Matematická rozcvička pro KM A/M ATI a
KMA/MT1
Pro rozhýbání použijeme část podpůrných materiálů ke knize Sally Jordan, Shelagh Ross, and Pat Murphy: Maths for Science. Oxford University Press, 2012.
Začneme (velmi) opatrně
Počítání se zápornými čísly
Úloha Q.l.l: Bez použití kalkulačky vypočtěte:
(a) 2+ (-5) (d) (-2) • (-5) (g)8:(-4)
(b) 2-(-5) (e)(-2)-(-5) (h)(-8)+4
(c) 2-(-5) (f)("8)-4 (i) (-10): 5
Úloha Q.1.2: S použitím kalkulačky vypočtěte:
(a) (-1736)+ 2678 (c) (-1073) + (-578) (e) 27 • (-367)
(b) 356 - (-273) (d) (-274) - (-5670) (f) (-20748) : (-76)
Sčítání a odčítání zlomků
Úloha Q.1.3: Vypočtěte a výsledek převedte na co nejjednodušší zlomek:
..13 ,n 2    2 , . 3 1
(a) - + - (c) - + - (e)---
v;35 v;75 v;48
/n 2    2 fj.  2    1 ...  1    3 1
(b)--- (d)--- (f)----1--
v;35 v;72 w 2    4 10
1
Násobení zlomků
Úloha Q.1.4: Vypočtěte a výsledek převeďte na co nejjednodušší zlomek:
,• x   7   3 5   2 2   1 3
^16-2 (b)8'3 (C) rš-I
Dělení zlomků
Úloha Q.1.5: Vypočtěte a výsledek převeďte na co nejjednodušší zlomek:
(a) — : - (c) 3 : - (e) -L—
u 14   7 v 7      5 1 ; 6/5
3 2 2
fb)5:5 (d)5 = 5
Počítání s procenty
Úloha Q.1.6: Následující procenta převeďte na co nejjednodušší zlomky:
(a) 5% (c) 64%
(b) 60% (d) 69%
Úloha Q.1.7: Následující zlomky převeďte na procenta: (a) l (0 I
Úloha Q.1.8: Vyčíslete následující podíly:
(a) l z 64 (b) l z 90 (c) 3% z 1500
(d) 95% z 50
2
Mocniny
Úloha Q.1.14: Bez použití kalkulačky vypočtěte:
(a) 6°
(b) 1(T3
(c) 6=5
(d) 24
(e) 2-1
(f) 2=T
(g) 23
(h) 32
(i) 5-1 (j) 5-2
(k) H
Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce.
Násobení a dělení s mocninami
Úloha Q. 1.15: Následující výrazy zjednodušte na co nej jednodušší mocniny:
(a) 627 : 63
(b) 36 • 33
108 (C) lô*
(d) 10~8 • 10
-19
(e) 1(T4 : 10-27 10 • 1011
(f)
io-
Úloha Q.1.16: S použitím kalkulačky vypočtěte:
(a) 35 • 23 (c) 43 + 44
(b) X (d) 43 • 44
Úloha Q. 1.17: Následující výrazy zjednodušte na co nej jednodušší mocniny:
w {-2
10
(b)
9 3^
43
(c) 3
Mocniny mocnin
Úloha Q.1.18: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
(a) (52)4 (e) (519)1 (i) (s4)"
(b) (6-rfl       w m3       (j) í±y10
(c) (53)!
(g) (10
\-3
-3
VlO3/
(d) 5
(h) (2-^
Úloha Q.1.19: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
sr      <«> (Ši
w (10» ■ io»)a       (b)^y (c)^
Odmocniny a mocniny s racionálními exponenty (podíl celého a přirozeného čísla)
Úloha Q.1.20: Bez použití kalkulačky vypočtěte (při výpočtech je dobré si uvědomit, že 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32,33 = 27,43 = 64, 53 = 125, 92 = 81,102 = 100,103 = 1000):
(a) 100^	(e)	32*	(j) 0,255 (Nápověda:
	(f)	i	0,25     si můžete
(b) 125^			vyjádřit  jako zlo-
	(g)	i	mek.)
Wp		8I2	
	(h)	8^	Zkontrolujte, zda stejné
			výsledky  obdržíte  i na
(d) 163	(i)	27š	kalkulačce.
Úloha Q.1.21: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
, 20
(a) (W) (d) (33)3 (g) V3*
(108)^
(b) (10^)2 (e) (tí>ý <h>
(c) (1010)= (f) (v^)4 (i) (10Í)7. (109^
Úloha Q.1.22: Bez použití kalkulačky vyčíslete následující výrazy (při výpočtech je dobré si uvědomit, že 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 33 = 27,43 = 64, 53 = 125, 92 = 81,102 = 100,103 = 1000):
(k) 0,25^ (Nápověda: 0,25 si můžete vyjádřit jako zlomek.)
Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce.
(a) 9§	(f)	2 32š
(b) 163	(g)	2 32~5
(c) 100~5	(h)	9^5
(d) 10(H	(i)	4-1
(e) 45	(j)	125~3
4
Správné pořadí operací
Úloha Q.1.23: Bez použití kalkulačky vypočtěte (dejte pozor na správné pořadí operací):
(a) 2-4 + 3-7 (d) (2 + 5)2 (g) 2(25 - 52)
(b) (2 + 4)(3-l) (e) (6-22)-2 (h) 3 • 2 • (1 + 3)
4 + 2
(c) 3 - 22 (f) 2 • 6 - 22 (i) -3- - 4
Úpravy algebraických výrazů Úpravy rovnic Úloha Q.5.1:
(a) Z rovnice h = 3g vyjádřete g.
(b) Z rovnice c = ba vyjádřete a.
(c) Z rovnice g = f + h vyjádřete /.
(d) Z rovnice a = b — 4 vyjádřete b.
(e) Z rovnice C = 2irr vyjádřete r.
Úloha Q.5.2:
(a) Z rovnice c = \Í2d vyjádřete d.
(b) Z rovnice q = mcAT vyjádřete c.
(c) Z   rovnice   AEg     = mgAh vyjádřete Ah.
(d) Z rovnice a = b+c+d+e vyjádřete d.
f
(f) Z rovnice h = — vyjádřete /.
9
f
(g) Z rovnice h = — vyjádřete g.
9
(h) Z rovnice a2 = 3b vyjádřete b.
(i) Z rovnice a2 = 3b vyjádřete a.
(e) Z rovnice d = —— vyjádřete c.
9
(f) Z rovnice d = —— vyjádřete g.
9
(g) Z rovnice a = — vyjádřete d.
5
Q.5.3:					
rovnice	h =	gk-	- / vyjádřete /.	(e) Z rovnice	V =
rovnice	h =	gk-	- / vyjádřete g.	(f) Z rovnice	h =
rovnice	h =	fg2	vyjádřete /.		
rovnice	A =	nr2	vyjádřete r.	(g) Z rovnice	a =
1 / b 2\čď
Úloha Q.5.4:
5
(a) Z  rovnice  C    =    -(F — 32) vyjádřete F.
(b) Z rovnice v2 = u2 + 2as vyjádřete
a.
(c) Z rovnice v2 = u2 + 2as vyjádřete u.
1
(d) Z rovnice Fei vyjádřete qľ.
47reo r2
(e) Z rovnice Fe; vyjádřete r.
(f) Z   rovnice vp vyjádřete p.
(g) Z   rovnice vp vyjádřete fi.
vyjádřete d.
1 gi?2
47reo r2
N
k + |/x P
\
k + |/x
Zjednodušování rovnic
Úloha Q.5.9: Zjednodušte následující výrazy:
(a) /i
A
(b) -:b
c
(c)
(d)
a& 1 c 6
c a
(e)
(f)
(g)
o c a 2a
a b Ď2 + 4Ťr
+
, . 26 + c 1 (2c + d) [ ' a2
/i2      0 + 1)
(i)
(j)
2 a2 2tt\//í 2nVh
(h + 1)   (h+ 2)
2nVh 2nVh (h + 1) ' (h+ 2)
6
Úloha Q.5.10: Prepíšte následující výrazy tak, že se „zbavíte" závorek (většinou násobením) a výsledky co nejvíce zjednodušíte:
(a) 2a(3a + 5) (e) (2a + 3)2 (i) (62 - 1) - (6 +1)(6-
1)
(b) -(46-5) (f) (2a + 6)(a + 3c) ;
(c) (a-2)(a + 3) (g) (s2-l)(s2 + l)
(d) (a-2)(3a-7) (h) c(c+l) + c+l (j) (g - l)(g2 + g + 1)
Úloha Q.5.11: Následující výrazy převeďte na součin:
(a) a2 - 2a (b) 262 + 66 (c) 1   3 2
3
Úloha Q.5.12:
Z rovnice V = —r2h\ + nr2h2 vyjádřete r a výsledek co nejvíce zjed-
3
nodušte.
Úloha Q.5.13: S využitím výsledků z Q.5.10 nalezněte řešení následujících kvadratických rovnic:
(a) 6a2 + 10a = 0 (c) 3a2 - 13a + 14 = 0
(b) a2 + a - 6 = 0 (d) 4a2 + 12a + 9 = 0
Úloha Q.5.14: S využitím vzorce vyřešte následující kvadratické rovnice:
(a) x2 + 6x + 9 = 0 (c) x2 - 5x - 6 = 0
(b) x2 - 6x + 5 = 0 (d) 2x2 - 5x - 3 = 0
Kombinování rovnic Úloha Q.5.15:
(a) Zkombinujte rovnice a = uj2r a v = wr tak, abyste dostali rovnici pro r, která neobsahuje u.
(b) Zkombinujte rovnice Fx = max a vx = ux + axt tak, abyste dostali rovnici pro Fx, která neobsahuje ax.
(c) Zkombinujte rovnice E = mcAT a E = mgAh tak, abyste dostali rovnici pro c, která neobsahuje E.
7
Úloha Q.5.16:
n s
(a) Zkombinujte rovnice m = — a p = - tak, abyste dostali rovnici pro r, ktera
p r
neobsahuje p.
(b) Zkombinujte rovnice a = bcd a e = ct tak, abyste dostali rovnici pro d, která neobsahuje c.
(n 9a2
(c) Zkombinujte rovnice m = J— a p = -       tak, abyste dostali rovnici pro n,
y p n
která neobsahuje p. Úloha Q.5.17:
(a) Zkombinujte rovnice b = — a d = ce2 tak, abyste dostali rovnici pro a, která
c
neobsahuje c.
(b) Pokud v předchozích dvou rovnicích je a měřeno v newtonech, b v kilogramech a d v metrech, v jakých jednotkách, vyjádřených jen pomoci základních jednotek SI (metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kan-dela) je potom veličina e? (Nápověda: nejprve si pomocí základních jednotek SI vyjádřete odvozenou jednotku newton.)
8