Nejpoužívanější spojitá rozdělení pravděpodobnosti a jejich základní číselné charakteristiky
XSZD-07a-2025
Kvantily spojité náhodné veličiny
Nechť a g (0,1). a-kvantilem spojité náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo xa, které splňuje
P(X < xa) = a.
• X spojitá: a-kvantil určen jednoznačně vztahem
F(xa) = a
9 X diskrétní: kvantily nejsou určeny jednoznačně, nebudeme uvažovat
Speciální názvy kvantilů
• x0,5 - medián
• *b,25 - dolní kvartil
• xo,75 - horní kvartil
• */c/io> k= 1,..., 9 - /c-tý decil
• */c/ioo» k= 1, • • •, 99 - k-tý percentil
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Model: modelování doby/vzdálenosti čekání na událost, která nemá paměť, tj. zbývající doba/vzdálenost čekání nezávisí na tom, jak dlouho už na událost čekáme
Příklady
• doba životnosti zařízení, u kterého dochází k poruše náhodně, nikoliv z důsledku opotřebení
• délka telefonního hovoru
• doba mezi 2 příchozími telefonáty
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Parametr rozdělení
m9 X ... míra rizika výskytu sledované události za jednotku času/vzdálenosti
m* 1   . očekávaná doba/vzdálenost do výskytu sledované události
Exponenciální rozdělení X ~ Ex
Hustota ^^^m
Ae_Ax  x > 0, A > 0
f(x) =
0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
0 x < 0,
1 - e"Ax  x > 0
Číselné charakteristiky
E(X) = 1    D(X) = 1    <tx = ^
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(1)
Hustota Distribuční funkce
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Excel: EXPON.DIST(x;A;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet f(x)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
Príklad (Obsluha v restauraci)
Doba čekání hosta na pivo v restauraci U Lva je průměrně 5 minut Určete
a) pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
b) dobu čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9.
Nějaký nápad?
doba čekání na pivo (v minutách)
průměrná doba cekání na pivo ... 5 minut
X~Ex(A). X = lk
5
0 *<0     ^ N      0 x < 0
i j   F(x) = < i
le~ix  x>0      K }    1 1 -e~ix x>0
Distribution Statistics	
u = 5 o = 5	
Exponential ^  A 0.2
] [] ][ [
V_1
\_I
P( 12
< X ) = 0.0907
n r
Pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
P(X > 12) = 1 - P(X < 12) = 1 - F(12) = 1 - (i - e~lA2>\
= e~T = 0,09 Excel: 1-EXPON.DIST(12;1/5;1)
y
Exponential ^  A O-2
r-■\ r
]   □   ][ [
P(X< 11.5129      )= 0.9
Doba čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9
P(0 < X < t) = 0,9 F(ř) - F(0) = 0,9 1 - e-1'5 - 0 = 0,9 e~V5 = 0,1 ř = -5 ln(0,1 )=11,51 min=11 min 30 s
Normální rozdělení X ~ N(/x, a2)
Hustota
,  x 1 (*~m)2 , 1
f(x) = _        e       ?   x e R , /igR , <r > 0.
V 27T(7
« /i parametr polohy (střední hodnota)
• a parametr měřítka (směrodatná odchylka)
Vlastnosti
• X může nabývat jakýchkoli reálných hodnot
• hustota je symetrická kolem \x
• hustota nabývá maxima v bodě x = u, (f(/z) = -7=—)
\/2.7T<J
• normální rozdělení s parametry \i = 0 a a2 = 1 nazýváme normované (standardizované) normální rozdělení.
Normální rozdělení X ~ n(/x, a2)
Číselné charakteristiky
E(X) = ß,   xo.5 = /x,   x = ji,   D(X) = a2
Excel: NORM.DIST(x ;^;<r;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet f(x)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
NORM.S.DIST(x;logická proměnná) pro práci s N(0,1) NORM.INV(a;^;cr) výpočet a kvantilu NORM.S.INV(a) výpočet a kvantilu pro X ~ N(0,1)
Hustota normálního rozdělení
Hustota normálního rozdělení
Distribuční funkce normálního rozdělení
Pravidlo 3 sigma
Pro X ~ N(yu, o-2) platí
P[H - a < X < yu + a] sa 68,3% P[/lí - 2cr < X < // + 2cr] ä 95,5% P[yix - 3<x < X < fj, + 3a] sa 99,7%
// — 3<r    /i — "2cx    /j — rr      /x fi-\-cr      fi 4 2ŕx   // -+- 3<x
Příklad (IQ testy)
Hodnota IQ se řídí normálním rozdělením N(100,152). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude mít
a) IQ více než 130 bodů,
b) IQ méně než 90 bodů,
c) IQ v intervalu od 100 do 130 bodů?
X... hodnota IQ (v bodech)
X~N(100,15*> P(*>130)=1-P(X<1
Excel: 1-NORM.DIST(130;100;15;1)
Distribution Statistics
u = 100 a = 15
40
160
f-■>
Normal w u
100
15
] [] ][ c
P(  130 <X)= 0 0228
Distribution Statistics
u = 100 a = 15
40
60
S
Normal ^ u
100
P(X< 90
)= 0.2525
Distribution Statistics u = 100 a = 15
40
s	Normal		-   u 100		a 15
/ -\ \ J	[]	][			
IQ 100			<X< 130|		)= 0.4772