XSZD Přednáška č. 4
Náhodná veličina 1 in Fišer
MVŠO
4. a 6. 3. 2024
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Obsah
O Náhodná veličina
► Diskrétni náhodná veličina
► Spojitá náhodná veličina
O Číselné charakteristiky náhodné veličiny
► polohy
► variability
► šikmosti
► špičatosti
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Základy statistiky: Náhodná veličina
Náhodná veličina........X
Přiřazuje elementárním jevům čísla
Náhodný
dohromady = 100%
1.
elementárni
2.
elementárni
X —
X — X2
3.
elementárni
^ — x3
x3eR
4.
elementárni
— x.
x4 €R
MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE
Jiří Fišer (MVSO)
XSZD Přednáška č. 4
a 6. 3. 2024 3/51
Základy statistiky: Náhodná veličina
Náhodné veličiny obvykle značíme X, Y, Z ...
Kromě nezávislé a závislé proměnné, které znáte z prvního semestru, je toto nový typ tzv. náhodná proměnná
Náhodný
dohromady
Pi + Pi + Ps + P4 = 100%
elementárni
2.
elementárni
elementárn
4.
elementárni
Pravděpodobnostní t funkce
MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
2. Náhodná veličina
Definice (Náhodná veličina)
Náhodná veličina X je reálná funkce X : Q -> R
• X, Y, Z ... náhodná veličina
• x, y, z ... hodnota náhodné veličiny = realizace náhodné veličiny
Dělení náhodných veličin podle oboru hodnot McR:
• diskrétní: M konečná nebo spočetná
• spojitá: M interval
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
2.1 Diskrétní náhodná veličina
• jednoznačně určena posloupností reálných čísel {xn} a posloupností pravděpodobností {pn = P(X = xn)}
Diskrétní náhodná veličina X
• nabývá hodnot   M = {1,2,4,5}
s pravděpodobnostmi   p(k) = P[X = k], kde
• p(1) = ^ p(2) = 1, p(4) = 1, p(5) = ^ a p(x) = 0 jinak.
M = {1,2,4,5}
/c	1	2	4	5
P(X = /c)	1 3	1 4	1 6	1 4
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Pravděpodobnostní funkce
Definice (Pravděpodobnostní funkce)
Funkce p(x) = P(X = x) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X.
1/3 — 1/4 — 1/6 —
1
2
i
3
i
4
i
5
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Pravděpodobnostní funkce
Definice (Pravděpodobnostní funkce)
Funkce p(x) = P(X = x) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X.
Vlastnosti
• p(x) > 0 VxgK
• Epw = 1
xeM
• Výpočet pravděpodobnosti (jevu B)
P(XeB) =   Y,   p(x = *") =   E PM
n-.XneBnM n:xneBr)M
(Součet pravděpodobností všech čísel/výsledků, která patří do B. Jelikož nenulové pasti jsou jen v M, tak proto B n M.)
Distribuční funkce
Definice (Distribuční funkce)
Distribuční funkce náhodné veličiny X je reálná funkce F :Í4R definovaná vztahem
F(x) = P(X < x),   xe R.
Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny
F(x) = P(X <x)=Y^ P(X = Xj) VxgR
Xj<X
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
1/4
3/4 -
7/12 -
1/6
CL
1/4
1/3 — 1/4 — 1/6 —
1/3 -
1/3
1
2
-e-
i
4
i
5
o
1
2
I
3
I
4
I
ô
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 10/51
Príklad distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny
Diskrétni náhodná veličina X
9 nabývá hodnot   M = {1,2,4,5}
s pravděpodobnostmi   p(k) = P[X = k], kde
• p(1) = 1, p(2) = 1, p(4) = 1, p(5) = 1 a p(x) = 0 jinak.
Určete příslušnou distribuční funkci.
M={1,2,4,5}
k	1	2	4	5
P(X = k)	1 3	1 4	1 6	1 4
F{k) = Zki<k P(X = k j)	1 3	7 12	3 4	1
k	1	2	4	5
P(X = k)	1 3	1 4	1 6	1 4
F{k) = Zki<k P{X = ki)	1 3	7 12	3 4	1
F(x) = P(X < x) =     p(x = k>)  Vx g IR
Jiří Fišer (MVSO)
kj<x
X	(-oo,1)	0,2)	(2,4)	(4,5)	(5,oo)
F(x)	0	1 3	7 12	3 4	1
1
3
_ ) 7
F{x) =
(O    x < 1
1 < x < 2
2 < x < 4 4 < x < 5
1    x > 5
12
3
4
XSZD Přednáška č. 4
4. a 6.
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
1/4
3/4 -
7/12 -
1/6
CL
1/4
1/3 — 1/4 — 1/6 —
1/3 -
1/3
1
2
-e-
i
4
i
5
o
1
2
I
3
I
4
I
ô
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 13/51
Vlastnosti distribuční funkce
O F(x)e<0,1) Q neklesající
O zprava spojitá
O definovaná na R
Q   lim   F (x) = 05     lim F (x) = 1
x->—oo x-^oo
Q p(x = x0) = F(xo) - lim F (x)   (výška skoku v bodě x0)
x^x-
Pozor:
Někdy, např. ve skriptech Otipka, Šmajstrla, je distribuční funkce definovaná s ostrou nerovností
F (x) = P(X<x)      =4>   spojitá zleva
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
CL
1/3 — 1/4 — 1/6 —
3/4 -
7/12
1/3 -
1
2
i
3
i
4
i
5
1/4
-0
1/3
o
1
2
Pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty alespoň 3
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 1 + 1
P(X > 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X < 2) = 1 - F(2)
Pravděpodobnostní funkce
Distribuční funkce
CL
1/3 — 1/4 — 1/6 —
3/4 -
7/12
1/3 -
1
2
i
3
i
4
i
5
1/4
-0
1/3
o
1
2
Pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty nejvýše 4
1
P(X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 4) = - +
O
P(X < 4) = F(4) = ^
2.2 Spojitá náhodná veličina
Diskrétni náhodná veličina
• značí „počet"
• počet autohavárií v daném časovém intervalu (Poissonovo rozdělení)
o počet 6, které padly v 10 hodech pravidelnou kostkou (Binomické rozdělení)
P(X = x0) = p(x0) g (0,1)   Vx0 g R
Spojitá náhodná veličina
• značí „měření"
P(X = x0) = 0  Vx0 g R
o jsme schopni najít pouze interval, kde se X realizuje
P(a < X < b) g (0,1}   Va < b, a, b g R
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 17/51
Spojitá náhodná veličina
Definice
Náhodná veličina X se nazývá (absolutně) spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f: R -> R taková, že
F(x)= í   f{t)dt, VxeM.
J — oo
Funkce f (x) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností)
náhodné veličiny X.			
Vlastnosti hustoty	f (x) > 0		
	ŕOO /   f(t)dt = ^ J —oo	<□► < ŕ3? ► < -E ► < -ž ►     -š    -O Q, O	
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 18/51	
Vlastnosti hustoty a distribuční funkce spojité náhodné veličiny
f (x) = F'(x) v každém bodě x, kde je F diferencovatelná
P(a < X < b) = F(b) - F(ä) = í f (t) dt
Ja
P(a < X < b) = P (a < X < b) = P (a < X < b) = P(a < X < b)
P(XeB) = / ŕ(ŕ)dŕ
B
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 19/51
Výpočet pravděpodobností pomocí F(x) a f(x)
P(£<0) = F(0)= / f(ř)dř
J — oo
X
0
-4       -3       -2 -1
0 X
/ P(^<0)	i           i i
4-3-2-101234 X	
i           i i	
---- i           i i	i           i i
4    -O Q, O
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 20/51
Výpočet pravděpodobností pomocí F(x) a f(x)
P(-2 < C < 0) = F(0) - F(-2) = y   f(ř) dř
X
-4        -3        -2 -1
0 X
I	P(-2<£<0)	i         i i
4-3-2-101234 X		
		
-	i	i         i i
Příklad (Rovnoměrné rozdělení na intervalu (2,6))
Spojitá náhodná veličina X má distribuční funkci
( 0 x<2
F(x) = l J(x-2)  2 < x < 6
[ 1 x>6 Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X a vypočítejte
pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty a) alespoň 4, b) v intervalu
(3,5).
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
F(x) =
x < 2 -2) 2<x<6 x > 6
Řešení.
f(x) =
dF(x) dx
*(*-2)
-i /
1
= - proxe(2,6
\ 2<x<6
ř(x)_<! O jinak
			"O °\
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024	23/51
Obrázek: Distribuční funkce X        Obrázek: Hustota pravděpodobnosti X
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024	24/51
'OO
1
P(X>4)= /   f(x)dx= I  -dx =
4 ^
rxi6 1
1
L4J4 = 4(6-4) = 2
P(X > 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - F(4) = 1 - 1(4 - 2) = 1 - 1 = 1
P(3<X<5)= /  lflfx =
3
rxi5 1
1
L4J3=4(5-3»=2
P(3 < X < 5) = F(5) - F(3) = 1(5 - 2) - 1(3 - 2) = 5 - i = 1
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 25/51
Spojitá náhodná veličina X má rozdělení dané hustotou
f(x) =
0 x < 1
1 x > 1
O Určete její distribuční funkci.
O Spočítejte pravděpodobnost P(1 < X < 5).
f(x) =
X
F(x) = f(t)dt
— OO
x
>X
F(x) = /    Odt = 0  pro x < 1
—oo
F(x)= f f(t)dt= i J —oo J	'   Odt+ [Xidr = —oo              •/1 *		1" ~7 I c		1 =---h 1   pro x > 1 t x
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4		4. a 6. 3. 2024 27/51	
P0<X<5) = j"^dx =
1
x
i5
J1
1 H 4
= -5 + 1 = 5
P(1 < X < 5) = F(5) - F(1) = ( 1 - 1) - O = í
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 28/51
2.3 Číselné charakteristiky
Náhodnou veličinu X jednoznačne určují a plně popisují
• X diskrétní
► pravděpodobnostní funkce
► distribuční funkce
9 X spojitá
► hustota
► distribuční funkce
číselné charakteristiky = shrnutí informací o X do několika čísel,
které ji dostatečně charakterizují
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 29/51
Typy číselných charakteristik
Členění dle popisované vlastnosti
• polohy: „střed", kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X
► střední hodnota
► modus kvantily
• variability: rozptýlenost hodnot X kolem charakteristiky polohy
► rozptyl
► směrodatná odchylka
• šikmost: tvar rozdělení pravděpodobností (symetrické nebo asymetrické)
• špičatost: tvar rozdělení pravděpodobností (špičaté nebo zploštělé)
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 30/51
Charakteristiky polohy
• „střed" skupiny údajů, kolem kterého všechny hodnoty kolísají
• chceme-li charakterizovat sledovanou veličinu jediným číslem, pak to bude nějaká charakteristika polohy
► dospělá liška obecná je obvykle velká približne 70 cm
► studenti prvního ročníku VŠ mají kolem 20 let věku
• jaké by měly mít vlastnosti
► př. mzda ve firmě
* všichni zaměstnanci dostanou přidáno 1000 Kč      „střed" se zvětší o 1000 Kč
f(x^ +c, x2+c, • • •, Xn+Ó) = ř(xi, x2,..., x„)+c
* přepočteme-li jejich mzdu na euro ^> „střed" v eurech bude „střed" v Kč krát 0,042
f(x^-b, x2-b,..., xn-b) = ř(xi, x2,..., xn)-b
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024	31 /51
Střední hodnota E(X)
• základní charakteristika polohy
• „střed" (těžiště), kolem kterého jsou koncentrovány hodnoty X X diskrétní s oborem hodnot M
E(X) = £ */P(X = x/)
Xi-eM
X spojitá s hustotou f(x)
/oc xf{x) dx -oo
Jestliže řada nebo integrál absolutně nekonverguje, střední hodnota neexistuje.
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 32/51
Vlastnosti střední hodnoty
• E(c) = c pro libovolnou konstantu cel
• zvětšíme-li všechny hodnoty o konstantu c, zvětší se střední hodnota též o c
E(c + X) = c + E(X)
• násobíme-li všechny hodnoty nějakou konstantou b, pak nová střední hodnota bude rovna původní střední hodnotě krát konstanta b
E(bX) = bE(X)
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Charakteristiky variability
(-i
• •        4    »     * **
w *
.-■ —
• číslo udávající koncentraci (rozptýlení) hodnot okolo středu
j:
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Charakteristiky variability
Vlastnosti:
• po přičtení konstanty
ke každé hodnotě se variabilita nezmění
• při násobení číslem (v
absolutní hodnotě) mezi 0 a 1 se variabilita zmenší
• při násobení číslem (v
absolutní hodnotě) větším než 1 se variabilita zvětší
in -
a=1
o
50
100
150
200
lo
lo
a=0.6
0
50
100
150
200
lo
lo
»    *    ■/« ^**» j ,a
. • a=3-
50
100
150
200
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 35/51
Rozptyl D(X)
• základní charakteristika variability
• charakterizuje měřítko (šířku) rozdělení
• popisuje rozptýlenost hodnot kolem střední hodnoty
Rozptyl
D(X) = E [X - E(X)]2, existuje-li E(X)
Směrodatná odchylka
□ S1
Vlastnosti rozptylu
O D(X) > 0
O D(X) = E(X2)-[E(X)]2
D(X) = {
[     x?P{X = Xi) ~ [E(X)]2  X diskrétni
x2f(x)dx - [E(X)]2     X spojitá
-oo
O D(a + cX) = c2D(X) pro libovolné konstanty a, c g IR O D(X) = 0      P(X = c) = 1
< □ ► < g ► < -E ► < -ž ►     -š    -O Q, O
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 37/51
Normovaná náhodná veličina
veličina s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem
Y = TŤžBf exis,uie-H E(X)
< □ ► < ŕ3? ► < -E ► < -ž ►     -š    -O Q, O
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 38/51
Modus x
• charakteristika polohy
• X diskrétní: nepravděpodobnější hodnota
• X spojitá: bod x, ve kterém hustota pravděpodobností f (x) nabývá lokálního maxima
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024	39/51
Příklad: diskrétní náhodná veličina
Diskrétní náhodná veličina X
9 nabývá hodnot   M = {1,2,4,5} s pravděpodobnostmi   p(k) = P[X = k], kde
• p(1) = ^ p(2) = J, p(4) = l p(5) = J a p(x) = Oy/na/c.
Spočtěte střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku a modus náhodné veličiny X.
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 40/51
Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X
k	1	2	4	5
P(X = k)	i 3	1 4	1 a	1 4
Střední hodnota      E(X) = xnp{xn)
n
• E(X)=1.1+2-1 + 4-1+5-1 = ^=2,75
Rozptyl a směrodatná odchylka
D(X) = E [X - E(X)f = E(X2) - [E(X)]2
E(X2) = 5:4p(xn) = 12.l+22.l+42.l + 52.l = ^
• D(X) = E(X2) - [E(X)]2 = íl - (lij = 1|=2,69
• v/Ď(X) = y^=1,64
Modus: nejpravděpodobnější hodnota: x = 1 < n ,. „a,< s „
Příklad: spojitá náhodná veličina
Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar
6x(1 - x)  0 < x < 1
0 jinak
Určete střední hodnotu, rozptyl a modus náhodné veličiny X.
Nějaký nápad?
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 42/51
f{x) =
6x(1 - x) O < x < 1 O jinak
Střední hodnota:
'OO
/oo x ■ f(x)dx -oo
/oo /»1 xf(x)dx =     x- 6x(1 -x)dx = -oo ./O
/ (6x2 - 6x3)dx = Jo
o
A -1
12 ~ 2
6x3 6x
4.1
JO
6 6 3 ~ 4
24-18 12
Jiří Fišer (MVŠO)
XSZD Přednáška č. 4
Rozptyl:
6x(1-x)  0<x<1 1 W    ^0 jinak V  ' 2
D(X) = E [X - E(X)f = E(X2) - [E(X)]2
/oo /*1 x2 • ŕ(x)dx = / x2 • 6x(1 - x)dx = -oo JO
•1
6x3 - 6x4dx =
o
6x4 6x5
-, 1
Jo
6 4
6 _ 30 - 24 5 ~ 20
20
D(X) =
20
20
1 4
6-5 20
1
20
			
Jiří Fišer (MVŠO)	XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024	44/51
f(x) =
6x(1 - x) O < x < 1 O jinak
Modus: bod, v němž je lokální maximum hustoty
f(x) = 6- 12x 6-12x = 0   ^    x = 0,5 f"(x) = -'\2<0   =>-   maximum   ^>   x = 0,5
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 45/51
Kvantily spojité náhodné veličiny
Definice
Nechť a g (0,1). a-kvantilem spojité náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo xa, které splňuje
P(X < Xo) = a.
• X spojitá: o-kvantil určen jednoznačně vztahem
F(xa) = a
• X diskrétní: kvantily nejsou určeny jednoznačně, nebudeme uvažovat
Speciální názvy kvantilů
• x0,5 - medián
• *o,25 - dolní kvartil
• *o,75 - horní kvartil
• */c/io> k = 1,..., 9 - /c-tý decil
• */c/ioo> /c = 1,..., 99 — /c-tý percentil
Příklad výpočtu kvantilů
Vypočtěte první decil a horní kvartil náhodné veličiny X určené hustotou
_ A  pro x e (0,2;
f(x) =
0 jinak.
F(x) =
v   ) ^1
		< 0	
		€(0	;2)
l 1	1 V-/ /A	> 2	
'i  1 3	1 2X =	U, 1 ,	x = 0,
) — 0,75,     x — 0,75,   x — 1,5,   tody Xoj$ — 1,5
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 48/51
Příklad výpočtu kvantilů
Příklad
Vypočtěte první decil a horní kvartil náhodné veličiny X určené hustotou
f(x) =
_ . \  pro x e (0,2
0 jinak.
(0
• F(x) = { \x
1
• F(x) = 0,1,
F(x) =
0,75,
pro x < 0 pro x e (0;2) pro x > 2
^ = 0,1,
x = 0,2,   tedy x0,i = 0,2
lx = 0,75,   x =1,5,
tedy x0 75 = 1,5
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 48/51
Koeficient šikmosti a špičatosti
Definice (Koeficient šikmosti náhodné veličiny X)
71 =
(X - E(X)ý
(y/DjX)y
Definice (Koeficient špičatosti náhodné veličiny X)
12 =
(x - E(x)y
-3.
Koeficienty šikmosti a špičatosti popisují tvar krivky hustoty nebo pravděpodobnostní funkce.
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 49/51
Koeficient šikmosti
• 71 = 0: rozdělení je symetrické
• 7-1 > 0: rozdělení je protáhlé napravo (např. mzdy)
• 7-1 < 0: rozdělení je protáhlé nalevo
Vztah mezi koeficientem šikmosti, střední hodnotou (C), mediánem (B) a modem (A)
71 = 0 : E(X) = X0.5 = Mo(X) 71 < 0 : E(X) < X0.5 < Mo{X) 71 > 0 :    Mo{X) < X0.5 < E{X)
Jiří Fišer (MVŠO)		XSZD Přednáška č. 4	4. a 6. 3. 2024 50/51
Obrázek: Koeficient šikmosti
0.16
Koeficient špičatosti
„měří" stupeň koncentrace hodnot okolo středu ve srovnání s ostatními hodnotami
veličina s nízkým koeficientem špičatosti (72 < 0) obsahuje hodnoty velmi vzdálené od středu čím špičatější rozdělení (72 > 0), tím více jsou hodnoty soustředěné okolo středu <□►<*►<!►<!►
Jiří Fišer (MVSO)
XSZD Přednáška č. 4
4. a 6. 3. 2024