PØÍKLADY NA PROCVIÈENÍ
XM1
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
Olomouc 2016
Obsah
1 Vektory 4
2 Matice 5
3 Determinanty 7
4 Soustavy rovnic 9
5 Limity posloupností 10
6 Èíselné øady 11
1 Vektory
Pøíklad 1.1 Zjistìte, pro které reálná èísla a, b, c platí rovnost mezi vektory u a v a proveïte zkou¹ku.
a) u = (2; 3 − b; −5) a v = 2a − 3; 6; c3 − 13 a = 5
2, b = −3, c = 2
b) u = 3
4a + b; 2b; 1 a v = (10; b + c; c) [a = 12, b = 1, c = 1]
Pøíklad 1.2 Urèete vektor w, jsou-li dány vektory a = (1; −3; 0), b = (3; 2; 1), c (−2; 0; 4).
a) w = a + b + c [w = (2; −1; 5)]
b) w = 2a − b + 1
2c [w = (−2, −8, 1)]
Pøíklad 1.3 Urèete vektor x, pro který platí:
a) u + x = v, kdy¾ u = (1; −1) a v = (−4; 2). [x = (−5; 3)]
b) 2 (x − 2u + v) − 3 (x + v) = x, kdy¾ u = (1; 0; −2) a v = (3; −1; 2) x = −7
2; 1
2; 3
Pøíklad 1.4 Vypoètìte skalární souèin vektorù a a b
a) a = (1; −3; 2; 6) a b = 1
2; 0; −2; 1
3 a · b = −3
2
b) a = 2
5; 1
3; 1
7; −3
4 a b = 5
2; 3; −7
3; 5
2 a · b = − 5
24
Pøíklad 1.5 Urèete vektor x vyhovující rovnici a1 + 2a2 + 3a3 + 4x = o,
kde a1 = (5; −8; −1; 2), a2 = (2; −1; 4; −3), a3 = (−3, 2, −5, 4). [x = (0; 1; 2; −2)]
Pøíklad 1.6 Urèete lineární kombinaci c1a1 + c2a2 + c3a3 vektorù a1, a2, a3.
a) a1 = (1; −1; 2) , a2 = (−3; 2; 0) , a3 = (2; −4; 2) a c1 = 2, c2 = −2, c3 = 1
2 [(9; −8; 5)]
b) a1 = 1
2; −3
4; 2 , a2 = (2; 5; −1) , a3 = 3; 1
3; −1
3 a c1 = 1
2, c2 = 0, c3 = −3
2 −17
4 ; −7
8; 3
2
Pøíklad 1.7 Rozhodnìte, zda vektory m = (3, 2, 5) a n = (5, 6, 7) jsou lineární kombinací vektorù
a1 = (1, 3, 2) a a2 = (2, −1, 3).
m je lineární kombinací a1 a a2
n není lineární kombinací a1 a a2
Pøíklad 1.8 Zjistìte, zda jsou vektory a, b, c lineárnì závislé, èi lineárnì nezávislé.
a) a = (4, 1, −2, 0) , b = (−1, 1, 0, 1) , c = (−13, 3, 4, 5) [vektory jsou lineárnì závislé]
b) a = (2, 1, 0) , b = (0, −1, 1) , c = (1, 1, 1) [vektory jsou lineárnì nezávislé]
4
2 Matice
Pøíklad 2.1 Pro která reálná èísla a a b platí rovnost matic A a B.
a) A=
2 a − 1
b + 3 6
B=
2 5
7 6
[a = 6, b = 4]
b) A=
a + b a − b
2a − b b − 2a
B=
−1 3
4 −4
[a = 1, b = −2]
Pøíklad 2.2 Pro matice A a B vypoèítejte:
a) 2A-3B, je-li A=


1 0 −1
1 −1 1
0 2 3

, B=


2 1 1
1 −2 1
−1 1 2






−4 −3 −5
−1 4 −1
3 1 0




b)
1
2A+4B, je-li A=
4 −2 0 8
2 1 3 5
, B=
1
2 −3
4
5
2 0
1
4
2
5 −1
3
1
2
4 −4 10 4
2 21
10
1
6
9
2
c) A2, je-li A=


1 2 1
0 1 2
2 1 1






3 5 6
4 3 4
4 6 5




Pøíklad 2.3 Urèete souèin matic A · B a B · A, pokud existuje, je-li:
a) A=




4 1
0 −1
1 2
3 5



 a B=
1 −1 0 3
2 1 4 5



A · B =




6 −3 4 17
−2 −1 −4 −5
5 1 8 13
13 2 20 34



 ; B · A =
13 17
27 34




b) A= 1 1
3
2
3 3 a B=






−3
2
1
4
2
1












A · B = 35
12 ; B · A =






−3
2 −1
2 −1 −9
2
1
4
1
12
1
6
3
4
2 2
3
4
3 6
1 1
3
2
3 3












Pøíklad 2.4 Urèete reálná èísla a, b, c tak, aby platila rovnost


0 0 1
1 0 2
0 −1 1

 ·


a
b
c

 =


1
3
3

 [a = 1, b = −2, c = 1]
Pøíklad 2.5 Urèete hodnost matice.
a)
0 3 −1 2 0
1 5 7 8 2
[h = 2]
b)


1 2 3
2 −1 1
1 7 8

 [h = 2]
c)




2 2 4
3 3 6
1 2 4
−1 2 4



 [h = 2]
5
d)








0 5 6
1 2 3
−1 0 1
2 1 0
0 −2 3
5 8 1








[h = 3]
Pøíklad 2.6 Rozhodnìte, zda jsou vektory lineárnì závislé èi lineárnì nezávislé.
a) a = (1; 4; −3)
b = (1; −3; −1) [lineárnì nezávislé]
c = (2; 1; 4)
b) a = (1; 2; 3)
b = (4; 7; 5) [lineárnì nezávislé]
c = (1; 6; 10)
c) a = (1; −3; −26; 22)
b = (1; 0; −8; 7) [lineárnì závislé]
c = (1; 1; −2; 2)
d = (4; 5; −2; 3)
Pøíklad 2.7 Urèete inverzní matici A−1 k matici A a proveïte zkou¹ku.
Pou¾ijte postup s jednotkovou maticí.
A=


4 2 −1
5 0 1
3 0 0










0 0 1
3
1
2
1
2 −3
2
0 1 −5
3








6
3 Determinanty
Pøíklad 3.1 Vypoètìte determinanty.
a)
18 5
−3 1
[33]
b)
24 3
4
9
2 −1
6
−59
8
c)
1+t2
1−t2
2t
1−t2
2t
t2−1
1+t2
t2−1
t = ±1
−1
d)
sin α − sin β cos β − cos α
cos β + cos α sin α + sin β
[0]
e)
x − 1 − 1
x3
x3 x2 + x + 1
x = 0
x3
Pøíklad 3.2 Vypoètìte determinant Sarrusovým pravidlem.
a)
−6 1 2
3 0 1
2 −1 4
[−22]
b)
1
2
2
3 −1
3
0 3
2
1
3
−5
2
4
3
1
2
−119
72
c)
x y x + y
y x + y x
x + y x y
−2 x3 + y3
Pøíklad 3.3 Øe¹te rovnici.
a)
x + 1 2 −1
1 x + 2 −1
1 3 x − 2
= 0


x1 = 0
x2 = 1
x3 = −2


Pøíklad 3.4 Vypoèítejte determinant Laplaceovým rozvojem
a) podle prvkù druhého øádku,
b) podle prvkù tøetího sloupce,
c) nejprve determinant upravte tak, aby v posledním sloupci mìl co nejvíce nul a pak jej podle prvkù
tohoto sloupce rozviòte.
2 −1 3
4 0 −2
−5 1 1
[10]
7
Pøíklad 3.5 Vypoèítejte determinant tak, ¾e jej nejprve upravíte na trojúhelníkový tvar.
−3 1 2
1 −2 2
2 4 1
[49]
Pøíklad 3.6 U¾itím determinantù rozhodnìte, zda vektory jsou lineárnì závislé èi lineárnì nezávislé.
a) a = (2; 1; 0), b = (0; −1; 1), c = (1; 1; 1) [lineárnì nezávislé]
b) a = (1; −1; 0), b = (0; −2; 1), c = (2; 4; −3) [lineárnì závislé]
Pøíklad 3.7 Vypoètìte determinanty.
a)
1 −1 3 3
0 2 2 1
0 1 −2 1
−2 1 1 1
[−53]
b)
1 −1 0 0
2 3 0 −4
2 0 1 1
1 0 1 1
[−4]
c)
−1 2 0 0 0
0 1 −2 0 0
0 0 −1 2 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 −1
[−1]
d)
2 3 0 0 0
1 2 3 0 0
0 1 2 3 0
0 0 1 2 3
0 0 0 1 2
[−10]
Pøíklad 3.8 Zjistìte, zda je matice singulární èi regulární.
(U¾itím hodnosti matice i výpoètem determinantu.)
a) A=
−1 3 2
0 4 1
5 1 0
[regulární]
b) A=
1 2 2
−1 1 −2
0 −2 0
[singulární]
Pøíklad 3.9 Urèete inverzní matici A−1 k matici A.
Pou¾ijte adjungovanou matici a výpoèet determinantu.
A=


4 2 −1
5 0 1
3 0 0










0 0 1
3
1
2
1
2 −3
2
0 1 −5
3








Srovnejte postupy øe¹ení pøíkladù 2.7 a 3.9
8
4 Soustavy rovnic
Pøíklad 4.1 Urèete v¹echna øe¹ení soustavy rovnic.
a)
x − y + 2z = 1
x − 2y − z = 2
3x − y + 5z = 3
−2x + 2y + 3z = −4
jediné øe¹ení
u = 10
7 , −1
7, −2
7
b)
x3 + 2x4 + 3x5 = 2
−x2 − 2x3 − 3x4 = 2
x2 + x3 + x4 + x5 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
jediné øe¹ení
x = 1, −1
2, 0, −1
2, 1
c)
x1 − 2x2 + 3x3 = 2
3x1 − x2 + x3 = 0
3x1 + 4x2 − 7x3 = −6
5x2 − 8x3 = −6




nekoneènì mnoho øe¹ení
závislých na jednom parametru
obecné øe¹ení:
x = u−2
8 , u, 6+5u
8 , u ∈ R




d)
x1 − x2 + 3x3 + 5x4 = 0
2x1 + x2 − 4x3 + 6x4 = 0
x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0
3x1 − x2 + 3x3 + x4 = 0
jediné øe¹ení, a to
triviální: o = (0, 0, 0, 0)
e)
−3x2 + 2x3 = 0
−2x1 − 3x2 + 2x4 = 0
3x1 + 3x3 − 3x4 = 0
3x2 − 2x3 = 0




nekoneènì mnoho øe¹ení
závislých na dvou parametrech
obecné øe¹ení:
x = t − s, 2
3s, s, t , s, t ∈ R




Pøíklad 4.2 U¾itím Cramerova pravidla øe¹te soustavu rovnic.
a)
2x + 3y − 3z = −1
4x − 4y − z = 3
8x − 9z = 0
právì jedno øe¹ení
u = 3
4, −1
6, 2
3
b)
x + y + z + u = 2
x − y − z + u = 4
x − y + z − u = 0
x + y − z + u = 10
jediné øe¹ení
u = (5, 3, −4, −2)
9
5 Limity posloupností
Pøíklad 5.1 Vypoèítejte limity posloupností.
a) lim
n→∞
n3
− 7n5
− 1015
[−∞]
b) lim
n→∞
2n2 + 3n + 7
√
15 − n
[−∞]
c) lim
n→∞
(2 + 4n)2
n3
(1 − n)3
4n2
[−4]
d) lim
n→∞
√
n3 + 1 + 2n
n2 + 3
[0]
e) lim
n→∞
n n2 + 1 − n2 + 1 [0]
f) lim
n→∞
4n2 + 5n − 7 − 2n
5
4
g) lim
n→∞
3 (n + 2)! − n!
8 (n + 2)!
3
8
h) lim
n→∞
1
4 · 3n − 2 · 5n+1
8 · 5n + 2 · 3n−2
−
5
4
i) lim
n→∞
n + 4
n2 − 5n
+
3 − n3
2n2 − 8n + 15
[−∞]
j) lim
n→∞
5
4
−
1 + 2n4
7n3 + 8n4 + 2
[1]
k) lim
n→∞
300n2 + 4n − 5
4 + 2n + 1
100n2
− 3n [−∞]
l) lim
n→∞
(n + 2)2
7 + 2n − n3
+
3
n
[0]
m) lim
n→∞
n3 − 4n2 + 3
5n − 2n2
+
n3 − 4n
2 − n5
[−∞]
n) lim
n→∞
6n6 + 1
4n + 3n6
+
1 − 3n2
n2 − 2
[−1]
o) lim
n→∞
1
5
+
3 + 4n
5n − 2
[1]
p) lim
n→∞
n2 + 3n − n
3
2
q) lim
n→∞
2n2
n3 − 1
· sin en u¾ijte vìtu þ0 · omezená posloupnostÿ
0
r) lim
n→∞
[(−2)n
· n]
u¾ijte vìtu o limitì vybrané posloupnosti
neexistuje
10
6 Èíselné øady
Pøíklad 6.1 Napi¹te prvních 5 èlenù øady a stanovte èleny an−2 a an+1.
a)
∞
n=1
3
2n



∞
n=1
3
2n
=
3
2
+
3
4
+
1
2
+
3
8
+
3
10
+ · · ·
an−2 = 3
2n−4; an+1 = 3
2n+2



b)
∞
n=1
2n
n + 1



∞
n=1
2n
n + 1
= 1 +
4
3
+ 2 +
16
5
+
16
3
+ · · ·
an−2 = 2n−2
n−1 ; an+1 = 2n+1
n+2



c)
∞
n=1
2 + n
n (n + 1)



∞
n=1
2 + n
n (n + 1)
=
3
2
+
2
3
+
5
12
+
3
10
+
7
30
+ · · ·
an−2 = n
(n−2)(n−1); an+1 = n+3
(n+1)(n+2)



d)
∞
n=1
n!
n + 3



∞
n=1
n!
n + 3
=
1
4
+
2
5
+ 1 +
24
7
+ 15 + · · ·
an−2 = (n−2)!
n+1 ; an+1 = (n+1)!
n+4



e)
∞
n=1
(−1)n en
2n!



∞
n=1
(−1)n en
2n!
= −
e
2
+
e2
4
−
e3
12
+
e4
48
−
e5
240
+ · · ·
an−2 = (−1)n−2 en−2
2(n−2)! ; an+1 = (−1)n+1 en+1
2(n+1)!



Pøíklad 6.2 Znáte-li prvních 5 èlenù øady, zapi¹te øadu struènì symbolicky.
a)
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+
1
4 · 5
+
1
5 · 6
+ · · ·
∞
n=1
1
n (n + 1)
b)
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
+
1
243
+ · · ·



∞
n=1
1
3n
je to geometrická øada



c)
1
4
+
2
9
+
3
16
+
4
25
+
5
36
+ · · ·
∞
n=1
n
(n + 1)2
d)
2
1 · 3
+
3
3 · 5
+
4
5 · 7
+
5
7 · 9
+
6
9 · 11
+ · · ·
∞
n=1
n + 1
(2n − 1) (2n + 1)
e) 1 −
1
2
+
1
4
−
1
8
+
1
16
− · · ·



∞
n=1
−
1
2
n−1
je to geometrická øada



Pøíklad 6.3 Rozhodnìte. zda je daná øada geometrická. Pokud ano, stanovte její souèet s.
a)
∞
n=1
1
3n − 1
není geometrická
b)
∞
n=1
5
3n4n−1
je geometrická
s = 20
11
c)
∞
n=1
1
n2 + 1
není geometrická
11
d)
∞
n=1
−
√
2
2
n−1
je geometrická
s = 2
2+
√
2
Pøíklad 6.4 U¾itím nutné podmínky konvergence øady rozhodnìte, zda daná øada diverguje.
a)
∞
n=1
3n2 + 2
n2 + 2
øada diverguje
b)
∞
n=1
3n − 10n2 + 5n3
6 − 7n2
øada diverguje
c)
∞
n=1
1
n5n
nelze rozhodnout
d)
∞
n=1
50
(n + 1)!
nelze rozhodnout
e)
∞
n=1
−1
en
nelze rozhodnout
f)
∞
n=1
1
arctg n
øada diverguje
Pøíklad 6.5 Rozhodnìte o konvergenci èi divergenci øady a urèete její zadaný èlen.
a)
∞
n=1
(n + 3)!
5n+1
; a5 =? øada diverguje; a5 =
8!
56
b)
∞
n=1
4n
n · 7n+2
; a3 =? øada konverguje; a3 =
43
3 · 75
c)
∞
n=1
2n
4n − 3
n
; a4 =? øada konverguje; a4 =
8
13
4
d)
∞
n=1
3n − 4
2n + 1
n
; a4 =? øada diverguje; a4 =
8
9
4
e)
∞
n=1
4n + 5
(n + 3)!
; a2 =? øada konverguje; a2 =
13
5!
f)
∞
n=1
4n
(n + 1) · 5n+1
; a3 =? øada konverguje; a3 =
16
625
12