P1ZST-01 Základy kombinatoriky a klasické pravděpodobnosti in Fiser 10. 2. 2026 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 1/62 Obsah O Základní informace o kurzu Q Úvodní poznámky o pravděpodobnosti a statistice Q Kombinatorické pravidlo součinu a součtu, princip inkluze a exkluze O Skupiny bez opakování ► Variace ► Permutace Kombinace Q Skupiny s opakováním ► Variace ► Permutace ► Kombinace O Pravděpodobnost - jev a operace s jevy Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 Základní informace ke kurzu • Online zdroje ► 10 (prezentace, skripta) - to stačí ► Otipka, R, Šmajstrla, V. Pravděpodobnost a statistika. VŠB TU Ostrava. http://homel.vsb.cz/~oti73/cdpast1/ ► a mnoho dalších, včetně video-prezentací na YT, AI • Zápočet: aktivní účast na cvičeních, průběžné domácí úkoly, test?, maximálně tři neomluvené absence. • Zkouška: ► písemný zkouškový test (praktické příklady a teoretické otázky), ústní dozkoušení, ► prokázat znalosti základní pojmů, orientaci v problematice a demonstrovat znalosti na příkladech. Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 3/62 Náhoda a pravděpodobnost Pokus = experiment, uskutečněný při přesném dodržení předepsaných podmínek • nenáhodný: 1 výsledek např. zahříváme-li vodu na 100 °C při atmosférickém tlaku 1015 hPa, nastane var • náhodný: 2 a více různých výsledků např. hod mincí; hod kostkou; volba otázky u maturity; střelba na terč; podání léku pacientovi Co je to pravděpodobnost? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 Náhoda a pravděpodobnost Pravděpodobnost = naděje, s jakou nastanou jevy, které nás zajímají • číslo mezi nulou a jedničkou • čím je hodnota blíže jedničce, tím vyšší je naděje, že daný jev nastane • popisuje náhodný pokus pomocí matematických (pravděpodobnostních) modelů Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 5/62 Zakladatelé moderní teorie pravděpodobnosti • Úlohy o pravděpodobnosti výhry v hazardních hrách (a) Blaise Pascal (1623-1662) (b) Pieae de Fermat (1601 -1665) Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 6/62 Hazardní hry v kostky • hod 1 kostkou: padne alespoň 1 šestka ve 4 hodech -> zisk • hod 2 kostkami: padne alespoň 1 dvojice šestek ve 24 hodech ztráta Chevalier de Mére (1607-1684) vl. jménem Antoine Gombaud Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 7/62 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledků jevu A počet všech možných výsledků V ^/ i i I I o J J \ I J J J J f P(/K\ 1 /6 0 17 H i d) 'ô/t 3 = 1/2 = 0.5 j j j 4, bj vy / Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 8/62 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledku jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) Pi/K\ "1 /6 0 "17 pri = 1 /2 = 0,5 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 8/62 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledku jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: P(B) = 3/6 a vr- ■ r r ■ || l^^k 1^ 1 1 l #% M l #% M 1 1 a7 = 1/2 = 0,5 y J J P(/K\ "1 /6 0 "17 (2, 4, 6) vy / Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 8/62 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledku jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: 1 příznivý výsledek P{A) = 1/6 = 0,17 - 6) 1/2 0,5 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 8/62 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledku jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: 1 příznivý výsledek => P{A) = 1/6 = 0,17 ► padne sudé číslo: 3 příznivé výsledky (2, 4, 6) P (B) = 3/6 = 1/2 = 0,5 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledků jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: 1 příznivý výsledek P{A) = 1/6 = 0,17 ► padne sudé číslo: 3 příznivé výsledky (2, 4, 6) P(6) = 3/6 = 1/2 = 0,5 Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledků jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: 1 příznivý výsledek P{A) = 1/6 = 0,17 ► padne sudé číslo: 3 příznivé výsledky (2, 4, 6) ^ P(6) = 3/6 = 1/2 = 0,5 ► padne číslo 10:; Klasická pravděpodobnost • konečný počet výsledků pokusu • výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné Klasická pravděpodobnost P(A) = počet příznivých výsledků jevu A počet všech možných výsledků Příklad: Hod pravidelnou šestistrannou kostkou * počet možných výsledků pokusu: 6 (padne 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6) ► padne číslo 6: 1 příznivý výsledek P{A) = 1/6 = 0,17 ► padne sudé číslo: 3 příznivé výsledky (2, 4, 6) ^ P(6) = 3/6 = 1/2 = 0,5 ► padne číslo 10: žádný příznivý výsledek P(D) = 0/6 = 0 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 8/62 Co to je statistika? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 9/62 Statistika a popisná statistika ► názorně představuje data pomocí tabulek, grafů a jednoduchých číselných charakteristik • matematická statistika ► data tvoří výběr z nějaké větší populace ► zobecňuje závěry platné pro naše data na celou populaci Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 10/62 1. Kombinatorika o zabývá se vlastnostmi konečných množin ► vytváření navzájem různých množin (skupin) z daných prvků ► určení počtu takto vzniklých množin ► podle toho, zda se prvky v jednotlivých skupinách mohou či nemohou opakovat, rozlišujeme * skupiny s opakováním * skupiny bez opakování Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 11/62 1.1 Základní kombinatorická pravidla Příklad (Dvojciferná čísla) Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Nějaké nápady? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 12/62 Základní kombinatorická pravidla Příklad (Dvojciferná čísla) Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Řešení A • desítky: číslice 1,2,..., 9 -> 9 možností o jednotky: číslice 0 a jakákoliv z 8 číslic různá od číslice na místě desítek -> 9 možností =4> 9 • 9 = 81 různých dvojciferných čísel Kombinatorické pravidlo součinu Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 13/62 Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součinu Nechť množina A, má n, prvků pro / = 1,..., k. Pak počet všech uspořádaných /c-tic (a-i,..., ak), kde a-i e , ..., ak e Ak, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý n2 způsoby, ..., /c-tý člen nk způsoby, je roven součinu k Ylľlj = A71 • A72 • • • A7/c. /=1 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 14/62 Kombinatorické pravidlo součtu Příklad (Dvojciferná čísla) Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Řešení B • D ... množina všech přirozených dvojciferných čísel -> |D|=90 možností • S ... množina všech přirozených dvojciferných čísel se stejnými číslicemi -> |S|=9 možností • R ... množina všech přirozených dvojciferných čísel s různými číslicemi RuS=D, fínS = 0, R+\S\=D R\ = 90 - 9 = 81 různých dvojcifgrnýgh čísel Kombinatorické pravidlo součtu Kombinatorické pravidlo součtu Nechť množir množiny A\ po Pak pro počel ia A\ i dvou : prvki k /=1 má rij prvků pro / = 1,..., k a nechť jsou disjunktní. j sjednocení těchto množin platí k = ^2m = n^ +n2 + ••• + %. /=1 • nejsou-li množiny disjunktní -> Princip inkluze a exkluze Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 16/62 Princip inkluze a exkluze Nechť jsou dány množiny A, pro i = 1,..., k a |A| označuje počet prvků Mé množiny (/ = 1,..., k). Potom pro počet prvků sjednocení množin A|,..., Ak platí U A /=1 + /=1 Aj nAjíiAs\-----h (-1 )k~1 |^i n /A2 n • • • n Ak 1A-| I + |iA2| + IA3I - |A n A2\ - \A^ n /\3 A2nA3 + A^ n /A2 n /A3 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 Princip inkluze a exkluze - příklad Příklad (Sportovní kluby) Ve městě fungují dva sportovní kluby. Fotbalový klub má dvanáct členů, tenisový klub devět. Přitom tři fotbalisté hrají i tenis. Kolik osob celkem je členem nějakého klubu? Nějaké nápady? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 Princip inkluze a exkluze - příklad Příklad (Sportovní kluby) Ve městě fungují dva sportovní kluby. Fotbalový klub má dvanáct členů, tenisový klub devět. Přitom tři fotbalisté hrají i tenis. Kolik osob celkem je členem nějakého klubu? Řešení: počet členů fotbalového klubu: \A\ = 12 počet členů tenisového klubu: \B\ = 9 počet osob ve fotbalovém i tenisovém klubu AnB =3 Au B = A + B - AnB =12 + 9- 3 = 18 osob Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 19/62 1.2 Skupiny bez opakování Kolika způsoby lze z n prvkové množiny {a-i,..., an} vybrat k < n různých prvků? • uspořádaná /etice: variace, permutace • neuspořádaná /c-tice: kombinace Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 20/62 L Variace Počet /(-prvkových variaci Z množiny M = , a2,..., an_i, an} vybíráme uspořádané /c-tice ^ ' _i ____í: i • • • n n- 1 • • • n-(k J A7-(/(-1) = n-k + 1 A7 • (r? 1 ) • • (n k)• (n ■(/7-/c + 1))-; ; 1 ) • • • 1 □ Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 21 /62 L Variace Počet /(-prvkových variaci Z množiny M = , a2,..., an_i, an} vybíráme uspořádané /c-tice uspořádaná /c-tice 1 .člen 2.člen • • • (k - 1).člen /(.člen počet možností n n- 1 • • • n-{k-2) n-(*-1) = n-/c + 1 kombinatorické pravidlo součinu V^(A7) = A7-(A7-1)---(A7-/f + 1) nebo také \4(A7)=A7.(A7-1)...(A7-/c+1) (a7-/c)-(a?-/c-1)--1 _ n! (n — /c) • (n — A: — 1) • • • 1 ~ (n-k)\ Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 21 /62 Variace Variace je libovolná uspořádaná /c-tice sestavená z prvků množiny o n prvcích tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou (záleží na pořadí prvků v této /c-tici a žádný z jejích prvků se nesmí opakovat). Počet všech /c-prvkových variací sestavených z n-prvkové množiny je roven číslu \4(n) = A7-(A7-1)---(A7-/c+1) = n\ (n-k) k < n. Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 22/62 Variace - příklad vlajka Příklad (Vlajka) Sestavujeme vlajku ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. a) Kolik vlajek lze sestavit? b) Kolik jich má modrý pruh ? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik jich nemá červený pruh uprostřed? Nějaký nápad? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 23/62 Příklad (Vlajka) Sestavujeme vlajku ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. a) Kolik vlajek lze sestavit? b) Kolik jich má modrý pruh ? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik jich nemá červený pruh uprostřed? Řešení a) • vlajka - 3 různé pruhy z 5 různých barev • záleží na pořadí pruhů =4> tříčlenné variace z 5 prvků l/3(5) = 5-4-3 = 60 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 24/62 Příklad (Vlajka) Sestavujeme vlajku ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. b) Kolik jich má modrý pruh ? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? Řešeníb) vlajka s modrým pruhem a modrý pruh - 3 způsoby umístění (nahoru, doprostřed, dolů) • zbývající 2 barevné pruhy - 2 různé pruhy ze 4 různých barev \/2(4) = 43 = 12 možností kombinatorické pravidlo součinu 3 • V2(4) = 3 • 12 = 36 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 25/62 Příklad (Vlajka) Sestavujeme vlajku ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. b) Kolik jich má modrý pruh ? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik jich nemá červený pruh uprostřed? Řešeníb) vlajka s modrým pruhem 9 modrý pruh - 3 způsoby umístění (nahoru, doprostřed, dolů) • zbývající 2 barevné pruhy - 2 různé pruhy ze 4 různých barev \/2(4) = 43 = 12 možností =4> kombinatorické pravidlo součinu 3 • V2(4) = 3 • 12 = 36 možností Řešení c) vlajka s modrým pruhem uprostřed \/2(4) = 12 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 26/62 Příklad (Vlajka) Sestavujeme vlajku ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. d) Kolik jich nemá červený pruh uprostřed? Řešeníd) vlajka, která nemá červený pruh uprostřed • červený pruh uprostřed - V2(4) = 12 možností • vlajka (3 různé pruhy) - l/3(5) = 60 možností 60 - 12 = 48 možností I. Permutace \j - P( rí\ l / n\ n\ n\ i(n) — — — — a?1 v J (n-n)! 0! 1 □ - = "š -o Q, O Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 28/62 I. Permutace Permutace Permutace je libovolné uspořádaní množiny M o n prvcích, kdy ve výsledném uspořádání (výsledné uspořádané n-tici) se prvky nesmí opakovat. Počet všech různých permutací (počet všech různých uspořádaných n-tic) prvků množiny M je roven číslu P(n) = n! = n ■ (n - 1) ■ ■ ■ 2 ■ 1, n > 1. • 0! = 1 • Permutace je speciálním případem variace n! P(n) = Vn(n) = n\ n\ {n - n)\ = Ô! = T = n' ■E "O ^ O' Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 28/62 Permutace - příklad parlament Príklad (Parlament) 5 připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet a) všech možných pořadí jejich vystoupení, b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E, c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E. Nějaký nápad? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 29/62 Permutace - příklad parlament Příklad (Parlament) 5 připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet a) všech možných pořadí jejich vystoupení, b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E, c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E. Řešení a) • počet všech uspořádání 6 různých prvků P(6) = 6! = 720 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 30/62 Permutace - příklad parlament Příklad (Parlament) 5 připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet a) všech možných pořadí jejich vystoupení [6\] b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E, c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E. Řešeníb) • každému pořadí E po A odpovídá právě 1 pořadí A po E (A, B, C, D, E, F) (E, B, C, D, A, F) = - • 6! = 360 možností 2 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 31/62 Permutace - příklad parlament Příklad (Parlament) 5 připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet a) všech možných pořadí jejich vystoupení [6\] b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E [\ • 6 \] c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E. Řešení c) • A ihned po E spojíme v jednoho hypotetického poslance EA • počet všech uspořádání 5 různých prvků 6, C, D, F, EA p(5) = 5! = 120 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 32/62 Kombinace \X O "~7 ŕ°H \ / O f n\ \ A / /c < A7 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 33/62 I. Kombinace Kombinace je libovolná neuspořádaná /etice sestavená z prvků množiny M o n prvcích tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou (prvky se nesmí opakovat a nezáleží na jejich pořadí). Počet /c-prvkových kombinací sestavených z n-prvkové množiny je roven kombinačnímu číslu (čteme „en nad ká") □ g - = Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 33/62 Počet /c-prvkových kombinací z n prvků • např. M = {a, Ď, c, c/}, n = 4, /c = 3 3členné variace z prvku a, 6, r, d (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) (a, b, d) (a, d, b) (b, a, d) (b, d, a) (d, a, b) (d, b, a) (a, c, d) (", f/, c) (c, a, d) (c, i, a) (4 + 65 1 5 10 10 5 1 Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 37/62 Kombinace - příklad šachovnice Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček, b) trojici políček neležících ve stejném sloupci, c) trojici políček neležících ve stejném sloupci ani stejné řadě, d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy Nějaký nápad? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 38/62 Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček, b) trojici políček neležících ve stejném sloupci, c) trojici políček neležících ve stejném sloupci ani stejné řadě, d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy Řešení a) • šachovnice ... 64 políček • vybíráme 3 políčka • nezáleží na pořadí 64 • 63 • 62 3-2-1 41664 možností □ S> - = Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 39/62 Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček (41664 možností) b) trojici políček neležících ve stejném sloupci, c) trojici políček neležících ve stejném sloupci ani stejné řadě, d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy Řešení b) • trojice políček na šachovnici... (634) možností • vybíráme 3 políčka ležící v 1 zvoleném sloupci, nezáleží na pořadí C3(8) = (l J = 56 možností 3 8 různých sloupců 3 / " 8 V 3 1 = 41216 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 40/62 Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček (41664 možností), b) trojici políček neležících ve stejném sloupci (41216 možností), c) trojici políček neležících ve stejném sloupci ani stejné řadě, d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy Řešení c) • trojice políček na šachovnici... (634) možností • trojice políček ležící ve stejném sloupci... 8(3) možností o trojice políček ležící ve stejném řádku ... 8(3) možností 3 / " 8(3) " 8 V3 1 = 40768 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 41/62 Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy Řešení d) • trojice políček na šachovnici... (634) možností • trojice bílých políček ... (332) možností • trojice černých políček ... (332) možností = 31744 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 42/62 Příklad (Šachovnice) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat d) trojici políček, která nejsou všechna stejné barvy v Řešení d) alternativní postup * 2 volby: 2 políčka bílá a 1 černé nebo 2 políčka černá a 1 bílé • výběr 2 políčka bílá a 1 černé ... (322) • 32 možností 2 • [ 32 ] • 32 = 31744 možností □ g - = 1.3 Skupiny s opakováním Kolika způsoby lze z n prvkové množiny {a-i,..., an} vybrat k prvků (prvky se mohou opakovat)? • uspořádaná /etice: variace s opakováním, permutace s opakováním • neuspořádaná /etice: kombinace s opakováním Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 44/62 I. Variace s opakováním Počet /(-prvkových variací s opakováním 0 v 1 • • • (/f-1). člen 1 v 1 L III ^—- 1 1 L 1 A7 A7 • • • n Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 45/62 L Variace s opakováním Počet /(-prvkových variací s opakováním Z množiny M = {ai, a2,..., an_i, an} vybíráme uspořádané /c-tice uspořádaná /c-tice 1. člen 2. člen • • • (k - 1). člen /c. člen počet možností n n • • • n n kombinatorické pravidlo součinu = n ■ n - ■ ■ n = nk kx Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 45/62 Variace s opakováním Variace s opakováním Variace s opakováním je libovolná uspořádaná /etice sestavená z prvků množiny o n prvcích (prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí). Počet všech /c-prvkových variací s opakováním sestavených z n-prvkové množiny je roven číslu 1/*(n) = nk. Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 46/62 Variace s opakováním - příklad SPZ Příklad (SPZ) V jisté zemi je SPZ aut tvořena uspořádanou sedmicítak, že první 3 členy jsou písmena, další 4 jsou číslice. Určete počet různých SPZ, můžeme-li pro první část značky použít každé z 28 písmen a pro druhou část každou z deseti číslic 0, 1,..., 9. Nějaký nápad? Příklad (SPZ) V jisté zemi je SPZ aut tvořena uspořádanou sedmicítak, že první 3 členy jsou písmena, další 4 jsou číslice. Určete počet různých SPZ, můžeme-li pro první část značky použít každé z 28 písmen a pro druhou část každou z deseti číslic O, 1,..., 9. i Řešení • 1. část: vybíráme 3 písmena z 28 různých písmen, záleží na pořadí, mohou se opakovat l/3(28) = 283 • 2. část: vybíráme 4 číslice z 10 různých číslic, záleží na pořadí, mohou se opakovat 1/*(10) = 104 kombinatorické pravidlo součinu =4> l/3(28) • I/4OO) = 283 • 104 = 219 520 000 možností □ rS1 ~ = -E -O Q, O Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 48/62 Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace je libovolná uspořádaná /c-tice sestavená z prvků množiny o n prvcích tak, že každý se v ní vyskytuje alespoň jednou (ve výsledné /etici se prvky mohou opakovat). Počet všech různých /c-členných permutací s opakováním sestavených z n-prvkové množiny tak, že prvek a\ se v nich vyskytuje /crkrát, prvek a2 se opakuje /c2-krát, atd. až prvek an se opakuje /cn-krát, přičemž /c-i + k2 H-----h kn = /c, je roven P*{k-\,..., kn) — (fr + /c2+ ... + /cn)! /c-| !/c2! •... • kn\ kA = /c2 = • • • = kn = 1 ... permutace bez opakování Permutace s opakováním - příklad slova Příklad (Slova) Určete počet způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA. Nějaký nápad? □ g - = Příklad (Slova) Určete počet způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA_ Řešení 9 počet všech slov = permutace vytvořená z písmen písmeno počet výskytů A B D K R 5 2 112 o*/r- ä . . ä\ (5 + 2+1+1+2)! 11! nnM„n . P (5,2,1,1,2) =--- =-= 83160 sov v ' ' ' ' ; 5!2!1!1!2! 480 Kombinace s opakováním Kombinace s opakováním je libovolná neuspořádaná /etice sestavená z prvků množiny M o n prvcích (prvky se mohou opakovat a nezáleží na jejich pořadí). Počet /c-prvkových kombinací s opakováním sestavených z n-prvkové množiny je roven kombinačnímu číslu □ g - = Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 52/62 Kombinace s opakováním Příklad (Mince) Kolik různých částek lze zaplatit 3 mincemi, máme-li v peněžence korunové, dvoukorunové a pětikorunové mince, každý druh alespoň pětkrát? Nějaký nápad? Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 53/62 Příklad (Mince) Kolik různých částek lze zaplatit 3 mincemi, máme-li v peněžence korunové, dvoukorunové a pětikorunové mince, každý druh alespoň pětkrát? Řešení 9 tři různé druhy mincí (1 Kč, 2 Kč, 5 Kč), každá alespoň 5x: n = 3 • platba 3 mincemi: k = 3 • počet různých částek: 3-prvková kombinace s opakováním C*k{n) = n + k--\\ _ (A7 + K- 1)! k ) ~ Ti(ÄrT)r C3*(3) = = 10 možností Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 54/62 Shrnutí Základní kombinatorická pravidla o součtu • součinu Skupiny bez opakování • Variace: uspořádaná /c-tice \//c(n) = n(n-1)...(n-/c+1) = ^^, k < n 9 Permutace: uspořádaná n-tice P(n) = n\ Kombinace: neuspořádaná /c-tice Ck{n) = n n\ k\(n-k) k < n Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10. 2. 2026 Shrnutí Skupiny s opakováním • /c-prvková variace s opakováním z n prvků: uspořádaná /etice /c-prvková permutace s opakováním z n prvků: uspořádaná /c-tice P*{k,,...,kn)= ^ ^,V/.^f)!i /C = /Ci+-.. + /c, /c-prvková kombinace s opakováním z n prvků: neuspořádaná /c-tice c?(^)=ín + í"1>)=^^-i) Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 56/62 Excel: Příkazy pro kombinatoriku Kombinatorické výpočty: • Permutace (bez opakování): P(ri) = n\ =FAKTORIÁL(n) • Variace (bez opakování): Vk(n) = ^ky =PERMUTACE(n; k) • Variace (s opakováním): Vk(ri) = nk • Kombinace (bez opakování): Ck(ri) = (£) = k]^[ky =KOMBINACE(n; k) • Kombinace (s opakováním): C*k{n) = = ^ff-iVi ^KOMBINACE(n+k-1; k) Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 57/62 Procvičování 1 • Státní poznávací značku tvoří dvě písmena, tři číslice a další dvě písmena (formát AAXXXAA, kde A je písmeno a X číslice). Kolik různých značek lze vytvořit, pokud můžeme vybírat z 25 písmen a 10 číslic? [390 625 000] • Kolik různých šestimístných čísel lze sestavit z cifer 1, 2 a 3, pokud se cifry mohou opakovat? [729] • Na MHD se kdysi používaly lístky s devíti čtverečky označenými čísly 1 až 9. Po nastoupení cestující zasunul lístek do strojku, který prodírkoval tři nebo čtyři z nich (specificky pro dané vozidlo a den). Kolik je různých způsobů prodírkování lístku? [210] Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 58/62 Procvičování 2 • Kolika způsoby může sedět v kině sedm kamarádů (A, B, C, D, E, F, G) na sedadlech 1 až 7 tak, aby kamarád B seděl na sedadle č. 4 a kamarád G na sedadle č. 2? [120] • Do tanečního kroužku přišlo 24 chlapců a 15 dívek. Kolik různých párů lze vytvořit, pokud pár tvoří vždy dvojice chlapec-dívka? [360] • Ve třídě je 20 žáků. Kolika způsoby lze vybrat dvojici pro týdenní službu? [190] Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 59/62 Procvičování 3 • Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenise, pokud se v dvouhře odehrálo 21 utkání a každý hráč hrál s každým právě jednou? [7] • Ve třídě je 20 dívek a 15 chlapců. Kolik různých pětičlenných hlídek na branné závody lze vytvořit, pokud v každé hlídce mají být 3 dívky a 2 chlapci? [119 700] • Hokejové družstvo má 20 hráčů: 13 útočníků, 5 obránců a 2 brankáře. Kolik různých sestav může trenér vytvořit, pokud sestava má obsahovat 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře? [5 720] Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 60/62 Procvičování 4 • Učitel má k dispozici 20 aritmetických a 30 geometrických úloh. Na písemné práci mají být dvě aritmetické a tři geometrické úlohy. Kolik má učitel možností k vytvoření písemné práce? [771 400] • Ze 7 mužů a 4 žen máme vytvořit 6člennou skupinu, ve které mají být 3 ženy. Kolika způsoby lze takovou skupinu vytvořit? [140] • Učitel má vybrat na recitační soutěž tři studenty ze třídy 3.A a dva studenty ze třídy 3.B. V 3.A je 22 studentů a v 3.B je 17 studentů. Kolik má učitel možností výběru? [209 440] Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 61 /62 Procvičování 5 • Kolik existuje způsobů, jak uspořádat sedadla pro kamarády A, B, C, D a E tak, aby kamarád A seděl vedle kamaráda C? [48] o Latinská abeceda má 26 písmen. Kolik různých 6písmenných „slov" lze vytvořit, pokud písmena mohou být opakována? [308 915 776] • Státní poznávací značku tvoří 7 znaků. Na prvních třech pozicích může být číslice nebo písmeno, na zbývajících čtyřech jen číslice. Kolik různých značek lze vytvořit, pokud použijeme 28 písmen a 10 číslic? [548 720 000] • Na hodině tělesné výchovy stojí v řadě 5 dívek, z nichž dvě jsou sestry. Kolika způsoby lze rozestavit dívky tak, aby sestry stály vedle sebe? [48] Jiří Fišer (UAMI, MVŠO Olomouc) P1ZST/XSZD, semináře. 1 10.2.2026 62/62