XSZD Přednáška č. 5
Náhodná veličina 2 in Fišer
MVŠO
11. a 13. 3. 2024
			
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 1/45
2.4 Základní diskrétní rozdělení pravděpodobností
o Alternativní rozdělení
• Binomické rozdělení
• Hypergeometrické rozdělení
• Diskrétní rovnoměrné rozdělení
• Poissonovo rozdělení
Alternativní rozdělení X ~ Alt(p)
Model: pokus, ve kterém nastávají pouze 2 různé (dichotomické) výsledky a sledujeme, co nastane
• indikátor náhodného jevu (jev nastal/nenastal)
• pravdivostní hodnota výroku (pravda/lež)
• úspěšnost pokusu (úspěch/neúspěch)
• kvalita výrobku (vadný/ bez chyby)
• ...
Parametr rozdělení
• p ... pravděpodobnost úspěchu
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 3/45
Alternativní rozdělení X ~ Alt(p)
x =
1 úspech 0 neúspěch
Pravděpodobnostní funkce
P(X=1)=p,   P(X = 0) = 1-p, pe(0,1)
Distribuční funkce
'0
F(x;p)=l 1 -
1
x < 0 p  0 < x < 1 x > 1
Číselné charakteristiky
E(X) = p,   D(X) = p(1 - p), ax = Vp(1 -P)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Binomické rozdělení X ~ Bi(n, p)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n nezávislých dichotomických pokusů
Příklady
• počet děvčat v rodině s n dětmi
• počet zmetků mezi n výrobky
• počet úspěšných zkoušek přístroje z celkem n zkoušek
Parametry rozdělení
• n ... počet nezávislých dichotomických pokusů
• p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 5/45
Binomické rozdělení X ~ Bi(n,p)
Pravděpodobnostní funkce (Bernoulliho schéma)
P(X = k) = ( l) p*(1-p)n~k, k = 0,...,n,   n>1, pe(0,1)
Distribuční funkce
0
x < 0
F(x;p,n) = {
n
Ek<x['k)Pk0-p)n-k 0<x<n
1
x > n
Excel: BINOM.DIST(k;n;p;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Binomické rozdělení X ~ Bi(n,p)
Číselné charakteristiky
E(X) = np,   D(X) = np(1-p),   ax = y/npO - p)
p = 1 /2 symetrické rozdělení, jinak asymetrické
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 7/45
Príklad (Barva kvetú hrachu)
Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že f nově vzniklých rostlin (potomků)
pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově?
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 8/45
Příklad (Barva květů hrachu)
Je křížen bělokvětý hrách s fialovým, přičemž předpokládáme, že rostliny, na nichž je pokus prováděn, nebyly dosud kříženy Podle pravidel dědičnosti lze očekávat, že | nově vzniklých rostlin (potomků) pokvetou fialově a \ bíle. Zatím vzklíčilo 10 nových rostlin. Jaká je pravděpodobnost, že 9 pokvete fialově?
Řešení
X... počet fialově kvetoucích rostlin z 10 rostlin
X~Bi(10;0,75)
Excel: BINOM.DIST(9;10;3/4;0)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, rí)
Model: počet úspěchů, které nastanou při provedení n závislých dichotomických pokusů (výběr bez vracení)
Příklady
• počet vybraných zmetků, vybíráme-li n výrobků z N výrobků, přičemž M z nich jsou zmetky
• počet vybraných nenaučených otázek, losujeme-li n otázek z A/, přičemž na M z nich nejsme naučeni
Parametry rozdělení
• n ... počet vybraných jednotek (závislých dichotomických pokusů)
• N ... počet všech jednotek
m M ... počet jednotek, které mají sledovanou vlastnost
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 10/45
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, n)
Pravděpodobnostní funkce
P(X = k) =
(M\ (N-M\ \k)\n-k)
o
,k = 0,...,n, N>n>*\,0<M<N
Distribuční funkce
ÍO
F(x; N, M,n) = <
1
(M\(N-M\ U A n-k )
k<X (N
x < 0 0 < x < n x > n
Číselné charakteristiky
t=fv\ nM o/ ^ M í, M\ ÍN-n E(x) = -in-,   D(X) = n^[^-
N
N
N   \ N- 1
Hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(A/, M, ri)
Excel: HYPGEOM.DIST(k;n;M;N;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k) 9 logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
□ 3
=
■s    "O ^ O'
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 12/45
Príklad (Vadné výrobky)
Mezi 100 výrobky je 20 zmetků. Vybereme 10 výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými výrobky Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali právě 3 zmetky?
Nejaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 13/45
Příklad (Vadné výrobky)
Mezi 100 výrobky je 20 zmetků. Vybereme 10 výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali právě 3 zmetky?
Řešení
X ... počet vybraných zmetků N= 100, M = 20, n= 10
X-Hg(100;20;10)
p(x = 3) = ^jmír = °>209
110 )
Excel: HYPGEOM.DIST(3;10;20;100;0)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Diskrétní rovnoměrné rozdělení X ~ Ro(a?)
Model: pokus, který má n různých výsledků, které jsou stejně pravděpodobné a sledujeme, co nastane
Příklady
• hod pravidelnou kostkou M = {1,2,3,4,5,6}, p(i) = g
• hod férovou mincí M = {0,1}, p(/) = ^
• padnutí čísla v ruletě v Monte Carlo M = {0,1,2,..., 36},
• padnutí čísla v ruletě v Las Vegas M = {0,00,1,2,..., 36}, P(0 = á
Pravděpodobnostní funkce
P(X = x) = -, X = 1 , . . . , A7,     A7 G N
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Model: počet událostí, které nastanou při provedení velkého počtu nezávislých dichotomických pokusů, přičemž pravděpodobnost vzniku události je velmi malá
• výskyt jevu v daném časovém/prostorovém intervalu nezávisí co se stalo jindy/jinde
• v daném okamžiku/bodě nemohou nastat 2 jevy současně
• pro každý časový okamžik/bod je pravděpodobnost výskytu jevu v malém časovém/prostorovém intervalu stejná
• A ... intenzitu výskytu události za jednotku času/délky/objemu Příklady
• # částic emit. za jedn. času radioaktivní látkou dané hmotnosti
• # signálů, které dojdou do telefonní ústředny za jednotku času
• # jednob. organizmů na ploše velikosti t v zorném poli mikroskopu
• # dopravních nehod za jednotku času
• # typografických chyb na stránce
• # volných dnů ve firmě během měsíce
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 16/45
Poissonovo rozdělení X ~ Po(A)
Pravděpodobnostní funkce
A*
P(X = k) = ^-e"A, /f = 0,1,2,..., A>0
A !
Distribuční funkce
F(x; A) =
0 x < 0
Číselné charakteristiky
E(X) = A,   D(X) = A,   ax = V A
Excel: POISSON.DIST(/c;A;logická proměnná)
• logická proměnná = 0 pro výpočet P(X = k)
• logická proměnná = 1 pro výpočet F(k)
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 17/45
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je pst, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
f
Řešení
X... počet výpadků za 1 den
průměrně 2 výpadky za 24 hodin   =4>   A = 2
X
Po(2)
P(X = k)='—e-\   /c = 0,1,2,...
P(X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e~2 = 0,865
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 19/45
Příklad (Poruchy obráběcího stroje)
Při práci obráběcího stroje dochází náhodně k výpadkům. Průměrně jsou 2 výpadky za 24 hodin.
a) Jaká je pst, že za 24 hodin dojde alespoň k jednomu výpadku?
b) Jaká je psř, že za týden nebudou více než 3 výpadky?
Řešení
Y... počet výpadků za 1 týden
průměrně 2 výpadky/24 hodin průměrně 2-7 = 14 výpadků/týden
V~Po(14)
P(V<3) = e-14( 1 +14 + ^- +      ] =0,000474
2!
3!
Jiří Fišer (MVŠO)			XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 20/45
2.5 Základní spojitá rozdělení pravděpodobností
• Rovnoměrné rozdělení
• Exponenciální rozdělení
• Normální rozdělení
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(a, b)
Model X ~ R(0, d)
• modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky d
• čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který nikterak nesouvisí s minulým ani budoucím výskytem události
Příklady
• doba čekání na autobusové zastávce na autobus, který jezdí po d minutách R(0, d)
9 chyba při zaokrouhlení na 1 desetinné místo R(-0,05; 0,05)
• chyba při stanovení času z digitálních hodin v minutách R(0; 60) sekund
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 22/45
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(a, b)
Hustota
f(x) = ) 5=ä xe{a,b), -oo<a< b <oc { '   S0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
(0
x—a b-a
1
x < a x e (a, b) x > b
Číselné charakteristiky
E(X) = ^±A D(X)
(b - a} 12
ax =
b-a v/12
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 23/45
Rovnoměrné rozdělení X ~ R(—1,1)
Hustota
Distribuční funkce
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 24/45
Příklad (Dodávka zboží)
Prodejna očekává dodávku nového zboží určitý den v době od 8 do 10 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tri čtvrtě na devět?
Nejaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 25/45
Příklad (Dodávka zboží)
Prodejna očekává dodávku nového zboží určitý den v době od 8 do 10 hodin. Podle sdělení dodavatele je uskutečnění dodávky stejně možné kdykoliv během tohoto časového intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět?
Řešení
X... čas příjezdu v hodinách
X~Ro(8,10)
f{x) =
f{x) =
0 jinak
1
2
x g (8,10) 0 jinak
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 26/45
Pravděpodobnost, že zboží bude dodáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět
P(8,5 < X < 8,75) =
8,75 -i -i
-dx = -[8,75 -8,5] =0,125
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024	27/45
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Model: modelování doby/vzdálenosti čekání na událost, která nemá paměť, tj. zbývající doba/vzdálenost čekání nezávisí na tom, jak dlouho už na událost čekáme
Příklady
• doba životnosti zařízení, u kterého dochází k poruše náhodně, nikoliv z důsledku opotřebení
• délka telefonního hovoru
• doba mezi 2 příchozími telefonáty
Parametr rozdělení
• A ... míra rizika výskytu sledované události za jednotku času/vzdálenosti
• I ■ ■ ■ očekávaná doba/vzdálenost do výskytu sledované události
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 28/45
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Hustota
tí . \\e~Xx x > 0, A > 0 fix) = <
w    ^0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
0 x < 0,
1 - e~Xx x>0
Číselné charakteristiky
E(X) = 1    D(X) = -1,   ax = l
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Hustota
tí . \\e~Xx x > 0, A > 0 fix) = <
w    ^0 jinak
Distribuční funkce
F(x) =
0 x < 0,
1 - e~Xx x>0
Číselné charakteristiky
E(X) = 1    D(X) = -1,   ax = l
Pozor! Někdy se používá jiná parametrizace
X ~ Ex(0),   0 = 1 /A
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(1)
Hustota Distribuční funkce
Exponenciální rozdělení X ~ Ex(A)
Excel: EXPON.DIST(x;A;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet f(x) a logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
Příklad (Obsluha v restauraci)
Doba čekání hosta na pivo v restauraci U Lva je průměrně 5 minut. Určete
a) pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
b) dobu čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9.
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 32/45
Příklad (Obsluha v restauraci)
Doba čekání hosta na pivo v restauraci U Lva je průměrně 5 minut. Určete
a) pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
b) dobu čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9.
Řešení X... doba čekání na pivo (v minutách)
průměrná doba čekání na pivo ... 5 minut
X~Ex(A), A = l
5
f(x) =
0
i -i*
x < 0 x > 0
F(x) =
0
— ■fX
1 - e 5
x < 0, x > 0
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024	33/45
Pravděpodobnost, že host bude na pivo čekat déle než 12 minut
P(X > 12) = 1 - P(X < 12) = 1 - F(12) = 1 - (i - e-5'12)
= e~T = 0,09 Excel: 1-EXPON.DIST(12;1/5;1)
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 34/45
Doba čekání hosta na pivo, během níž bude obsloužen s pravděpodobností 0,9
P(0 < X < t) = 0,9 F(t) - F(0) = 0,9 1 - e~t/5 - 0 = 0,9 e-f/5 = 0,1 ř = -5 ln(0,1 )=11,51 min=11 min 30 s
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024	35/45
Normální rozdělení X ~ n(/i, a2)
Hustota
f(x) = —^e~^~,   x e IR1, /ígI1, a > 0
V 27T(J
Vlastnosti
• X může nabývat jakýchkoli reálných hodnot
• hustota je symetrická kolem ji
• hustota nabývá maxima v bodě x = /i,       = -^=;)
• normální rozdělení s parametry /i = 0 a a2 = 1 nazýváme normované (standardizované) normální rozdělení.
9 ji parametr polohy (střední hodnota)
• a parametr měřítka (směrodatná odchylka)
Normální rozdělení X ~ n(/i, a2)
Číselné charakteristiky
E(X) = ii,   x0.5 = ^   * = M>   D(x) = °2
71 (X) = 0 (šikmost),   72(X) = 0 (špičatost)
Excel: NORM.DIST(x;/i;cr;logická proměnná) • logická proměnná = 0 pro výpočet f(x) 9 logická proměnná = 1 pro výpočet F(x)
NORM.S.DIST(x;logická proměnná) pro práci s N(0,1) NORM.INV(a;/i;<r) výpočet a kvantilu NORM.S.INV(a) výpočet a kvantilu pro X - N(0,1)
□       ť5P        -        = -š^O^O
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 37/45
Hustota normálního rozdělení
0.4 0.35 0.3 0.25 S 0.2 0.15 0.1 0.05 0
-N(0,1)
---N(-1,1)
N(-2,1)
X~N(0,a2): f(-x) = f(x),    Ui-a = -Ua
X ~ N(/i, o-2) : f(-x + /i) = f(x + /i)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Distribuční funkce normálního rozdělení
X ~ N(0, a2) : F(-x) = 1 - F(x) X ~ N(fi, a2) : F(-x + /i) = 1 - F(x + /i)
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024	39/45
Vztah mezi n(/x, a2) a n(0,1)
X-N(/í,(t2) -^~N(0,1)
(t
X~N(0,1), /íGE1, a2 > O    4»    <tX + /í ~ N(/i, o-2)
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024	40/45
Pravidlo 3 sigma
Pro X ~ N(n, a2) platí
P[/i - a < X < /x + a] « 68,3% P[H - 2a < X < \x + 2a] » 95,5% P[ju - 3a < X < ^ + 3<x] » 99,7%
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 5	11. a 13. 3. 2024 41/45
Příklad (IQ testy)
Hodnota IQ se řídí normálním rozdělením N(100,152). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude mít
a) IQ více než 130 bodů,
b) IQ méně než 90 bodů,
c) IQ v intervalu od 100 do 130 bodů?
Nějaký nápad?
Příklad (IQ testy)
Hodnota IQ se řídí normálním rozdělením N(100,152). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude mít
a) IQ více než 130 bodů,
b) IQ méně než 90 bodů,
c) IQ v intervalu od 100 do 130 bodů?
Řešení. X ... hodnota IQ (v bodech)
X~N(100,152) U=    ~JQQ ~N(0,1)
15
r,/vr ,       n/vr       „™x       ,       „/X- 100        130- 100 \
P(X > 130) = 1 - P(X < 130) = 1 - P f    15    <-^-j
= 1 - P(U < 2) = 1 - F/v(0;1)(2) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Excel: 1-NORM.DIST(130;100;15;1)
1-NORM.S.DIST(2;1) ,
„.X- 100    90- 100 P(X < 90) = P [ ——— <
15
15
2\ / 2\ (2
P 3 / = FnW> ( — 3 ) = 1 — ^(0:1) i 3
-   = 0,2525
r,/-™ X, „,100- 100 X-100 130- 100 P(100 < X < 130) = P [-—-< ——— <
15
15
15
1
= P(0 < U < 2) = FN(0;1)(2) - FW(0;1)(0) = 0,9772 - - = 0,4772
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5
Alternativně přímý výpočet s využitím softwaru
P(100 < X < 130) = F(130) - F(100) = 0,9772 - 1 = 0,4772, kde F(x) je distribuční funkce A/(100,152)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 5