Zadání příkladů k zápočtu z UIM/YLA
doc. RNDr. Martina Pavlačková, Ph.D.
Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 2021
Příklad 1 Jsou následující tvrzení výroky, výrokové formy nebo hypotézy (popř. ani jedno z toho)?
1. Olomouc je hlavní město ČR.
2. 3 < -3
3. 3 < x
4. x + 3 = 4
5. Kolik nohou má pavouk?
6. Na Vánoce bude v Olomouci sníh.
Příklad 2 Dokažte pomocí tabulky pravdivostních hodnot, že
a) výrok (p V q)'     (p' A q') je tautologie.
b) výrok (p =>■ q) <4> (p A </) je kontradikce.
Příklad 3 Zapište symbolicky negace následujících kvantifikovaných výroků.
a) Va e R: a2 > 0
b) 3x E R: x = y/l-x
Příklad 4 Uvažujme množiny A = {f, 2, 3,4} a B = {—6, —5, f, 4}. Určete množiny A U B, A n B, A \ B, B \ A.
Příklad 5 Zjistěte, je-li výraz definován a pokud ano, tak jej vypočítejte:
1.
— oo 3 — 3 • oo H-----1--,
5 oo
2.
1
—10 • oo -\---oo • oo.
oo
Příklad 6 Zapište pomocí intervalů nebo sjednocení intervalů:
1. \x\ = 5,
2. |.x| < 5,
3. \x\ > 5.
Příklad 7 Vypočítejte okolí bodu a graficky jej znázorněte:
1. W(l,3)
2. W(l,l)
3. W*(l,2)
4. W*(-3,2)
Příklad 8 Uvažujme vektorový prostor IR3 a jeho tři prvky (1, 2,4), (2,1, 5), (1, —3,5). Jsou tyto vektory lineárně závislé nebo nezávislé?
Příklad 9 Uvažujme vektorový prostor IR3 a jeho tři prvky (1, 0,4), (2, 2, 5), (4, 2,13). Jsou tyto vektory lineárně závislé nebo nezávislé?
Příklad 10 Uvažujme následující matice:
A
2     0 2 -2  -3 3 1     2 3
B
1    4 1
0 -2 -2
1 6 3
C
2 2 4
3 3 6 1 2 4 -12 4
\
Vypočítejte jejich hodnosti.
Příklad 11
/ 1    2     1    1 \
0-1-2 1 0    0     3 1
A
\
B
V
5    2 1
0 -2 -4
1 0 -3
C
Vypočítejte A ■ B, AT ■ B, C ■ B (pokud to rozměry matic umožňují) Příklad 12 Vypočítejte determinanty det(A), det(B) a det(C), je-li to možné:
A =
1 1
5 -3
B =
(
V
1     3 0 3     1 5 -1   -2 -4
\
C
Příklad 13 Vypočítejte determinant det(Á):
í 3   _9   n     9 \
-2    0 2 11-21 -3    2     0 -3 -2112
Příklad 14 Řešte soustavu lineárních rovnic
b)
X\ + 3a"2 — x3 = 0, 2xi - x2 + x3 = 3, -x-L + 2rr2 + 2rr3 = 1.
X\ — 2x-2 + x3 = —1, 2xi — 5x-2 + 4x3 = 0, 3a: i — 7x2 + 5x3 = — 1.
c)
X\ — x% -|- 2:4 = 3, 2xi + x2 — 2x3 + 3x4 = 3, —x2 — X4 = 0.
Příklad 15 Určete první čtyři členy posloupnosti {an} = {^^7-} a nakreslete příslušnou část grafu této posloupnosti. Je tato posloupnost monotónní (tj. rostoucí nebo klesající)? Je omezená? Pokud ano, tak jakými čísly (shora, zdola)?
Příklad 16 Vypočítejte limity posloupností: a)  lim 2,!+3-
b) lim 2*í£_BÍ+150
c) lim (^)n
d)  lim ^
* um -feg*
n—>oo
,2
f)  lim (5rr — n + 3)
n—>oo
Příklad 17 Rozhodněte o konvergenci/divergenci řady:
^7   Z-m=l 8"
En=l 5n+6 C)   En=l (5n+6)2
d) Ľľ=1 Q)"
e) Eľ=i (I)"