Cvičení č. 12: Systémy hromadné obsluhy M/M/n s omezenou délkou fronty


Základní vzorce:

·                    Rekurentní vzorec pro ,

·                    Rekurentní vzorec pro ,

·               Vyjádření  pomocí  pro ,

·                    Vyjádření  pomocí  pro ,

·                      Pravděpodobnost odmítnutí,

·                            Intenzita provozu,

·         Vzorce pro výpočet :

      , platí pro ,

      , platí pro ,


·                 Střední počet zákazníků v obsluze,

·                   Střední počet zákazníků ve frontě,

·                   Střední počet zákazníků v systému.


Př. 1:   Máme systém hromadné obsluhy s omezenou délkou fronty se třemi obslužnými linkami. Počet
míst ve frontě je roven 3. Střední počet zákazníků vstupujících do systému je  zák. / h. Střední
doba obsluhy jednoho zákazníka je  h / zák. (z toho                         = 4 zák. / h). Stanovte
pravděpodobnosti jednotlivých stavů systému a dále základní charakteristiky provozu ES, EL a EK.


            Jelikož je fronta omezena počtem míst, není třeba ověřovat stabilitu systému (fronta
tedy nemůže růst do nekonečna)





Příklad dále řešíme tabulkovou formou:


                                                 k

                                               q[k]

                                               P[k]

                                              k∙P[k]

                                                 s

                                               P[s]

                                              s∙P[s]

                                                 l

                                               P[l]

                                              l∙P[l]

                                                 0

                                                 1

                                               0,068

                                                 0

                                                 0

                                               0,068

                                                 0

                                                 0

                                              = 0,627

                                                 0

                                                 1

                                                2,5

                                               0,170

                                               0,170

                                                 1

                                               0,170

                                               0,170

                                                 2

                                               3,125

                                               0,213

                                               0,426

                                                 2

                                               0,213

                                               0,426

                                                 3

                                               2,604

                                               0,177

                                               0,531

                                                 3

                                              = 0,549

                                               1,647

                                                 4

                                               2,170

                                               0,148

                                               0,592

                                                 1

                                               0,148

                                               0,148

                                                 5

                                               1,808

                                               0,123

                                               0,615

                                                 2

                                               0,123

                                               0,246

                                                 6

                                               1,507

                                               0,102

                                               0,612

                                                 3

                                               0,102

                                               0,306

                                                 ∑

                                              14,714

                                                1,0

                                            EK = 2,946


                                                1,0

                                            ES = 2,243


                                                1,0

                                             EL = 0,70



            Pro výpočet pravděpodobností jednotlivých stavů opět zavedeme pomocnou proměnnou .
Potom tedy:

,

,

,


,

,

,

,

.


            Nyní můžeme přistoupit k výpočtu :

.


            Správnost výpočtu  lze ověřit dosazením do vzorce pro výpočet :


,

kde      .


            Nyní lze přistoupit k výpočtu dalších pravděpodobností jednotlivých stavů systému:

,

,

,

,

,

.


            Pravděpodobnost odmítnutí .


            Střední počet zákazníků v systému EK získáme jako  (viz tabulka – čtvrtý sloupec).


            Střední počet zákazníků v obsluze získáme buď z tabulky nebo dosazením do známého
vzorce:

.


            Střední počet zákazníků ve frontě EL získáme z tabulky nebo ze vzorce:

.