1   Limita posloupnosti
= hodnota, ke které se členy posloupnosti {an}^li blíží, když se index n „blíží k nekonečnu".
Zápis: lim an nebo zkráceně lim an
Podle toho, k čemu se členy posloupnosti blíží, rozlišujeme 4 případy:
1.  lim kde a je reálné číslo.
Posloupnost konverguje. Posloupnost má vlastní limitu a.
2.  lim an = oo.
Posloupnost diverguje k oo. Posloupnost má nevlastní limitu oo.
1
3.  lim an = — oo.
Posloupnost diverguje k —oo. Posloupnost má nevlastní limitu — oo.
4.  lim an neexistuje. V tomto případě nenajdeme 1 hodnotu, ke které by se blížily všechny členy posloupnosti. Posloupnost osciluje. Posloupnost nemá limitu.
Příklad 1 Najděte limitu posloupnosti a nakreslete část grafu posloupnosti.
1. {i}00,
UJ 71=1
lim -
2
2. {2n + 3C=1 lim (2n + 3)
3- {l-n}~=1 lim (1 — n)
4- {(-2)"}° lim (-2)
Vzhledem k tomu, že je limita posloupnosti definována jako jedna hodnota, ke které se blíží (při rostoucím n) všechny členy posloupnosti, platí následující věta.
Věta 1 Každá posloupnost má maximálně jednu limitu, tj. jednu nebo žádnou.
3
1.1   Výpočet limit posloupností
Limity posloupností z Příkladu 1 šly vypočítat přímým dosazením. Ne vždy je zadání tak snadné, a proto se budeme nyní zabývat tím, jak lze komplikovanější limity vypočítat.
1. Limita polynomů
Buď jde vypočítat přímým dosazením oozan nebo přímo odhadnutím výsledku ze zadání.
Výsledek = oo nebo — oo podle znaménka u členu s nej vyšší mocninou
Příklad 2 Najděte limitu posloupnosti.
(a) lim (2n3 — hn + 1)
(b) lim (5n2 - 3n4)
(c) lim (n4 + 5n + 10)
2. Limita podílu polynomů
Buď jde vypočítat vytýkáním a krácením (poněkud zdlouhavé) nebo přímo odhadnutím výsledku ze zadání na základě následující úvahy:
• Pokud je nejvyšší mocnina v čitateli i ve jmenovateli stejná, pak čitatel i jmenovatel "rostou stejně rychle".
Limita je rovna podílu konstant u nejvyšších mocnin.
• Pokud je nejvyšší mocnina v čitateli menší než ve jmenovateli, pak "jmenovatel roste rychleji než čitatel". Limita je rovna 0.
4
• Pokud je nejvyšší mocnina v čitateli větší než ve jmenovateli, pak "čitatel roste rychleji než jmenovatel".
Limita je rovna oo nebo — oo, podle toho, jestli mají konstanty u nejvyšších mocnin stejné nebo opačné znaménko.
Příklad 3 Vypočítejte limity posloupností.
3n2 — 3n + 5 lim---
íwoo 2n2 + n + 1
1-n2
lim
>oo n3 + 3n2
rŕ — n2 + 1 lim —--
n^oo 2nó — n — 1
1 - 2n3 lim -
íwoo 2 + n
lim
2 - 5n
3. Limita podílu obsahující an, kde a G IR.
Buď jde vypočítat vytýkáním a krácením (opět poněkud zdlouhavé) nebo přímo odhadnutím výsledku ze zadání na základě obdobné úvahy jako dříve (roste-li rychleji čitatel nebo jmenovatel).
5
Příklad 4 Vypočítejte limity posloupností
2 • 3n + 3 • T
lim
n->oo   2n + 5 • 3*
5n + 2n
lim
>oo 2 • 8n - 5r'
5n + 10*
lim
2 • 9n - 5r
5n + 5 • 8n lim -
n^oo —2 • 6n — 5"
5n - 4 • 8n lim -
n^oo —2 • 6n — 5*
4. Limita posloupnosti, která je po dosazení oo za n ve tvaru 1°°
Vypočítá se pomocí vzorců
/      i\n / £\n
lim ( 1 H— )   = e,    obecněji lim ( 1 H— )   = ek , kde k EM.
n^oo y       n J n^oo y       n J
Dennice 1 Číslo e definované výše uvedenou limitou lim íl + -)n se nazývá Eulerovo číslo. Je to iracionálni číslo rovné přibližně 2, 718...
6
Eulerovo číslo je základem přirozené exponenciální funkce a přirozené logaritmické funkce (viz další semestr) a patří mezi nej důležitější konstanty používané v přírodních a technických vědách. Je pojmenováno podle matematika Leonharda Eulera.
Příklad 5 Vypočítejte limity posloupností
Příklady k procvičení:
Vypočítejte limity posloupností:
b) lim
n'
8-n3+150 15-4n4
d) lim
2"+3-4" 8-4"+3"
f)  lim (5n2 — n + 3)
h) lim
3n3 —5n+l 2n3+n-2
k) lim
n2—n+2 -2n3+2
m)  lim (3 — 10n3
+ n)
7
2   Číselná řada
= součet všech členů posloupnosti {an}^r Zápis:
oo
an   nebo   oi + 02 + 0.3 ...
n=l
Podle toho, jaký má číselná řada součet, rozlišujeme 4 případy:
1. an = s, kde s je reálné číslo.
Rada Y^n=i an konverguje. Rada J2™=i an m^ součet s.
2-   Eľ=l an = OO.
Rada Y^=i an diverguje k 00. Rada an mř* součet 00.
Rada Y^ľ=i an diverguje k —00. Rada Y^=ian má součet —00.
4. Y^Ĺi an nemá součet. Rada Y^=i an osciluje.
8
Na následujícím příkladu si ukážeme, jak odlišné jsou pojmy posloupnost a číselná řada.
Příklad 6 Uvažujme posloupnost {an}^li = {^J^I-l = {l> !>§>•••}• Je<^" noduše lze vypočítat limita této posloupnosti:
1 1 lim — = — = 0.
n^oo n OO
Posloupnost 1^}^^ tedy konverguje a má vlastní limitu rovnu 0.
Z této posloupnosti lze vytvořit číselná řada
n=l n=l
1 1
n        ' 2 + 3'
Pokud bychom chtěli určit, jaký má tato řada součet, můžeme postupovat např. následujícím způsobem (kterým byl součet nalezen už ve středověku)
oo 1
> 1
n 2    3    4    5    6 7
n=l
l\        /l       1\        /l       1       1       l\ /l
i\   /1   i\   /1   1   1   i\   /1
2   + U + 4   +   8 + 8 + 8 + 8   + 16
1+ ( l I +    ( l I      +      Ír I  + ...  = OO
2 J       \2J \2/ Z toho vyplývá, že řada « diverguje a má součet 00.
Dokázat divergenci řady Y^=i n nebylo příliš obtížné. Vzhledem k tomu, že u komplikovanějších řad jsou důkazy konvergence/divergence podstatně těžší, byla odvozena jednoduchá pravidla pro konvergenci několika typů řad:
9
1. Geometrická řada
a + aq + aq2 + aq3 + . . .
s kvocientem q splňujícím — 1 < q < 1 konverguje a má součet
a
s =-.
1-q
Příklad 7 Vyšetřete konvergencí řady
2. Geometrická řada
a + aq + aq2 + aq3 + . . .
s kvocientem pro q > 1 diverguje a. má. součet oo nebo — oo (v závislosti na znaménku prvního členu a).
Příklad 8 Vyšetřete konvergencí řady
10
3. Řada
oo ^
V —, kde k G R
n=l
konverguje pro k > 1 a diverguje k oo pro A; < 1.
Poznamenejme, že divergence této řady pro k = 1 už byla ukázána v Příkladu 6.
Příklad 9 Vyšetřete konvergencí řady
n=l
4. Konvergenci/divergenci řady neovlivní, zaměníme-li n za lineární člen an + b, kde a, 6 G K, a / 0.
Příklad 10 Vyšetřete konvergencí řady
oo ^
^ (3n + 5)2
n=l v '
oo
n=l v
oo 1 V-"-
^ (2n + l)5
n=l v '
11
5. Pokud lim an ^ 0, pak řada Y^=i an nekonverguje, tj. diverguje nebo osciluje.
Příklad 11 Rozhodněte o konvergenci řady
2n2 + 3 ^ An2 + 1
n=l
2.1    Číselná řada s kladnými členy
Pro číselné řady, které mají všechny členy kladné, byla odvozena speciální kritéria, pomocí kterých lze o konvergenci nebo divergenci takových řad rozhodnout. My si pro ilustraci uvedeme jen dvě z nich - podílové a odmocninové kritérium.
Věta 2 (Limitní podílové kriterium)
Nechť an Je řada s kladnými členy a existuje
,•      an+l j
lim -= L.
íwoo an
Platí
(a) je-li L < 1, pak Y^=i an konverguje,
(b) je-li L > 1, pak Y^=i an diverguje. Příklad 12 Rozhodněte o konvergenci řady
oo ^n
^ n
n=l
12
Věta 3 (Limitní odmocninové kriterium)
Nechť an Je řada s kladnými členy a existuje
lim y/ä^ = L.
Platí
(a) je-li L < 1, pak Y^=i an konverguje,
(b) je-li L > 1, pak E^Li an diverguje. Příklad 13 Rozhodněte o konvergenci řady
Příklady k procvičení:
1. Vyšetřete konvergenci řady. Pokud se jedná o konvergentní geometrickou řadu, stanovte její součet.
\   V^oo n+1 W   Z^n=l 2n
13
e) En=l (,!+6)2
fx y^oo _J_
^ Z^n=l 3n+6
\ -e^oo 1
S; 2-m=i (»+1)2
h) En=l (^+l)
i) En=l (4(!-l)3
•x      ™ 1
j;   Z^n=l ^/3n+6
14