Kombinatorika Celkové shrnutí Pravidlo součtu NEBO n! Permutace! záleží na pořadí, vybíráme ©prvků z ©prvků bez opakování P(xO = n]-včetně opakování Pnin2... (n) = ... Variace záleží na pořadí, vybíráme ©prvků z© prvků, k> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE I.B. Pravděpodobnost Popis zákonitostí týkajících se náhodných jevů resp. pokusů. Pravděpodobnost se používá při modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE I.B. Pravděpodobnost Popis zákonitostí týkajících se náhodných jevů resp. pokusů. Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Pravděpodobnost se používá při modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE I.B. Pravděpodobnost Popis zákonitostí týkajících se náhodných jevů resp. pokusů. Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministický pokus za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. Náhodný pokus za stejných výchozích podmínek má různé výsledky, např. vrh kostkou, počet pozorovaných dopravních nehod, zmetkovitost výrobků, atp. Pravděpodobnost se používá při modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE I.B. Pravděpodobnost Popis zákonitostí týkajících se náhodných jevů resp. pokusů. Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministický pokus za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. Náhodný pokus za stejných výchozích podmínek má různé výsledky, např. vrh kostkou, počet pozorovaných dopravních nehod, zmetkovitost výrobků, atp. Pravděpodobnost se používá při modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. r ' TfiPTJ např- Hod kostkou Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. r. napr. Hod kostkou Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... jev A... padne 6 ok jev S ... padne sudý počet ok jev B... padnou 3 oka jev T... padne počet ok < 5 MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. napr. Hod kostkou Náhodný jev - tvrzení o výsle jev A... padne 6 ok jev B... padnou 3 oka U jednotlivých náhodných jevů určujeme pravděpodobnost jejich nastoupení Používá se označení P(A).... čti pravděpodobnost jevu A, tj. pravděpodobnost, že padne 6 ok P(B).... čti pravděpodobnost jevu B, tj. pravděpodobnost, že padnou 3 oka .... atp. MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. např. Měření krevního tlaku systolický/diastolický Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. I např. | Měření krevního tlaku systolický/diastolický en krvi Ittak u li.li !•■ iln hodnoty 140/90 mmHg. Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... jev A... systolický tlak je > 120 mmHg jev S ... systolický tlak je v normě jev B... diastolický tlak je < 100 mmHg MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. I např. | Měření krevního tlaku systolický/diastolický en krvi Ittak u li.li !•■ iln hodnoty 140/90 mmHg. Náhodný jev = tvrzení o výsledku náhodného pokusu . Značíme velkými písmeny např. A, B, X, Y ... jev A... systolický tlak je > 120 mmHg jev S ... systolický tlak je v normě jev B... diastolický tlak je < 100 mmHg Je zapotřebí vědět, co je to „být v normě u MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Základní pojmy Náhodný pokus = děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. I např. | Měření krevního tlaku systolický/diastolický na steny lepen. Normáln e do hodnoty 140/ Náhodný jev - tvrzení o výsle jev A... systolický tlak je > 120 nr jev B... diastolický tlak je < 100 r pravděpodobnost jeho nastoupení Používá se označení P(A).... čti pravděpodobnost jevu A, tj. p_st, že systol. tlak je > 120 mmHg P(B).... čti pravděpodobnost jevu B, tj. p_st, že diastôl, tlak je < 100 mmHg .... atp. MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost označení jevů např. u pokusu hod kostkou MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost označení jevů např. u pokusu ^- Jev nemožný A .... padne číslo 7 P(A) = 0 tj. 0% hod kostkou Jev náhodný B ... padne sudé číslo 0 < P(A) < 1 tj. mezi 0% a 100% Jev jistý C ... číslo menší než 8 P(A) = 1 tj. 100% MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost označení jevů např. u pokusu ^- Jev nemožný A .... padne číslo 7 P(A) = 0 tj.0% hod kostkou Jev náhodný B ... padne sudé číslo 0 < P(A) < 1 ti. mezi 0% a 100% Jev jistý C ... číslo menší než 8 P(A) = 1 ti. 100% E ...jev prakticky nemožný P(E) < 0.05 tj. méně než 5% F ...jev prakticky jistý P(F)>0.95 tj. více než 95% MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost (Pierre Simon de Laplace, 1812) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost hod kostkou Mějme náhodný pokus. |^ Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost hod kostkou Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho'výsledku a [ 5,60k jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. padne 1, 2, 3, 4, Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost hod kostkou padne 1, 2, 3, 4, Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho'výsledku a [ 5,60k jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. j padnou více jak 4 oka Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost hod kostkou, která Mějme náhodný pokus. | £ vyvážena Nechť x s v—-—TT~T~a-1 g S padne 1, 2, 3, 4, Q je množina všech jeho výsledků a [ 5,6 ok J jev>A je nějaké tvrzení o výsledku Jptíoto náhodného pokusu. | padnou více jak 4 oka Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost hod kostkou, která Mějme náhodný pokus. | £ vyvážena Nechť x s v—"—TT~T~a-1 g S padne 1, 2, 3, 4, Q je množina všech jeho výsledků a [ 5,6 ok J jev>A je nějaké tvrzení o výsledku JpKoto náhodného pokusu. | padnou více jak 4 oka Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu P(A) = P(padnou více jak 4 oka) = - = - = 0.33 = 33,3% 6 3 MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost_ volba sprchového gelu Mějme náhodný pokus. 1z rešálu v obchodě Nechť ^ Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost volba sprchového gelu Mějme náhodný pokus. |1 resálu v obchodě Nechť Q je množina všech jeho'výsledku a [ Fa, Nivea, Palmolive jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. nabízí se Radox, Dove, Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) potet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost volba sprchového gelu Mějme náhodný pokus. |1 resálu v obchodě Nechť Q je množina všech jehdvýsledků a [ Fa, Nivea, Palmolive jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. bude zvolen ten od značek Radox nebo Nivea Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) počet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu nabízí se Radox, Dove, MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost volba sprchového gelu Mějme náhodný pokus. z resálu v obchodě ^—^ se zavřenýma očima Nechť f 5m ,,, D . _ g ^ nabízí se Radox, Dove, Q je množina všech jeho vfcjedků a Fa, Nivea, Palmolive jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. bude zvolen ten od značek Radox ns-Bo Nivea Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) počet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost volba sprchového gelu Mějme náhodný pokus. z resálu v obchodě ^—^ se zavřenýma očima Nechť f 5m ,,, D . _ g ^ nabízí se Radox, Dove, Q je množina všech jeho vfcjedků a Fa, Nivea, Palmolive jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. bude zvolen ten od značek Radox itä-Bo Nivea Mají-li všechny výsledky stejnou šanci, že nastanou, (jsou rovnocenné) pak P 04) počet výsledků příznivých jevu A počet všech možných výsledků pokusu P(A) = P(Radox nebo Nivea) = | = 0.4 = 40% MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost K určení „počtu příznivých" a „všech možných" využíváme schopností z kombinatoriky. Příklad 1: Číslice 1, 2, 3, 4, 5 jsou napsány na 5-ti lístcích. Náhodně vybereme 3 a utvoříme trojciferné číslo, přičemž cifry k sobě skládáme v pořadí, v jakém jsme je vybrali. Vypočtěte pravděpodobnost, že se takto podaří sestavit sudé číslo. Příklad 2: S jakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet a) šest, b) menší než 7. Příklad 3: Do kolony bylo náhodně seřazeno 7 aut: 2 Mercedesy, 3 Hondy a 2 Oply. Jaká je pravděpodobnost, že na prvním a posledním místě bude Honda? MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost K určení „počtu příznivých" a „všech možných" využíváme schopností z kombinatoriky. Příklad 1: Číslice 1, 2, 3, 4, 5 jsou napsány na 5-ti lístcích. Náhodně vybereme 3 a utvoříme trojciferné číslo, přičemž cifry k sobě skládáme v pořadí, v jakém jsme je vybrali. Vypočtěte pravděpodobnost, že se takto podaří sestavit sudé číslo. ■ c - i nŕc\ ^2(4)+V2(4) 1-4-3+1-4-3 n , Ar.n/ jev S ... podán se sestavit sude cislo, P(S) = ———:— =-= 0,4 = 40% Vq(5) 5'4«3 Příklad 2: S jakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet a) šest, S6.....součet je 6, P(56) = -5- = ^ = 0,1389 = 14% V2{6) 6-6 b) menší než 7. SPod7.....součet je menší než 7, P(SPod7) = 5+4+3+2+1 = 11 = 0,4167 = 42% v J V2*(6) 6-6 ' Příklad 3: Do kolony bylo náhodně seřazeno 7 aut: 2 Mercedesy, 3 Hondy a 2 Oply. Jaká je pravděpodobnost, že na prvním a posledním místě bude Honda? jev H ... na začátku a na konci 5! ^ ^ je Honda, P(H) = 2!y,2! = = 0,1429 = 14% 2! • 2! • 3! MVŠO >> KNOWLEDCE F0R THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost (Richard von Mises, počátek 20. století) MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a ev>4 je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a ev A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak P (A) = lim 7i->oo 72 MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a ev>4 je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A P 04) = lim n(A) počet opakování pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a ev>4 je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A P (A) = lim počet opakování pokusu tzv. relativní četnost jevu A MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost hod kostkou, Mějme náhodný pokus. |^ Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a ev>4 je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A počet opakování pokusu P (A) = lim MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost hod kostkou, Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a opakujeme například jev A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu 100x s padnou více jak 4 oka Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A P (A) = lim výsledkem: 1..... lOx 2..... 13x 3..... 20x 4..... 26x 5..... 18x 6..... 13x počet opakování pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost hod kostkou, Mějme náhodný pokus. Nechť opakujeme například n je počet opakování náhodného pokusu a jev A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu 100x s výsledkem: 1..... lOx 2..... 13x . 3..... 20x počet nastoupení jevu A ^ädnô^ľc^ä^^k^J Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak P (A) = lim 4 5 6 26x 18x 13x počet opakování pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost hod kostkou, která je možná navrtaná opakujeme například Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tetíoto náhodného pokusu 1(X)x s | padnou více jak 4 oka j S I výsledkem: Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A h(A) P (A) = lim 1 2 3 4 5 6 10x 13x 20x 26x 18x 13x počet opakování pokusu MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost hod kostkou, která je možná navrtaná opakujeme například Mějme náhodný pokus. Nechť n je počet opakování náhodného pokusu a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tetíoto náhodného pokusu 1(X)x s | padnou více jak 4 oka j S I výsledkem: Nevíme-li, zda mají všechny výsledky stejnou šanci, pak počet nastoupení jevu A h(A) P (A) = lim 1 2 3 4 5 6 10x 13x 20x 26x 18x 13x počet opakování pokusu relativní četnost je 18+13 = 0.31 = 31% J 100 MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Statistická pravděpodobnost Mějme náhodn' Ne n je počet opakování jev>A je nějaké tvrzení o výsledku ^adno^jc^a^^k^^ Nevíme-li, zda majívšecl P (A) = lihi Význam limity: Budeme-li pokus provádět znovu a znovu s čím dál větší sadou opakování (tj. n -> oo), bude se napočítaná hodnota relativní četnosti postupně ustalovat na správné hodnotě pravděpodobnosti sledovaného jevu A. ULCL I ldDLUU|JC:i II jevu počet opakování pokusu relativní četnost je 18+13 = 0.31 = 31% J 100 MVSO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) Míra: nezáporné číslo, které popisuje velikost množiny, např. spočet prvků, pokud je lze počítat •délka, pokud jde o úsečku či křivku (ID) •obsah, pokud jde o plochu (2D) •objem pokud jde o těleso (3D) Ikpak ysledku odpovídajících jevu A rjníra množin^šech možných výsledků MVŠ0 >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Mějme náhodný pokus. Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodnhnnqt určení místa dopadu Mějme náhodnv ookus.l meteoritu na Zemi, Nechť Q je množina všech jeho výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodnhnnqt lurčení místa dopadu Mějme náhodný pokus, meteoritu na Zemi, Nechť ^^všechna místa na Zemi, Q je množina všech jelro výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodnhnnqt Purčení místa dopadu Mějme náhodnv pokus. 1 meteoritu na Zemi, Nechť ^-'všechna místa na Zemi, Q je množina všech jelro výsledků a jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto náhodného pokusu. meteorit dopadne na pevninu j Pokud je počet všech možných výsledků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodnhnnqt lurčení místa dopadu Mějme náhodný pokus, meteoritu na Zemi, Nechť ^^všechna místa na Zemi, g takových míst je Q je množina všech jeflb výsledků a^ nekonečně mnoho jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto nájróaného pokusu. meteorit dopadne na pevninu j Pokud je počet všech možnýchyý^fedků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A ^(fiy míra množiny všech možných výsledků MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodnhnnqt Purčení místa dopadu Mějme náhodnv pokus. 1 meteoritu na Zemi,_ Nechť ^-'všechna místa na Zemi, g takových míst je Q je množina všech jeflb výsledků nekonečně mnoho jev>A je nějaké tvrzení o výsledku tohoto nájróaného pokusu. meteorit dopadne na pevninu j Pokud je počet všech možnýchyý^fedků (počet prvků množiny íl) nekonečný, pak míra množiny výsledků _ l*(A)* " odpovídajících jevu A míra množiny všech ^^^^^^^^^^^^^^^^^^jrjožnýd^/ýsle^ , ^ plocha pevniny 149 P (A) = —V—;—-— / v =-= 0,292 = 29,2% celkový povrch Zeme 361 +149_ MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Příklad 1: Tyč délky lOm je náhodně rozlomena na 2 části. Jaká je pravděpodobnost, že menší část bude delší než 4m? Příklad 2: Na zastávku místní dopravy přijíždí autobus každých 7 minut a zdrži se vždy 0,5 minuty Jaká je pravděpodobnost, že přijdu a zastihnu autobus na zastávce? MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Příklad 1: Tyč délky 10m je náhodně rozlomena na 2 části. Jaká je pravděpodobnost, že menší část bude delší než 4m? •---» «-• 4m ?m 4m jev A......po zlomení bude menší část delší než 4m P(A) = = = 0,2 = 20% Příklad 2: Na zastávku místní dopravy přijíždí autobus každých 7 minut a zdrži se vždy 0,5 minuty. Jaká je pravděpodobnost, že přijdu a zastihnu autobus na zastávce? 0 5 m i n jev A...... přijdu v okamžiku, kdy je autobus na zastávce ( \ ) 7min- 0,5min \ 1 P(A) = ——^ = f = — = 0,07142 = 7% 7min 7 14 MVŠO >> KNOWLEDGE FOR THE FUTURE