Pravděpodobnost jevů XSZD-02-2025 Základní pojmy Náhodný pokus • Proces, jehož výsledek není jistý a může nabývat různých hodnot v závislosti na náhodě. • Lze jej opakovat za stejných podmínek, ale výsledek se může pokaždé lišit. • Příklad: • Hod kostkou – nevíme, jaké číslo padne. • Losování míčku z osudí – výsledek je náhodný. • Souhrn: Výsledky náhodného pokusu tvoří množinu možných výsledků, kterou nazýváme prostor elementárních jevů. Základní pojmy Náhodný jev • Podmnožina prostoru elementárních jevů, která zahrnuje jeden nebo více možných výsledků náhodného pokusu. • Jev nastává, pokud výsledek pokusu patří do této podmnožiny. • Příklad: • Hod kostkou: definujeme jev A jako „padne sudé číslo“. • Možné výsledky tohoto jevu: A={2,4,6}, Souhrn: Náhodný jev je výběr výsledků, které odpovídají určité podmínce. Druhy náhodných jevů • 1️⃣ Jistý jev • Nastane vždy, obsahuje všechny možné výsledky náhodného pokusu. • Pravděpodobnost: 1 • Příklad: Při hodu kostkou je jistý jev, že padne číslo mezi 1 a 6. • P(J)=1 Druhy náhodných jevů • 2️⃣ Nemožný jev • Nikdy nenastane, neobsahuje žádný výsledek pokusu. • Pravděpodobnost: 0 • Příklad: Při hodu kostkou je nemožný jev, že padne číslo 7. • P(∅)=0 Druhy náhodných jevů • 3️⃣ Elementární jev • Obsahuje právě jeden možný výsledek pokusu. • Příklad: Při hodu kostkou je elementární jev A, že padne číslo 3. • A={3} • 4️⃣ Složený jev • Obsahuje více než jeden možný výsledek pokusu. • Příklad: Při hodu kostkou může být složený jev B, že padne sudé číslo. • B={2,4,6} Druhy náhodných jevů • 5️⃣ Opačný jev (doplněk jevu) • Nastane tehdy, když nenastane zadaný jev. • Příklad: Pokud jev A znamená, že padne číslo 3, pak opačný jev Ac znamená, že padne jakékoli jiné číslo. • Ac={1,2,4,5,6} Druhy náhodných jevů • 6️⃣ Neslučitelné (disjunktní) jevy • Nemohou nastat současně (nemají žádný společný výsledek). • Příklad: Při hodu kostkou jsou neslučitelné jevy A (padne sudé číslo) a B (padne liché číslo). • A∩B=∅ • 7️⃣ Slučitelné jevy • Mohou nastat současně (mají alespoň jeden společný výsledek). • Příklad: Při hodu kostkou jsou slučitelné jevy A (padne číslo menší než 4) a B (padne sudé číslo). • A∩B={2} Klasická pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost - předpoklady Klasická pravděpodobnost - příklady Klasická pravděpodobnost - příklady Klasická pravděpodobnost - příklady Geometrická pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost • Statistická pravděpodobnost - předpoklady • Statistická pravděpodobnost - aplikace • Statistická pravděpodobnost - aplikace • Statistická pravděpodobnost - aplikace • Statistická pravděpodobnost - příklady • Statistická pravděpodobnost - příklady • Opakované pokusy • Opakované pokusy – Bernoulliho schéma • Opakované pokusy – Bernoulliho schéma • Bernoulliho schéma - příklady • Bernoulliho schéma - příklady • Bernoulliho schéma - příklady • Bernoulliho schéma - příklady • Závislé opakované pokusy 1️⃣ Definice • Výsledek jednoho pokusu ovlivňuje pravděpodobnost výsledků dalších pokusů. • Pravděpodobnosti se mohou měnit v závislosti na předchozích výsledcích. 2️⃣ Příklad • Výběr kuliček z urny bez vracení – po každém výběru se mění počet kuliček, což ovlivňuje pravděpodobnosti. Závislé opakované pokusy 3️⃣ Použití v praxi • Losování cen – každý výběr mění množinu možných výsledků. • Kontrola kvality – testování výrobků, kde se vzorky nevracejí zpět. • Simulace procesů – kde výsledky závisí na předchozích výběrech. • Důležité: U těchto situací je nutné brát v úvahu změny v prostoru možných výsledků při každém dalším pokusu. Závislé opakované pokusy – výběr bez vracení Závislé opakované pokusy – výběr bez vracení Výběr bez vracení - příklady Výběr bez vracení - příklady