Systémy hromadné obsluhy M/M/n bez fronty


            Základní vzorce:

·                    Rekurentní vzorec pro ,

·               Vyjádření  pomocí ,

·               Vztah pro výpočet ,

·                Střední počet zákazníků v systému.


Př. 1:   Do systému hromadné obsluhy s odmítáním vstupují požadavky s intenzitou                λ =
6 pož. / h. Střední doba obsluhy  = 30 min / pož. (z toho  pož. / h). Systém je tvořen čtyřmi
obslužnými linkami, tedy n = 4. Stanovte pravděpodobnosti jednotlivých stavů systému, tzn. stanovte
pravděpodobnosti . Dále určete střední počet zákazníků v systému.


            Takovýto příklad řešíme tabulkovou metodou:

                                                 k

                                               q[k]

                                               P[k]

                                              k∙P[k]

                                                 0

                                                 1

                                               0,061

                                                 0

                                                 1

                                                 3

                                               0,183

                                               0,183

                                                 2

                                                4,5

                                              0,2745

                                               0,549

                                                 3

                                                4,5

                                              0,2745

                                              0,8235

                                                 4

                                               3,375

                                               0,206

                                               0,824

                                                 ∑

                                              16,375

                                                 1

                                               2,380


            Pro usnadnění výpočtu zavádíme . Potom:

·         ,

·         ,

·         ,

·         ,

·         .

Nyní můžeme určit pravděpodobnost  pomocí vztahu:

·         .


Další pravděpodobnosti stavu systému získáme pomocí vztahu . Z tohoto vztahu vyplývá, že . Můžeme
tedy vypočítat:

·         ,

·         ,

·         ,

·         .


Střední počet zákazníků v systému můžeme určit dvěmi způsoby:

·         pomocí vzorce ,

·         pomocí vzorce pro střední hodnotu .


Př. 2: Je dán systém hromadné obsluhy netvořící frontu se 3 linkami. Střední doba mezi příchody
zákazníků je 12 minut, systém je schopen obsloužit 12 zákazníků za hodinu. Určete, zda je splněn
požadavek provozovatele, že systém nemá odmítnout více než 10 % zákazníků.

·         n = 3

·

·

Musíme spočítat pravděpodobnost odmítnutí a pak ji porovnat s požadavkem provozovatele. Vztah pro
výpočet známe:

.

Abychom mohli dosadit, potřebujeme spočítat pravděpodobnost toho, že bude systém prázdný a to podle
vzorce:

.

Dosazením potom získáme:

.

Vidíme, že vypočtená pravděpodobnost je menší než 0,1, je tedy splněn požadavek provozovatele.


Př. 3: Je dán jednolinkový systém hromadné obsluhy, střední délka mezery mezi příchody zákazníků
k systému je rovna 6 minut, linka je průměrně schopna obsloužit 5 zákazníků za hodinu. Jaké je
procento nevyužití systému?

·         n = 1

·

·

Systém nebude využit, pokud nebude obsluhovat žádného zákazníka. Systém neobsluhuje zákazníka,
pokud je prázdný, úkolem je tedy stanovit pravděpodobnost stavu 0. Tuto pravděpodobnost určíme
podle známého vztahu:

.


Př. 4:   V projektovaném systému je třeba určit požadovaný počet obslužných linek za předpokladů:
střední počet zákazníků za den λ = 72 zákazníků / den, střední doba obsluhy jednoho zákazníka  =
1,5 h / zákazník, předepsaný počet odmítnutí jsou 3 zákazníci / den.


·          = 72 zák. / den =  zák. / h = 3 zák. / h

·          = 1,5 h / zák. →  =  zák. / h

·         P[odmítnutí] = P[n] =  = 0,0417

·         Zatížení systému β =  = 4,5

·         Z tabulky vyčteme pro stanovené β a pro pravděpodobnost odmítnutí, že navrhovaný systém
musí mít 9 linek, tedy n = 9.


Př. 5:   V systému je 5 obslužných linek, střední počet vstupujících
požadavků                                    λ = 48 zákazníků / den. Určete maximální střední dobu
obsazení linky jedním požadavkem tak, aby P[odmítnutí] nebyla vyšší než 0,05.


·          = 48 zák. / den =  zák. / h = 2 zák. / h

·         z tabulky zjistíme, že pro P[n] = 0,05 a n = 5 je hodnota β =  = 2,223

·          zák. / h →  = 1,1115 h / zák.