*3. Základní pojmy ve finanční matematice
*
nFinanční matematika = souhrn matematických metod uplatněných v oblasti financí.
*
nLze ji využít například při poskytování úvěrů, při investování a také při jiných obchodních
transakcích ve finančnictví, bankovnictví a pojišťovnictví.
*
*

nFinanční gramotnost = soubor znalostí člověka nezbytných k tomu, aby finančně zabezpečil sebe a
svou rodinu s využitím finančních produktů a služeb.


nZákladním pojmem, na kterém je založena většina finančních výpočtů, je úrok.
*
nZ hlediska věřitele:  úrok = odměna za dočasnou ztrátu kapitálu a za riziko, že tento kapitál
nebude splacen v dohodnuté době a výši.
nZ hlediska dlužníka: úrok = cena za jemu poskytnutý úvěr.

nVýše úroku bývá nejčastěji uvedena v procentech za určité období pomocí úrokové míry.
*
nNapř. 5% p.a., kde zkratka p.a. pochází z latinského per annum a překládá se za rok, značí úrok ve
výši 5 procent, který bude připsán nebo zaplacen jednou za rok, obvykle buď na jeho začátku nebo na
jeho konci.

nÚrok nemusí být připisován vždy ročně, existují také jiná úroková období:
qpololetní, per semestre (p.s.),
qčtvrtletní, per quartale (p.q.),
qměsíční, per mensem (p.m.),
qdenní, per diem (p.d.).
*

nDoba splatnosti (úroková doba)  = doba, po kterou je kapitál uložen či zapůjčen.
*
nÚrokové období = doba, na jejímž začátku nebo konci je připsán úrok z vkladu (je zaplacen úrok z
úvěru).
n
n
n
*
*
*

n
nObecně nemusí být úrokové období stejně dlouhé jako doba splatnosti.
n
n
n
*
*
*

nÚročení je způsob výpočtu úroku.
*
nZ hlediska délky doby splatnosti dělíme úročení na
qjednoduché,
qsložené,
qsmíšené.
nJednoduché úročení se používá v případě, že doba splatnosti nepřekročí jedno úrokové období.
nSložené úročení se zase používá tehdy, úročíme-li přes více úrokových období.
nSmíšené úročení slouží pro případ, že dobu splatnosti lze vyjádřit jako součet celočíselného počtu
úrokových období a zbytku, který je kratší než jedno úrokové období.

nZ hlediska doby splacení úroku rozdělujeme úročení na:
qpředlhůtní (anticipativní),
qpolhůtní (dekursivní).
*
nV případě předlhůtního úročení je úrok zaplacen na začátku úrokového období.
nV případě polhůtního úročení je úrok zaplacen na konci úrokového období.
*

*4. Jednoduché úročení
nJak již bylo uvedeno dříve, úročení dělíme na polhůtní a předlhůtní.
*
nV této kapitole probereme oba způsoby úročení, v případě, že se jedná o jednoduché úročení,
podrobněji.
*

*4.1 Jednoduché polhůtní úročení
nÚrok ve výpočtech budeme označovat u.
nU jednoduchého polhůtního úročení jej lze vypočítat jako součin základního kapitálu, úrokové míry
a doby, po kterou je kapitál uložen nebo zapůjčen takto:
*u = P · i · t,
*    kde
qP je základní kapitál (výše půjčky),
qi  je roční úroková míra vyjádřená desetinným číslem
qt  je čas v letech, po který je základní kapitál uložen (půjčen).







nPříklad: Klient uložil do banky vklad ve výši 95 000 Kč dne 15.8.2018 a vybral jej i s úroky dne
31.12.2018. Jak velký byl úrok při úrokové míře 3% p.a. a použití francouzského standardu?
*
*
*







*Základní rovnice jednoduchého polhůtního úročení
*
n
*kde
qS je splatná částka,
qP je základní kapitál (výše půjčky nebo vkladu),
qi  je úroková míra vyjádřená desetinným číslem
qt  je čas v letech, po který je základní kapitál uložen (půjčen)
qp  je úroková míra v procentech
qk  je čas ve dnech, po který je základní kapitál uložen (půjčen).

nZákladní rovnice slouží k výpočtu částky, která je:
qvyplacena v případě bankovního vkladu
qsplacena v případě půjčky

*Současná a budoucí hodnota kapitálu
nHodnota peněz nezůstává v čase stejná, mění se, např. vzhledem k inflaci.
nPři výpočtech, kde potřebujeme porovnávat finanční částky v různých časech, je pravidlem vztahovat
všechny tyto částky k jedinému časovému okamžiku.
nJe-li tímto časovým okamžikem teď, nazývají se hodnoty přepočtených částek současnými hodnotami.
nJestliže jsou částky přepočítány do nějakého budoucího časového bodu, nazývají se pak jejich
hodnoty budoucími hodnotami.
*

nV případě jednoduchého úročení je tedy splatná částka S budoucí hodnotou počátečního kapitálu P.
*
nNaopak, kapitál P je současnou hodnotou splatné částky S.
*

nPro současnou hodnotu částky S dostaneme výpočtem ze vzorce
*S = P(1+it)
*   vztah
*

nPříklad: Za půl roku budeme potřebovat parcelu. Můžeme ji koupit teď za 615 000 Kč nebo za půl
roku v ceně 620 000 Kč. Která z variant je pro nás výhodnější, můžeme-li částku 615 000 Kč nyní
investovat při roční úrokové míre 3% p.a.?
*
*
*

nPříklad: Za půl roku budeme potřebovat parcelu. Můžeme ji koupit teď za 615 000 Kč nebo za půl
roku v ceně 620 000 Kč. Která z variant je pro nás výhodnější, můžeme-li částku 615 000 Kč nyní
investovat při roční úrokové míre 3% p.a.?
*
nŘešení: Porovnáme možnosti pomocí budoucí hodnoty:
n
*     S = P(1+it) = 615 000(1+0,03∙0,5) = 624 225 Kč.
*
*Budeme-li tedy 615 000 investovat, budeme mít za půl roku  624 225 Kč, za 620 000 koupíme parcelu
a 4 225 Kč nám zbyde. Je tedy výhodnější parcelu koupit až za půl roku.
*
*

*4.2 Jednoduché předlhůtní úročení
*
nV předlhůtním neboli anticipativním úročení je úrok vyplácen na začátku úrokového období.
nPříjemce kapitálu tedy nedostává celou nominální částku, ale obnos snížený o úrok.
n
nÚrok u jednoduchého předlhůtního úročení je nazýván jako diskont a je označován písmenem D.
nDiskont D lze vypočítat jako součin splatné částky, diskontní míry míry a doby, po kterou je
kapitál uložen nebo zapůjčen takto:
*D = S · d · t,
*    kde
qS je splatná částka,
qd  je diskontní míra vyjádřená desetinným číslem,
qt  je doba splatnosti v letech.




nJednoduché diskontování (tj. předlhůtní úročení) nachází uplatnění při obchodování s krátkodobými
cennými papíry.
nTypickým příkladem těchto cenných papírů jsou pokladniční poukázky a směnky, někdy k nim řadíme i
depozitní certifikáty.
n

nPříklad: Jak velká částka bude vyplacena dlužníkovi, který si vypůjčil 12 000 Kč při diskontní
míře 6% p.a. na dobu jednoho roku?
*




*5. Složené úročení
*
nSloženého úročení využíváme hlavně v odvětví dlouhodobých investic, kde se počítají úroky z úroků.
nNa rozdíl od jednoduchého úročení budeme v případě složeného úročení předpokládat, že počáteční
kapitál K0 je úročen po více let.
nÚrok bude ke vkladu připsán vždy na konci roku, a následující rok bude znovu spolu s vkladem
úročen, vzniknou tedy úroky z úroků.
nVzhledem k popsanému připisování úroků půjde o polhůtní (roční) složené úročení.
n

nPředpokládáme, že K0 je počáteční kapitál. Zajímá nás, jak se změní jeho výše za n let, jestliže
úroky jsou připisovány vždy na konci roku a další rok znovu úročeny při neměnné úrokové míře i.
n
n
n
n
nZ tabulky je zřejmé, že kapitál za n let dosáhne výše
n
*    kde n = 1,2, …

nČástky Kn , n = 1, 2. . . tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 1+i, který se nazývá
úrokovací faktor neboli úročitel.
*
nÚročitel můžeme interpretovat jako budoucí hodnotu jednotkového kapitálu na konci prvního roku.
n
n
n
*




nPříklad: Jak vzroste částka 10 000 Kč uložená na účtu po dobu 5 let při ročním složeném úročení?
Úroková míra je 10% p.a.
*
*
n
n
n
n
n
*

nPříklad: Jak vzroste částka 10 000 Kč uložená na účtu po dobu 5 let při ročním složeném úročení?
Úroková míra je 10% p.a.
*
nŘešení:  Pro výpočet použijeme vzorec
*
*
*    pro n = 5. Tj.
*
*
*    Částka 10 000 Kč vzroste za uvedených podmínek na
*    16 105,10 Kč.
*
n
n
n
n
n
*

nPříklad: Jakou částku musíme dnes složit na účet, abychom z něj za 3 roky mohli vybrat 20 000 Kč?
Úroková míra je 6% p.a.
*
n
n
n
n
n
*

nPříklad: Jakou částku musíme dnes složit na účet, abychom z něj za 3 roky mohli vybrat 20 000 Kč?
Úroková míra je 6% p.a.
*
nŘešení:  Pro výpočet použijeme vzorec
*
*
*    pro n = 3. Tj.
*
*
*    Na účet dnes musíme vložit 16 792,40 Kč.
*
n
n
n
n
n
*




nPříklad: Na kolik vzroste vklad 10 000 Kč uložený 5 roků při úrokové míře 10% p.a. se čtvrtletním
připisováním úroků?
n
*
n
n
n
n
n
*




nNejpoužívanější hodnoty m pro počet úrokových období jsou:
q1 – roční,
q2 – pololetní,
q4 – čtvrtletní,
q12 – měsíční,
q52 – týdenní,
q365 – denní.
n
*
n
n
n
n
*