PØÍKLADY NA PROCVIÈENÍ
XM2
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
Olomouc 2016
Obsah
1 Denièní obory, vlastnosti a grafy funkcí 4
2 Limita a spojitost funkce 6
3 Derivace, teèna a normála, l'Hospitalovo pravidlo 8
4 Prùbìh funkce a globální extrémy funkce 9
5 Neurèité integrály 10
6 U¾ití integrálního poètu 11
1 Denièní obory, vlastnosti a grafy funkcí
Pøíklad 1.1 Urèete denièní obory funkcí:
a) f(x) = 3x−4
x2−4x
[R \ {0, 4}]
b) f(x) = log 1
x−3 [(3, ∞)]
c) f(x) = x+2
3−x [ −2, 3)]
d) f(x) = 1√
x−5
+ 3x√
3−2x
[∅]
e) f(x) =
√
8 + 2x2 [R]
f) f(x) =
√
x2 − 3x + 2 [(−∞, 1 ∪ 2, ∞)]
g) f(x) = ln 2x−1
3+x (−∞, −3 ∪ 1
2, ∞
h) f(x) = log (x2 − x − 5) [(−∞, −2 ∪ 3, ∞)]
i) f(x) = ln −6e3x−1
x+5 [(−∞, −5)]
j) f(x) = 3+2 sin2 (3x−4)
5e2x−8 [R]
Pøíklad 1.2 Rozhodnìte, zda je funkce sudá èi lichá:
a) f(x) = 2−x2
[sudá]
b) f(x) = x + 1
x2 [ani sudá ani lichá]
c) f(x) = x
3+x2 [lichá]
d) f(x) = ln 1−x
1+x [lichá]
e) f(x) = |x|
|x|+2 [sudá]
f) f(x) = |x| − 2x2 [sudá]
g) f(x) = 3−x2
[sudá]
Pøíklad 1.3 Naèrtnìte grafy funkcí a urèete: typ funkce, její D(f), H(f), paritu, zda je funkce monotónní,
prostá, omezená a zda má globální extrémy.
a) f(x) = 3x − x2
b) f(x) = log1
2
x
c) f(x) = −3
x
d) f(x) = 2 sin x
e) f(x) = 4
√
x
f) f(x) = −2x5
g) f(x) = 3x
h) f(x) = 4 − x
Pøíklad 1.4 Sestrojte grafy periodických funkcí
a) f(x) =
−x3 pro x ∈ (−1, 1)
0 pro x = −1
; primitivní perioda p(0) = 2























−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
x
y























4
b) f(x) = 3
2 |x| pro x ∈ −2, 2); primitivní perioda p(0) = 4






















 −4 −2 2 4
3
x
y























5
2 Limita a spojitost funkce
Pøíklad 2.1 Vypoèítejte limity.
a) lim
x→−3
x2 − 9
x2 + x − 6
6
5
b) lim
x→7
√
x + 2 − 3
x2 − 6x − 7
1
48
c) lim
x→5
x2 − 20
(x − 5)2 [+∞]
d) lim
x→∞
6x + 7
5x8 − 9x3
−
x3 − 6x6
2 + x3
[+∞]
e) lim
x→2
x2 − 4
x2 + x − 6
4
5
f) lim
x→6
x − 6
√
x + 3 − 3
[6]
g) lim
x→3
x2 + 2
x − 3
[neexistuje]
h) lim
x→4
x2 − 2x − 8
x2 − 5x + 4
[2]
i) lim
x→4
x2 − 20
(x − 4)2 [−∞]
j) lim
x→∞
5x3 − 4x
7x + 2
−
6x + 1
x3 + 5
[+∞]
Pøíklad 2.2 Pojednejte o spojitosti funkcí a sestrojte jejich graf.
a) f(x) =
10 pro x = −5
x2−25
x+5 pro x = −5





























−5 5
−5
−10
−15
5
10
x
y
bod -5 je bod odstranitelné nespojitosti
f je spojitá na intervalech (−∞, −5) a (−5, ∞)





























6
b) f(x) =
x pro |x| ≤ 1
1 pro |x| > 1





























−2 −1 1
−2
−1
2
x
y
-1 je bod nespojitosti I. druhu se skokem 2
f je spojitá na intervalech (−∞, −1) a −1, ∞)





























c) f(x) = 1
x + 4x2




























−2 2 4
−5
5
10
x
y
0 je bod nespojitosti II. druhu
f je spojitá na intervalech (−∞, 0) a (0, ∞)




























7
3 Derivace, teèna a normála, l'Hospitalovo pravidlo
Pøíklad 3.1 K dané funkci f urèete její první derivaci, tj. f'.
a) f(x) = 3x4 cos x f (x) = 3x3 (4 cos x − x sin x)
b) f(x) = 2ex
x2−4
f (x) =
2ex
(x2−4−2x)
(x2−4)2
c) f(x) = 6
(x3−5)2 f (x) = −36x2
(x3−5)3
d) f(x) = tg 2
x
4
f (x) = −8
(tg 2
x )
3
x2·cos2 2
x
e) f(x) = 1 + ln2
x f (x) = ln x
x
√
1+ln2
x
f) f(x) = (sin x)x2
f (x) = x (sin x)x2
(2 ln sin x + x cotg x)
g) f(x) = 1
4 ln x2−1
x2+1
f (x) = x
x4−1
h) Urèete f (−1) pro funkci f(x) = 1
x + 3x3. [f (−1) = 12]
Pøíklad 3.2 Urèete rovnici teèny t a normály n grafu funkce f v bodì T.
a) f(x) = 1
2x4 − 1
x ; T = [1; ?]
t : y = 3x − 7
2
n : y = −1
3x − 1
6
b) f(x) = x2 − 4; T = [0; ?]
t : y = −4
n : x = 0
Pøíklad 3.3 U¾itím l'Hospitalova pravidla spoètìte dané limity.
a) lim
x→0
ex − 1 + sin x
x · cosx
[2]
b) lim
x→1+
5 ln (x − 1)
ln (2x − 2)
[5]
c) lim
x→0
ex − e−x − 2x
x − sin x
[2]
8
4 Prùbìh funkce a globální extrémy funkce
Pøíklad 4.1 Vy¹etøete prùbìh funkce, naèrtnìte její graf a napi¹te, zda je funkce omezená, prostá
a zda má globální extrémy.
a) f(x) = 4x3−x4
5
























−2 32−1
−1
27
5
−48
5
16
5
x
y
























b) f(x) = x
4−x2























2−2
3
−3
x
y























Pøíklad 4.2 Najdìte globální extrémy funkce f(x) = 4x3−x4
5 na intervalu
a) 2, 4
Srovnejte s grafem funkce z pøíkladu 1 a).
b) −1, 2
a) globální minimum -48
5 v bodì -2
globální maximum 27
5 v bodì 3
b) globální minimum -1 v bodì −1
globální maximum 16
5 v bodì 2
9
5 Neurèité integrály
Pøíklad 5.1 Linearita + tabulkové integrály
a)
x3 cos x − 2x2
x3
+
4
sin2
x
dx [sin x − 2 ln |x| − 4 cotg x + c]
b)
4x3 − 2x + 6x · 3x + 5
x
dx
4x3
3
− 2x + 6
3x
ln 3
+ 5 ln |x| + c
c)
7
√
9 − x2
+
2
3 + x2
dx 7 arcsin
x
3
+
2
√
3
arctg
x
√
3
+ c
Pøíklad 5.2 Metoda per partes
a) (x − 5) ln x dx
x2
2
− 5x ln x −
x2
4
+ 5x + c
b) (2x − 3) cos x dx [(2x − 3) sin x + 2 cos x + c]
c) 4x − 3x2
ex
dx −3x2
+ 10x + 2 ex
+ c
d) 3x − 5x2
cos x dx 10 + 3x − 5x2
sin x + (3 − 10x) cos x + c
e) e4x
sin x dx
e4x
17
(4 sin x − cos x) + c
Pøíklad 5.3 Substituèní metoda
a)
dx
3 + 4x2
1
2
√
3
arctg
2x
√
3
+ c
b)
x2
3
(1 + 4x3)2
dx
1
4
3
1 + 4x3 + c
c)
dx
4 − 2x − 5
2
2
1
2
arcsin
2x − 5
2
2
+ c
d)
7 sin x
5
√
cos3 x
dx −
35
2
5
√
cos2 x + c
e)
6dx
x2 + 2x + 7
√
6 arctg
x + 1
√
6
+ c
10
6 U¾ití integrálního poètu
Pøíklad 6.1 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkou y = x2 − 6x + 5, osou x v
intervalu 0; 6 a pøímkami x=0 a x=6.
P = 151
3 j2
Pøíklad 6.2 Urèete obsah P rovinného obrazce omezeného grafy funkcí y = 4 − x2 a y = x2 − 2x.
P = 9 j2
Pøíklad 6.3 Urèete obsah P rovinného obrazce omezeného èarami 2y = x2 a 2x + 2y − 3 = 0.
P = 51
3 j2
Pøíklad 6.4 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného èarami y = x3, x=0, x=2 a y=0.
Urèete objem V tìlesa, které vznikne rotací tohoto obrazce kolem osy x.
P = 4 j2 ; V = 182
7π j3
Pøíklad 6.5 Vypoèítejte obsah P vy¹rafovaného obrazce a objem V dutého rotaèního tìlesa, které
vznikne rotací obrazce kolem osy x.
P = 311
3 j2 ; V = 248 2
16π j3
3−2 21−1
9
−3
y = x2 + 2
y = 9 − x2
x
y
11
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
Pøíklady na procvièení
Vydala Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
Jeremenkova 1142/42, 772 00 Olomouc
www.mvso.cz
tel./fax: +420 587 332 311
Vytiskl Vydavatel
Nová Ulice 560/404
www.vydavatel.cz
+420 777 666 555
Zdrojové umístìní URL: http://www.adresa.cz/dokument.pdf
Text nepro¹el jazykovou úpravou.
Gracký návrh obálky zpracoval Jméno Pøijmení
1. vydání
c Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
ISBN: 978-1-56619-909-4