Náhodná veličina
XSZD-05-2025
Obsah
O Náhodná veličina
► Diskrétni náhodná veličina
► Spojitá náhodná veličina
O Číselné charakteristiky náhodné veličiny
► polohy
► variability
► šikmosti
► špičatosti
Definice (Náhodná veličina)
Náhodná veličina X je reálná funkce X : Q -> R
• X, Y, Z ... náhodná veličina
• x, y, z ... hodnota náhodné veličiny = realizace náhodné veličiny
Dělení náhodných veličin podle oboru hodnot M\
• diskrétní: M konečná nebo spočetná
• spojitá: M interval
Diskrétní náhodná veličina
Příklad ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^H
Diskrétní náhodná veličina X
9 nabývá hodnot   M = {1,2,4,5} s pravděpodobnostmi   p(k) = P[X = k], kde
• p(1) = J, p(2) = J, p(4) = 1, p(5) = J a p(x) = 0 jinak.
M = {1,2,4,5}
/c	1	2	4	5
P(X = k)	1 3	1 4	1 6	1 4
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
i -
i -
3/4 -
7/12 -
Q.
1/4
1/3 — 1/4 — 1/6 —
1/3 -
1'3
-e-
1
2
i
3
4
i
5
1
2
Definice (Pravděpodobnostní funkce)
Funkce p(x) = P(X = x) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X.
Vlastnosti
• p(x) > 0  Vx e R1
• J2       = 1
xeM ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Definice (Distribuční funkce)
Distribuční funkce náhodné veličiny X je reálná funkce F : M1 definovaná vztahem
F{x) = P(X <x),   xe R1.
Vlastnosti distribuční funkce
O F{x)e (0,1) O neklesající O zprava spojitá O definovaná na M1
O   lim   F(x) = 0,     lim F (x) = 1
X->-oo X-»oo
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
3/4
7/12 -
1'4
1/3
-0
1-3
-e-
1
2
3
Pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty alespoň 3
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 1 + 1
Diskrétní náhodná veličina
• značí „počet"
9 počet autohavárií v daném časovém intervalu (Poissonovo rozdělení)
• počet 6, které padly v 10 hodech pravidelnou kostkou (Binomické rozdělení)
P(X = x0) = p(x0)e (0,1) Vx0eK1
Spojitá náhodná veličina
• značí „měření"
P(X = x0) = 0  Vx0 g M1
• jsme schopni najít pouze interval, kde se X realizuje
P(a < X < b) e (0,1)   Va < b, a, b e M1
Spojitá náhodná veličina
Náhodná veličina X se nazývá (absolutně) spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f: IR1 -> R1 taková, že
F(x) = /    ŕ(ŕ)dŕ,   Vx g R1.
.7 — OG
Funkce f (x) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností) náhodné veličiny X.
Vlastnosti hustoty
f {x) > 0
/oo ŕ(f)dŕ=1 -oo
Vlastnosti hustoty a distribuční funkce spojité náhodné veličiny
ŕ(x) = F'(x) v každém bodě x, kde je F diferencovatelná
P(a < X < b) = F{b) - F(a) =
P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b)
P(X g 6) = / f(t)dt
Výpočet pravděpodobností pomocí F(x) a f(x)
P(£ < 0) = F(0) = /
J — OG
f (t) dt
0.4
x
0
-4 -3 -2 -1
0 X
	I                        I I
4-3-2-1           0           1           2          3 4 X	
i                        i i	
--i    -""""""^          I I	I                        I I
Výpočet pravdepodobností pomocí F (x) a f (x)
■o
P(_2 < f < 0) = F(0) - F(-2) = /    ŕ(ŕ) dř
-2
0.4
1 —       1 1	P (-2<^<0)	i           i i
4         -3         -2         -1            0           1            2           3 4 X		
i             i i		i   —     i i
-	i	i           i i
0
-4
0 X
Příklad (Rovnoměrné rozdělení na intervalu (2,6))
Spojitá náhodná veličina X má distribuční funkci
[ 0 x < 2
F(x) = l J(x-2)  2 < x < 6
{ 1 x > 6
Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X a vypočítejte
pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty a) alespoň 4, b) v intervalu
(3,5).
1/4
Obrázek: Distribuční funkce X
Obrázek: Hustota pravděpodobnosti X
F(x) =
x < 2 -2)   2 < x < 6 x > 6
Řešení.
f(x) =
dF(x) dx
1 1
2)    = -   pro x g (2, 6)
f(x) =
1 2 < x < 0   j inak
'OG
ro -|
• P(X>4)=/   f{x)dx= I  -rdx =
4 Ja 4
rxi6 1
1
L4J4=4(6-4) = 2
• P(X > 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - F(4) = 1 - 1(4-2) = 1 - 1 = 1
• P(3 < X < 5) = /  Idx =
3
rxi5 1
1
3 = 4(5-3'=2
• P(3 < X < 5) = F(5) - F(3) = 1(5 - 2) - 1(3 - 2) = 5 - I = 1
Spojitá náhodná veličina X má rozdělení dané hustotou
X < 1 X > 1
Určete její distribuční funkci.
Spočítejte pravděpodobnost P(1 < X < 5)
f(x) =
F(x) =
X < 1
1 x>1
P(1 < X < 5) = /
1
d x =
X'
1
x
J1
1    j 4
"5 + 1=5
P(1 <X<5) = F(5)
F(1)=(1-l)-0 = |