Cvičení č. 11: Systémy hromadné obsluhy M/M/n  s nekonečnou frontou


            Základní vzorce:

·                    Rekurentní vzorec pro ,

·                    Rekurentní vzorec pro ,

·               Vyjádření  pomocí  pro ,

·                    Vyjádření  pomocí  pro ,

·           Vzorec pro výpočet ,

·                              Střední počet zákazníků v obsluze,

·                            Intenzita provozu; aby byl systém stabilní, musí platit, že ,

·                Střední počet zákazníků ve frontě,

·                   Střední počet zákazníků v systému.


Př. 1:   Máme systém hromadné obsluhy s nekonečnou frontou se čtyřmi obslužnými linkami. Střední
počet zákazníků vstupujících do systému je  zák. / h. Střední doba obsluhy jednoho zákazníka je  h
/ zák. (z toho  = 2 zák. / h). Stanovte pravděpodobnosti jednotlivých stavů systému a dále základní
charakteristiky provozu ES, EL a EK.


            Nejprve je nutno ověřit, zda platí podmínka . Dosadíme do vzorce:

·          - podmínka je splněna.


Příklad dále řešíme tabulkovou formou:











                                                 k

                                               q[k]

                                               P[k]

                                              k∙P[k]

                                                 s

                                               P[s]

                                              s∙P[s]

                                                 l

                                               P[l]

                                              l∙P[l]

                                                 0

                                                 1

                                               0,038

                                                 0

                                                 0

                                               0,038

                                                 0

                                                 0

                                                 =

                                              = 0,618

                                                 0

                                                 1

                                                 3

                                               0,113

                                               0,113

                                                 1

                                               0,113

                                               0,113

                                                 2

                                                4,5

                                               0,170

                                               0,340

                                                 2

                                               0,170

                                               0,340

                                                 3

                                                4,5

                                               0,170

                                               0,510

                                                 3

                                               0,170

                                               0,510

                                                 4

                                               3,375

                                               0,127

                                               0,508

                                                 4

                                              1 -  =

                                              = 0,509

                                               2,036

                                                 5

                                               2,531

                                               0,096

                                               0,480

                                                 1

                                               0,096

                                               0,096

                                                 6

                                               1,898

                                               0,072

                                               0,432

                                                 2

                                               0,072

                                               0,144

                                                 7

                                               5,696

                                               0,214

                                               2,143

                                                 3

                                                 =

                                              = 0,214

                                               1,284

                                                 :

                                                 :

                                                 :

                                                 :



                                                 ∑

                                               26,5

                                                 1

                                            EK = 4,526


                                                 1

                                              ES = 3


                                                 1

                                            EL = 1,524


            Zavedeme . Potom:

·         ,

·         ,

·         ,

·         ,

·         ,

·         ,

·         .

 získáme úvahou:

·                    - tento výraz tvoří nekonečnou geometrickou řadu s  a . Tuto nekonečnou řadu
potom tvoří i  s  a . Součet této řady .

·         Potom .

Pravděpodobnost  získáme ze vzorce:

·         . Z toho potom .

Další pravděpodobnosti potom získáme vztahem . Součet pravděpodobností  získáme z normativní
podmínky pravděpodobnosti . Potom tedy platí:

·         .


 získáme následujícím postupem:

·          =  =  =  +  +   + … =  =  =              =  =  =                      =  =
=                             =  = 2,143.


Střední počet zákazníků ve frontě určíme podle vzorce  nebo ze vzorce . Po dosazení do prvního
vzorce dostaneme:

·         .


Př. 2:   Máme systém hromadné obsluhy s třemi obslužnými linkami. Střední počet zákazníků
vstupujících do systému za jednotku času je λ = 12 zák. / h. Střední doba obsluhy jednoho zákazníka
je  = 10 min / zák. (tedy μ = 6 zák. / h). Stanovte:

1)                 pravděpodobnost, že přicházející zákazník nebude muset na obsluhu čekat,

2)                 střední počet zákazníků nacházejících se v systému.


Nejprve testujeme podmínku :

·              - systém je stabilní.


ad 1)    Aby přicházející zákazník nečekal na obsluhu, musí být systém ve stavu 0, 1 nebo 2.
Počítáme tedy pravděpodobnost .

·         = = = ,

·         ,

·         .


Potom .


ad 2)    Střední počet zákazníků před přepážkami (tedy v systému) určíme podle vzorce :

·         ,

·          =   ,

·         .