Záklíulní pojmy Vlastnosti podmnožin množiny R \- t:v)vm !.<>mto a následujícím oddílu M mtái neprázdnou podmnožinu miic-íiny R. 1.10 Definice. Říkáme, že množina M je omezená shora,, resp. zdola, existuje-li číslo i^R, resp. I e Rř takové, že pro každé x e M je x < k, resp. £ > L Číslo Á: se nazýva, /lomí mez mrtoimt/ M a číslo l se nazýva dolní mcz množiny M. Ŕíkáme, že nmoiino M je ometená, jc-li omezená shora i zdola. Príklad. Je-ii M = {x € R; 2 < x < 3}, potom každé číslo ŕ; € {3, +oo), napi-. k .-■ /t, ^.ót loU,, ,je horní meii množiny M a každé číslo / G (—00,2), např i = 2»lt |, O, -104,..., je dolní mez množiny M. JUH Poznámky. 1. Existuje-lí aspoň jedna horní, resp. dolní, mez množiny M, pak existuje nekouečnč mnoho horních, resp. dol n ich, mezí množiny M. 2. le-lí množina M interval s krajními body a a b, a < b, pak podle definice í. 10 je tento interval omezená množina {omezený interval); číslo a jt: jednou li dolních mezí intervalu a číslo b je jednou z horních mezí intervalu [ntervaly (fl^+oo) a {«,+oo) jsou množiny, které jsou omezené zdola a nejsou omezené" shora, intervaly (-oo, a) a (—oo,a) jsou množiny, které jsou omezené bhuru n nejsou omezené zdola, a interval (-oo, +co) je množina, která není omezená ani shora ani zdola; jsou to vesměs tzv. neomezené intervaly. 1,12 Věta. Množina M je omezená, právě když existuje čislo K € R,{ tahové, žn jm) každé x € M piati \x\ < K. Příklad. Je-U M = (i 6 R; Z < K 3), potom napr, K = 3, neboť pro každé číslo x e M platí |x| < 3 neboli -3 < x < 3. L13 Definice. Existuj e-li číslo x\ € M takové, že pro každé x e M je x < x\, pak číslo xi nazýváme maximum nebo největší prvek (číslo) množiny M a značíme max M. Existuje-li číslo e M takové, že pro každé x (= M je .z > x2> pak číslo ,ra iia/ýváme minimum nebo nejmenší prvek (čislo) množiny M a značíme min M- Poznámka. Maximum nebo minimum množiny M nemusí existovat. Je-li např. M = {-x G R; 2 < x < 3}, potom min M = 2, ale max M neexistuj n. Jo-li napr. M = {x € R; 2 < a: < 3}, potom neexistuje ani maximum ani minimum mno-žiuy M. Porovnejte definice 1.10 a 1.13 a uvědomte si toto: Je-li množina M omtrzrná shora, pak její horní mez může, ale nemusí do ní patřit, zatímco její maximum, pokud existuje, do ní patří. Je-li množina M omezená zdola, pak její dolní mez muže, ale nemusí do ní patřit, zatímco její minimum, pokud existuje, do ní patří. 1.14 Věta. Ma-irimum i minimum konečné množiny M vždy existují. i ZiíkUdní pojmy t) M = {^;nc Nf. sup M = lt 1 £ Mh max M = sup M — L, i ti ľ M = O, 0 ŕ M, min M neexistuje. d) M- {0t+oo), ku|) M neexistuje, max M neexistuje, iní M : U, [J e M, min M - inf M = 0. Vztah mezi množinou bodů a jejím prvkem L18 Definice, Bod c e M se nazývá vnitřní bod množiny M, existuje-li jeho okolí U (ŕ;) C M.^ Množina všech vnitrních bodů množiny M se nazývá im-itřek množiny M a značí MQ. Bod c e R se nazývá hraniční hod množiny M, lež M i v každém jeho okolí U(c) aspoň jeden bod množiny M a aspoň jeden bod množiny R, který do množiny M nepatří. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice, množiny M a značí h{M). Sjířdnocení množiny M a její hraníce se nazývá u^áuér množiny M a značí M. 'Psdy Mi = Muri(M). Bod c£ R, který není ani vnitřním ani hraničním bodem množiny M, r*1 nazývá iméjňí bod množiny M. Množina všech vnějších bodů množiny M av ny/vľji vnějSfik množiny M j v něj Sek množiny M je tedy množina R \ M. Množina M se nazývá otevřená^ je-li M — M*, a uzavřená, je-li M - M. Bod í: Ur. R* se nazývá hromadný bod množiny M, )eží-li v každém j cl to ukplí U ( ľ) i tí "konečně mnoho bodů množiny M. Množina všech hromadných bodů množiny M se nazývá deňvace množiny M a značí M\ Bod c e R se nazývá hromadný bod množiny M zprava, resp, jdevo, leží-li v každém jeho pravém okolí U+(c), resp, levém okolí U_(o), nekonečně mnoho bodii množiny M. Bod množiny M, který není jejím hromadným bodem, se nazývá úctlovan;'/ hod množiny M, Množinař jejíž všechny body jsou izolované, se nabývá dittltíŕtní nebo izoíuvand. l19 Fosunámky. 1. Vnitrní bod a izolovaný bod množiny M je prvkem množiny M, hraniční bod a hromadný bod množiny M muže, ale nemusí být prvkem množiny M, 2. Množina M je otevřená, právě když je disjunktní se svou hranicí, tj. kdy/ M n n(M) = í; vnitřní body množiny M jsou právě ty její body, které nejsou jejími hraničními body. Množina M je uzavřená, právě když obsahuje svou hrauici. Hromadný bod množiny M je bodem jejího uzáveru, bod uzáveru množiny M muže, ale nemusí být jejím hromadným bodem- 3. Je^li množina M interval, napF- M = {a, b), potom místo nazvu hraniční bod užívat n p název krajní bod- Vnitřek intervalu M j c interval (a>b)v hranice intervalu 2 Míitůnmtická Aimiý/.íi 1 tv\ je ni 11 uži 11 ä .{(i, b), uzáver intervalu M je interval {a, b), vnějšek intervalu M je sjednocení intervalů (—oo, a] U (b, +00), derivace intervalu M je interval (a, b). Interval M není ani otevřená ani uzavřeni množina. Příklady. Promyslete si řešení! a} M = <1,2) U (3}, 0 12 3 4 M° = (1,2), MM) = {1,2,3}, M = (1P2)L!{3),R\M = (^oot l)u(2,3)u(3,+00), M' - (1,2), přitom body intervalu {1,2) jsou hromadné body množiny M, které j snu jejími prvky, a bod 2 je hromadný hod množiny M, ktorý není jejím prvkem, body intervalu (la2) jsou hromadné body množiny M zprava, body intervalu [1,2} jsou hromadné body množiny M zleva, bod 3 je isolovaný bod množiny M. M / M° A M ^ M, takže množina M není ani otevřená, ani uzavřena. h) Množina^N je diskrétni! neboť všechny její body jsou izolované. Poznámka. Nékteré pojmy, které jsme zavedli v tomto a předchozích oddílech pro podmnožinu M množiny R a její body, je potřebné (např, v teorii reálné funkce n reálných proměnných, n £ N) zobecnit pro podmnožinu M množiny R* (reálné roviny — dvojrozmerného reálného prostoru) a její body, podmnožinu M množiny R' (trojrozměrného reálného prostoru) a její bodyh .. L> podmnožinu M množiny RTl (v 1-rozmerného reálného prostoru) a její body. Kartézský součin množin a zobrazení Dříve než budeme definovat pojem funkce, zopakujeme si potřebné pojmy, V i^lém tomto oddílu množina, A je neprázdná množina určitých matematických objektu fi množina B je rovní? neprázdná množin a určitých (stejných nebo jiných) matem atických objektů. 1.20 Definice. Kartézským součinem mno-žin A a B nazýváme množinu ví ech uspořádaných dvojic [a,b], kde a € A a b £ B, Kartézský součin množin A a B Značíino AxB, Vybereme-li z kartézského součinu A x B jen ty dvojíce \atb]t kde éísla r; a h jsou vázána nejakým vztahem (např. a < bt a dél í tel no b apod.), ti ostaneme binární relaci, L21 Definice. Binární relací R mezi množinami A a B nabýváme neprázdnou podmnožinu R kartézského součinu A x B. Místo zápisu [a,b] ři určování definičního oboru funkce vycházíme zejme n a z těchto pod tnínnk: 1, Jmenovatel zlomku musí být různý od čísla 0, 2, Pod sudou odmocninou musí být nezáporný odmocněnec. 3, Argument logaritmů musí být kladný. '1. Argument, funkce tangens, resp. kotangcns> musí být. rfizuý od lichých, i csi ■. sudých, násob k ň čísla |. 5. Argument funkcí arkussinus a arkuskosinus musí patřit do intervalu ( t. t). II.2 Definice. Grafem funkce f (též křivkou o rovnicí y = f(x}) nazývánu1 množinu všech bodů \xj(x)\ € R*, kde x e D[f). Značíme jej <7(/j. ] l-i Příklad. Určeme, zda závislost y na x daná vztahem: a) 2x + 3t/ = 0, I £ (-co, +oo), b) i/ = Gi, x € {u\ +oo), je funkce # = V případč záporné odpovedi stanovinu, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. Ilustrujme grafem. II Funkce 4 Globální vlastnosti funkce IL20 Definice. Funkce / se nazývá periodická, existuje-li reálné Číslo p =ŕ 0 takoví, že (1) xeD(f)*x+pzD(f), (2) pro každé x e D(f) platí f[x + p) = f(x). Cisto p se nazývá perioda funkce /. Nej menší kladné číslo této vlastnosti se nazývá primitivní perioda funkce f< 11.21 Definice, Funkce / se nazývá sudá, resp. lichá, jestliže (2) pro každé x e D[f) platí f(-x) = ý{x)t resp. f (-x) - - j {x). 5 Globální vlastnosti funkce Poznámky* Definiční obor sudé i liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Graf sudé funkce je souměrný podle osy y, graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic, 11.22 Definice. Funkce / se nazývá prostá na množině M C jestliže pro všechna XuX2 £ M taková, že x\ / X2, platí /(xi) # /(x?) ■ f rostoucí 1 11.23 Definice. Funkce /senazývá í ^fgsljící^ i na množině M c £>{/), jestliže y nerostoucí pro všechna st^ajc M taková, že Xi < x2) platí í í&| > /(s*) r klesající J 1181 mno^n^ ^ c ^(/) se nazÝv^ m°m notónní na množině M. {neTOStoucí 1 .. , > na množině M C D(f) se nazývá monotónní na množině M. neklesající J w' J 11.25 Definice. Říkáme, že funkce / je omezená shora, resp. o mířena ráůia, na množině M C £>{/), jestliže existuje ^ € K, resp. I £ K, takové, že pro všechna i € M platí /(s) < resp, f {x) > l. Říkáme, že funkce / je omezená na množině M C D(f), je-li omezená shora i zdola na množině M. 11.26 Věta. Funkce / je omezená na množině M C D{f), právě když existuje K € Rq takové, že pro všechna x € M piati f (x) < K, 11.27 Příklad, Najděme primitivní periodu funkce f (x) = 2sin{3z + S) - 1, Řešení: Nejprve určíme D(f) = R. Pro každé a: e K a každé p € R\{0} je x+p e R. Hledáme nejmenší kladné číslo p takové, aby pro všechna x e M platila rovnost 2sin[3(z + p) + 5] - 1 = 2sin(3x + 5) - 1. Po úpravách dostaneme Sin[3(> + p) + 5j = sin(3z + 5), sin[3(s + p) + 5] - sin(3x + 5) = 0. T,*-,f « id * . o-fl ft + i?. . „ Užitím vzorce sin a - sin p — 2 sin - ■- > cos —-— obdržíme (5 II FWko 268. f{x) = -Isín(3a;+|) +3 269. f{x) = - o š 3* ^ ^ sť íí^[ 3ř ?P^>( OJd 'tiuazaiuo af 270. /{i) = L - tg2 x 1 + tg2i Návod; Ví ras na pravé straně zjednodušte! 5f H 3 i apzíejf oid '^uazaiuo Početní' operace s funkcemi EL43 Definice. Říkáme, že /unfece / ft $ jsou si rovny na množině M, jestliže pro všechna íě Aí je f[x) = g(x)> Jestliže přitom M — D(/) = D(g), fikáme prostě, že funkce / a g jsou si rovny. Značíme f = g. Poznámka. f = g& D(f) = D(g) A (?(/■) = (A ČT(/) = fffo)) . 11.44 Definice. Nechť M = £>(/) fi Součtem funkcí f & g nazýváme funkci / 4- # takovou, že pro všechna a; € M je (/ + 9){z) = ffa) + Rozdílem funkcí / a ff nabýváme funkci / - j takovou, že pro všechna x € Aí je Součinem funkcí / nazýváme funkci / - # takovou, že pro vSechna i € M je " v , , f Podílem funkcí f & g {v tomto pořadí) nazýváme funkci — takovou, že pro všechna 11.45 Definice, .důso/ufm bedno ěůu funkce / nazýváme funkci |/| takovou, že pro všechna x e D{f) je \f]{x) = |/(ar)l. 11.46 Přiklad- Rozhodněme, zda jsou si rovny funkce: a) f{x) - x2 + 7x + 12 a g{x) = (x + 3)(x + 4), b) f{x) = —a g($) = ví*, c) /(i) = 5^ ~^ a ^(a;) = 3a; + 9. 280. f{x)^e'x (*)l/í 281, f(x} = s%nx 0 = x oad {0} \h 3 * oad ) / 1 252, /(i) = pro ar € (Otoc) pro ar € (-1,0) pro x € (-oof -1) ([- 'oo—) 3 .i' ojd j-(oo+ [q) ^ x ojd ^ Složená funkce = Ml/l II,50 Definice, Nechť g = /(u) je funkce s definičním oborem D(/) a u = g(x) funkce s definičním oborem D(g). Jestliže H(g) C D(f), můžeme proměnnou y považovat za závislou na proměnné x, tj. za funkci y = f[g(x)] s definičním oborem D(g). Tuto funkci nazýváme funkcí složenou z funkcí f ag (v tomto poradí), stručně složenou funkcí f\g]. Funkci / nazýváme vnější funkcí a funkci g nazýváme vnitřní funkcí složené funkce f[g]. 8 II Funkc 286, j{u)=lg{z)~2x-A 287. /(u) = ln u, g{%) = In % 28S. Jsou dány funkce f[x) = z2 a (7(3;) = x3 . Dokažte, že: /[ff(2)] - í[/(2)], dl + /(l)] = 2/[l + p(l)]. 289, Jsou dány funkce /(i) = - 1 a //(/) = (-3,+00). Přesvědčíme se, že funkce / je prostá. Sporem: Nechť a; 1 / X2> xXlx2 eRA/(n) ^/W, tedy 2iL - 3 = 2IJ - 3. Po úpravě obdržíme 21' = 213, to nastane pro x\ = 12, což je spor s předpokladem li Ý x2- Daná funkce je tedy prostá. Označme y = tedy y = 21 - 3. Odtud 2r = 3/ + 3) tedy x = log^y + 3) a po záměně proměnných obdržíme inverzní funkci /-1 : y = log^s + 3), D(/"1) = (-3, +00) = //(/), #(/-») = K = £>(/) (00 a2řň3,...} nebo stručně nebo jen {o,,t}; číslo an se nazývá n-tý člen posloupnosti {an}, číslo n index čtenu posloupnosti {an}. Posloupnost můžeme zadat: 1. vzorcem pro n-tý člen, 2. rekurentně, 3. výčtem členů. 1.2 Definice. Graf posloupnosti {an} je množina všech bodů [n,an| v rovině lRr. Značíme jej G{{o.n}). 1.3 Příklad. Nechť aň = 2 - 3n, Napišme prvních 5 členů této posloupnosti a nakresleme- její graf, ňešení: Posloupnost je zadána vzorcem pro n-tý Člen. Za n postupnetímuzujeme čísla 1,2,3,4,5; potom ai=2-3l = —1, 02 = 2- 3- 2 = -4 , as = 2 - 3 ■ 3 = -7 , a., =2-3-4 = -10, a5 - 2-3-5 = -13. Výsledek: {2 - 3n} = {-1, -4,-7,-10,-13,...}. 'tasl.twtóti posloupnosti Můžeme tedy psát an+x = -j—^— = ^ — —— i + i a + i Rekurentní zadání posloupnosti < — > je dáno vztahy: a, — 1, rirt+| = —™—, l n J íf.M i- I Poznámka. Nejčastěji bývá posloupnost zadána symbolicky, nerostoucí J [ tifI > ft,tf-i Postoupil ok L | I^^jY^ nazývá ryze monotónní. Posloupnost I " e&o3*c% \ so nayýv^ monotónní. \ nerostoucí J T.14 Definice. Říkáme, že posloupnost {«„} je omezená shom, resp. ^f/ř/iří, existuje- li číslo /.: € R, resp. i 6 R, takové, že pro všechna ra £ N je «„ < A iCSp. fi1( > í tíítaime, že posloupnost {a,,} je omezená, je-li omezená shora i zdola, 1.15 Veta. Postoupnost {an} je omezená, právě když existuje K c_ &*t lakové, tc vro všechna n <£ N platí \alt\ < A'. LIG Příklad. Zjistěme, zda jeposloupnost monotónní a omezená (lešení: Vypočítáme prvních pět členů posloupnosti a nakreslíme její ^raf Užitečně bývá určit také některý z členň s velkým indexem, např. n - J00, n - 1000 anod. Jrnita posloupnosti , , f 2n - li 35. {a„) = {siníy)} se. !o„} = {,i+i±ti):} 37. {an} = {sn-g} I +u — z ^U&Z9UIO 8Í 'JUUOIOUOUI íf 'tuupiouoiu az-ÍJ Xpoi 'pnoiíOJ ■)soL]f.í[ioiHoí] ^ 3 uAo.id i > |(^)msi ^uawuuio a p 'juupiouotit ju^u isoufínoiío^ '^uazauio juau 'itmcľjououi Xpai 'pjrtfsainau af isoudno[soj iíuazatuo of 'iiiiioiotioui juau isoudnojsoj (-1) = j i—f— pro sudá n 2Í-Íf pro lichá n í-euaz&uio dí 'juuoiououj juau isoudno^oj Limita posloupnosti L19 Definice, Říkáme, že postoupnou ŕ {an} má vlastní limitu a € S, jestliže ke každému í € R+ existuje na € M takové, že pro všechna n > tíq (n £ řV) platí \aR - a\ < e. Zápis: lim an = o nebo také an a. n-too Stručný zápis definice: lim On = a Ví > 0 ano € K : Vn > n^ |a„ - a\ < e . Poznámka. Uvčdom si! Číslo n0 je funkcí proměnné e, tedy = no(t). /2 I Pošlou pnúť 1.20 Definicí!, fl.íkáme, že poshupnost {nu} má nevlastní limitu H-co, rasp. —oó, ji -Hlližo ke každému A e R existuju no 6 N takové, pro všechna u > n<) (n e platí e,, > ft", resp. < fč\ Zápis: lim ůň — +oo (au -> +oo), resp. lim ů„ — -co [Otí -t —oo) , Stměný viapis definice: liin aA = +oo ^ VÍC e K 3n0 e N : Vrc > n0 => fl» > /ť , lim íiH = -oo VJf e st 3^ e N : Vn > nu an < K . Poznámka, Uvědom si! Číslo no je funkcí proměnné K> tedy nu = n^f/v)- 1.2 J Dell ni c e. Posloupnost, která má vfastní limitu se nazývá kanvergcntní PofSloupnuHt, která není konvergentní se nazývá divergentní. .le-li lim aň s o, c £ E, říkáme, í e posloupnost {d,,} famuerpufc: jí—>i*j Je-] i Hm ťtjj = +0Oj iespr hm an = -co, říkáme, že posloupnost (rjnj} áivrvtpifc. k +QO, resp. -oo, Nei síruje-li limíiríř fikáme, í e posloupnost {o.n} o.wilujč. j5ívc:^{-[LLi][ posloupnost je tedy posloupnost, která iná hu ď nevlastní limitu neho posloupnost, jejíž limita neexistuje, Poznámka. Limitu posloupnosti hledáme vidy j tm pro n -i oo, proto můžeme stľnciie psát pouze lirnň,, místo lim (i^. 1.22 Definice. Existuje-li číslo ii^ takové, že pro všechna n > tíq mají čteny \nt-utoupuusti {rjr,} vlastnost V, jinými slovy, mají-li všechny cleny posloupnosti {nn} \ mMKKít V s výjimkou jejich konečného počtu (tedy i bez výjimky), pak říkánu1, Sr ^frfíTw vhvr,hny členy posloupnosti fa„} mají vlastnost V\ Poznámka. Připomínáme, že symbol [.r] jsme užívali pro funkci cdá tást dísia 2rc 1.2 3 Příklad, Dokažme podle definice limity, íe platí lim -- = 2. ti-t+flů Ti — 2 ňiíiíjjií: Dle definice 1.19 2™ lim -- ín+otj n — 2 _2m_ ;i - 2 - 2 < I Pošlou pnos 43. lim rwoo 2n — 7 = 0 44. lim (1 - 2n) = -oo 45. 1 + [íäzl = °* { T 4- ff -;/£J^}xiíui = ou 46. lim 2 -n n-tco 3n + 1 1 3 {l + tlF=l],l}JCTOI = 0u n2 + n-2 47, lim----— = 1 n-too n2 — 1 Vlastnosti limity postoupnosti 1.26 Věta, Jestliže pro skoro všechna n € N je ú„ = c, a € K, pak lim ů„ = a. L27 Veta. Nechť {cn} a {&„} jsou postatrpnorí* takové, že pro skoro všechna n € Pí je ari = bn. Pak lim an erisřirje, právěkdyž existuje lim ýn a ofrŕ limity jsou si rovny. n-+oo n-»00 1.28 Věta (o limitě posloupnosti vzniklých početními operacemi). Nechť lim a„ = a, lim bn — bf a, b € HTt a početní operace a + ů, a - ŕ, ti ■ ŕ, |, a"™, \/q, ti—100 n—too 7« e N, jsou definovány na množině W, Potom je lim (a„ ± 6T() — a ± ů> lim (a^ ■ ů„) = a ■ 6, lim |an| = |a|, ■n-too lim {cIt)m = úm , ti-»w lim v/a^ = v^ft, pokud pro skoro «-»» všechna n 6 N je an > 0. Poznámka. Větu 1.28 nelze užít, ob držíme-li na pravé straně rovností některý z neurčitých výrazů, tj. limitu typu 00 - 00, 0 >oo3 q( §§, V těchto případech je nutné n-té členy posloupností nejprve upravit, abychom mohli použít vhodné věty a vzorce. 1.29 Věta. Je-li lim an = 0 a posloupnost {bn} je omezená, pak n—»00 lim {an • &n) = 0. 14 Výpočet limit posloupností L30 Věta (o limitě tří posloupností). Nechť {an}, {bn} a {cn} jsou posloupnosti, pro které platí: l- « 1 1 pro a > 0. \2J lim an 0 pro \a\ < 1 1 pro a = 1 L5J Jim #n = 1 +oo pro a > 1 neexistuje pro a < -1 +oo pro r > 0 lim n = ^ 1 pro r = 0 r g JR 0 pro r < 0 n—»oo = e [Č) lim f 1 + — n-»oc \ rt J mi. c" fOproO 1 Výpočet limit posloupností Podle tvaru funkčního vzorce pro n-tý člen posloupnosti, a tím i podle postupu výpočtu, rozčleníme výpočty limit do několika typů. Pro každý typ uvedeme obecný postup řešení, vy Peší m e vzorové príklady a připojíme cvičení, Typ a Funkční vzorec pro n-tý člen posloupnosti jc lomený racionální výraz (tj. čitatel i jmenovatel jsou polynomy). Podle věty o timitČ podílu dostaneme neurčitý výraz typu g. Postup řešení: Čitatele i jmenovatete dělíme Člen po členu n cj vyšší mocninou n ve jmenovateli, Tím jednotlivé členy převedeme na nulové limity (užijenu; vzorce lim i = 0) a odstraníme tak neurčitý výraz jjf, 15 MM velké těžkosti v male a malé v žádné. (čínské přísloví) Limita a spojitost funkce Definice limity funkce III. 1 Definice (vlastní limity funkce ve vlastním bodě). Nechť c € K je hromadný bod definičního oboru funkce /. Híkárne, že funkce f má vlastní limitu L 6 R ve vlastním bodě c £ K, jestliže ke každému £ € R+ existuje í Ě R+ lak, že pro všechna x e D(/), pro která je 0 < \x-c\ < S, platí |/(i)-L| < é; zapisujeme lim f(x) = L. 3e-+c Stručný zápis definice: lim f(x) - L & to > 0 36 > 0 : Vx e D(/) A0<|r-c|<<5=* |/(x) - L| < £ . (1) III.2 Definice (vlastní limity funkce v nevlastních bodech). Nechť +oo, resp. —oo, je hromadný bod definičního oboru funkce /. ftíkáme, že funkce f má vlastní limitu L e K v nevlastním bodě +00, resp. —oo, jestliže ke každému £ e K+ existuje M G R tak, že pro všechna x € D(f) taková, že x > M, resp. x < 3^, platí \f(x) - L] < £; píšeme lim f (x) = L, resp, lim f (x) = L. Stručný zápis definice: lím f [x) = L Ve > 0 3M € K : to e D(/) M > M ^ - L| < t, (2) Z-J + CC- lim f [x) = L^Vf > 0 3M € 1 : Var € D(/) A x < M -L| < e. (3) s—t—w IIL3 Definice (nevlastní limity funkce ve vlastním bodě). NecliÉ c e R je hromadný bod definičního oboru funkce /. Říkáme, žľ funkce f má nevlastní limitu +00, resp. -oo, ve vlastním boděc € R, jestliže ke každému K e E existuje A e 1R+ tak, že pro všechna x € D(/) taková, že 0 < \x - c\ < 6, platí f[x) > /ŕ, resp. f{x) < K; píšeme lim f (x) = +oo, resp, ]imf[x) - -00. Stručný zápis definice: lim f [x) = +00 « VK € R 3<5 > 0 : Vx € D(/) A0<|z-o|<<5=> /(i) > K , (4) lim/(aO = -oooVK€R3(f > 0 : Vi E D(/} A 0 < \x-c\ < M platí f [x] > K, resp. f[x) < K; píšeme lím f (x) = +oo, resp, líra f(x) = -oo- ■r-t+OO 1-»+« Stručný zápis definice: lim f {x) — +00 VK € R 3M € R : Va; € D(/) A x > M => f{x) > K, (6) lim /(a:) — -00 <=> VK" e R 3M e R : Vt e D(/) Ai>M* /(a-) < K . (71 IIL5 Definice (jednostranné limity funkce). NíMCiiť c € R je- hromadný bod zprava. Kap, zleva, definiční hu oboru funkoí /. Říkáme, že funkce f má vlastní limitu L € R zprava nebv zUvq ve vlastním bodě c e R, jestliže kc každému e e R+ existuje ô e R+ takt Že pro väechna x 6 D(/) taková, že c < x < c+ č, resp. c - 5 < x < c, platí - L| < í; píšeme lim /(x) = L , rc&p, lim f [x) = L. Stručný zápis dennice: lim J {x) = L ^> Ve > 0 3ŕ > 0 : Vt e D(/) ac 1/[ar) - L| < £, lim /(í) = L Vr > 0 3.5 > 0 : Vi e D(/) Ac-í<:r \f{x) - L\ < f. (S) III.6 Príklad, Podle definice liinitv funkce dokažme, že lim(3x+ 1) = 4. Řešeni: Jde o -vlastní limitu ve vlastním bodě- Dle (1) lim(3i +1) = 4 o Ve > 0 36 >0 : Vx e D[f) AO < \x -1| < 5 **■ |(3* + l) - 4} < £. Hlodáme tedy k Ubovolnč zvolenému e > 0 příslušné í > 0 a to tak, že upravujeme nerovnost |(3* + 1)-4| 0 vždy najdeme 5 > 0 [S = -) takové, žľ pro všechna x e D(/) A 0 < \x - 1| O 3Í > O : Va: € D(/J A \x - c\ < á \f[x) - f[c)\ < f (0) II 1.9 Definice (jednostranné spojitosti funkce v bodě,) Nechť ľ £ D{/). fí.Ĺ kárne, Je funkce / je spojitá gpra.ua v bodě c, resp. Spojitá zleva ti boděc, jestliže ke každému ť £ Bí^ existuje S € R4' takové, Ic pro všechna j £ pro která je c < x < c + í. resp. c - S < x < c, platí \f{x) - f(c)\ < e. 111,10 Věta. Nechť c € D(/) je firamudíuj tod správa i jjfeta de/mt0), g(x) = < 0 pro i = O, ln(l - x) pro x e (0,1). lim g(x) = lim ln(l - x) = 0, lim g(x) — lim (- ln(l - x)) = 0\ tedy lim(sgn^-ln(l - a:)) = 0 = g{G), takže funkce o je spojitá v bodě 0. Závěr: Funkce o je spojitá na intervalu (-co, 1). Z příkladů 4.45a) a 4,45b) je patrné, že z nespojitosti jedné nebo několika funkcí v bodě c, z nichž je utvořena nová funkce, nevyplývá nespojitost této funkce v bodě c. (Stručné: Nespojitost se nemusí operacemi s funkcemi zachovávat.) Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu Zajímavé a užitečné vlastnosti mají funkce spojité na uzavřeném intervalu. IV.46 Věta (o vlastnostech funkce spojité na uzavřeném intervalu). Nechf f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu (a, ŕ). Pak platí: lr Wcierstrassova věta: Funkce f je omezená na intervalu {a,b}. 20 Limita a spojitost funkce 2. Weiers tras sova věta: Funkce f má globální maximum a globální minimum na intervalu (a, b). Bolzanova věta„ též věta o nulovém bod& Je-li nadto f (a) • f(b) < 0, existuje aspoň jeden bod c G (a, b) takový, ze f(c) = 0, ij. nulový bod funkce f. Věta o mezihodnotě: Je-li nadto f (a) ^ f(b)t funkce f nabývá v bodech tri-tervalu {a.b) všech hodnot f které leží mezi čísly f (a) a f(b). Grafické znázornení věty o vlastnostech funkce spojité na uzavřeném intervalu: f(b) f (a) i k /(*)] /(a) l 1 a b x a b x Vs e (a, b) je /(a) < f{x) < f(b) ttr e > je f(x) < f(c) a f(x) > f{d); číslo /(c) je globální maximum a číslo f(d) je globální minimum funkce / na intervalu {o,í), čili max /(&) = /(c) a min fix) - f(d). 21 íII Limita a spojitost funkca Vlastnosti limity funkce III. 19 Veta (o jednostranných limitách), Necht c je hromadný bod zprava i zleva definičního oboru funkce f. Fitnkce f má v bodě c limitu L, právě když má v bodě c limitu zprava i limitu zleva a platí lim f (x) - lim f [x) = L. III.20 Věta (o limitě a algebraických operacích). Nechť Jag jsou funkce, c G D'(/) 0 D'{g). Je$UiŽ& lim f(x) = L a lim g{x) = M, L, M £ R*, a početní operace L + M, L — M, L ■ M a ^ jsou definovány na množině M/(*) + 5e příslušná limita funkce na levé straně rovností neexistuje. Znamená to jen, že v takovém případě nelze větu použít a je třeba limitu funkce vypočítat jiným způsobem, napr. vhodnou úpravou matematického výrazu, kterým je funkce definována. 0 f\T\ ril ti Výčet neurčitých výrazů: oo - oo, 0 ■ co, —, -, 1 , oo , 0 do 0 IIL21 Věta. lim j(x) - 0 & lim \f(x)| = 0. 111.22 Věta. lim I- 4oo ^ Hm = 0 II 1.23 Věta, Je-li lim /(») = L ^ 0, limg(x) - 0 a Rgng{x) = sgtiLj ns«p. sgiiů(z) = -sgnL, «a jistém redukovaném okolí U'ic), potom f{x) f(x) lim í-J-f - +oo, rorflp. lim -7-7 - -00. Poznámka. Jestliže lim/fa) = L # 0 a na každém U*{c) hodnoty funkce fl mají r-ti ritená znaménka, pak limita lim —j-r neexistuje. t~*t g[x) 22 Vlastností limity funkce í TI ,24 Věta. J (í-H lim / {t) = 0 o fvnkcz g omezená na jistém redukovaném okolí l.rn(/(i) s(i))=0. 111.2 5 Vét a (o li tni tě tří f u nkcí). Necht f, $ ů h jsou funkce, pro které platí: i- /(J7) í 5 na jistém redukovaném okuli U'(c) > í. liin/(ar) = lim^í) = L. J'otom existuje i limiia lim y (i) a piaíí lim 3(1) = L. 31—I—řC ÍIL26 Věta (o náhradní funkci). tfeŕftť f (í) sr F (x) na jistém redukovaném okoli U'ici. Limita lim f (x) existuje, práve kdj/Ě esintuje limitu Um F{x) a platí lim f (x) = lun F{x). IIL27 Věta (o limitě složené funkce v bodě). Nechte e R*. Jť-Ji lim 0(2} = l é R a /utifrcc / spojitá v bode L, pak platí lim/[9(i;)! = /Clim9(T))-/(L). Poznámka. Vetu 111.27 užíváme zejména při výpočtu limit uležených, funkci těchto typů v bodá c: +00, je4i lim/(.e) = +oo . 1) lim e** = e-- /ír] J e1, je-li ÍÍm/(*> = LťR, 0, je-li lim /(ar) = -co. +oo, je-li Hm/Cí) - +oc, x-ří 2) limln/(a:) = In liro/(z) = ^ ^L, je-li j™/(a) ~ L e R"1", lim -oo( je-li lim/(2:) = 0, a pritom /(i) > 0. 3) Um/(T)^ = limer^W*'1 = Itoie**'1^ = , je-li /(*) > 0 r-4C F**C s-*c 23 III Limita a spojitost funkce Základní' limity (vzorce) = e nn um i = o - X—h-QO X U Um + Ellimfl + íc)' = e 0 pro 0 < a < 1 (T| Jim_ítr = <{ 1 pro a = 1 +00 pro ú > 1 lim - = O x—t - co a; i» fi + iV lim — e í í i -30 lim a1 = I —00 ! +00 pro O < ft< 1 1 pro a =? 1 O pro a > 1 [Ťllim 1—'r-iO rjr - 1 Lnjl + i) [|] lim--- = lnan a e R+ \{1} - i-m) x 1—1 ex — l speciálně1 [6j lim-= 1 - 1 sin z arcsin a; -1 ^£ ^ i I 1 ~ = 1 a od ní odvozené 9 lim-= 1 a 10 lim —^ 1-1 _ . rs « 1-■ _ . fi i-íO a; 1 - cos 2t 1 in- l-1, arctgi = 1 a od ní odvozená 12 lim-= 1 '-x-tO X Z grafů základních elementárních funkcí můžeme vyčíst jejich limity v některých význačných bodech. lim eT^0 lim e1 - +00 lim e"r — +00 x—>—ca lim e_í = 0 jf-t+W lim In :r - —00 lim In a; ~ +00 lim tg x = +00 lim tg x = —00 lim cotgi = -00 lim cotg z — +00 lim arctgx = —— tím arctgx = — lim arccotga: = tt lim arccotg x = 0 24 Výpočet limit funkcí Výpočet limit funkcí Pfi výpočtu limity funkce / v Lodfi ese mňžemesetkat s těmito případy: 1. r: je vlastni búd množiny D (f). a) Funkce / je spojitá v bode c. V tomto případě je lim f [x) = f (c) (viz věta T—*í III.1S) b) Funkce / není spojitá v bodě c. V tomto případě užívame vhodné věty, které vybíráme z včt IIJ.20 - IH.25 a základní limity; dospějeme-li přitom k ně-kterému typu neurčitých výravů, snažíme Si vhodnými úpravami (vytýkáním, rozkladem, rozšiřováním, krácením apod.) nahradit funkci / funkcí spojitou v bodíi r\ a pak užijeme větu 111.26. 2, c je nevlastní bod množiny D'(/), V tomto případe postupujeme jako při výpočtu limity posloupnosti a užíváme případně základní limity lim l- - 0, lim (l + I)'* = a. V případč limity v nevlastním bod S -co musíme dát pozor na znaménka. Dospejeme-li k některé f nu typu ne u vři tých výrazu, postupujeme obdobně jako v případě lhj. Poznámka. K výpočtu linuty funkce, který vede \ neurčitému výrazu typu \ nebo ^ lze také uííít ľHospitalova pravidla, s nímž sc seznámíme v kapitole IV, Poznámka, Povedc-li výpočet limity funkce v bodť k neurčitému výrazu, budeme uvádět jí?in) typ v závorkách za rovnítkem. Obdobu č jako j sni c to udělali a výpočtů limit posloupností i výpočty linii t funkcí rozčleníme do „typů11 podle tvaru funkčního předpisu, a tím i podle postupu výpočtu. Pro každý typ uvedeme obecný postup řešení, vyřešíme vzorové příklady a připojíme cvičení. Všechny dále užívané vzorce [TI- [ 12 [ najdete na straně 98. Typ u Limita racionální lomené funkce, tj. hni 77-7-7, pľičemí c € IR a Pm(is), resp, Q„{'ľ), jc polynom stupně mr resp. n, pmméíiiié x. Omluva: Kořenem polynomu M(x) budeme ro2umět kořen rovnice M(x) = 0. 1. Je-li Qn[c) # 0, pak 2. Je-li Qn{c) - 0S pak může nastat: 25 IV Derivace funkce Neni pravda, že. mime málo času, avšak pravda je, že ho hodné promarníme.. Definice derivace funkce XVA Definice, Nechť funkce / je definovaná na jistém okolí bodu xq. Říkáme, že funkce / má derivaci v bodě Xo, existuje-lí limita lim fi^i + ^ " ífeg) Tuto limitu nazýváme derivace funkce f v bodě x a a značíme /'{xq)-Poznámky, !, Derivace funkce / v hodĚ ;i0 je ííslo f'{x0) = lim /jIo + /^ ~ 2. Obdobně jc definována derivace zleim, resp, apnava, funkce f v bodě iq: ľ Ír \ - lim /fa+M-/t>0) /^í*a) - km -~-- 3. Uvedené limity mohou být vlastní nebo ue%'la$tní; podle toho pak mluvíme o vlastní ŕ i nevlastní derivaci. 4. Položímc-1 i x = j0 + h, píst;]ne derivaci vc tvaru TV.2 Věta. Funkce / má v bodě x0 derivaci /'(sco), právě kdyá má v hodí x,, derivaci zleva /i(ar0) a derivaci zprava a platí — /+Uo). Potom IV.3 Příklad. Pudle definice derivace vypočtěme derivaci funkce f{x) = ŕ -2xv bodč 2, Jíťírmí. Pod k definice IV.l - lun-:-= lim —--- ltmf/t + 2) = 2. A-íO h h h-*0 Funkce / má v bodě 2 vlastni derivaci f'{2) = % 26 e n nice derivace funkce 581. f (x) = sgnxv xc = 0 582, f{x) = {x* - 4x + -1 1 pro x ^ 0 pro x — 0 ; x§ = 0 oo— = °°+ - (0),/ ígfnisTxaau (rj),/ 583. f [x) = |ar + 3|; x0 = -3 T- = (E-):/[T = (E-)V lafnisrxaau (£—),/ 534. f (x) = | *9_4J II : z * ; m = 0 + 2 pro * > 0 x"2 pro i < 0 0 = (0)J 585, /(i) = vUli *° = 0 = (0)7/ ,oo+ = (0)!/ Isfoispcaaa (o)f/ 586. /(í) = ty [x - 2)2; í& = 2 oo— = tefnisixaau (i)J y ' 1 x pro j; > O í = (0),/ -^T pro x ^ 0 588. f{x) = \ i+íí * rn ;íc, = 0 0 pro 1 = 0 coa i—cqsíx 539. /(i)-i0 pro i íŕíT, A; € S pro í — 2ÍTJT, A: e S i = (0),/ Poznámka, Pojem derivace funkce v bodé lze rozšířit na pojem derivace funkce. IV. 11 Definice. Nechť funkce / je definována na množině D[f) c R, Označme D(f) C D{f) množinu všech bodů, ve kterých funkce / má vlastní derivaci. Je-li D{f) potom funkci, kterou je každému bodu x £ D{f) přiřazeno číslo J'{x)v nazýváme derivace funkce f a značíme /'; jejím definičním oborem je množina D(j'). Po'/námka. Uvčdom si! Derivace funkce / v hodě x0 je číslo (":?,,) c- ?.\ kdcí.tt; derivace funkce / je funkce x e D[f), přičemž H{f) C IR. 27 IV Derivace funkce Při výpočtu derivací (derivování) funkcí užíváme vzorce pro derivování nákladních elementárních funkcí a další vzorce a pravidla, která nyní uvedeme, Derivace základních elementárních funkcí [l]a' = 0 a€R = Äať*-1 cr€R>x<=R+ [3] (e*)' = e1 x e R [4] (a1)' ^ů1 lna a > 0,o ^ l.ac € R [5](lnx}'=i iéR+ [6] (logftx)' = ^ a > 0,0^1,2: e R+ [7} (sinx)' = cos x x e R [S] (cos x)' = -fiiax x e R 19) (tg*}' = ^ x e U (-! + \ + fcx) [10) (cotgx)' = x € U ONr. (A; + l)w) [11) (arcsinx)'= ^ x e (-1,1) [12J (arecosx)' - x €(-1,1) [13] (arctgx)' = ^ x € R [14) (arccotgx)' = x € R (15) (sinh x)' = cosh x x € R 116] (cosh,z)' = sinh x x € R [17) (tgh*r-5Íi [18) (cotghx)' = -^ x€R\{[)} [19| (argsinh x)' = x € R [20) (argcoshx)' = -4-y x € (l.+oo) [21] (argtghx)'= ^ x €(-1,1) [22] (argcotgh x)' = ^ x e (-oo, l) U (1, +oo) 2* Výpočet derivací funkcí Vzorce pro derivování součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, složené a inverzní funkce Nechť /, g jsou funkce, a £ 3í konst.nnta. Pak platí: [23] {f{z}±9(z))'= f'[x)±g>{z) [24] («/(*))' = af'(x) [25] (f(x) ■ (f{x))' = f(x) ■ g(x) + f{x) ■ ý(:c) Výpočet derivací funkcí Poznámky. 1. Vzorce platí, pokud e.yístují výrazy na pravé siranč. 2. Fial)radí]]ie-l] symboly / a 5 tradičními symboly u a v, pak zapisujeme vzorce [23] -[20] stručni takto: [23] (u±v)r=-vT4;v' [24] M' = au' [23] (tí - v}' -n' -v-\-v-v' 4. V následujících řešených příkladech nebudeme vždy dtislednč konkrrtnf určovat D{f) připadne /?(/'): proteze to již umíme. Derivace funkcí budou tedy potttány pro as € &U) a derivace /' bude určena pro hodnoty t £ D{f). Ve cvičeních nebude určování definičních oborů D[f) a /?(/') požadováno. ô r Vypočítanou derivaci /' nebudeme vidy důslední upravovat, a to proto, aby bylo umí n é z výsledků vyčíst postup výpočtu [tj. sledovat derivování jednotlivých sčítanců, činitelů apod) 6, Funkci derivujeme vždy podle její nezávislé proměnné, která je uvedena jako argument v iávoree za označením Tu u kec. Nemusí jít vždy o ]>rométmou x\ Např. funkci f[x) — - 3ti3, Q,iÉ R, derivujeme podle promčnné x, v tomto případe je u konstanta, tedy f'[x) = &x. Naproti tomu funkci f (a) = 4xs - Sn1, a, x e R, derivujeme podle proměnné a, v tomto prípade je ;c konstanta, tedy f (o) — — 6«.a. Výpočty derivací funkci rozmení in e do typů podle tvaru funkčního predpisu, a lim i pod Ir tiřilí vzorců. Pro každý typ vyřešíme vzorové příklady a připojíme cvičení. Všechny dále užívané vzorce [l] - [2S] najdete na sír. 14S a 149, 29 Geometrický význam derivace Geometrický význam derivace )V.83 Včta- Nechť funkce f je spojitá a má derivaci v bodč xv. Potom existuje tečna t grafu G(f) v bodě T = [xotf(xo}\ a její rovnice je t: y = f(xu) + f'(x9)(x - z^), pokud derivace f'[xa) je vlastní, a t: x = xq, pokud derivace f'(xa) je nevlastní. Tľí na grafu G {J) v bodĚ T = [rc/í^o)] neexistuje když funkce / není spojitá v bodě x$ nebo neexistuje f^xo). IV.84 Veta. Necht existuje tečna t grafu G(f) v bodě T = [xaJ{x0)\. Potom řevnice přímky n, která prochází bodera T a je kolmá k tečně ts ij. normály grafu G[f) v hodě T je ■*: V = f M - -fí-^j(x ~ pofaíé derivace ff{x\y) jc iflastní a není rovna Oj n : x = , pokud derivace /'(ío) jv rovna 0 a n : y = f[x0), pokud je \f(x0)\ = +00. Poznámka, Normála grafu G{f) v bodč T existuje, právĚ když existuje teťna grafu G{f) v bode T. IV.85 VĚta. Nechť funkce f je spojitá zprava, resp. zleva, a. md derivaci zpravat resp. zleva, v bodě x$, Potom existuje tečna í+ zprava, resp zleva, yrafu G{f) V bode T — [aľo, f(xn)\ a její rovnice je t+:y = /(arD) + J+M(x - *o) » e tou +00), ra-tp. í- ; y = + - *ú) * £ (-00, so), jíĚřAtiií derivace f'+(xů), resp. f'_(xf)), je vlastní, t+ = t-.x = xa) y € (/[zo),+oo) , jotou/ ™ +0° ň /K^ú) = -°° a í+ = L : t = :cq, y € (-00, /(so)) , jiotatd /^(xa) = -00 ů — +00. JO [V Derivace funkce $61, Tod jakým úhlem se protínají £=&A+Í3p, křivky y = x'£ a y2 — x'í e Diferenciál funkce rv\92 Vítít. Funkce f má diferenciál v bodě xq, právě když má vlastní derivaci /'(10) v bodd xt}. V tumlu případě js diferenciál df{xa) určen jednoznaěrtě vzorcem df{pa) = fM&x. (i) Uv&dom sí! Diferenciál df(xa) je funkcí pruinénné Ax> Diferenciál funkce / v Libovolném bode x e O(J') označujeme df{%) a phtí df(x)=f'{x)dx, (2) kde dii- = A.u je přírůstek {diference) nezávisí ŕ proméii ně x. V tomto případy miižeiriE: diferenciál df(x) pováhat za funkci jak protnénné tak promtnne" císr Pro a: = xq dostáváme diferenciál v bod ä xq. Je-li dána jestrí hodnota Ai, dostáváme hodnotu diferenciálu v bodě x^ pro daný přírůstek Ax. Obr. IVA: Geometrický význam diferenciálu Diferenciál funkce / se rovná diferenci (přírostku} y-Q\mé souřadnice bodu A o x ové souřadnici x& + Ax na teční í grafu funkce / v danc;n bodě [xn, f(xa}]. Prírůfit.ck (díferynce) A/(,ta) funket; / v bode x0 je dán vztahem A/(t0) = /On + Ae) -/(Tfl). (3) Diferenciál funkce V přibližných výpočtech můžeme pro dostatečně malá čísla As klást A f ^ dj, t] přírůstek A/(xo) funicce / v bod£ xg ke přibližně naLiradit diferenciál™! df{x0] funkce / v hode" x0. Pomocí diferenciálu můžeme tedy přibližně určit funkční hodnoty v okolí bodu xn> známt^li hodnotu f{xa)- Platí totiž /(tg +dz)~ f m + df (Xq) , A/W - ď/to) ■ [4] Symbol —■ čteme „je přibližně rovno". IV. 93 Příklad. Najděme přírůstek A/ a diferenciál df funkce f(x) - x2 -4 a] pro libovolnou hodnotu nezávisle premenné x a přírůstku A ar, l>) pro t0 = 10 ji Ar = 0,10- a) Podle (yj je při růste Et A j v libovolném bodč x Af{x) = /{a + Az} - /(i) - {x + Ax}2 - 4 - {x2 - 4) = = a;2 + 2^As + (As)? - 4 - x2 + 4 = 2zAz 4- (Aar)2, Podle vzorce (2) je diferenciál v libovolném bodč x dffx) = (x* - 4)' dx = 2i í£x. b) Je-li xq = 10 a As = 0,103 pak podle vxoroe (3) A/(10)=/U[J+0,10)-/(10) = = /(10,10) - /£1Q) = (10.102 -4)-(I(r-4) = 102,01 -4-100 + 4 = 2,01 nebo Lze také určit podle a) A/(10) = 2 - 10 0,10 +0,10* = 2 + 0,01 =2.01 i\ podle (1) íf/(10) = f'[10) 0,10 = 5100,10 = 2 Rozdíl mna! A/(1Q) a d/(10) pro Ax = 0,10 je 0,01. Porovnejme pro názornost následující hodnoty: /(10,1Q) ^ 10,0i3-4 = 102,01 - 4 = 98,01, /(10) = 10* — 4 = 100-4 = 96, A/(10) = 9B,0l - 06 = 2,01 pro A.r = 0,10, /(10,10) ~/(10)+d/(lQ) = 96 + 2 = 93. Rozdíl mezi hodnotou /(10t10j a přibližnou hodnotou vypočtenou ní i tím diferenciálu jc 98,01 - 9S~0,01. 32 IV Derivace funkce 870. Vypočtěte přibližně hodnoty a) vW, b) arctgl,02, c) m, d) Lg45e10', e) V/I^™> f) sin 46°, g) /C0.96), kde/(a) = (/') C D(f), nazýváme tět derivace prvního řádu nebo první derivace funkce f fi Nechť D{f") C D(f) je neprázdná množina všech bodů, vc kterých funkce /' má vlastní derivaci. Funkci, kterou je každŕmu bodu x v. množiny D[f") přiřazeno číslo [ľfa)}': nazýváme derivace druhého řádu nebo druhá derivace funkce f a značíme /" nebo /(S). Tedy f" = {/')' s definičním oborem D{f"). Obecně. Nechť n > 2, n € R a £í(/ÍTj)} C £>(/(íl"1J) je neprázdná množina všech bodů, ve kterých funkce /í"-1) má vlastní derivaci Funkci, ktorou je každému bodu ■x 2 množiny D(fin^) přiřazeno číslo (Z^1-1^))'* nazýváme derivace n-tého řádu íw.ba n-tá derivace funkce f značíme /M. Tedy = (/í"-1')' s definičním oborem 1) Zřejmě platí: D(f^) C D{Jln~l)) C ... C £>(/') C £>(/)• 2) Zavádíme derivaci nultého řádu, značíme /(0}. 3) Označení: /« /, /<') = /(=> = f, /W = /* /«, /W, .., /W, . ÍV.100 Definice. Nechť n > 0. Hodnotu funkce /fn> v bodě x0 £ £>(/('°), tj. Číslo /'"H^oJi nazývám*; u/ů-síní derivací n--tého řádu nebo vfnrfní n-4au deruiaeí funkce f v kodexy. Výpočet derivace n-tého řádu funkce provádíme tak, že postupně počítáme derivace 1, až n-tého rádu funkce. Pfi výpočtu derivace n-tého řádu soucmn dvou funkcí užíváme tzv. Lei bu i kú v vzorec značíme téí f^. Poznámky. [29] 33 Matem&ťiůká anaiý™ ] V. 71 Věta. Necht n > 0. Pro všechna čteh x € D(/W) a všechna čtsfo dři; € R p/tiíí rovnoai cTfix) = /w{a;)da:,\ fcJr; vymboi <\xn značí mocninu (dar)". V.72 Poznámka. K rovností dn/(;r) = f<-n](x)áxrt) n > 2, se dospěje takto d»/(:0 = d(ď-l/(ít)) = dí/^Wdar1-1) = t/^-^ÍJsJdť-^da: -(pít derivování se proměnná d.r považuje za konstantu, protože nezávisí na proměnně x). V,73 Definice. Nechť n > 0. Funkci /W{*o)da(" proměnně dl, dc e Ŕ, nazýváme diferenciál n-tého řádu nebo íi-íý diferenciál funkce f n bodč ,tq a. z naft n ie d Víta) My Existuje-li diferenciál rc-tého řádu funkce / v bodě £ct říkáme též, že funkce j má diferenciál n-tého řádu nebo je n-Ardí di/crenccwafcfaá v bodě V.74 Poznámky, 1. V případě n > 2 značírne diferenciál n-tého řádu funkce / v bodě :t& také \d*if(x)]XS£Xi}1 při zápisu y = f [x) též [dI+^|T=řni u konkrétní futikro rŕí '>. Z definice 5.70 a vrty 5.71, resp. z deň nite 5.73, vysvítá, piočse derivace řř-tého řádu funkce /, resp. derivace n-tého fádu funkce / v bodčac u > 2, va\aí\í tm jako podíl £í, resp. V.75 Příklad, Vypočteme diferenciál 3. řádu funkce /(*) = (3-- i)5 v bodě 2. fosení; /* (i) = -5(3 - x)\ f"(x) = 20(3 - i)3, = -60(3 - x)2, x € R d*/(aO = "60(3 - xfdx*, x e B, a tedy dJ/{2) = -50d^ Základní věty diferenciálního počtu VSta 4.46 nás informovatao zajímavých a užitečných vlastnostech funkcí spojitých na uzavřeném intervalu. Další zajímavé a užitečné vlastnosti mají funkci* spojité' na uzavřeném intervalu, pokud mají derivaci (vlastní čí nevlastní) v kaí-dém vnitrním bodě tohoto intervalu. V tomto oddílu předpokládáme, že uzavřený interval (fi>b) má nenulovou délku. V, 76 Věta (Rolleova). Nechť funkce f má tyto vlastnosti: J. jf. spojitá na. uzavřeném mtervalv, (a,o), \í. má derivaci na otevřeném intervalu (a,b), ä m - m Patom existuje aspoň jeden bod £ £ (a, b) takový, že f '(£) =0- 34 Derivace funkce Poznámka. Věta 5.76 zaručuje jen existenci aspoň jednoho vnitřního bodu intervalu, ve kterém je derivace funkce / rovna 0. Neumožňuje určení počtu fini polohy takovýchto bodů, V.77 Geometrická interpretace, Splňuje-li funkce / předpoklady Rolleovy věty, listuje aspoň jodím bod £ £ (n.b) takový, že tečna / grafu G(/) sestrojená v bodě (£;/(£)] Je rovnoběžná s osou x, protože pro směrnici kL tečnv í phif.i a a) b x 4. a Obr, 5.14: K Holičově větě b) Graf G(/) na obr. 5.14a) má jednotlivé body £1,^3, graf G[g) na obr, 5.141)) má nekonečné mnoho bodů ve kterých je jeho tečna rovnoběžná s osou .r. V.78 Věta (Lagrangeova, též o střední hodnotí nebo o diferenci (přírůstku) funkce). Nechť funkce f má tyto vlastnosti: 1. je apujitá na uzavřeném intervalu (o, 6), 2. nul derivaci na otevřeném intervalu [atb). Potom existuje aspoň jeden bod jj; 6 (a, b) takový, m - m b-a Poznámka. Lagrangeova věta je zobecněním Rolleovy věty, neobsahuje její třeli podmínku. Jestliže funkce / splňuje tuto podmínku, pak tvrzení Lagrangeovy věty je shodné s tvrzením Rolleovy věty. existuje aspoň jeden bod £ é (n., '>) rakový, že je = 0. Vztah pro derivaci /'(£) lze upravit a vyjádřit tak diferenci funkce / v bodř a: 35 Mžterrt&t ivká analýzu í V-79 Geometrická interpretace. Splňuje-ľ funkce / předpoklady Utfraugc-ovv víty, existuje aspoň jeden bod £ € (aj)) takový, Se tečna ř grafit G(/) hís-rtnijcuá v bodě |í ,/(£)] je rovnoběžná se sečnou a, procházející body A [n >/(«)] a grafu G{/). Číslo jc směrnice kt sečny * a platí ' Obr. 5,15: K Lagraugeově větě Lagimigeova vfla měla velký význam pro rozvoj diferenciálního počtu a má 11 i 11 důsledků; uvedeme dva z nich: V .KU Věta. Nechť funkce f splňuje podmínky Lágrongeovy vety a navíc jtru ?Áw.hm čivia x £ je fr(x) ý ^- Potom funkce f je prostá na infcjtuttu V.81 Věta. Funkce f jc konstantní na intervalu {oj/), právě když pro všechna ěída i <= (a, b) je ff{x) = 0, Y.ČÍ2 Věta (Cauchyova^ též zobecněná věta o střední hodnotě). NaM funkce fug mají tyto vlastnosti: f, jitou, spojitá na uzavřeném intervalu {a,b), Z, mují derivaci na otevřeném intervalu (íi, b), -přitom g'{x) jc vlastní pm každé x 0 1 1 V tomto případě nzbyla splněna podmínka lim f(x) = lim g(x) = 0 x-tc ani lim I = lim |.v(-r}| = oo- Připomeneme neurčité výrazy: ^t —, 0 ■ 00, 00 — 00 0°, ooů, l5*. 0 00 Neurčité výrazy typu - a — 0 co i* - x2 — 20r 1V.IO8 Příklad. VvpoHéuie limitu lim —--——. PiotOŽe lim f{x) = \im[z* -ŕ- 20,t) = 125 - 25 - 100 = 0 a lim 3{x) - liiii(2r2 - IQx) = 50 - 50 - 0, vede limitn lim 44 k neurčitému výrazu [-) a můžeme použil 1'Haspi t alovo pravidlo. ÍS g>(x) ~ ™* 4.t-1Q 4-5—10 20-10 ~ 10 " 2 Pňdle věty IV. 107 existuje i limita lim x'~A?_~wX * je rovna limite lim ^jg38- 38 Není moudrý ten, kdo ví mnoho, ale teti) kdo ví, čeho je třeba, Esop Aplikace diferenciálního počtu Základní poznatky Z rozsáhlé oblasti užití diferenciálního počtu jsme jíž některá z nich v předchozích kapitolách uvedli, např. určování rovnic tečny a normály grafu funkce v bodě, přibližný výpočet diference funkce v bodě, ľHospitalovo pravidlo atd, V tdto kapitole se budeme zabývat především vyšetřováním průběhu funkce, vyhledáváním globálních extrémů a řešením slovních úloh na extrémy. Nejprve uvedeme nezbytný přehled základních poznatků, bez nichž se dále neobejdeme. V celé kapitole budeme derivací funkce rozumět vlastní i nevlastní derivaci funkce. V.l Definice. Funkci f nazýváme rostoucí, resp. klesající, v bodě c € D{f)> existuje-tí redukované okolí U'(c} 6) C D(f) takové, že pro všechny body x e U*_ (c, 6) platí f{x) < /(c), resp, f [x) > f {c), a pro všechny body x € U+{c,5) platí f{x)>j{c), resp. /(x) 0, resp. f [c) < 0, pak je funkce f rostoucí, resp. klesající, v bodě c. V.3 Věta (o ryzí monotónnosti funkce na .otevřeném intervalu). Nechť funkce f má první derivaci na intervalu [a, b). Jestliže pro všechny body x 6 (a, b) je fr{x) > 0, resp. f'{x) < 0, pak je funkce f rostoucí, resp. klesající, na intervalu {a,b). Postup pri určovaní (nejdelších) Intervalu ryzí monotónnosti funkce f, obsažených v množině D (f), • Vypočteme 1. derivaci funkce /, řešíme nerovnici f (x) > 0, resp. f'(x) < 0, x € D(f'), a užijeme větu V.3. * Monotónnost v bodech x D(ff) vyšetríme podle definice V.l. V.4 Definice (ostrého lokálního extrému funkce), Říkáme, že funkce f má v bodě c € D(f) ostré lokálni maximum f [c), resp. ostré lokálni minimum f (c), existuje-lt redukované okolí U* (c) takové, že pro všechny body x f= U* (c) platí f {x) < f{c)y resp. f {x) > f {c). 39 V Aplikace diferenciálního počtu V.5 Věta (Nutná podmínka pro lokální extrém), jWíí-ri fankce f lokální extrém v bodě c a existuje-li první derivace f'(c), pak j'(c) - 0. V.6 Definice (stacionárního bodu funkce). Bod c € D[f) nazvváme stacionárním bodem funkce /, existuje-li derivace f'[c) a je-M f'{c) = 0 Poznámka. Tečna grafu funkce / ve stacionář nim bodě je rovnoběžná s osou X- V.7 Věta (1. postačující podmínka pro ostrý lokální extrém). Nechť c je stacionární bod funkce f a funkce f má % derivaci v bodě c Pak platí: Je-li f"{c) ^ 0, má funkce f ostrý lokální extrém v rode c, a to ostré lokální maximum pro fM(c) < 0 a ostré lokální minimum pro f"{c) > 0. Poznámka. Funkce / může mít lokální extrém nejen ve svých stacionárních bodech, ale též ve vnitřních bodech svého definičního oboru, ve kterých jej i 1. derivace neexistuje. V.8 Váta (2. postačující podmínka pro ostrý lokální extrém). Nechť funkce f je spojitá v bodě c a má 1. derivaci na jistém redukovaném okolí Um(c,ô), Pak platí: Je-li f'{x) < 0, ifťsp. f'\r) > 0r pro všechny body x € c/*(chí) a f'{x) > 0, resp. f'{x) < 0, pro všechny hody x € U~l (c, í), má funkce f ostré lokální minimum, resp. ostré lokální maximum, v bodůc. Je-li f'{x) > 0 pro všechny body x € U* {c, 6} nebo f {x) < 0 pro všechny body x € ř/*(c, ô), nemá funkce f lokální extrém v boděc. Stručné: Mění-li 1. derivace V znaménko ze záporného na kladné, resp. z kladného na záporné, v bodě c, pak má funkce f ostré lokální mmimtim., resp- ostré lokální maximum, v bodě c. Neměnili L derivace znaménko v bodě c, pak nemá funkce f lokální extrém u bodě c, Postup při hledání lokálních extrémů funkce f. • Vyhledáme všechny body podezřelé % extrému Funkce /, tj. (A) vnitrní body definičního oboru £>(/), v nichž je první derivace /' rovna číslu 0 (stacionární body funkce /)h (B) vnitřní body definičního oboru D(f). v nichž první derivace /' neexistuje (bodyt v nichž má graf funkce hrots body odstranitelné nespojitosti). 40 Základní poznatky • Rozhodneme o existenci a typu lokálního extrému funkce / v bodech skupiny (A) podle některé z vět V.7 a V.8 nebo na základě definice V.4 a v bodech skupiny (R) podle věty V.8f splňuje-li funkce / její předpoklady nebo na základe definice V.4. Volba vět, které užijeme, závisí na konkrétní funkci, případně na tom, zda se mají či nemají vyšetřovat další vlastností funkce. V.9 Definice (globálního extrému funkce). Říkámet íe funkce / má v bodě c e D(f) gtobální maximum f(c)l resp. globální minimum /(cj, jestliže pro všechna x e D{f) platí }{x) < /(c), resp. f {x) > f [c). Značíme max f {x}, resp. min f (x). Poznámka, Lze hovořit i o globálních extrémech funkce / na množině M C D{f). Vyše uvedené nerovnosti pak musí platit pro všechna x € M a píšeme pak /{c) = max f (x) , resp, /(c) = min f {x). Postup pro nalezení globálních extrémů funkce je uveden v dalším odstavci na str. 296. V. 10 Definice (funkce ryze konvexní, resp, ryze konkávni, v bodě), Ŕíkáme, že funkce f je ryze konvexní, resp. ryze konkávni, v bodě ct existuje-li tečna grafu Gf(/) v bodě [c,/(c)], která není rovnoběžná s osou y, a jisté redukované okolí U* [c) takové, 4e všechny body [x, f {x)] grafu G[f), pro které x € £/*(c), leží nad, resp. pod, tečnou G[f) v bodě [c,/(c)]. V. 11 Věta (o ryzí konvexitě, resp, konkavitě> funkce v bodě). Nechť funkce f má 2. derivaci v bodě c. Pak platí: Je-li f"{c) > 0, resp. f"(c) < 0, je funkce f ryze konvexní, resp, ryze konkávni, v bodě c. V. 12 Definice (funkce ryze konvexní, resp, ryze konkávni, na otevřeném intervalu). Říkáme, Že funkce f je ryze konvexní, resp, ryze konkávni, na otevřeném intervalu {a, b), jestliže všechny body [x,f{xj] grafu G{f), pro které platí a < Xi < x < x2 < b, leží pod, resp. nadt přímkou procházející body t^it/(^i)) a [*2»/{#2)l . V.13 Věta (o ryzí konvexitě, resp. ryzí konkavitě, funkce na otevřeném intervalu). Nechť funkce f má Ž. derivaci na intervalu (o,&). Je-li f"[x) > Oj resp. f"[x) < 0, pro vSechny body x € [a,b)f pak je funkce f ryze konvexní, resp. ryze konkávni) na intervalu [a,b). 41 V Aplikace diferenciálního počtu Postup při určován ŕ (nej delších) Intervaíů ryzrkonvexity, resp. ryzí koňka víty, funkce f, obsažených v množině D(f"). • Vypočteme druhou derivaci funkce /, řešíme nerovnici f"{x) > 0, resp. f"{x) < 0\ i € £>(/"), & užijeme včtu V. 13. V, 14 Definice (inrlexního bodu)* Nechť funkce / je spojitá v bodč c&mU. derivaci v bodě c. Říkám e t že funkce f má inflexi v bodě c, existujc-li levé redukovaná okolí U^_(c) takové, že funkce / je na nčm ryze konvexní a pravá redukované okolí í/+(c) takové, že funkce / je na něm ryze konkávni, nebo naopak. Pod [c, f{c)\ nazýváme infiexním bodem grafu G{f) a tečnu grafu G(f) v tomto bodě nazýváme inflezní tečnou grafu G(/). V<15 Veta (Nutná podmínka pro existenci infiexe). Mé-li funkce f inflexi v bode c a existuje-li druhá derivace f"(c)t pak f"(c) = 0^ Poznámka. Spojitá funkce může mít inflexi i v bodĚ, ve kterém neexistuje f" a přitom existuje V. 16 Včta (1, postačující podmínka pro existenci infiexe). Nech£ funkce f má drahou derivaci v bodě c a platí f"{c) — Q. Je-li f"'{c) ^ 0, pak má funkce f inflexi v bodě c Vři7 Veta (2, postaCující podmínka pro existenci inflexe), Nechť funkce f má L derivaci spojitou v bodě c a 2, derivaci na jistém redukovaném okolíU'{c,6). Pak platí: Je-li f[x) > 0, resp. f"{x} < Q, pro všechny body x e Ul(c>6) a f"(x) < 0r resp, f''[x) > 0, pro všechny x e U t (c, S)t pak má funkce f inflexi v bodec. Je-li f "(x) > 0 pro všechny body x G U'(c, á) nebo f" (x) < 0 pro všechny x £ U*{CtS}} pak funkce f nemá inflexi v bodec* Stručněl Mění-li derivace f v bodě c znaménko, má funkce f inflexi v bodě c. Nemění-li derivace /" u boděc znaménko, nemá funkce f inflexi v bodě c. Postup píl vyšetrovaní inllexe funkce f. * Vyhledáme všechny body podezřelé z infiexe funkce /, tj. (A) vnitřní body definičního oboru D{f)t v nich ž je druhá derivace f" rovna číslu 0h (B) vnitřní body definičního oboru D(f), v nichž" druhá derivace /" neexistuje a přitom existuje derivace /' a funkce / je spojitá. 42 Průběh funkce • Rozhodneme o existenci infiexe funkce / v bodech skupiny (A) podle některé z vět V.16, V.17 nebo na základě definice V. 14 a v bodech skupiny (B) podle věty V. 17 nebo na základě definice V.14. Volba vět, které užijeme^ závisí na konkrétní funkci, případně na tom, zda se mají či nemají vyšetřovat další vlastnosti funkce. V, 18 Definice (asymptoty bez směrnice). Nechť funkce / je definována aspoň na jednom jednostranném redukovaném okolí bodu c. Přímku x = c nazýváme asymptotou bez směrnice nebo vertikální asymptotou grafu funkce /, máli funkce / aspoň jednu jednostrannou limitu v bodě c nevlastní. V. 19 Definice (asymptoty se směrnicí). Nechť funkce / je definována na okolí jednoho nebo na okolích obou nevlastních bodů. Přímku y = kx + q nazýváme asymptotou se směrnicí nebo šikmou asymptotou grafu funkce /, jestliže platí lim \f(x) - {kx + —co hodnota —\ +00 hodnota /* interval(y) \ interval (y) m typ + souřadnice bodu m typ + souřadnice bodu U interval (y) n interval (y) / typ + souřadnice bodu š. as. rovnice asymptot(y) se směrnicí; v případě horizontální asymptoty h, as. ro^ ľnice +■ poloha omezenost globální maximum a minimum; hodnota + bod Označení uvedená v teto tabulce jsou vysvětlena na následující straně. 45