*7. Spoření
*
nSpořením rozumíme pravidelné ukládání určitých částek po konečně dlouhou dobu.
*
nSoučet všech úložek se nazývá uložená částka.
*
nSoučet uložené částky a příslušných úroků se nazývá částka naspořená. Ta bývá obvykle cílem
výpočtů v oblasti spoření.

nRozlišujeme několik typů spoření:
qKrátkodobé – doba tohoto spoření nepřesáhne jedno úrokové období. Úroky jsou připisovány na konci
doby spoření. Jednotlivé složky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení.
*
qDlouhodobé – doba spoření bude delší než jedno (obvykle roční) úrokové období. V rámci jednoho
úrokového období spoříme pouze jednou. Úroky se připisují na konci každého úrokového období k
naspořené částce a dále se s touto částkou úročí.
*
qKombinované – je kombinací krátkodobého a dlouhodobého spoření.
q
qPředlhůtní – danou částku ukládáme na počátku pravidelného časového intervalu
qPolhůtní – danou částku ukládáme na konci pravidelného časového intervalu

*7.1 Krátkodobé předlhůtní spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na začátku každé m-tiny roku ukládáme částku ve výši x Kč,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Jakou částku uspoříme do konce roku, jestliže ukládáme počátkem každého měsíce 1 200 Kč
při úrokové míre 9% p.a.?
n
*




*7.2 Krátkodobé polhůtní spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na konci každé m-tiny roku ukládáme částku ve výši x Kč,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Jakou částku uspoříme do konce roku, jestliže ukládáme koncem každého měsíce 1 200 Kč při
úrokové míre 9% p.a.?
n
*




*7.3 Dlouhodobé předlhůtní spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na začátku roku ukládáme částku ve výši x Kč po dobu n let,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li pravidelně počátkem každého roku částku 20 000 Kč
při roční úrokové míře 5%?
*




*7.4 Dlouhodobé polhůtní spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na konci roku ukládáme částku ve výši x Kč po dobu n let,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li pravidelně koncem každého roku částku 20 000 Kč při
roční úrokové míře 5%?
*




*7.5 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého předlhůtního spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na začátku každé m-tiny roku ukládáme částku ve výši x Kč po dobu n let,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li pravidelně počátkem každého čtvrtletí částku 5000
Kč při roční úrokové míře 5%?
*




*7.6 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého polhůtního spoření
*
nPředpoklady:
qvždy na konci každé m-tiny roku ukládáme částku ve výši x Kč po dobu n let,
qi je roční úroková sazba vyjádřena jako desetinné číslo,
qúrokové období je 1 rok.
q
q




nPříklad: Kolik naspoříme za 5 let, ukládáme-li pravidelně koncem každého čtvrtletí částku 5000 Kč
při roční úrokové míře 5%?
*




*8. Důchody
*
nPod pojmem důchod ve finanční matematice rozumíme pravidelně se opakující systém plateb.
*
nPři počítání důchodů nás bude zajímat především jeho současná hodnota (present value) PV, která je
rovna součtu všech budoucích plateb diskontovaných k dnešnímu datu.
nNěkdy se zjišťuje také budoucí hodnota (future value) důchodu, označená FV, jakožto součet
budoucích hodnot všech výplat.

nPříklad: Vymyslete, kde se s důchody, tj. s pravidelně se opakujícími platbami, setkáváte v běžném
životě.


nK pojmenování výplaty u důchodu se používá také pojem anuita.
*
nVýplatním obdobím rozumíme období mezi dvěma výplatami.
nMůže být stejně dlouhé jako úrokové období nebo může být kratší.

*Klasifikace důchodů:
*
npodle celkové doby výplat
qdůchod dočasný,
qdůchod věčný;
npodle toho, je-li výplata uskutečněna na začátku či na konci pravidelného intervalu
qdůchod předlhůtní,
qdůchod polhůtní;
npodle toho, odkdy se s výplatami začíná
qdůchod bezprostřední,
qdůchod odložený;
npodle toho, je-li výplatní období dlouhé jeden rok nebo je kratší než jeden rok
qdůchod roční,
qdůchody področní.
n
n
n
*
*
*

nPříklad: U důchodů, které jste vymysleli v předchozím příkladu, určete jejich druh.
*


*8.1 Důchody dočasné bezprostřední
*
nAnuita (výplata důchodu) je v tomto případě omezena n časovými obdobími.
n
nS vyplácením anuit ve výši a Kč se začne ihned.
n

nTyto typy důchodů budeme dále dělit takto:
qDůchod předlhůtní roční
qDůchod polhůtní roční
qDůchod předlhůtní področní
qDůchod polhůtní področní
*
*




*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy počátkem roku po dobu 5 let. S
výplatami, které činí 1 200 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a.
*

*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy počátkem roku po dobu 5 let. S
výplatami, které činí 1 200 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a.
nŘešení: Současnou hodnotu zjistíme ze vztahu
n
n
*
*
*
*Současná hodnota důchodu činí 5 455,10 Kč. Jinými slovy, abychom mohli na počátku každého roku po
dobu 5 let pobírat důchod ve výši 1 000 Kč, musíme teď složit částku 5 455,10 Kč.
*




*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy koncem roku po dobu 5 let. S
výplatami, které činí 1 200 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a.

*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy koncem roku po dobu 5 let. S
výplatami, které činí 1 200 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a.
nŘešení: Současnou hodnotu zjistíme ze vztahu
n
n
*
*
*
*   Současná hodnota důchodu činí 5195, 40 Kč.




*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy počátkem každého měsíce po dobu 5
let. S výplatami, které činí 100 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a. Úroky jsou připisovány
měsíčně.
n







*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy koncem každého měsíce po dobu 5 let.
S výplatami, které činí 100 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a. Úroky jsou připisovány
měsíčně.
n

*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu důchodu vypláceného vždy koncem každého měsíce po dobu 5 let.
S výplatami, které činí 100 Kč, začneme hned. Úroková míra činí 5% p.a. Úroky jsou připisovány
měsíčně.
n
nŘešení: Současnou hodnotu zjistíme ze vztahu
n
n
n
n
*
*
*
*   Současná hodnota daného měsíčního důchodu je v případě
*   měsíčního úročení 5 299,10 Kč




*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu věčného důchodu 1 200 Kč vypláceného
a)počátkem,
b)koncem
*    každého roku při úrokové míre 5% p.a.

*
nPříklad: Vypočtete současnou hodnotu věčného důchodu 1 200 Kč vypláceného
a)počátkem,
b)koncem
*    každého roku při úrokové míre 5% p.a.
nŘešení:
n
n
n
*
*
*
*   Současné hodnoty věčných důchodů činí 25 200 a 24 000 Kč.

nVyužití věčného důchodu:
qpři výpočtu ceny konzoly, což je obligace s časové neomezeným vyplácením kupónových plateb,
qpři výpočtu hodnoty akcie, kde se předpokládá časové neomezené vyplácení dividend.
*
*