Vlastnosti limity posloupnosti

Věta 11.2 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Poznámka Tzn. buď žádnou nebo právě jednu.

Věta 11.3 Nechť {𝑎𝑛} a {𝑏𝑛} jsou posloupnosti takové, že pro skoro všechna 𝑛∈ℕ je 𝑎𝑛=𝑏𝑛. Pak lim 𝑎𝑛 existuje, právě když existuje lim 𝑏𝑛 a obě limity jsou si rovny.

Důsledek Vynechání, přidání nebo změna konečného počtu členů posloupnosti nemá vliv na exis-tenci a hodnotu limity.

Např. Posloupnost {3,3,⋯}={3}𝑛=1∞ je stacionární posloupnost, která má limitu 3.

A také posloupnost { 50,40,30,20,10,1,⏟ přidané členy3,3,3,⋯ } má limitu 3.

Věta 11.4 Jestliže pro skoro všechna 𝑛∈ℕ je 𝑎𝑛=𝑎,𝑎∈𝑅, pak lim 𝑎𝑛=𝑎.

Důsledek Limita konstantní posloupnosti je rovna té konstantě.

Např. Posloupnost {3,3,3,⋯}={3}𝑛=1∞ má limitu 3.

Věta 11.5 (O limitě posloupností vzniklých početními operacemi.)

Nechť lim𝑎𝑛=𝑎,lim𝑏𝑛=𝑏,𝑎,𝑏∈ℝ∗ a početní operace 𝑎+𝑏,𝑎−𝑏,𝑎⋅𝑏,𝑎𝑏,𝑎𝑚,√𝑎𝑚, 𝑚∈ℕ, jsou definovány na množině ℝ∗.