Nejpoužívanější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti a jejich základní číselné charakteristiky XSZD-06a-2025 Obsah 2.3 Číselné charakteristiky Náhodnou veličinu X jednoznačně určují a plně popisují • X diskrétní ► pravděpodobnostní funkce ► distribuční funkce • X spojitá ► hustota ► distribuční funkce číselné charakteristiky = shrnutí informací o X do několika čísel, které ji dostatečně charakterizují Typy číselných charakteristik Členění dle popisované vlastnosti_ • polohy: „střed", kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X ► střední hodnota ^ ► modus ■■ ► kvantily • variability: rozptýlenost hodnot X kolem charakteristiky polohy ► rozptyl ■ ► směrodatná odchylka • šikmost: tvar rozdělení pravděpodobností (symetrické nebo asymetrické) • špičatost: tvar rozdělení pravděpodobností (špičaté nebo zploštělé) Střední hodnota E(X) • základní charakteristika polohy • „střed" (těžiště), kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X X diskrétní s oborem hodnot M E(X) = J2 X — • číslo udávající koncentraci (rozptýlení) hodnot okolo středu 2C I -i ~T~ 3) o * -•*--* —•-♦ • « » 0 2C co - IX Rozptyl D(X) • základní charakteristika variability a charakterizuje měřítko (šířku) rozdělení • popisuje rozptýlenost hodnot kolem střední hodnoty Rozptyl D{X) = E[X- E(X)]2, existuje-li E(X) Směrodatná odchylka Modus x • charakteristika polohy • X diskrétní: nejpravdépodobnéjší hodnota • X spojitá: bod x, ve kterém hustota pravděpodobností f (x) nabývá lokálního maxima Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X k 1 2 4 5 P(X = k) 1 3 1 4 1 6 1 4 Střední hodnota E(X) = ^ xnp(xn) n • E(X)=1.1 + 2-1 + 4-1 + 5-1 = ^ = 2,75 Rozptyl a směrodatná odchylka D(X) = E [X - E(X)}2 = E(X2) - [E(X)]2 E(X2) = ^x2p(xn) = 12.l + 22.l+42.l + 52.l = ^ = 10,25 A? D(X) = E(X2) - [E(X)]2 = --(-) = ^=2,69 41 /11 \2 43 • v/Ď(X) = y^|=1,64 Modus: nepravděpodobnější hodnota: x = 1 f(x) = 6x(1 - x) O < x < 1 O jinak Střední hodnota: /oo x ■ f(x)dx -oo /OO /*1 xf{x)dx= / x-6x(1 -oo jo 1 / (6x2-6x3)dx Jo o 12 6x3 x)c/x 6x4n1 Jo 1 2 Í6*(1-x) 0• x = 0,5 Kvantily spojité náhodné veličiny Nechť a g (0,1). a-kvantilem spojité náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo xa, které splňuje P(X < xa) = a. • X spojitá: a-kvantil určen jednoznačně vztahem F(xa) = a 9 X diskrétní: kvantily nejsou určeny jednoznačně, nebudeme uvažovat Speciální názvy kvantilů • x0,5 - medián • *b,25 - dolní kvartil • xo,75 - horní kvartil • */c/io> k= 1,..., 9 - /c-tý decil • */c/ioo» k= 1, • • •, 99 - k-tý percentil Základní diskrétní rozdělení pravděpodobností • Alternativní rozdělení a Binomické rozdělení • Hypergeometrické rozdělení • Diskrétní rovnoměrné rozdělení • Poissonovo rozdělení Alternativní rozdělení X ~ Alt(p) Model: pokus, ve kterém nastávají pouze 2 různé (dichotomické) výsledky a sledujeme, co nastane • indikátor náhodného jevu (jev nastal/nenastal) o pravdivostní hodnota výroku (pravda/lež) • úspěšnost pokusu (úspěch/neúspěch) • kvalita výrobku (vadný/ bez chyby) • ... Parametr rozdělení • p ... pravděpodobnost úspěchu Alternativní rozdělení X ~ Alt(p) x - 1 úspěch 0 neúspěch Pravděpodobnostní funkce P(X=1) = p, P(X = 0) = 1-p, p e (0,1) Číselné charakteristiky E(X) = p, D(X) = p(1 - p), <7X = Vp(1 -P) Binomické rozdělení X ~ Bi(n, p) Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n nezávislých dichotomických pokusů Příklady • počet děvčat v rodině s n dětmi • počet zmetků mezi n výrobky • počet úspěšných zkoušek přístroje z celkem n zkoušek Parametry rozdělení 9 n ... počet nezávislých dichotomických pokusů m p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu Binomické rozdělení X ~ Bi(n, p) Pravděpodobnostní funkce (Bernoulliho schéma) P(X = k) = fyp*(1 -p)""* /c = 0,...,n, n> 1, pe Číselné charakteristiky E(X) = np, D(X) = np(1 - p), ax = v^p(T Excel: BINOM.DIST(k;n;p;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = /() • logická proměnná = 1 pro výpočet F(k) Příklad (Barva květů hrachu) Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy. Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že f nově vzniklých rostlin (potomků) pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově? Nějaký nápad? Příklad (Barva květů hrachu) Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy. Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že | nově vzniklých rostlin (potomků) pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově? Řešení X ... počet fialově kvetoucích rostlin z 10 rostlin X~Bi(10;0,75) Excel: BINOM.DIST(9;10;3/4;0) Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(/V, M, n) Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n závislých dichotomických pokusů (výběr bez vracení) Příklady • počet vybraných zmetků, vybíráme-li n výrobků z N výrobků, přičemž M z nich jsou zmetky • počet vybraných nenaučených otázek, losujeme-li n otázek z N, přičemž na M z nich nejsme naučeni Parametry rozdělení • n ... počet vybraných jednotek (závislých dichotomických pokusů) 9 N ... počet všech jednotek m M ... počet jednotek, které mají sledovanou vlastnost Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, n) Pravděpodobnostní funkce P(X = k)= ,u~k , k = 0,..., n, /V>n>1,00 Číselné charakteristiky E(X) - A, D{X) = A, crx = V\ Excel: POISSON.DIST(/c;A;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k) • logická proměnná = 1 pro výpočet F(k) Příklad (Poruchy obráběcího stroje) Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin. a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku? b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky? Nějaký nápad? Příklad (Poruchy obráběcího stroje) Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin. a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku? b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky? Řešení X ... počet výpadků za 1 den průměrně 2 výpadky za 24 hodin ^> A = 2 X ~ Po(2) P(X=/c) = ^e"\ k = 0,1,2,... P(X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X - 0) - 1 - e~2 = 0,865 Excel: 1 -POISSON.DIST(0;2;0) . _ _..... Příklad (Poruchy obráběcího stroje) Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin. a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde aiespoň k jednomu výpadku? b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky? Řešení Y... počet výpadků za 1 týden průměrně 2 výpadky/24 hodin <^ průměrně 2-7 = 14 výpadků/týden v~po(14) / 142 143 \ P(r<3) = e-14M+14+ —+ —j = 0,000474 Excel: POISSON.DIST(3;14;1) = = ► = ^0