b>0
Úloha Q.5.2:
(a) Z rovnice c = \p2A vyjádřete d.
2
(b) Z rovnice g = mcAT vyjádřete c. 9
mAT'
m, AT ^ 0
mgAh
(c) Z   rovnice Aiíg vyjádřete A/i.
E
Ah = —,   m,g 0 m
(d) Z rovnice a = 6+c+cř+e vyjádřete d.
[d = a — b — c — e]
(e) Z rovnice d = —— vyjádřete c. 9
c=%, b,f*0 bf
(f) Z rovnice d = —— vyjádřete g. 9
bcf
g=—,    dÝ0
(g) Z rovnice a = — vyjádřete d.
bc
d = —,    a ý 0 ae
6
Úloha Q.5.3:
(a) Z rovnice h = gk — f vyjádřete /.
[f = gk- h]
(b) Z rovnice h = gk — f vyjádřete g. h + f
9
k
k^O
(c) Z rovnice h = f g2 vyjádřete /.
g2
(d) Z rovnice A = nr2 vyjádřete r.
4
(e) Z rovnice V = -nr3 vyjádřete r. 3
13 V
4 7T
(f) Z rovnice h = j — vyjádřete d.
V /0
d = fgh2
1/6
(g) Z rovnice a = — W — vyjádřete d
4ca2;
a ^ 0
Úloha Q.5.4:
(a) Z  rovnice C vyjádřete F.
,    9C + 32
(F - 32)
5
(b) Z rovnice -u2 = u2 + 2as vyjádřete a.
v2 — u2
2s
(c) Z rovnice -u2 = -u2 + 2as vyjádřete it.
it = \/v2 — 2as,    v2 — 2as > 0
1 QiQ2
(d) Z rovnice Fe; vyjádřete qľ.
Ane0r2
Qi
q.2
47T60 r2
(e) Z rovnice Fei vyjádřete r.
1 gi?2
47re0 FeZ
(f) Z   rovnice -up vyjádřete p.
k + |u
(g) Z   rovnice vp vyjádřete //. 3
47reo r2
^ ŕ 0, > 0
r     Ane0Fel ~
A; + |/x P
\
k + |/x
7
Zjednodušování rovnic
Úloha Q.5.9: Zjednodušte následující výrazy:
h-	v X =	hu T
ab	: b =	a
c		c
ab	1	ab2
c	' b ~	c
ab	b	b2
c	a	c
b	c	2b
a	2a	r
a      b      Aira + b3
au a , ,
(b) — : b = - (g)
(h)
b2    47T Anb2
(g + i)    92   = g3 + g2
h2    ' (h + 1)     h3 + h2 2b + c    1 (2c + d)     46 -d
a
2       2    a2 2a2
2nVh     2nVh _ An2h (d) T ' ä, = 7 (/^ + 1) ' (h+ 2) ~ h2 + 3h + 2
u     c_zu^c 2ir\/h_    2nVh =h + 2
(6) a + 2a-^2a~ ™ (h + 1) ' (h + 2)     h + 1
Úloha Q.5.10: Prepíšte následující výrazy tak, že se „zbavíte" závorek (většinou násobením) a výsledky co nejvíce zjednodušíte:
(a) 2a(3a + 5) = 6a2 + 10a (f) (2a + 6) (a + 3c) = 2a2 + 6ac + ab +
36c
(b) -(46-5) = 5-46
(g) (s2-l)(s2 + l) = s*-l
(c) (a-2)(a + 3)=a2 + a-6 (h) c(c + 1} + c + x = c2 + 2c + x
(d) (a - 2)(3a - 7) = 3a2 - 13a + 14      ^ ^ - i) - (p + l)(b - 1) = 0
(e) (2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9 (j) (g - ľ)(g2 + g + 1) = g3 - 1
Úloha Q.5.11: Následující výrazy převedte na součin:
(a) a2 - 2a = a(a - 2) (c) ^3 + jrJ.2h = ^2 |Jr + ^
(b) 262 + 66 = 26(6 + 3)
Úloha Q.5.12:
Z rovnice V = —r2h\ + /nr2h2 vyjádřete r a výsledek co nejvíce zjed-
3
nodušte. V = (-hx + h2) nr2,      r2 = y--r—,
^3 / (|/ll + /l2J7T
^ (j/il + h2) 7T
Úloha Q.5.13: S využitím výsledků z Q.5.10 nalezněte řešení následujících kvadratických rovnic:
(a) 6a2 + 10a = 0 2a(3a + 5) = 0,
d\ = 0, 0,2 = —^
(b) a2 + a - 6 = 0 [ai = 2, a2 = -3]
Úloha Q.5.14: S využitím vzorce vyřešte následující kvadratické rovnice:
(c) 3a2		- 13a H	h 14
		= 2,a2	r ~ 3.
(d) 4a2		+ 12a H	-9 =
	a\	= a2 =	3" ~2.
(a) x2 + 6x + 9 = 0
£> = 62 — 4-1-9 = 0,
^1,2 — —24— ~~ _
(b) x2 — Qx + 5 = 0
D = (-6)2 - 4- 1 - 5 = 16, ^ 1
D = (-5)2-4-l-(-6) =49, / 6 ^ -1
_      _ 5±V49
ai,2 - -^r~
n _ 6±V16 Ol,2 -
(d) 2x2 - 5x - 3 = 0
-D = (-5)2-4-2 - (-5) =49,
Ol,2 - ~^2~
(c) x2 — 5x — 6 = 0
Kombinování rovnic Úloha Q.5.15:
(a) Zkombinujte rovnice a = u2r a v = wr tak, abyste dostali rovnici pro r, která neobsahuje u.
u u2 u2
oj = —,    a = — r,    r = —, a,r^0 r r2 a
(b) Zkombinujte rovnice Fx = max a vx = ux + a^í tak, abyste dostali rovnici
pro i^, která neobsahuje a^.
m, t Ý 0
(c) Zkombinujte rovnice i? = mcAT a. E = mg Ah tak, abyste dostali rovnici
ľ       Ah A^ "
c = g——,    m, AT f 0
pro c, která neobsahuje E.
AT
9
Úloha Q.5.16:
n s
(a) Zkombinujte rovnice m = — a p = - tak, abyste dostali rovnici pro r, která
p r ms
r = -,   n ý 0
n
neobsahuje p.
(b) Zkombinujte rovnice a = bcd a e = ct tak, abyste dostali rovnici pro d,
at
d = —,    o, e, í f 0 be
která neobsahuje c.
(c) Zkombinujte rovnice m
in 9a2
a p = -       tak, abyste dostali rovnici pro n,
p n
která neobsahuje p.        [n = 3 \a\ m,    a / 0]
Úloha Q.5.17:
(a) Zkombinujte rovnice b neobsahuje c.
= — a d = ce tak, abyste dostali rovnici pro a, která c
-, b,e^0
(b) Pokud v předchozích dvou rovnicích je a měřeno v newtonech, b v kilogramech a d v metrech, v jakých jednotkách, vyjádřených jen pomocí základních jednotek SI (metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kan-dela) je potom veličina e? (Nápověda: nejprve si pomocí základních jednotek SI vyjádřete odvozenou jednotku newton.)
kg • m     kg ■ m 2
ľ 2i	~bď
[e ] =	a
[e2
n
10