Pravděpodobnost 3 definice MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost 3 definice jeden význam klasická definice počet příznivých počet všech možných tistická defin P 04) = lim 7l->oo 72 eomeiricKa aenni PGO = MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost 3 definice jeden význam geometrická definice Pravděpodobnost 3 definice jeden význam Axiomy pravděpodobnosti (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost 3 definice jeden význam Axiomy pravděpodobnosti (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost 3 definice jeden význam Axiomy pravděpodobnosti (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. Pravděpodobnost jevu jistého je rovna 1. MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost 3 definice jeden význam Axiomy pravděpodobnosti (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. Pravděpodobnost jevu jistého je rovna 1. 3. Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností, a Pravděpodobnost 3 definice jeden význam Axiomy pravděpodobnosti (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. Pravděpodobnost jevu jistého je rovna 1. 3. Pravděpodobnost, že nastane něktejýijjavzájem se vylučujících jevů, je rovna/součtujejich pravděpodobností. iKtej^Äjjavzajem se vyiucujicicr la^oučtujejich pravděpodobné MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. si m MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. jev A .... vybraný objekt je smajlík MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. jev A .... vybraný objekt je smajlík jev opačný A'.... vybraný objekt není smajlík MVŠO >> KNOWLEDCE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. jevi4 .... vybraný objekt je smajlík P(Á) — ^ — 0*2 — 20% jev opačný A .... vybraný objekt není smajlík 20-4 P(A') = —^— = 1 - P(A) = 1 - 0,2 = 0,8 = 80% MVŠO >> KNOWLEDCE F0R THE FUTURE 20 Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. si m jevi4 .... vybraný objekt je smajlík P(A) — ^ - 0,2 - 20% jev opačný A .... vybraný objekt není smajlík 20-4 P(A') = = 1 - P(A) = 1-0,2 = 0,8 = 80% 20 MVŠO >> KNOWLEDCE F0R THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. jev Č ... náhodně vybraný útvar je červený jev náhodně vybraný útvar je hvězda MVŠO >> KNOWLEDCE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. si m jev Č ... náhodně vybraný útvar je červený jev náhodně vybraný útvar je hvězda P(Č)= P(Čn*) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. si m jev Č ... náhodně vybraný útvar je červený jev náhodně vybraný útvar je hvězda P(Č)= ^ = 0,25 = 25% P(Čn*)=^= 0,1 = 10o/o MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. m jev Č ... náhodně vybraný útvar je červený jev náhodně vybraný útvar je hvězda Podmíněná pravděpodobnost , , , P(ACiB) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. E) m m čti: „pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B" Podmíněná pravděpodobnost MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. si m čti: „pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B" Podmíněná pravděpodobnost P(Č)= y0 = 0-25 = 25% P{*nČ) = ^ = 0,1 = 10% MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vysvětlení dalších pojmů V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. čti: „pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B" Podmíněná pravděpodobnost P(C)= fQ = 0,25 = 25% P(*nČ) = ^ = 0,1 = 10% PfrnČ) 0,1 p(*|c) = ^ČT = w = 0'4 = 40% MVŠO >> KNOWLEDCE F0R THE FUTURE Pravděpodobnost další vlastnosti 1. P(A') = 1 - P (A) 2. P (A UB) = P (A) + P (B) - P (A n B) > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P (A U B) = P (A) + P (B) 3. P(A n B) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy, potom je vzorec jednodušší P (A CiB) = P (A) • P (B) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost další vlastnosti P(A') = 1 - P(Ä) Pravděpodobnost jevu opačného k jevu A P(A UB) = P(A) + P(B) - P(A n B) > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P(A UB) = P(A) + P(B) P(AnB) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy, potom je vzorec jednodušší P (A CiB) = P (A) • P(B) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vlastnosti Průnik jevů A a B P(A') = 1 - P(A) P(A UB) = P(A) + P(B) - P(A n B) > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P(A UB) = P(A) + P(B) P(AnB) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy, potom je vzorec jednodušší P (A nB) = P (A) • P(B) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vlastnosti Průnik jevů A a B P(A') = 1 - P(A) P(A UB) = P(A) + P(B) - P(A n B) > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P(A UB) = P(A) + P(B) DisjUnktníjew P(AHB) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy, potom je vzorec jednodušší P (A nB) = P (A) • P(B) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vlastnosti Průnik jevů A a B 1. PijA') = 1 - P (A) 2. P(AT)B) = P(A) + P(B)-P(AnB) > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P(A UB) = P(A) + P(B) DisjUnktníjew 3. P(A n B) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy potom je vzorec jednodušší P (A nB) = P (A) • P(B) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost vlastnosti Průnik jevů A a B 1. PijA') = 1 - P (A) 2. P(AT)B) = P(A) + P(B)-P(AnB) NEBO > pokud jsou A, B disjunktní jevy, potom je vzorec jednodušší P(A UB) = P(A) + P(B) DisjUnktníjew 3. P(ďhB) = P(A\B)-P(B) > pokud jsou A, B nezávislé jevy, potom je vzorec jednodušší P (A nB) = P (A) • P(B) a zároveň MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost toho, že a) padne-li na 1.kostce dvojka, padne součet větší než 6. b) padne-li na 1. kostce sudé číslo, padne součet větší než 8. Příklad 2: Kruhový terč má 3 pásma. Pravděpodobnost zásahu • prvního pásma je 0,2 • druhého pásma 0,23 • třetího pásma 0,15. Jaká je pravděpodobnost minutí cíle? MVŠO >> KNOWLEDCE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost toho, že a) padne-li na 1.kostce dvojka, padne součet větší než 6. 2 jev A.......součet je víc jak 6 jev B.......na 1. kostce padne 2 P(A\B) = P(AnB) = ě P(B) b) padne-li na 1. kostce sudé číslo, padne součet větší než 8. 1-2 | 1 jev A.......součet je víc jak 8 P(A\B) = ^ ^ = ^ ' ^ ^ jev B.......na 1. kostce padne sudé ^(^) ^_LÉ 6 • 6 6 4 2 6 1 3 = - = 0,33 = 33% = - = 0,33 = 33% Příklad 2: Kruhový terč má 3 pásma. Pravděpodobnost zásahu • prvního pásma je 0,2 11zasáhne L Pásmo< P(ZD=0,2 • druhého pásma 0,23 • třetího pásma 0,15. Jaká je pravděpodobnost minutí cíle? Z2...... zasáhne 2. pásmo, P(Z2)=0,23 Z3...... zasáhne 3. pásmo, P(Z3)=0,15 P {minutí) = 1 — P (jakýkoli zásah) = 1 - (0,2 + 0,23 + 0,15) = 0,42 = 42% MVŠO >> KNOWLEDCE F0R THE FUTURE Pravděpodobnost Příklad 3: Výrobek prochází v průběhu zpracování postupně čtyřmi úrovněmi zpracování. Pravděpodobnost vyrobení zmetku u jednotlivých úrovní je postupně rovna 0,02; 0,03; 0,005; 0,015. Určete pravděpodobnost toho, že výsledkem výrobního procesu v daném případě bude zmetek, jev Zrn.......výrobek je zmetek jev Ul.......výrobek prošel 1. úrovní zpracování, P(ř/1 n Zm) = 0,02 jev U2.......výrobek prošel 2. úrovní zpracování, P(ř/2 n Zm) = 0,03 jev U3.......výrobek prošel 3. úrovní zpracování, P(U3 n Zní) = 0,005 jev U4.......výrobek prošel 4. úrovní zpracování, P(ř/4 n Zm) = 0,015 P(Zm) = 1 - P(není Zm) =l-P(í/ln není Zm) • P(ř/2 n není Zm) • P(ř/3 n není Zm) • P(ř/4 n není Zm) = = 1 - (l - P(ř/1 n není Zm)) • (l - P(U2 n není Zm)) • (l - P(U3 n není Zm)) • (l - P(ř/4 n není Zm)) = = 1 - 0.98 • 0.97 • 0.995 • 0.985 = 0,06834 = 7% Příklad 4: Z celkové produkce závodu jsou 4% zmetků. Z vyhovujících výrobků je 75% standardních. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je standardní. Zm...... výrobek je zmetek, P(Zm) = 0,04 Vyh......výrobek je vyhovující, P(Vyh) = 1 — P(Zm) = 1 — 0,4 = 0,96 St ...... výrobek je standardní, P(Vyh \St) = 0,75 P(5t a zároveň Vyh) = P(St n Kyft) = P(5t | Vyh) • P(Kyft) = 0,75 • 0,96 = 0,72 = 72% MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE