Nejpoužívanější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti a jejich
základní číselné charakteristiky
Náhodnou veličinu X jednoznačně určují a plně popisují
• X diskrétní
► pravděpodobnostní funkce
► distribuční funkce
• X spojitá
► hustota
► distribuční funkce
číselné charakteristiky = shrnutí informací o X do několika čísel,
které ji dostatečně charakterizují
Typy číselných charakteristik
Členění dle popisované vlastnosti_
o polohy: „střed", kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X
► střední hodnota
► modus
► kvantily
• variability: rozptýlenost hodnot X kolem charakteristiky polohy
► rozptyl
► směrodatná odchylka
a šikmost: tvar rozdělení pravděpodobností (symetrické nebo asymetrické)
• špičatost: tvar rozdělení pravděpodobností (špičaté nebo zploštělé)
Střední hodnota E(X)
• základní charakteristika polohy
• „střed" (těžiště), kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X X diskrétní s oborem hodnot M
E(X) =      X'P(X = *')
X/G/W
X spojitá s hustotou f(x)
Charakteristiky variability
ti
• číslo udávající koncentraci (rozptýlení) hodnot okolo středu s
• charakterizuje měřítko (šířku) rozdělení
• popisuje rozptýlenost hodnot kolem střední hodnoty
Rozptyl jm\
D(X) = E\X- E(X)12, existuje-li E(X)
Směrodatná odchylka
Modus x
9 charakteristika polohy
• X diskrétní: nejpravděpodobnější hodnota
• X spojitá: bod x, ve kterém hustota pravděpodobností f (x) nabývá lokálního maxima
Základní diskrétní rozdělení pravděpodobností
• Alternativní rozdělení
• Binomické rozdělení
• Hypergeometrické rozdělení
• Diskrétní rovnoměrné rozdělení
• Poissonovo rozdělení
Alternativní rozdělení X ~ Alt(p)
Model: pokus, ve kterém nastávají pouze 2 různé (dichotomické) výsledky a sledujeme, co nastane
• indikátor náhodného jevu (jev nastal/nenastal)
• pravdivostní hodnota výroku (pravda/lež)
• úspěšnost pokusu (úspěch/neúspěch)
• kvalita výrobku (vadný/ bez chyby)
• ...
Parametr rozdělení
• p ... pravděpodobnost úspěchu
Alternativní rozdělení X ~ Alt(p)
x =
1 úspěch 0 neúspěch
Pravděpodobnostní funkce
P(X=1) = p,   P(X = 0) = 1-p,   p G (0,1)
Číselné charakteristiky
E(X) = p,   D(X)=p(1 - p), ax = VP(1 -P)
Binomické rozdělení X ~ Bi(n, p)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n nezávislých dichotomických pokusů
Příklady
• počet děvčat v rodině s n dětmi
• počet zmetků mezi n výrobky
• počet úspěšných zkoušek přístroje z celkem n zkoušek
Parametry rozdělení
• n ... počet nezávislých dichotomických pokusů
• p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu
Binomické rozdělení X ~ Bi(n,p)
Pravděpodobnostní funkce (Bernoulliho schéma)
n-k
, k = 0,...,n,  n> 1, p g (0,1)
Číselné charakteristiky
E(X) = np,   D(X) = np(1 -p),   <rx = >/np(1 - p)
Excel: BINOM.DIST(k;n;p;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k) 9 logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
Příklad (Barva květů hrachu)
Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy. Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že | nově vzniklých rostlin (potomků) pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově?
Řešení
X ... počet fialově kvetoucích rostlin z 10 rostlin
X ~ Bi(10;0,75)
= 0,188
Excel: BINOM.DIST(9;10;3/4;0)
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(/V, M, n)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n závislých dichotomických pokusů (výběr bez vracení)
Příklady
• počet vybraných zmetků, vybíráme-li n výrobků z N výrobků, přičemž M z nich jsou zmetky
• počet vybraných nenaučených otázek, losujeme-li n otázek z /V, přičemž na M z nich nejsme naučeni
Parametry rozdělení
• n ... počet vybraných jednotek (závislých dichotomických pokusů)
• N ... počet všech jednotek
^ M ... počet jednotek, které mají sledovanou vlastnost
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(/V, /W, n)
Pravděpodobnostní funkce
I iM\ (N-M\
p(X = k)= , k = 0,...,n, N>n>J\.0<M<N
in)
Číselné charakteristiky
n-M M (. M\/N-n\
Excel: HYPGEOM.DIST(k;n;M;N;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F[k)
Příklad (Vadné výrobky)
Mezi 100 výrobky je 20 zmetků. Vybereme 10 výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali právě 3 zmetky?
Řešení
X ... počet vybraných zmetků N= 100, M = 20, n= 10
X-Hg(100;20;10)
P(X = 3)
(23°) (T)
= 0,209
Excel: HYPGEOM.DIST(3;10;20;100;0)
•O Q, O
Diskrétní rovnoměrné rozdělení X ~ Ro(n)
Model: pokus, který má n různých výsledků, které jsou stejně pravděpodobné a sledujeme, co nastane
Příklady
• hod pravidelnou kostkou M = {1,2,3,4,5,6}, p(i) = ^
• hod férovou mincí M = {0,1}, p(/) = g
9 padnutí čísla v ruletě v Monte Carlo M = {0,1,2,..., 36},
P(') = 37
• padnutí čísla v ruletě v Las Vegas M = {0,00,1,2,..., 36},
PÍ') =
Pravděpodobnostní funkce
P(X = x) = -, x = 1,..., n,   n e N
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Model: počet událostí, které nastanou při provedení velkého počtu nezávislých dichotomických pokusů, přičemž pravděpodobnost
vzniku události je velmi malá
• výskyt jevu v daném časovém/prostorovém intervalu nezávisí co se stalo jindy/jinde
• v daném okamžiku/bodě nemohou nastat 2 jevy současně
• pro každý časový okamžik/bod je pravděpodobnost výskytu jevu v malém časovém/prostorovém intervalu stejná
• A ... intenzitu výskytu události za jednotku času/délky/objemu Příklady
• # částic emit. za jedn. času radioaktivní látkou dané hmotnosti
• # signálů, které dojdou do telefonní ústředny za jednotku času
• # jednob. organizmů na ploše velikosti ŕ v zorném poli mikroskopu
• # dopravních nehod za jednotku času
• # typografických chyb na stránce
• # volných dnů ve firmě během měsíce
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Pravděpodobnostní funkce
\k
P(X = k) = — e-A, #r = 0,1,2,...,   A > 0
Číselné charakteristiky
E(X) = A,   D(X) = A,   ax =
Excel: POISSON.DIST(/c;A;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)   t r
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky? Řešení
X... počet výpadků za 1 den
průměrně 2 výpadky za 24 hodin   ^>   A = 2
X - Po(2)
P(X = k) = ^e-\   * = 0,1,2,...
P(X > 1) = 1 - P(X < 1) - 1 - P(X - 0) - 1 - e~2 = 0,865 Excel: 1 -POISSON.DIST(0;2;0)______-=____ -=
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je psř, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
Řešení
Y... počet výpadků za 1 týden
průměrně 2 výpadky/24 hodin ^>   průměrně 2 • 7 = 14 výpadků/týden
V~Po(14)
P(y<3) = e"14( 1 +14+-- +
142 143
2!
3!
= 0,000474
Excel: POISSON.DISTr3:14:1