Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
INTEGRÁLNÍ POÈET
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
RNDr. Vratislava Mo¹ová, CSc.
c Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
Autor: RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
RNDr. Vratislava Mo¹ová, CSc.
Recenzoval: Prof. RNDr. Irena Rachùnková, DrSc.
Olomouc
978-1-56619-909-4
INTEGRÁLNÍ POÈET
Øe¹ené pøíklady
• Neurèitý integrál
• Urèitý integrál
• Aplikace integrálního poètu
3
P1 P2
1 1 22
x
4
2
1
y
Pøedmluva
Skripta þIntegrální poèetÿ jsou urèena studentùm prezenèní i kombinované formy studia na Moravské
vysoké ¹kole Olomouc, mohou v¹ak poslou¾it v¹em studentùm v jejich¾ uèebních plánech je zahrnuta
matematická analýza. Pøedpokladem efektivního vyu¾ití skript je v¹eobecný matematický pøehled a
alespoò základní znalost diferenciálního poètu.
Skripta jsou rozèlenìna do tøí kapitol, které na sebe logicky navazují. Ka¾dá kapitola obsahuje sadu
øe¹ených pøíkladù, na nich¾ je názornì ilustrován postup výpoètu základních typových úloh a jsou
uvedeny matematické obraty, které se pøi øe¹ení nejèastìji u¾ívají. Celkem je ve skriptech vyøe¹eno
130 pøíkladù. Pøíklady jsou èíslovány v ka¾dé kapitole zvlá¹», první èíslo oznaèuje kapitolu. Pro lep¹í
orientaci je konec pøíkladu oznaèen symbolem .
Uvìdomte si, ¾e øe¹ené pøíklady nelze jen pouze èíst, nýbr¾ je nutné podrobnì je propoèítat a porozumìt
jim. Podrobné prostudování a pochopení postupu øe¹ení typových úloh vede k osvojení dùle¾itých
návykù a ke zvý¹ení poètáøské dovednosti a zruènosti, které jsou nezbytné k dosa¾ení správných
výsledkù.
Aby studium bylo dostateènì efektivní doporuèujeme:
− zopakovat základní poznatky
− samostatnì propoèítat co nejvíce pøíkladù
Zdùrazòujeme, ¾e nejcennìj¹í je samostatná práce ètenáøe.
Málo chyb, vytrvalost a hodnì tvùrèí zábavy
pøejí autorky
Podìkování
Vøele a upøímnì dìkujeme recenzentce Prof. RNDr. Irenì Rachùnkové, DrSc. z PøF UP Olomouc, její¾
cenné rady pøispìly ke zkvalitnìní tìchto skript.
Je nám milou povinností podìkovat panu Martinu Cve¹provi za vyhotovení obrázkù, peèlivé pøepsání
a celkovou úpravu textu.
autorky
Obsah
Pøedmluva
1 Neurèitý integrál 7
2 Urèitý integrál 21
3 Aplikace integrálního poètu 26
a) Geometrické aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
b) Dal¹í aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Doporuèená literatura 69
Seznam obrázkù 70
1 Neurèitý integrál
Pro pøípustná x ∈ R vypoèítejte neurèité integrály.
Tabulkové integrály a linearita integrálu
Pøíklad 1.1 x3
− 3
√
x +
1
3
√
x
+
1
x3
+ 3 dx
Øe¹ení
x3
− 3
√
x +
1
3
√
x
+
1
x3
+ 3 dx = x3
− x
1
3 + x−1
3 + x−3
+ 3 dx =
=
x4
4
−
x
4
3
4
3
+
x
2
3
2
3
+
x−2
−2
+ 3x + c =
1
4
x4
−
3
4
3
√
x4 +
3
2
3
√
x2 −
1
2x2
+ 3x + c
Pøíklad 1.2
2x5 − 4x + 7
x
dx
Øe¹ení
2x5 − 4x + 7
x
dx = 2
x5
x
dx − 4
x
x
dx + 7
1
x
dx = 2 x4
dx − 4 1 dx + 7
1
x
dx =
= 2
x5
5
− 4x + 7 ln |x| + c
Pøíklad 1.3
2x3 + 3 4
√
x + 2
√
x
dx
Øe¹ení
2x3 + 3 4
√
x + 2
√
x
dx = 2x
5
2 + 3x−1
4 + 2x−1
2 dx = 2
x
7
2
7
2
+ 3
x
3
4
3
4
+ 2
x
1
2
1
2
+ c =
=
4
7
√
x7 + 4
4
√
x3 + 4
√
x + c
Pøíklad 1.4 (2x
− 5ex
) dx
Øe¹ení
(2x
− 5ex
) dx =
2x
ln 2
− 5ex
+ c
Pøíklad 1.5
4 −
√
4 − x2
√
4 − x2
dx
Øe¹ení
4 −
√
4 − x2
√
4 − x2
dx =
4
√
4 − x2
− 1 dx = 4 arcsin
x
2
− x + c
7
Pøíklad 1.6
3
sin2
x
+
2
cos2 x
dx
Øe¹ení
3
sin2
x
+
2
cos2 x
dx = −3 cotg x + 2 tg x + c
Pøíklad 1.7 3ex
2 − e−x
dx
Øe¹ení
3ex
2 − e−x
dx = 6ex
− 3e0
dx = (6ex
− 3) dx = 6ex
− 3x + c
Pøíklad 1.8 2x2
− 3
2
dx
Øe¹ení
2x2
− 3
2
dx = 4x4
− 12x2
+ 9 dx =
4
5
x5
− 4x3
+ 9x + c
Pøíklad 1.9 (π + 1)xπ
−
1 − e
xe
dx
Øe¹ení
(π + 1)xπ
−
1 − e
xe
dx = (π + 1)xπ
− (1 − e)x−e
dx =
= (π + 1) ·
xπ+1
π + 1
− (1 − e)
x−e+1
−e + 1
+ c = xπ+1
− x1−e
+ c
Pøíklad 1.10
4
√
6 − x2
−
3
2 + x2
dx
Øe¹ení
4
√
6 − x2
−
3
2 + x2
dx = 4 arcsin
x
√
6
−
3
√
2
arctg
x
√
2
+ c
Pøíklad 1.11
3 sin2
x − 8 cos2 x
4 cos2 x
dx
Øe¹ení
3 sin2
x − 8 cos2 x
4 cos2 x
dx =
3
4
sin2
x
cos2 x
dx −
8
4
cos2 x
cos2 x
dx =
3
4
1 − cos2 x
cos2 x
dx − 2 1 dx =
=
3
4
1
cos2 x
dx −
3
4
1 dx − 2 1 dx =
3
4
tg x −
3
4
x − 2x + c =
3
4
tg −
11
4
x + c
8
Pøíklad 1.12
x2 − 6
x2 + 4
dx
Øe¹ení
x2 − 6
x2 + 4
dx =
x2 + 4 − 4 − 6
x2 + 4
dx =
x2 + 4
x2 + 4
−
10
x2 + 4
dx = 1 −
10
x2 + 4
dx =
= x − 10 ·
1
2
arctg
x
2
+ c = x − 5 arctg
x
2
+ c
Metoda per partes
Pøíklad 1.13 (3 − 2x) ex
dx
Øe¹ení
(3 − 2x) ex
dx =
u = 3 − 2x v = ex
u = −2 v = ex
= (3 − 2x)ex
− −2ex
dx = (3 − 2x)ex
+ 2 ex
dx =
= (3 − 2x)ex
+ 2ex
+ c = (5 − 2x)ex
+ c
Pøíklad 1.14 2 +
3x
4
cos x dx
Øe¹ení
2 +
3x
4
cos x dx =
u = 2 + 3x
4 v = cos x
u = 3
4 v = sin x
= 2 +
3x
4
sin x −
3
4
sin x dx =
= 2 +
3x
4
sin x −
3
4
· (− cos x) + c = 2 +
3x
4
sin x +
3
4
cos x + c
Pøíklad 1.15 (3x − 7) ln x dx
Øe¹ení
(3x − 7) ln x dx =
u = ln x v = 3x − 7
u = 1
x v = 3x2
2 − 7x
=
3x2
2
− 7x · ln x −
1
x
·
3x2
2
− 7x dx =
=
3x2
2
− 7x · ln x −
3x
2
− 7 dx =
3x2
2
− 7x ln x −
3x2
4
+ 7x + c
Pøíklad 1.16 (3x2
+ 5) ln x dx
Øe¹ení
(3x2
+ 5) ln x dx =
u = ln x v = 3x2
+ 5
u = 1
x v = x3
+ 5x
= (x3
+ 5x) ln x −
1
x
(x3
+ 5x) dx =
= (x3
+ 5x) ln x − (x2
+ 5) dx = (x3
+ 5x) ln x −
x3
3
− 5x + c
9
Pøíklad 1.17 (x2
+ 5x − 7)ex
dx
Øe¹ení
(x2
+ 5x − 7)ex
dx =
u = x2
+ 5x − 7 v = ex
u = 2x + 5 v = ex
= (x2
+ 5x − 7)ex
− (2x + 5) · ex
dx =
=
u = 2x + 5 v = ex
u = 2 v = ex
= (x2
+ 5x − 7)ex
− (2x + 5)ex
− 2ex
dx =
= (x2
+ 5x − 7)ex
− (2x + 5)ex
+ 2ex
+ c = (x2
+ 3x − 10)ex
+ c
Pøíklad 1.18 6 − 3x −
x2
2
sin x dx
Øe¹ení
6 − 3x −
x2
2
sin x dx =
u = 6 − 3x − x2
2 v = sin x
u = −3 − x v = − cos x
=
= 6 − 3x −
x2
2
· (− cos x) − −(3 + x) · (− cos x) dx =
= 6 − 3x −
x2
2
· (− cos x) − (3 + x) · cos x dx =
u = 3 + x v = cos x
u = 1 v = sin x
=
=
x2
2
+ 3x − 6 · cos x − (3 + x) sin x − 1 · sin x dx =
=
x2
2
+ 3x − 6 · cos x − (3 + x) sin x + sin x dx =
=
x2
2
+ 3x − 6 · cos x − (3 + x) sin x − cos x + c =
x2
2
+ 3x − 7 cos x − (3 + x) sin x + c
Pøíklad 1.19 (6x − 5) ln2
x dx
Øe¹ení
(6x − 5) ln2
x dx =
u = ln2
x v = 6x − 5
u = 2
x ln x v = 6x2
2 − 5x
= (3x2
− 5x) ln2
x − 2 ln x ·
1
x
(3x2
− 5x) dx =
= (3x2
− 5x) ln2
x − 2 (3x − 5) ln x dx =
u = ln x v = 3x − 5
u = 1
x v = 3x2
2 − 5x
=
= (3x2
− 5x) ln2
x − 2
3x2
2
− 5x ln x −
1
x
3x2
2
− 5x dx =
10
= (3x2
− 5x) ln2
x − 2
3x2
2
− 5x ln x + 2
3x
2
− 5 dx =
= (3x2
− 5x) ln2
x − (3x2
− 10x) ln x + 2
3x2
4
− 5x + c =
= (3x2
− 5x) ln2
x + (10x − 3x2
) ln x +
3x2
2
− 10x + c
Substituèní metoda
Pøíklad 1.20 2xe2−x2
dx
Øe¹ení
2xe2−x2
dx =
2 − x2
= u
−2x dx = du
2x dx = −du
= eu
· (−du) = − eu
du = −eu
+ c = −e2−x2
+ c
Pøíklad 1.21
x2
2
5 + 2x3 4
dx
Øe¹ení
x2
2
5 + 2x3 4
dx =
5 + 2x3
= u
6x2
dx = du
x2
dx = du
6
=
1
2
u4 du
6
=
1
12
u4
du =
1
12
u5
5
du =
1
60
5 + 2x3 5
+ c
Pøíklad 1.22
x
3
(2 − x2)2
dx
Øe¹ení
x
3
(2 − x2)2
dx =
2 − x2
= u
−2x dx = du
x dx = −du
2
=
−du
2
3
√
u2
=
−1
2
u−2
3 du =
−1
2
u
1
3
1
3
+ c = −
3
2
3
√
u + c =
= −
3
2
3
2 − x2 + c
Pøíklad 1.23 sin x ·
√
cos3 x dx
Øe¹ení
sin x ·
√
cos3 x dx =
cos x = u
− sin x dx = du
sin x dx = −du
=
√
u3 · (−du) = − u
3
2 du = −
u
5
2
5
2
+ c =
= −
2
5
√
cos5 x + c
11
Pøíklad 1.24
2 cotg x
sin2
x
dx
Øe¹ení
2 cotg x
sin2
x
dx =
cotg x = u
− 1
sin2 x
dx = du
1
sin2 x
dx = −du
= 2 u (−du) = −2
u2
2
+ c = − cotg2
x + c
Pøíklad 1.25
5
x ln2
x
dx
Øe¹ení
5
x ln2
x
dx =
ln x = u
1
x dx = du
= 5
du
u2
= 5 u−2
du = 5
u−1
−1
+ c =
−5
u
+ c =
−5
ln x
+ c
Pøíklad 1.26
3ex
2 + 5ex
dx
Øe¹ení
3ex
2 + 5ex
dx =
2 + 5ex
= u
5ex
dx = du
ex
dx = du
5
= 3
du
5
u
=
3
5
du
u
=
3
5
ln |u| + c =
3
5
ln (2 + 5ex
) + c
Pøíklad 1.27 5x cos
3x2
4
+ 5 dx
Øe¹ení
5x cos
3x2
4
+ 5 dx =
3x2
4 + 5 = u
6x
4 dx = du
x dx = 2
3 du
= 5 ·
2
3
cos u du =
10
3
sin u + c =
10
3
sin
3x2
4
+ 5 + c
Pøíklad 1.28
(arctg x)2
1 + x2
dx
Øe¹ení
(arctg x)2
1 + x2
dx =
arctg x = u
1
1+x2 dx = du
= u2
du =
u3
3
+ c =
1
3
(arctg x)3
+ c
Pøíklad 1.29
2x2
cos2 (3 + x3)
dx
Øe¹ení
2x2
cos2 (3 + x3)
dx =
3 + x3
= u
3x2
dx = du
x2
dx = 1
3 du
= 2 ·
1
3
du
cos2 u
=
2
3
tg u + c =
2
3
tg 3 + x3
+ c
12
Pøíklad 1.30 e2 cos x
sin x dx
Øe¹ení
e2 cos x
sin x dx =
2 cos x = u
−2 sin x dx = du
sin x dx = −1
2 du
= −
1
2
eu
du = −
1
2
eu
+ c = −
1
2
e2 cos x
+ c
Pøíklad 1.31
2 sin x
1 − 4 cos x
dx
Øe¹ení
2 sin x
1 − 4 cos x
dx =
1 − 4 cos x = u
4 sin x dx = du
2 sin x dx = du
2
=
du
2
u
=
1
2
ln |u| =
1
2
ln |1 − 4 cos x| + c
Pøíklad 1.32
3 (arccos x)2
√
1 − x2
dx
Øe¹ení
3 (arccos x)2
√
1 − x2
dx =
arccos x = u
−1√
1−x2
dx = du
1√
1−x2
dx = −du
= −3 u2
du = −3
u3
3
+ c = −u3
+ c =
= − (arccos x)3
+ c
Pøíklad 1.33
dx
cos2 x tg x
Øe¹ení
dx
cos2 x tg x
=
tg x = u
1
cos2 x
dx = du
=
du
u
= ln |u| + c = ln |tg x| + c
Pøíklad 1.34
5
x
ln3
2x dx
Øe¹ení
5
x
ln3
2x dx =
ln 2x = u
2 1
2x dx = du
dx
x = du
= 5 u3
du =
5u4
4
+ c =
5
4
ln4
2x + c
13
U¾ití vzorce f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + c, a = 0
Pøíklad 1.35 (7 + 3x)4
dx
Øe¹ení
(7 + 3x)4
dx =
1
3
(7 + 3x)5
5
+ c =
1
15
(7 + 3x)5
+ c
Pøíklad 1.36
6
3
(2 − x)4
dx
Øe¹ení
6
3
(2 − x)4
dx = 6 (2 − x)−4
3 dx = 6 ·
1
−1
(2 − x)−1
3
−1
3
+ c =
18
3
√
2 − x
+ c
Pøíklad 1.37
4
3 − 2x
dx
Øe¹ení
4
3 − 2x
dx = 4
1
3 − 2x
dx = 4 ·
1
−2
ln |3 − 2x| + c = −2 ln |3 − 2x| + c
Pøíklad 1.38 2e4+3x
dx
Øe¹ení
2e4+3x
dx = 2 ·
1
3
e4+3x
+ c =
2
3
e4+3x
+ c
Pøíklad 1.39 3−1
6
x
dx
Øe¹ení
3−1
6
x
dx =
1
−1
6
3−1
6
x
ln 3
+ c = −6
3−1
6
x
ln 3
+ c
Pøíklad 1.40 sin 5 −
3
4
x dx
Øe¹ení
sin 5 −
3
4
x dx =
1
−3
4
· − cos 5 −
3
4
x + c =
4
3
cos 5 −
3
4
x + c
14
Pøíklad 1.41
7
cos2 2 + 3
2x
dx
Øe¹ení
7
cos2 2 + 3
2x
dx = 7 ·
1
3
2
tg 2 +
3
2
x + c =
14
3
tg 2 +
3
2
x + c
U¾ití vzorce
f (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + c, f(x) = 0
Pøíklad 1.42
5
5x − 4
dx
Øe¹ení
5
5x − 4
dx = ln |5x − 4| + c
Pøíklad 1.43
3
5 − 6x
dx
Øe¹ení
3
5 − 6x
dx = 3 ·
1
−6
−6
5 − 6x
dx = −
1
2
ln |5 − 6x| + c
Pøíklad 1.44
4x2
2 − 3x3
dx
Øe¹ení
4x2
2 − 3x3
dx = 4 ·
1
−9
−9x2
2 − 3x3
dx = −
4
9
ln 2 − 3x3
+ c
Pøíklad 1.45
e2x − e−2x
e2x + e−2x
dx
Øe¹ení
e2x − e−2x
e2x + e−2x
dx =
1
2
2 e2x − e−2x
e2x + e−2x
dx =
1
2
ln e2x
+ e−2x
+ c
Pøíklad 1.46
sin x
5 − 2 cos x
dx
Øe¹ení
sin x
5 − 2 cos x
dx =
1
2
2 sin x
5 − 2 cos x
dx =
1
2
ln (5 − 2 cos x) + c
15
Pøíklad 1.47
2 cotg x
3 cos2 x
dx
Øe¹ení
2 cotg x
3 cos2 x
dx =
2
3
dx
tg x · cos2 x
=
2
3
dx
cos2 x
tg x
= ln |tg x| + c
Pøíklad 1.48
dx
(1 + x2) arctg x
Øe¹ení
dx
(1 + x2) arctg x
=
dx
1+x2
arctg x
= ln |arctg x| + c
U¾ití vzorce
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ c, a > 0
Pøíklad 1.49
dx
16 + x2
Øe¹ení
dx
16 + x2
=
dx
42 + x2
=
1
4
arctg
x
4
+ c
Pøíklad 1.50
dx
x2
4 + 5
Øe¹ení
dx
x2
4 + 5
=
x
2 = u
1
2 dx = du
dx = 2 du
=
2du
u2 +
√
5
2 =
2
√
5
arctg
u
√
5
+ c =
2
√
5
arctg
x
2
√
5
+ c
Pøíklad 1.51
dx
(2x − 3)2
+ 4
Øe¹ení
dx
(2x − 3)2
+ 4
=
2x − 3 = u
2 dx = du
dx = du
2
=
1
2
du
u2 + 22
=
1
2
·
1
2
arctg
u
2
+ c =
1
4
arctg
2x − 3
2
+ c
Pøíklad 1.52
dx
x2 + 6x + 18
Øe¹ení
dx
x2 + 6x + 18
=
dx
(x + 3)2
+ 9
=
x + 3 = u
dx = du
=
du
u2 + 32
=
1
3
arctg
u
3
+ c =
1
3
arctg
x + 3
3
+ c
16
Pøíklad 1.53
dx
x2 + 5x + 10
Øe¹ení
dx
x2 + 5x + 10
=
dx
x + 5
2
2
+ 15
4
=
x + 5
2 = u
dx = du
=
du
u2 + 15
4
2 =
1
15
4
arctg
u
15
4
+ c =
=
2
√
15
arctg
2 x + 5
2√
15
+ c =
2
√
15
arctg
2x + 5
√
15
+ c
Pøíklad 1.54
dx
4x2 + 4x + 5
Øe¹ení
dx
4x2 + 4x + 5
=
dx
(2x + 1)2
+ 4
=
2x + 1 = u
2dx = du
dx = du
2
=
1
2
du
u2 + 22
=
1
2
·
1
2
arctg
u
2
+ c =
=
1
4
arctg
2x + 1
2
+ c
U¾ití vzorce
1
√
a2 − x2
dx = arcsin
x
a
+ c, a > 0
Pøíklad 1.55
dx
√
5 − x2
Øe¹ení
dx
√
5 − x2
= arcsin
x
√
5
+ c
Pøíklad 1.56
dx
√
16 − 25x2
Øe¹ení
dx
√
16 − 25x2
=
5x = u
5 dx = du
dx = du
5
=
1
5
du
√
42 − u2
=
1
5
arcsin
u
4
+ c =
1
5
arcsin
5x
4
+ c
Pøíklad 1.57
5dx
3 9 − x2
16
Øe¹ení
5dx
3 9 − x2
16
=
5
3
dx
9 − x2
16
=
x
4 = u
1
4 dx = du
dx = 4 du
=
5
3
4du
√
32 − u2
=
20
3
arctg
u
3
+ c =
20
3
arctg
x
12
+ c
17
Pøíklad 1.58
dx
√
1 − 4x2 + 8x
Øe¹ení
dx
√
1 − 4x2 + 8x
=
dx
1 − (4x2 − 8x)
=
dx
1 − (2x − 2)2
+ 4
=
dx
5 − (2x − 2)2
=
=
2x − 2 = u
2 dx = du
dx = du
2
=
1
2
du
√
5 − u2
=
1
2
arcsin
u
√
5
+ c =
1
2
arcsin
2x − 2
√
5
+ c
Metoda per partes a substituèní metoda
Pøíklad 1.59 (5 − 3x) e2x−1
dx
Øe¹ení
(5 − 3x) e2x−1
dx =
u = 5 − 3x v = e2x−1
u = −3 v = 1
2e2x−1
= (5 − 3x) ·
1
2
e2x−1
− −3 ·
1
2
e2x−1
dx =
=
1
2
(5 − 3x) e2x−1
+
3
2
e2x−1
dx =
1
2
(5 − 3x) e2x−1
+
3
2
·
1
2
e2x−1
+ c =
1
4
e2x−1
(13 − 6x) + c
Pøíklad 1.60 (2x − 3) sin
x
2
+ 1 dx
Øe¹ení
(2x − 3) sin
x
2
+ 1 dx =
u = 2x − 3 v = sin x
2 + 1
u = 2 v = −1
1
2
cos x
2 + 1
=
= (2x − 3) · (−2) · cos
x
2
+ 1 − 2 · (−2) cos
x
2
+ 1 dx =
= (6 − 4x) cos
x
2
+ 1 + 4 ·
1
1
2
sin
x
2
+ 1 + c = (6 − 4x) cos
x
2
+ 1 + 8 sin
x
2
+ 1 + c
Pøíklad 1.61 arctg x dx
Øe¹ení
arctg x dx = 1 · arctg x dx =
u = arctg x v = 1
u = 1
1+x2 v = x
= x arctg x −
x
1 + x2
dx =
= x arctg x −
1
2
2x
1 + x2
dx = x arctg x −
1
2
ln 1 + x2
+ c
18
Pøíklad 1.62 arcsin x dx
Øe¹ení
arcsin x dx = 1 · arcsin x dx =
u = arcsin x v = 1
u = 1√
1−x2
v = x
= x arcsin −
x
√
1 − x2
dx =
= x arcsin x − −
1
2
−2x
√
1 − x2
dx = x arcsin x +
1
2
−2x · 1 − x2 −1
2
dx =
= x arcsin x +
1
2
1 − x2
1
2
1
2
+ c = x arcsin x + 1 − x2 + c
Pøíklad 1.63 e3x
cos 6x dx
Øe¹ení
e3x
cos 6x dx =
u = e3x
v = cos 6x
u = 3e3x
v = 1
6 sin 6x
= e3x 1
6
sin 6x −
3
6
e3x
sin 6x dx =
=
u = e3x
v = sin 6x
u = 3e3x
v = −1
6 cos 6x
=
1
6
e3x
sin 6x −
1
2
−
1
6
e3x
cos 6x +
1
2
e3x
cos 6x dx =
=
1
6
e3x
sin 6x +
1
12
e3x
cos 6x −
1
4
e3x
cos 6x dx
1 +
1
4
e3x
cos 6x dx =
1
12
e3x
(2 sin 6x + cos 6x)
5
4
e3x
cos 6x dx =
1
12
e3x
(2 sin 6x + cos 6x)
e3x
cos 6x dx =
1
15
e3x
(2 sin 6x + cos 6x) + c
Pøíklad 1.64 e2x
sin
x
4
dx
Øe¹ení
e2x
sin
x
4
dx =
u = e2x
v = sin x
4
u = 2e2x
v = −4 cos x
4
= −4e2x
cos
x
4
+ 8 e2x
cos
x
4
dx =
=
u = e2x
v = cos x
4
u = 2e2x
v = 4 sin x
4
= −4e2x
cos
x
4
+ 8 4e2x
sin
x
4
− 8 e2x
sin
x
4
dx =
= −4e2x
cos
x
4
+ 32e2x
sin
x
4
− 64 e2x
sin
x
4
dx
19
(1 + 64) e2x
sin
x
4
dx = 4e2x
8 sin
x
4
− cos
x
4
e2x
sin
x
4
dx =
4
65
e2x
8 sin
x
4
− cos
x
4
+ c
Pøíklad 1.65 x3
ex2
dx
Øe¹ení
x3
ex2
dx = x2
xex2
dx =
u = x2
v = xex2
u = 2x v = 1
2 2xex2
dx = 1
2ex2 = x2 1
2
ex2
−
1
2
2xex2
dx =
=
x2
2
ex2
−
1
2
ex2
+ c =
1
2
ex2
x2
− 1 + c
Pøíklad 1.66 x5
ex3+2
dx
Øe¹ení
x5
ex3+2
dx = x3
x2
ex3+2
dx =
u = x3
v = x2
ex3+2
u = 3x2
v = 1
3 3x2
ex3+2
dx = 1
3ex3+2
=
= x3
·
1
3
ex3+2
− 3x2
·
1
3
ex3+2
dx =
x3
3
ex3+2
−
1
3
3x2
ex3+2
dx =
x3
3
ex3+2
−
1
3
ex3+2
+ c =
=
1
3
ex3+2
x3
− 1 + c
Pøíklad 1.67 x3
sin 4 − 2x2
dx
Øe¹ení
x3
sin 4 − 2x2
dx = x2
x sin 4 − 2x2
dx =
u = x2
v = x sin 4 − 2x2
u = 2x v = 1
4 cos 4 − 2x2
=
=
x2
4
cos 4 − 2x2
−
2
4
x cos 4 − 2x2
dx =
x2
4
cos 4 − 2x2
−
1
2
· −
1
4
sin 4 − 2x2
=
=
x2
4
cos 4 − 2x2
+
1
8
sin 4 − 2x2
+ c
Poznámka.
x sin 4 − 2x2
dx =
4 − 2x2
= z
−4x dx = dz
x dx = −
1
4
dz
= −
1
4
sin z dz = +
1
4
cos 4 − 2x2
x cos 4 − 2x2
dx =
4 − 2x2
= z
−4x dx = dz
x dx = −
1
4
dz
= −
1
4
cos z dz = −
1
4
sin 4 − 2x2
20
2 Urèitý integrál
Hodnotu urèitého integrálu stanovte tak, ¾e nejprve pomocí odpovídajícího neurèitého integrálu najdete
primitivní funkci a pak na základì Newton-Leibnizovy vìty spoèítáte daný urèitý integrál.
Pøíklad 2.1
4
1
√
x + 2x − 1 dx
Øe¹ení
√
x + 2x − 1 dx =
x
3
2
3
2
+ 2
x2
2
− x + c =
2
√
x3
3
+ x2
− x + c
4
1
√
x + 2x − 1 dx =
2
√
x3
3
+ x2
− x
4
1
=
2
√
43
3
+ 16 − 4 −
2
3
+ 1 − 1 =
50
3
Pøíklad 2.2
1√
2
0
4
√
1 − x2
dx
Øe¹ení
4
√
1 − x2
dx = 4 arcsin x + c
1√
2
0
4
√
1 − x2
dx = 4 arcsin x
1√
2
0
= 4 ·
π
4
− 4 · 0 = π
Pøíklad 2.3
π
0
x2
sin x dx
Øe¹ení
x2
sin x dx =
u = x2
v = sin x
u = 2x v = − cos x
= −x2
cos x + 2x cos x dx =
u = 2x v = cos x
u = 2 v = sin x
=
= −x2
cos x + 2x sin x − 2 sin x dx = −x2
cos x + 2x sin x + 2 cos x + c =
= 2 − x2
cos x + 2x sin x + c
π
0
x2
sin x dx = 2 − x2
cos x + 2x sin x
π
0
= 2 − π2
(−1) + 2π · 0 − (2 · 1 + 0) = π2
− 4
Pøíklad 2.4
e
1
x ln2
x dx
Øe¹ení
x ln2
x dx =
u = ln2
x v = x
u = 2 ln x
x v = x2
2
=
x2
2
ln2
x −
2 ln x
x
·
x2
2
dx =
=
x2
2
ln2
x − x ln x dx =
u = ln x v = x
u = 1
x v = x2
2
=
x2
2
ln2
x −
x2
2
ln x +
1
x
·
x2
2
dx =
=
x2
2
ln2
x − ln x +
x
2
dx =
x2
2
ln2
x − ln x +
x2
4
+ c
21
e
1
x ln2
x dx =
x2
2
ln2
x − ln x +
x2
4
e
1
=
e2
2
(1 − 1) +
e2
4
−
1
2
ln2
1 − ln 1 +
1
4
=
e2
4
−
1
4
Pøíklad 2.5
π
0
(3 + sin 2x) dx
Øe¹ení
(3 + sin 2x) dx =
2x = t
2 dx = dt
dx = 1
2 dt
= (3 + sin t)
1
2
dt =
1
2
(3t − cos t) + c =
3
2
· 2x −
1
2
cos 2x + c =
= 3x −
1
2
cos 2x + c
π
0
(3 + sin 2x) dx = 3x −
1
2
cos 2x
π
0
= 3π −
1
2
· 1 − 0 −
1
2
· 1 = 3π
Pøíklad 2.6
√
6
1
x 2x2 + 4 dx
Øe¹ení
x 2x2 + 4 dx =
2x2
+ 4 = t
4x dx = dt
x dx = 1
4 dt
=
√
t ·
1
4
dt =
1
4
t
3
2
3
2
+ c =
1
4
·
2
3
√
t3 + c =
1
6
(2x2 + 4)3
+ c
√
6
1
x 2x2 + 4 dx =
1
6
(2x2 + 4)3
√
6
1
=
1
6
(2 · 6 + 4)3
−
1
6
(2 + 4)3
=
=
1
6
· 43
−
1
6
· 6
√
6 =
32
3
−
√
6
Stanovte hodnotu urèitého integrálu bez mezivýpoètu primitivní funkce. Pøi pou¾ití substituce neopomeòte
transformovat také meze.
Pøíklad 2.7
2
1
x2
+
1
x4
dx
Øe¹ení
2
1
x2
+
1
x4
dx =
2
1
x2
+ x−4
dx = x3
+
x−3
−3
2
1
= x3
−
1
3x3
2
1
= 8 −
1
3 · 8
− 1 −
1
3
=
= 7 +
7
3 · 8
=
175
24
22
Pøíklad 2.8
√
3
1
1 + 2x2
x2 + x4
dx
Øe¹ení
√
3
1
1 + 2x2
x2 + x4
dx =
√
3
1
1 + 2x2
x2 (1 + x2)
dx =
√
3
1
1 + x2 + x2
x2 (1 + x2)
dx =
√
3
1
1
x2
dx +
√
3
1
1
1 + x2
dx =
= −
1
x
√
3
1
+ arctg x
√
3
1
= −
1
√
3
+ 1 + arctg
√
3 − arctg 1 =
−1 +
√
3
√
3
+
π
3
−
π
4
=
3 −
√
3
3
+
π
12
Pøíklad 2.9
9
4
√
x − x3ex + x2
x3
dx
Øe¹ení
9
4
√
x − x3ex + x2
x3
dx =
9
4
x−5
2 − ex
+
1
x
dx = −
2
3
x−3
2 − ex
+ ln |x|
9
4
=
=
−2
3
√
9
3 − e9
+ ln 9 −
−2
3
√
4
3 − e4
+ ln 4 =
−2
3 · 27
− e9
+ ln 9 +
2
3 · 8
+ e4
− ln 4 =
=
19
324
+ e4
− e9
+ ln
9
4
Pøíklad 2.10
π
2
−π
2
sin2
x dx
Øe¹ení
π
2
−π
2
sin2
x dx =
π
2
−π
2
(1 − cos 2x)
2
dx =
1
2
x −
sin 2x
2
π
2
−π
2
=
1
2
π
2
−
sin π
2
− −
π
2
−
sin (−π)
2
=
=
1
2
·
2π
2
=
π
2
Pøímý výpoèet integrálu metodou per partes:
Pøíklad 2.11
e
1
x ln x dx
Øe¹ení
e
1
x ln x dx =
u = ln x v = x
u = 1
x v = x2
2
=
x2
2
ln x
e
1
−
e
1
1
x
·
x2
2
dx =
e2
2
ln e −
1
2
ln 1 −
e
1
x
2
dx =
=
e2
2
−
1
2
x2
2
e
1
=
e2
2
−
1
2
e2
2
−
1
2
=
e2
4
+
1
4
23
Pøíklad 2.12
π
0
x2
sin x dx
Øe¹ení
π
0
x2
sin x dx =
u = x2
v = sin x
u = 2x v = − cos x
= −x2
cos x
π
0
−
π
0
2x (− cos x) dx =
=
u = 2x v = − cos x
u = 2 v = − sin x
= −π2
(−1) − − 2x sin x
π
0
−
π
0
−2 sin x dx = π2
− 0 + 2 cos x
π
0
=
= π2
+ 2(−1 − 1) = π2
− 4
Pøíklad 2.13
1
2
0
arcsin x dx
Øe¹ení
1
2
0
arcsin x dx =
1
2
0
1 · arcsin x dx =
u = arcsin x v = 1
u = 1√
1−x2
v = x
=
= x arcsin x
1
2
0
−
1
2
0
x
√
1 − x2
dx =
1 − x2
= t
−2x dx = dt ⇒ x dx = −1
2 dt
x = 0 ⇒ t = 1
x = 1
2 ⇒ t = 3
4
=
=
1
2
·
π
6
−
3
4
1
1
√
t
−
1
2
dt =
π
12
+
1
2
t
1
2
1
2
3
4
1
=
π
12
+
√
3
2
− 1
Pøíklad 2.14
π
2
0
e2x
cos x dx
Øe¹ení
π
2
0
e2x
cos x dx =
u = e2x
v = cos x
u = 2e2x
v = sin x
= e2x
sin x
π
2
0
−
π
2
0
2e2x
sin x dx =
=
u = 2e2x
v = sin x
u = 4e2x
v = − cos x
= eπ
sin
π
2
− 0 − − 2e2x
cos x
π
2
0
+ 4
π
2
0
e2x
(− cos x) dx =
= eπ
· 1 + 2eπ
cos
π
2
− 2e0
cos 0 − 4
π
2
0
e2x
cos x dx = eπ
− 2 − 4
π
2
0
e2x
cos x dx
π
2
0
e2x
cos x dx = eπ
− 2 − 4
π
2
0
e2x
cos x dx
5
π
2
0
e2x
cos x dx = eπ
− 2
π
2
0
e2x
cos x dx =
eπ − 2
5
24
Pøímý výpoèet integrálu substituèní metodou:
Pøíklad 2.15
e−1
0
ln(x + 1)
x + 1
dx
Øe¹ení
e−1
0
ln(x + 1)
x + 1
dx =
ln(x + 1) = t
1
x+1 dx = dt
x = 0 ⇒ t = ln 1 = 0
x = e − 1 ⇒ t = ln e = 1
=
1
0
t dt =
t2
2
1
0
=
1
2
− 0 =
1
2
Pøíklad 2.16
3
1
e
1
x
x2
dx
Øe¹ení
3
1
e
1
x
x2
dx =
1
x = t
− 1
x2 dx = dt ⇒ 1
x2 dx = −dt
x = 1 ⇒ t = 1
x = 3 ⇒ t = 1
3
=
1
3
1
et
(−dt) = − et
1
3
1
= −e
1
3 + e = e − 3
√
e
Pøíklad 2.17
π
2
0
sin x cos2
x dx
Øe¹ení
π
2
0
sin x cos2
x dx =
cos x = t
− sin x dx = dt ⇒ sin x dx = −dt
x = 0 ⇒ t = 1
x = π
2 ⇒ t = 0
=
0
1
t2
(−dt) = −
t3
3
0
1
=
1
3
Pøíklad 2.18
3
0
9 − x2 dx
Øe¹ení
3
0
9 − x2 dx =
x = 3 sin t → t = arcsin x
3
dx = 3 cos t dt
x = 0 ⇒ t = arcsin 0 = 0
x = 3 ⇒ t = arcsin 1 = π
2
9 − x2 = 9 − 9 sin2
t = 3
√
cos2 t
= 3 cos t
=
π
2
0
3 cos t · 3 cos t dt = 9
π
2
0
cos2
t dt =
= 9
π
2
0
1
2
(1 + cos 2t) dt =
9
2
t +
sin 2t
2
π
2
0
=
9
2
π
2
− 0 =
9π
4
25
3 Aplikace integrálního poètu
a) Geometrické aplikace
Doporuèení!
Døíve ne¾ zaènete øe¹it následující pøíklady, naèrtnìte grafy funkcí, pøímky a èáry, jimi¾ je rovinný
obrazec omezen. Vy¹rafujte obrazec, jeho¾ obsah máte vypoèítat. Názorná pøedstava vám pomù¾e najít
integraèní meze, pokud nejsou zadány, pøípadnì vám napoví zpùsob jejich vyhledávání. Upozorní vás
i na pøípadné rozdìlení obrazce na èásti, pokud funkce mìní na integraèním oboru znaménko, nebo je
obrazec shora èi zdola omezen více druhy køivek.
Výpoèet obsahu P rovinného obrazce omezeného køivkami y = f(x), x = a, x = b, y = 0
podle vzorce P =
b
a
|f(x)| dx.
Pøíklad 3.1 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce f(x) = 4x−x2
a osou x.
Øe¹ení
Funkce f je kvadratická funkce, jejím grafem je parabola. Urèíme prùseèíky grafu funkce f s osou x a
naèrtneme obrázek.
Prùseèíky paraboly s osou x:
4x − x2
= 0
x (4 − x) = 0
x1 = 0, x2 = 4 P1 = [0; 0] , P2 = [4; 0]
P1
0
P2
42
x
4
y
Obrázek 1: Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = 4x − x2
a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
Máme spoèítat obsah P vy¹rafovaného obrazce.
P =
4
0
4x − x2
dx = 2x2
−
x3
3
4
0
= 2 · 42
−
43
3
− 2 · 02
−
03
3
=
= 32 −
64
3
=
96 − 64
3
=
32
3
= 10
2
3
Obsah obrazce je P = 102
3 j2
.
26
Pøíklad 3.2 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = 9 − x2
a y = 0.
Øe¹ení
Prùseèíky paraboly s osou x:
9 − x2
= 0
x2
= 9
x1,2 = ±3 P1 = [3; 0] , P2 = [−3; 0]
P2 P1
3-3
9
x
y
Obrázek 2: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 9 − x2
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Mù¾eme vyu¾ít symetrie obrazce - je osovì soumìrný podle osy y.
P = 2
3
0
9 − x2
dx = 2 9x −
x3
3
3
0
= 2 9 · 3 −
33
3
− 0 = 2 (27 − 9) = 2 · 18 = 36
Obsah obrazce je P = 36 j2
.
27
Pøíklad 3.3 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = x2
+ 4x + 5, y = 0,
x = −2 a x = 0.
Øe¹ení
Èára y = x2
+ 4x + 5 je parabola, která neprotíná osu x, proto¾e diskriminant D = 16 − 20 < 0.
Pomocí derivace urèíme vrchol V paraboly:
y = 2x + 4
y = 0 =⇒ 2x + 4 = 0 =⇒ x = −2; y(−2) = (−2)2
+ 4 · (−2) + 5 = 1
V = [−2; 1]
Èára y = 0 je osa x.
Èára x = −2 je rovnobì¾ka s osou y.
Èára x = 0 je osa y.
02
x
1
3
y
Obrázek 3: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
+ 4x + 5, y = 0, x = −2 a x = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
0
−2
x2
+ 4x + 5 dx =
x3
3
+ 2x2
+ 5x
0
−2
= 0 −
−8
3
+ 8 − 10 =
8
3
+ 2 =
8 + 6
3
=
14
3
= 4
2
3
Obsah obrazce P = 42
3 j2
.
28
Pøíklad 3.4 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce y = x2
−x−2 a pøímkami
x = 0, x = 2 a y = 0.
Øe¹ení
Grafem funkce y = x2
− x − 2 je parabola, její prùseèíky s osou x jsou:
x2
− x − 2 = 0
(x − 2) (x + 1) = 0
x1 = 2, x2 = −1 P1 = [2; 0] , P2 = [−1; 0]
x = 0 je osa y
x = 2 je pøímka rovnobì¾ná s osou y
y = 0 je osa x
0 2
y 0
x 0
1
x 2
x
y
Obrázek 4: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
− x − 2, x = 0, x = 2 a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Obrazec je celý pod osou x, proto pou¾ijeme absolutní hodnotu. (Obsah je v¾dy kladné èíslo.)
P =
2
0
x2
− x − 2 dx =
x3
3
−
x2
2
− 2x
2
0
=
8
3
− 2 − 4 − 0 =
8 − 18
3
= −
10
3
=
10
3
= 3
1
3
Obsah obrazce P = 31
3 j2
.
29
Pøíklad 3.5 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce f(x) = x2
− 2x, pøímkami
x = −1, x = 3 a osou x.
Øe¹ení
Grafem funkce f(x) = x2
− 2x je parabola, její prùseèíky s osou x jsou body P1 = [0; 0] a P2 = [2; 0].
Pøímky x = −1 a x = 3 jsou rovnobì¾né s osou y.
0 2
x 1
1
x 3
x
y
Obrázek 5: Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = x2
− 2x, pøímkami x = −1, x = 3 a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
Funkce f mìní na intervalu −1; 3 znaménko, proto musíme výpoèet obsahu rozdìlit na tøi èásti.
P =
0
−1
x2
− 2x dx +
2
0
x2
− 2x dx +
3
2
x2
− 2x dx =
=
x3
3
− x2
0
−1
+
x3
3
− x2
2
0
+
x3
3
− x2
3
2
=
= 0 −
−1
3
− 1 +
8
3
− 4 − 0 + (9 − 9) −
8
3
− 4 =
1
3
+ 1 +
8 − 12
3
−
8
3
+ 4 =
= −
7
3
+ 5 +
−4
3
= −
7
3
+ 5 +
4
3
= 5 − 1 = 4
Obsah obrazce P = 4 j2
.
Poznámka.
Místo absolutní hodnoty jsme mohli u tohoto integrálu vymìnit meze nebo jeho výsledek odeèíst.
30
Pøíklad 3.6 Vypoèítejte obsah obrazce omezeného èarami y = 3 − x2
, y = −2x3
a y = 0, víte-li, ¾e
prùseèík prvních dvou èar je bod Q = [−1; 2].
Øe¹ení
y = 3 − x2
je parabola
y = −2x3
je kubická parabola
0 31
Q
3
x
2
y
Obrázek 6: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 3 − x2
, y = −2x3
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Pozor! Èást obrazce je na intervalu −
√
3; −1 omezena shora parabolou a na intervalu −1, 0 kubickou
parabolou, proto musíme výpoèet P rozdìlit na dvì èásti.
P =
−1
−
√
3
3 − x2
dx +
0
−1
−2x3
dx = 3x −
x3
3
−1
−
√
3
− 2
x4
4
0
−1
=
= −3 +
1
3
− −3
√
3 +
3
√
3
3
− 2 0 −
1
4
= −3 +
1
3
+ 3
√
3 −
√
3 +
1
2
=
=
−18 + 2 + 3
6
+ 2
√
3 =
−13
6
+ 2
√
3
Obsah obrazce P = −13
6 + 2
√
3 j2
.
31
Pøíklad 3.7 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce y = x2
a pøímkou
y = 1.
Øe¹ení
Urèíme prùseèíky paraboly a pøímky:
x2
= 1 =⇒ x1,2 = ±1; P1 = [1; 1] , P2 = [−1; 1]
P1
0
P2 1
1 1
x
y
Obrázek 7: Plocha obrazce omezeného funkcí y = x2
a pøímkou y = 1
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce podle osy y.
P = 2
1
0
1 − x2
dx = x −
x3
3
1
0
= 2 1 −
1
3
= 2 ·
2
3
=
4
3
Obsah obrazce P = 4
3 j2
.
Upozornìní.
Obrazec je shora omezen pøímkou a zdola grafem funkce y = x2
a ne osou x, jak tomu bylo v pøedchozích
pøíkladech.
32
Pøíklad 3.8 Urèete obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce y = x2
a pøímkami y = −2,
x = −1 a x = 2.
Øe¹ení
P1 = [−1; 1] - prùseèík paraboly s pøímkou x = −1
P2 = [2; 4] - prùseèík paraboly s pøímkou x = 2
P1
0
P2
1 2
x 1 x 2
y 2
x
4
y
Obrázek 8: Plocha obrazce omezeného funkcí y = x2
a pøímkami y = −2, x = −1 a x = 2
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
2
−1
x2
− (−2) dx =
2
−1
x2
+ 2 dx =
x3
3
+ 2x
2
−1
=
8
3
+ 4 − −
1
3
− 2 =
=
8
3
+ 4 +
1
3
+ 2 = 6 +
9
3
= 9
Obsah obrazce P = 9 j2
.
33
Pøíklad 3.9 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného èarami y = x2
+ 3 a y = 4
x2 , x = −2,
x = 2 a y = 0.
Øe¹ení
Prùseèíky hyperboly y = 4
x2 a paraboly y = x2
+ 3 :
4
x2 = x2
+ 3 / · x2
4 = x4
+ 3x2
x4
+ 3x2
− 4 = 0
x2
+ 4 x2
− 1 = 0
x1,2 = ±1 P1 = [−1; 4] , P2 = [1; 4]
3
P1 P2
1 1 22
x
4
2
1
y
Obrázek 9: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
+ 3, y = 4
x2 , x = −2, x = 2 a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Obrazec je soumìrný podle osy y. Výpoèet musíme rozdìlit na èásti, ponìvad¾ shora je obrazec omezen
zèásti parabolou a zèásti hyperbolou.
P = 2
1
0
x2
+ 3 dx +
2
1
4
x2
dx = 2
x3
3
+ 3x
1
0
+ −
4x−1
1
2
1
= 2
1
3
+ 3 − 4
1
x
2
1
=
= 2
1
3
+ 3 − 4
1
2
− 1 = 2
10
3
− 4 · −
1
2
= 2
10
3
+ 2 = 2 ·
10 + 6
3
=
32
3
= 10
2
3
Obsah obrazce P = 102
3 j2
.
34
Pøíklad 3.10 Urèete obsah P rovinného obrazce omezeného grafem funkce f(x) = −x3
− 8, osou y
a pøímkou y = 19.
Øe¹ení
Grafem funkce f(x) = −x3
− 8 je kubická parabola.
Prùseèík paraboly s osou x:
−x3
− 8 = 0 =⇒ x3
= −2 =⇒ x = −2 P1 = [−2; 0]
Prùseèík paraboly s osou y:
f(0) = −8 P2 = [0; −8]
Prùseèík paraboly s pøímkou y = 19:
−x3
− 8 = 19
−x3
= 27 =⇒ x = −3 P3 = [−3; 19]
0
P2
P1
P3 y 19
3
x
y
Obrázek 10: Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = −x3
− 8, osou y a pøímkou y = 19
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
0
−3
19 − −x3
− 8 dx =
0
−3
27 + x3
dx = 27x +
x4
4
0
−3
=
= 0 − 27 · (−3) +
(−3)4
4
= 81 −
81
4
= 81 1 −
1
4
= 81 ·
3
4
=
243
4
= 60
3
4
Obsah obrazce P = 603
4 j2
.
35
Pøíklad 3.11 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného èarami y = 9 − x2
, y = 4 − x2
a y = 0.
Øe¹ení
Paraboly y = 9 − x2
a y = 4 − x2
mají vrcholy na ose y a jsou otevøené smìrem dolù.
Parabola y = 9 − x2
má vrchol V = [0; 9] a protíná osu x v bodech -3 a 3.
Parabola y = 4 − x2
má vrchol V = [0; 4] a protíná osu x v bodech -2 a 2.
32 4
4
9
–2–3
x
y
Obrázek 11: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 9 − x2
, y = 4 − x2
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce podle osy y.
P = 2
3
0
9 − x2
dx −
2
0
4 − x2
dx = 2 9x −
x3
3
3
0
− 4x −
x3
3
2
0
=
= 2 27 − 9 − 8 +
8
3
= 2 10 +
8
3
= 2 ·
38
3
=
76
3
= 25
1
3
Obsah obrazce P = 251
3 j2
.
36
Pøíklad 3.12 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafy funkcí f(x) = 9
4π2
− x2
a g(x) = cos x.
Øe¹ení
Grafem funkce f je parabola s vrcholem V = 0; 9
4π2
otevøená smìrem dolù.
Její prùseèíky s osou x jsou:
9
4π2
− x2
= 0
x2
= 9
4π2
x1,2 = ±3
2π
Grafem funkce g je kosinusoida.
9
4
Π2
– Π
2
–3 Π
2
3 Π
2
Π
2
x
y
Obrázek 12: Plocha obrazce omezeného funkcemi f(x) = 9
4 π2
− x2
a g(x) = cos x
Zdroj: Vlastní zpracování
Obrazec je soumìrný podle osy y.
P = 2
3
2
π
0
9
4
π2
− x2
− cos x dx = 2
9
4
π2
x −
x3
3
− sin x
3
2
π
0
=
= 2
9
4
π2
·
3
2
π −
1
3
·
27
8
π3
− sin
3
2
π = 2
27
8
π3
−
9
8
π3
− (−1) = 2
9
4
π3
+ 1 =
9
2
π3
+ 2
Obsah obrazce P = 9
2π3
+ 2 j2
.
37
Pøíklad 3.13 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = 16 − x2
, y = 16 − 4x2
a y = 0.
Øe¹ení
Obì køivky jsou paraboly s vrcholem V = [0; 16] a otevøené smìrem dolù.
Prùseèíky parabol s osou x:
16 − x2
= 0 16 − 4x2
= 0
x1,2 = ±4 x2
= 4
x1,2 = ±2
44 2 2
16
x
y
Obrázek 13: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 16 − x2
, y = 16 − 4x2
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce podle osy y.
P = 2
4
0
16 − x2
dx −
2
0
16 − 4x2
dx = 2 16x −
x3
3
4
0
− 4 4x −
x3
3
2
0
=
= 2 64 −
64
3
− 4 8 −
8
3
= 2 64 −
64
3
− 32 +
32
3
=
= 2 32 −
32
3
= 2 · 32 · 1 −
1
3
= 64 ·
2
3
=
128
3
= 42
2
3
Obsah obrazce P = 422
3 j2
.
38
Pøíklad 3.14 Vypoèítejte obsah P obrazce omezeného køivkami y = 3x − x2
, y = 6x − x2
a y = 0.
Øe¹ení
Urèíme prùseèíky parabol s osou x:
6x − x2
= 0 3x − x2
= 0
x (6 − x) = 0 x (3 − x) = 0
x1 = 0, x2 = 6 x1 = 0, x2 = 3
630
x
9
y
Obrázek 14: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 3x − x2
, y = 6x − x2
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
6
0
6x − x2
dx −
3
0
3x − x2
dx = 6
x2
2
−
x3
3
6
0
− 3
x2
2
−
x3
3
3
0
=
= 3 · 36 −
36 · 6
3
− 3 ·
9
2
−
27
3
= 108 − 72 −
27
2
− 9 = 45 −
27
2
= 31
1
2
Obsah obrazce P = 311
2 j2
.
39
Pøíklad 3.15 Vypoèítejte obsah P obrazce omezeného grafy funkcí y = x2
, y = 1
x, y = −ex
a pøímkami
x = 0 a x = 2.
Øe¹ení
Urèíme prùseèík paraboly a hyperboly:
x2
= 1
x
x3
= 1 =⇒ x = 1
Q = [1; 1]
2
x 0
y x2
y
1
x
x 2
Q
1
y ex
1
x
1
y
Obrázek 15: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
, y = 1
x , y = −ex
, x = 0 a x = 2
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
1
0
x2
− (−ex
) dx +
2
1
1
x
− (−ex
) dx =
x3
3
+ ex
1
0
+ ln x + ex
2
1
=
=
1
3
+ e1
− 0 − e0
+ ln 2 + e2
− ln 1 − e1
=
1
3
+ ln 2 + e2
− 1 = e2
+ ln 2 −
2
3
Obsah obrazce P = e2
+ ln 2 − 2
3 j2
.
40
Pøíklad 3.16 Urèete obsahy rovinných obrazcù
a) P omezeného parabolou y = 4 − x2
a souøadnými osami,
b) P1 omezeného èarami y = 4 − x2
, y = x3
+ 2 a souøadnými osami,
c) P2 omezeného èarami y = 4 − x2
, y = x3
+ 2 a osou y,
víte-li, ¾e prùseèík zadaných parabol je bod Q = [1; 3]. Obrazec le¾í v¾dy v I. kvadrantu.
Øe¹ení
P2
P1
4
2
Q
1
x
1
3
y
Obrázek 16: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 4 − x2
, y = x3
+ 2, a souøadnými osami x a y
Zdroj: Vlastní zpracování
a) P =
2
0
4 − x2
dx = 4x −
x3
3
2
0
= 8 −
8
3
=
16
3
P =
16
3
j2
b) P1 =
1
0
x3
+ 2 dx +
2
1
4 − x2
dx =
x4
4
+ 2x
1
0
+ 4x −
x3
3
2
1
=
=
1
4
+ 2 + 8 −
8
3
− 4 +
1
3
= 6 −
7
3
+
1
4
=
72 − 28 + 3
12
=
47
12
P1 =
47
12
j2
c) P2 =
1
0
4 − x2
− x3
+ 2 dx =
1
0
2 − x2
− x3
dx = 2x −
x3
3
−
x4
4
1
0
=
= 2 −
1
3
−
1
4
=
24 − 4 − 3
12
=
17
12
P2 =
17
12
j2
Poznámka.
Jistì jste si v¹imli, ¾e P = P1 + P2.
Pøesvìdèíme se: P = P1 + P2 = 47
12 + 17
12 = 64
12 = 16
3
41
Pøíklad 3.17 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = 4−x2
a y = 2−x pro
x ∈ −2; 3 .
Øe¹ení
y = 4 − x2
· · · parabola
y = 2 − x · · · pøímka
Prùseèíky paraboly a pøímky:
4 − x2
= 2 − x
x2
− x − 2 = 0
(x − 2) (x + 1) = 0
x1 = 2, x2 = −1 Q1 = [2; 0] , Q2 = [−1; 3]
–2
4
y 2 x
Q1
Q2
211 33
x
y
Obrázek 17: Plocha obrazce omezeného køivkami y = 4 − x2
a y = 2 − x
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
−1
−2
(2 − x) − 4 − x2
dx +
2
−1
4 − x2
− (2 − x) dx +
3
2
(2 − x) − 4 − x2
dx =
=
−1
−2
x2
− x − 2 dx +
2
−1
−x2
+ x + 2 dx +
3
2
x2
− x − 2 dx =
=
x3
3
−
x2
2
− 2x
−1
−2
+ −
x3
3
+
x2
2
+ 2x
2
−1
+
x3
3
−
x2
2
− 2x
3
2
=
= −
1
3
−
1
2
+ 2 −
−8
3
− 2 + 4 +
−8
3
+ 2 + 4 −
1
3
+
1
2
− 2 + 9 −
9
2
− 6 −
8
3
− 2 − 4 =
= −
1
3
−
1
2
+ 2 +
8
3
− 2 −
8
3
+ 6 −
1
3
−
1
2
+ 2 + 3 −
9
2
−
8
3
+ 6 = 17 −
11
2
−
10
3
=
102 − 33 − 20
6
=
49
6
Obsah obrazce P = 49
6 j2
.
42
Pøíklad 3.18 Urèete obsah rovinného obrazce omezeného èarami y = x2
a y = x3
na intervalech
a) 0, 1 , b) 0, 2 a c) −1, 2 .
Øe¹ení
Prùseèíky paraboly a kubické paraboly:
x2
= x3
x2
(x − 1) = 0
x1 = 0, Q1 = [0, 0]
x2 = 1, Q2 = [1, 1]
y x2
y x3
21
Q1
Q2
1
x
1
y
Obrázek 18: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
a y = x3
Zdroj: Vlastní zpracování
a) interval 0, 1
P1 =
1
0
x2
− x3
dx =
x3
3
−
x4
4
1
0
=
1
3
−
1
4
=
4 − 3
12
=
1
12
P1 = 1
12 j2
b) interval 0, 2
P2 =
1
0
x2
− x3
dx +
2
1
x3
− x2
dx =
x3
3
−
x4
4
1
0
+
x4
4
−
x3
3
2
1
=
=
1
12
+ 4 −
8
3
−
1
4
+
1
3
=
1 + 48 − 32 − 3 + 4
12
=
53 − 35
12
=
18
12
=
3
2
P2 = 3
2 j2
43
c) interval −1, 2
P3 =
1
−1
x2
− x3
dx +
2
1
x3
− x2
dx =
x3
3
−
x4
4
1
−1
+
x4
4
−
x3
3
2
1
=
=
1
3
−
1
4
− −
1
3
−
1
4
+ 4 −
8
3
−
1
4
−
1
3
=
1
3
−
1
4
+
1
3
+
1
4
+ 4 −
8
3
−
1
4
+
1
3
=
= −
5
3
−
1
4
+ 4 =
−20 − 3 + 48
12
=
25
12
P3 = 25
12 j2
Pøíklad 3.19 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce ohranièeného grafy funkcí f(x) = 1
1+x2
a g(x) = x2
2 .
Øe¹ení
Nejdøíve vypoèítáme prùseèíky obou grafù:
1
1+x2 = x2
2 / · 2 1 + x2
2 = x2
+ x4
x4
+ x2
− 2 = 0
x2
+ 2 x2
− 1 = 0
x1,2 = ±1, y1,2 = 1
2 P1 = 1; 1
2 a P2 = −1; 1
2
Funkce f je známá pod názvem þKadeø Marie Agnesi.ÿ
P2
0
P1
1
1 1
x
1
2
y
Obrázek 19: Plocha obrazce omezeného funkcemi f(x) = 1
1+x2 a g(x) = x2
2
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce vzhledem k ose y.
P = 2
1
0
1
1 + x2
−
x2
2
dx = 2 arctg x −
x3
6
1
0
= 2 arctg 1 −
1
6
= 2
π
4
−
1
6
=
π
2
−
1
3
Obsah obrazce P = π
2 − 1
3 j2
.
44
Pøíklad 3.20 Vypoèítejte obsah P obrazce omezeného grafem funkce y = ln x, osou x a pøímkou
y = 2.
Øe¹ení
Prùseèík logaritmické køivky a pøímky y = 2:
ln x = 2
x = e2
Q = e2
; 2
Q2
1 2
x
y
Obrázek 20: Plocha obrazce omezeného køivkami y = ln x, y = 2 a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
P = P1 − P2, kde P1 je obsah obdélníka o stranách 2 a e2
, tedy P1 = 2e2
a P2 je obsah plochy pod
parabolou na intervalu 1, e2
.
Poznámka.
P1 lze urèit i takto: P1 =
e2
0
2 dx = 2x
e2
0
= 2e2
P2 =
e2
1
ln x dx =
u = ln x v = 1
u = 1
x v = x
= x ln x
e2
1
−
e2
1
1
x
· x dx = x ln x
e2
1
−
e2
1
1 dx =
= e2
ln e2
− 1 ln 1 − x
e2
1
= e2
· 2 − 0 − e2
− 1 = 2e2
− e2
+ 1 = e2
+ 1
P = P1 − P2 = 2e2
− e2
+ 1 = e2
− 1
Obsah obrazce P = e2
− 1 j2
.
45
Pøíklad 3.21 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce ohranièeného grafem funkce f(x) = sin x a osou
x v intervalu 0; 5π
4 .
Øe¹ení
Π0 2 Π5 Π
4
Π
2
3 Π
2
x
1
1
y
Obrázek 21: Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = sin x a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
π
0
sin x dx −
5
4
π
π
sin x dx = − cos x
π
0
− − cos x
5
4
π
π
=
= − cos π + cos 0 + cos
5
4
π − cos π = − (−1) + 1 −
√
2
2
− (−1) = 3 −
√
2
2
Obsah obrazce P = 3 −
√
2
2 j2
.
46
Pøíklad 3.22 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce mezi parabolami y = x2
+ 3 a y = 2x2
− 1.
Øe¹ení
Prùseèíky parabol:
x2
+ 3 = 2x2
− 1
x2
= 4
x1,2 = ±2
P1 = [−2; 7] a P2 = [2; 7]
y 2 x2
1
y x2
3
P1 P2
3 2 1 1 2 3
x
2
4
6
8
y
Obrázek 22: Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2
+ 3 a y = 2x2
− 1
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce vzhledem k ose y.
P = 2
2
0
x2
+ 3 − 2x2
− 1 dx = 2
2
0
−x2
+ 4 dx = 2 −
x3
3
+ 4x
2
0
= 2 −
8
3
+ 8 =
= 2
−8 + 24
3
=
32
3
Obsah obrazce P = 102
3 j2
.
47
Výpoèet objemu V tìlesa vzniklého rotací rovinného útvaru omezeného køivkami
y = f(x), x = a, x = b, y = 0 kolem osy x podle vzorce V = π
b
a
f2
(x) dx.
Pøíklad 3.23 Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací rovinného obrazce omezeného køivkami
y = tg x, y = 0, x = π
4 kolem osy x.
Øe¹ení
Π
2
0
Π
4
x
y
Obrázek 23: Obrazec omezený køivkami y = tg x, y = 0 a x = π
4
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
π
4
0
tg2
x dx
tg2
x dx =
sin2
x
cos2 x
dx =
1 − cos2 x
cos2 x
dx =
1
cos2 x
− 1 dx = tg x − x + c
V = π
π
4
0
tg2
x dx = π tg x − x
π
4
0
= π tg
π
4
−
π
4
− (tg 0 − 0) = π 1 −
π
4
− 0 = π 1 −
π
4
Objem rotaèního tìlesa V = π 1 − π
4 j3
.
48
Pøíklad 3.24 Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací rovinného obrazce omezeného køivkami
y =
√
x, y = 0, x = 1 a x = 4 kolem osy x.
Øe¹ení
61 4
x
y
Obrázek 24: Obrazec omezený køivkami y =
√
x, y = 0, x = 1 a x = 4
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
4
1
√
x
2
dx = π
4
1
x dx = π
x2
2
4
1
= π
16
2
−
1
2
= π
15
2
Objem rotaèního tìlesa V = 15
2 π j3
.
49
Pøíklad 3.25 Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy x, pøièem¾
obrazec je omezen èarami y = −3x − x2
a y = 0.
Øe¹ení
Prùseèíky paraboly s osou x:
−3x − x2
= 0
−x (3 + x) = 0 =⇒ x1 = 0; x2 = −3
3 0
x
y
Obrázek 25: Obrazec omezený køivkami y = −3x − x2
a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
0
−3
−3x − x2 2
dx = π
0
−3
9x2
+ 6x3
+ x4
dx = π 9
x3
3
+ 6
x4
4
+
x5
5
0
−3
=
= π 0 − 3 · (−3)3
+
3
2
(−3)4
+
(−3)5
5
= −π −34
+
3
2
· 34
+
(−3)5
5
= −π
1
2
· 34
−
3
5
· 34
=
= −π ·
5 − 6
10
· 34
= −π ·
−1
10
· 34
=
81
10
π
Objem daného tìlesa je V = 8,1π j3
.
50
Pøíklad 3.26 Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací obrazce kolem osy x, pøièem¾ obrazec
je omezen køivkami y =
√
x a y =
√
2x − 4 a osou x.
Øe¹ení
Obì køivky jsou paraboly s osou v ose x.
Urèíme prùseèík parabol:
√
x =
√
2x − 4 / 2
x = 2x − 4
x = 4 Q = [4; 2]
Parabola y =
√
x má vrchol v poèátku.
Parabola y =
√
2x − 4 má vrchol v bodì [2; 0].
y 2 x 4
y x
Q
1 2 3 4
x
1
2
y
Obrázek 26: Obrazec omezený køivkami y =
√
x, y =
√
2x − 4 a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
4
0
√
x
2
dx − π
4
2
√
2x − 4
2
dx = π
4
0
x dx −
4
2
(2x − 4) dx =
= π
x2
2
4
0
− x2
− 4x
4
2
= π [8 − 0 − (16 − 16 − 4 + 8)] = 4π
Objem daného tìlesa je V = 4π j3
.
51
Pøíklad 3.27 Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy x, pøièem¾
obrazec je omezen èarami y = x2
− 16, x = −1, x = 2 a y = 0.
Øe¹ení
Prùseèíky paraboly s osou x:
x2
− 16 = 0 =⇒ x1,2 = ±4
Vrchol paraboly je v bodì [0; −16].
4 41 2
16
x 1 x 2
x
y
Obrázek 27: Obrazec omezený køivkami y = x2
− 16, x = −1, x = 2 a y = 0
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
2
−1
x2
− 16
2
dx = π
2
−1
x4
− 32x2
+ 256 dx = π
x5
5
−
32x3
3
+ 256x
2
−1
=
= π
25
5
−
32 · 23
3
+ 256 · 2 −
(−1)5
5
−
32 (−1)3
3
+ 256 (−1) =
= π
32
5
−
256
3
+ 512 −
−1
5
+
32
3
− 256 = π
33
5
−
288
3
+ 768 = π
33
5
− 96 + 768 = 678
3
5
π
Objem daného tìlesa je V = 6783
5π j3
.
52
Pøíklad 3.28 Vypoètìte objem V tìlesa, které vznikne rotací men¹ího rovinného obrazce ohranièeného
kru¾nicí (x − 1)2
+ y2
= 1 a pøímkou y = x kolem osy x.
Øe¹ení
Rovnice (x − 1)2
+ y2
= 1 je rovnice kru¾nice se støedem S = [1; 0] a polomìrem r = 1.
Stanovíme rovnici horní pùlkru¾nice:
y2
= 1 − (x − 1)2
⇒ |y| = 1 − (x − 1)2
Proto¾e y ≥ 0, obdr¾íme y = 1 − (x − 1)2
.
2
y x
y 1 x 1 2
1
x
y
Obrázek 28: Obrazec omezený kru¾nicí (x − 1)
2
+ y2
= 1 a pøímkou y = x
Zdroj: Vlastní zpracování
V = π
1
0
1 − (x − 1)2
2
− x2
dx = π
1
0
1 − (x − 1)2
− x2
dx =
= π
1
0
1 − x2
+ 2x − 1 − x2
dx = π
1
0
2x − 2x2
dx =
= 2π
1
0
x − x2
dx = 2π
x2
2
−
x3
3
1
0
= 2π
1
2
−
1
3
= 2π
3 − 2
6
= 2π ·
1
6
=
π
3
Objem rotaèního tìlesa V = π
3 j3
.
Poznámka.
Objem lze vypoèítat i na základì stereometrických vzorcù. Vytvoøené rotaèní tìleso je polokoule, z
ní¾ je vyøíznut ku¾el.
V =
2
3
πr3
−
1
3
πr2
v =
2
3
π13
−
1
3
π12
· 1 =
2
3
π −
1
3
π =
π
3
53
Pøíklad 3.29 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = 2
√
x, y = 2
x , x = 2
a osou x. Dále urèete objem V tìlesa, které vznikne rotací tohoto obrazce kolem osy x.
Øe¹ení
Køivka y = 2
√
x je parabola s vrcholem v poèátku a osou v ose x.
Køivka y = 2
x je hyperbola se støedem v poèátku.
Urèíme prùseèík paraboly a hyperboly:
2
√
x = 2
x / : 2 y(1) = 2
√
1 = 2√
x = 1
x /x Q = [1; 2]
x
3
2 = 1
x = 1
Q
x = 2
1 2
x
1
2
y
Obrázek 29: Obrazec omezený køivkami y = 2
√
x, y = 2
x , x = 2 a osou x
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
1
0
2
√
x dx +
2
1
2
x
dx = 2
x
3
2
3
2
1
0
+ 2 ln |x|
2
1
=
4
3
(1 − 0) + 2 (ln 2 − ln 1) =
=
4
3
+ 2 ln 2 =
4
3
+ ln 4
V = π
1
0
2
√
x
2
dx + π
2
1
2
x
2
dx = π
1
0
4x dx +
2
1
4
x2
dx =
= π 2x2 1
0
+ −
4
x
2
1
= π 2 −
4
2
+
4
1
= 4π
Obsah rovinného obrazce P = 4
3 + ln 4 j2
a objem rotaèního tìlesa V = 4π j3
.
54
Pøíklad 3.30 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = π2
− x2
a y = |sin x|
a objem V tìlesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy x.
Øe¹ení
Prùseèíky paraboly s osou x:
π2
− x2
= 0 P1 = [−π; 0] , P2 = [π; 0]
x2
= π2
x1,2 = ±π
-π 0 π
π2
x
y
Obrázek 30: Obrazec omezený køivkami y = π2
− x2
a y = |sin x|
Zdroj: Vlastní zpracování
Obrazec je soumìrný podle osy y.
P = 2
π
0
π2
− x2
− sin x dx = 2 π2
x −
x3
3
+ cos x
π
0
=
= 2 π3
−
π3
3
+ cos π − cos 0 = 2
2
3
π3
− 1 − 1 =
4
3
π3
− 4
V = 2π
π
0
π2
− x2 2
− sin2
x dx = 2π
π
0
π4
− 2π2
x2
+ x4
− sin2
x dx =
= 2π π4
x − 2π2 x3
3
+
x5
5
−
1
2
x +
1
4
sin 2x
π
0
= 2π π5
−
2
3
π5
+
1
5
π5
−
1
2
π +
1
4
sin 2π =
= 2π
15 − 10 + 3
15
π5
−
1
2
π = 2π
8
15
π5
−
1
2
π =
16
15
π6
− π2
Obsah obrazce P = 4
3π3
− 4 j2
.
Objem rotaèního tìlesa V = 16
15π6
− π2
j3
.
Poznámka.
Pøi výpoètu integrálu jsme vyu¾ili vzorec sin2
x = 1
2 (1 − cos 2x) .
55
Pøíklad 3.31 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného køivkami y = 4−x2
a y = −1
4x2
+1
a objem V dutého tìlesa, které vznikne rotací tohoto obrazce kolem osy x.
Øe¹ení
Obì køivky jsou paraboly s vrcholy na ose y a jsou otevøené smìrem dolù.
Parabola y = 4 − x2
má vrchol v bodì [0; 4] a parabola y = −1
4x2
+ 1 má vrchol v bodì [0; 1].
Prùseèíky parabol s osou x:
−1
4x2
+ 1 = 0 4 − x2
= 0
−x2
+ 4 = 0 x2
= 4
x2
= 4 x1,2 = ±2
x1,2 = ±2
Obì paraboly protínají osu x v bodech P1 = [−2; 0] a P2 = [2; 0].
P1
0
P2
4
2 2
1
x
y
Obrázek 31: Obrazec omezený køivkami y = 4 − x2
a y = −1
4 x2
+ 1
Zdroj: Vlastní zpracování
Vyu¾ijeme soumìrnosti obrazce podle osy y.
P = 2
2
0
4 − x2
− −
1
4
x2
+ 1 dx = 2
2
0
3 −
3
4
x2
dx = 6 x −
x3
12
2
0
=
= 6 · 2 −
8
12
= 6 2 −
2
3
= 6 ·
4
3
= 8
V = 2π
2
0
4 − x2 2
− −
1
4
x2
+ 1
2
dx = 2π
2
0
16 − 8x2
+ x4
−
1
16
x4
+
1
2
x2
− 1 dx =
= 2π
2
0
15 −
15
2
x2
+
15
16
x4
dx = 2π · 15 x −
1
2
·
x3
3
+
1
16
x5
5
2
0
= 30π 2 −
1
2
·
8
3
+
1
16
·
32
5
=
= 30π 2 −
4
3
+
2
5
= 30π
30 − 20 + 6
15
= 2π · 16 = 32π
Obsah rovinného obrazce P = 8 j2
a objem rotaèního tìlesa V = 32π j3
.
56
Pøíklad 3.32 Vypoèítejte obsah P rovinného obrazce omezeného grafy funkcí f(x) = ex
, g(x) = e−x
,
osou y a pøímkou x = 2. Vypoèítejte objem V tìlesa, které vznikne rotací tohoto obrazce kolem osy x.
Dovedete si vzniklé rotaèní tìleso pøedstavit?
Øe¹ení
Grafy funkcí f a g jsou exponenciály, které se protínají na ose y v bodì [0, 1] .
2
1
ex
e x
x
y
Obrázek 32: Obrazec omezený funkcemi f(x) = ex
, g(x) = e−x
, pøímkou x = 2 a osou y
Zdroj: Vlastní zpracování
P =
2
0
ex
− e−x
dx = ex
− −e−x
2
0
= ex
+ e−x
2
0
= e2
+ e−2
− e0
− e0
= e2
+
1
e2
− 2
V = π
2
0
(ex
)2
− e−x 2
dx = π
2
0
e2x
− e−2x
dx = π
e2x
2
−
e−2x
−2
2
0
=
π
2
e2x
+ e−2x
2
0
=
=
π
2
e4
+ e−4
− e0
− e0
=
π
2
e4
+
1
e4
− 2
Obsah obrazce P = e2
+ 1
e2 − 2 j2
a objem rotaèního tìlesa V = π
2 e4
+ 1
e4 − 2 j3
.
57
Výpoèet délky l rovinné køivky y = f(x), x ∈ a, b podle vzorce
l =
b
a
1 + f (x)
2
dx.
Pøíklad 3.33 Vypoèítejte délku l grafu funkce f(x) =
√
x3 na intervalu x ∈ 0; 4 .
Øe¹ení
1 2 3 4
x
4
8
y
Obrázek 33: Graf funkce f(x) =
√
x3
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme f (x) = 3
2x
1
2 .
l =
4
0
1 +
3
2
x
1
2
2
dx =
4
0
1 +
9
4
x dx
Vypoèteme nejprve neurèitý integrál.
1 +
9
4
x dx =
1 + 9
4x = z
9
4dx = dz
dx = 4
9dz
=
4
9
√
z dz =
4
9
z
3
2
3
2
=
4
9
·
2
3
√
z3 =
8
27
1 +
9
4
x
3
l =
4
0
1 +
9
4
x dx =
8
27

 1 +
9
4
x
3


4
0
=
8
27

 1 +
9
4
· 4
3
− (1 + 0)3

 =
=
8
27
√
103 − 1 =
8
27
10
√
10 − 1
Délka køivky l =
8
27
10
√
10 − 1 (j).
58
Pøíklad 3.34 Vypoèítejte délku l oblouku køivky y2
= 4
9x3
na intervalu x ∈ 0; 3 .
Øe¹ení
Køivka je semikubická parabola, která je soumìrná podle osy x. Spoèítáme délku l1 poloviny oblouku,
který se nachází nad osou x.
1 2 3 4
x
5
5
10
y
Obrázek 34: Graf køivky y2
= 4
9 x3
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme y = 2
3x
3
2 a y = 2
3 · 3
2x
1
2 = x
1
2 .
l1 =
3
0
1 + x
1
2
2
dx =
3
0
√
1 + x dx =
2
3
(1 + x)3
3
0
=
2
3
(1 + 3)3
− (1 + 0)3
=
=
2
3
√
43 − 1 =
2
3
(8 − 1) =
14
3
l = 2l1 = 2 ·
14
3
=
28
3
Délka oblouku køivky l = 28
3 (j).
59
Pøíklad 3.35 Vypoèítejte délku l oblouku køivky y2
= (x + 1)3
na intervalu x ∈ −1; 4 .
Øe¹ení
Køivka je semikubická parabola soumìrná podle osy x, tak¾e délka oblouku l = 2l1, kde l1 je èást
oblouku nacházející se nad osou x.
12 1 2 3 4
x
10
10
y
Obrázek 35: Graf køivky y2
= (x + 1)
3
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme y = (x + 1)
3
2 a y = 3
2 (x + 1)
1
2 .
l1 =
4
−1
1 +
3
2
(x + 1)
1
2
2
dx =
4
−1
1 +
9
4
(x + 1) dx =
4
−1
13 + 9x
4
dx =
1
2
4
−1
√
13 + 9x dx
Vypoèteme neurèitý integrál.
√
13 + 9x dx =
13 + 9x = z
9dx = dz
dx = 1
9dz
=
1
9
√
z dz =
1
9
z
3
2
3
2
=
2
27
√
z3 =
2
27
(13 + 9x)3
l1 =
1
2
4
−1
√
13 + 9x dx =
1
2
·
2
27
(13 + 9x)3
4
−1
=
1
27
√
493 −
√
43 =
1
27
(49 · 7 − 4 · 2) =
=
1
27
(343 − 8) =
1
27
· 335 =
335
27
l = 2l1 = 2 ·
335
27
=
670
27
Délka oblouku køivky l = 670
27 (j).
60
Pøíklad 3.36 Vypoèítejte délku l oblouku køivky y2
= 4
9 (2 − x)3
le¾ící v pravé polorovinì ohranièené
pøímkou x = −1.
Øe¹ení
Køivka je semikubická parabola soumìrná podle osy x, tak¾e oblouk se skládá ze dvou shodných èástí.
Pravou mez urèíme jako prùseèík grafu køivky s osou x (tj. y = 0).
0 = 4
9 (2 − x)
3
2 =⇒ x = 2 Q = [2; 0]
013 2 1 2
x
4
4
y
Obrázek 36: Graf køivky y2
= 4
9 (2 − x)
3
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme y = 2
3 (2 − x)
3
2 pro x ∈ −1, 2 .
y = 2
3 · 3
2 (2 − x)
1
2 · (−1) = − (2 − x)
1
2
l1 =
2
−1
1 + − (2 − x)
1
2
2
dx =
2
−1
1 + (2 − x) =
2
−1
√
3 − x dx = −
(3 − x)
3
2
3
2
2
−1
=
= −
2
3
(3 − x)3
2
−1
= −
2
3
√
1 −
√
43 = −
2
3
(1 − 8) = −
2
3
· (−7) =
14
3
l = 2l1 = 2 ·
14
3
=
28
3
Délka oblouku køivky l = 28
3 (j).
61
Výpoèet obsahu S plochy, která vznikne rotací grafu funkce y = f(x) kolem osy x, kdy¾
x ∈ a; b , podle vzorce S = 2π
b
a
f(x) 1 + f (x)
2
dx.
Pøíklad 3.37 Vypoèítejte obsah S plochy, která vznikne rotací grafu funkce f(x) = 4
3x, x ∈ 0; 3 ,
kolem osy x.
Øe¹ení
Grafem funkce je pøímka procházející poèátkem souøadnic.
1 1 2 3
x
1
1
2
3
4
y
Obrázek 37: Graf funkce f(x) = 4
3 x
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme f (x) = 4
3.
S = 2π
3
0
4
3
x 1 +
4
3
2
dx = 2π ·
4
3
3
0
x 1 +
16
9
dx =
8
3
π
3
0
x
25
9
dx =
8
3
π ·
5
3
3
0
x dx =
=
40
9
π
x2
2
3
0
=
40
9
π
9
2
− 0 = 20π
Obsah rotaèní plochy S = 20π j2
.
Poznámka.
Víte, co jste vlastnì spoèítali? Pokud tipujete, ¾e obsah plá¹tì rotaèního ku¾ele, tak tipujete správnì.
Podle známého stereometrického vzorce je obsah S plá¹tì rotaèního ku¾ele o polomìru podstavy r = 4
a stranì s = 32 + 42 =
√
25 = 5 roven S = πrs = π · 4 · 5 = 20π.
62
Pøíklad 3.38 Urèete obsah S plochy, která vznikne rotací úseèky y = x + 2, x ∈ 0; 3 , kolem osy x.
Øe¹ení
1 1 2 3
x
1
1
3
4
5
y
Obrázek 38: Graf funkce y = x + 2
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme y = 1.
S = 2π
3
0
(x + 2) 1 + 12 dx = 2
√
2π
3
0
(x + 2) dx = 2
√
2π
x2
2
+ 2x
3
0
=
= 2
√
2π
9
2
+ 6 − 0 = 2
√
2π
9 + 12
2
= 21
√
2π
Obsah rotaèní plochy S = 21
√
2π j2
.
Poznámka.
V tomto pøípadì jsme spoèítali obsah S plá¹tì rotaèního komolého ku¾ele, který má polomìry podstav
r1 = 2 a r2 = 5 a stranu s = 32 + 32 =
√
18 = 3
√
2.
Výpoèet dle stereometrického vzorce S = π (r1 + r2) = π (2 + 5) · 3
√
2 = 21
√
2π
63
Pøíklad 3.39 Spoèítejte obsah S rotaèní plochy, která vznikne rotací èásti grafu funkce f(x) = x3
,
x ∈ 0; 2 , kolem osy x.
Øe¹ení
2 1 2 3
x
4
2
2
4
6
8
y
Obrázek 39: Graf funkce f(x) = x3
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme f (x) = 3x2
.
S = 2π
2
0
x3
1 + (3x2)2
dx = 2π
2
0
x3
1 + 9x4 dx
x3
1 + 9x4 dx =
1 + 9x4
= z
36x3
dx = dz
x3
dx = dz
36
=
1
36
√
z dz =
1
36
z
3
2
3
2
=
1
36
·
2
3
√
z3 =
1
3 · 18
(1 + 9x4)3
S = 2π
2
0
x3
1 + 9x4 dx = 2π
1
3 · 18
(1 + 9x4)3
2
0
=
π
27
(1 + 9 · 24)3
− (1 + 0)3
=
=
π
27
√
1453 − 1
Obsah rotaèní plochy S =
π
27
√
1453 − 1 j2
.
64
Pøíklad 3.40 Vypoèítejte obsah S plochy vytvoøené rotací kolem osy x èásti køivky 9y2
= x (3 − x)2
na intervalu 0; 3 .
Øe¹ení
2 1 1 2 3 4
x
1
1
y
Obrázek 40: Graf køivky 9y2
= x (3 − x)
2
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme: y = 1
3 (3 − x) ·
√
x
y =
1
3
−1 ·
√
x + (3 − x)
1
2
√
x
y =
1
3
−2x + 3 − x
2
√
x
=
1
3
−3x + 3
2
√
x
=
1 − x
2
√
x
S = 2π
3
0
1
3
(3 − x)
√
x · 1 +
1 − x
2
√
x
2
dx =
2π
3
3
0
(3 − x)
√
x 1 +
(1 − x)2
4x
dx =
=
2π
3
3
0
(3 − x)
√
x ·
4x + 1 − 2x + x2
4x
dx =
2π
3
3
0
(3 − x)
√
x ·
1
2
√
x
· x2 + 2x + 1 dx =
=
π
3
3
0
(3 − x) (x + 1)2
dx =
π
3
3
0
(3 − x) (x + 1) dx =
=
π
3
3
0
−x2
+ 2x + 3 dx =
π
3
−
x3
3
+ x2
+ 3x
3
0
=
π
3
(−9 + 9 + 9) = 3π
Obsah rotaèní plochy S = 3π j2
.
65
Pøíklad 3.41 Vypoèítejte obsah S plochy vytvoøené otáèením oblouku køivky y2
= 4 + x vy»atého
pøímkou x = 2 pøi rotaci kolem osy x.
Øe¹ení
4
x 2
22
x
4
4
y
Obrázek 41: Graf køivky y2
= 4 + x
Zdroj: Vlastní zpracování
Vypoèteme y =
√
4 + x a y = 1
2
√
4+x
.
S = 2π
2
−4
√
4 + x 1 +
1
2
√
4 + x
2
dx = 2π
2
−4
√
4 + x
4 (4 + x) + 1
4 (4 + x)
dx =
= 2π
2
−4
√
4 + x ·
√
17 + 4x
2
√
4 + x
dx = π
2
−4
√
17 + 4x dx = π ·

1
4
(17 + 4x)3
3
2


2
−4
=
=
π
4
·
2
3
(17 + 4x)3
2
−4
=
π
6
√
253 −
√
13 =
π
6
(25 · 5 − 1) =
π
6
· 124 =
62
3
π
Obsah rotaèní plochy S = 62
3 j2
.
66
b) Dal¹í aplikace
Pøíklad 3.42 Automechanik, kterému zbývá 10 let do dùchodu, zva¾uje nabídku od dvou rem. U
první je roèní nástupní plat 16 000 Kè a v dal¹ích letech bude jeho mzda rùst podle vztahu f1(t) =
16 000 + 400t2
. U druhé rmy je nástupní plat 22 000 Kè a v dal¹ích letech se bude jeho mzda vyvíjet
podle vztahu f2(t) = 22 000 + 400t. U které rmy by mìl nastoupit, kdy¾ chce mít bìhem deseti let
práce co nejvìt¹í pøíjem?
Øe¹ení
Výdìlek za 10 let lze spoèítat pomocí urèitého integrálu. U 1. rmy bude èinit
10
0
16 000 + 400 t2
dt = 16 000 t + 400
t3
3
10
0
= 160 000 + 400
103
3
= 293 333
.
= 293 333 [Kè]
U 2. rmy
10
0
(22 000 + 400 t) dt = 22 000 t + 400
t2
2
10
0
= 220 000 + 400
102
2
= 240 000 [Kè]
Rozdíl v pøíjmech za 10 let: 293 333 − 240 000 = 53 333 [Kè]
Automechanik si za 10 let u první rmy vydìlá 293 333 Kè a u druhé 240 000 Kè. Pøesto¾e nástupní
plat je u druhé rmy vy¹¹í, bude pro automechanika výhodnìj¹í nastoupit k 1. rmì, kde si za 10 let
vydìlá o 53 333 Kè víc.
Pøíklad 3.43 Celkový pøíjem z prodeje nového mobilního telefonu lze vyjádøit funkcí TR = 95 000 t,
kde t je doba v mìsících od zahájení prodeje. Spoèítejte prùmìrný pøíjem mezi 3. a 6. mìsícem prodeje.
Øe¹ení
Celkový pøíjem:
6
3
95 000 t dt = 95 000
t2
2
6
3
= 1 282 500 [Kè]
Prùmìrný pøíjem se stanoví jako podíl celkového pøíjmu za sledované období a délky sledovaného
období.
Prùmìrný pøíjem:
1 282 500
6 − 3
= 427 500 [Kè]
Prùmìrný pøíjem z prodeje telefonu èinil za období mezi 3. a 6. mìsícem prodeje 427 500 Kè.
Pøíklad 3.44 Funkce poptávky po vstupenkách na koncert hudební skupiny má tvar PD = 1600 − Q.
Funkce nabídky má tvar Pq = 100+Q
4 . Urèete pøebytek spotøebitele, pøebytek výrobce a celkový pøebytek.
Øe¹ení
Funkce nabídky a poptávky jsou závislé na mno¾ství vstupenek Q.
Nejprve musíme najít rovnová¾né mno¾ství vstupenek QE, pro které se cena poptávky rovná cenì
nabídky. Polo¾íme 1600 − Q = 100 + Q
4 .
5
4Q = 1 500 =⇒ Q = 1 200.
Rovnová¾né mno¾ství QE = 1 200 [ks] .
Tomu odpovídá rovnová¾ná cena PE = 1 600 − 1 200 = 400 [Kè/ks].
Nyní mù¾eme spoèítat pøebytek výrobce
QE
0
(PD − PE) dQ =
1200
0
((1600 − Q) − 400) dQ = 120 Q −
Q2
2
1200
0
= 720 000 [Kè]
67
pøebytek spotøebitele
QE
0
(PE − Pq) dQ =
1200
0
400 − 100 +
Q
4
dQ = 300 Q −
Q2
8
1200
0
= 180 000 [Kè]
celkový pøebytek
QE
0
(PD − Pq) dQ =
1200
0
1600 − Q − 100 +
Q
4
dQ = 1500 Q −
5 Q2
8
1200
0
= 900 000 [Kè]
V rovnová¾né situaci se prodá 1 200 lístkù za 400 Kè. Pøebytek spotøebitele pak bude 180 000 Kè,
pøebytek výrobce 720 000 Kè a celkový pøebytek 900 000 Kè.
Pøíklad 3.45 Spoèítejte Giniho koecient, jestli¾e Lorenzova køivka má tvar L(x) = 1, 25x2
− 0, 25x.
(Bauer a spol., 2015)
Øe¹ení
Bohatství spoleènosti je mo¾né dìlit rùznými zpùsoby. Mezními zpùsoby dìlení bohatství jsou pak
absolutní rovnost (v¹ichni dostanou stejnì) a absolutní nerovnost (jeden bere v¹e). Skuteèné dìlení
bohatství spoleènosti se pohybuje nìkde mezi tìmito dvìma zpùsoby a lze znázornit pomocí Lorenzovy
køivky. Rozdíl mezi absolutní rovností a skuteèností lze èíselnì zachytit jako tzv. Giniho index. (Èím
je tento index ni¾¹í, tím rovnomìrnìji se dìlí bohatství spoleènosti).
A
bsolutnírovnostLorenzova
křivka
G
IN
IH
O
IN
D
E
X
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Kumulované procento populace
Kumulovanéprocentobohatství
Obrázek 42: Gracké znázornìní Giniho indexu
Zdroj: Vlastní zpracování
Giniho index se poèítá následovnì
GC = 1 − 2
1
0
L (x) dx
V na¹em pøípadì
GC = 1−2
1
0
1, 25x2
− 0, 25x dx = 1−2 1, 25
x3
3
− 0, 25
x2
2
1
0
= 1−2· 1, 25 ·
1
3
− 0, 25
1
2
= 0, 416.
Úroveò Giniho indexu v dané ekonomice je 0, 416. Nejedná se tedy o extrémnì vysokou úroveò rozdìlování
bohatství spoleènosti. (V na¹em pøípadì absolutní rovnosti je Giniho koecient roven nule).
68
Literatura
Doporuèená literatura
[1] DÌMIDOVIÈ, B. P.,: Sbírka úloh a cvièení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha: Fragment, 2003,
459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] DRÁBEK, P., MÍKA, S.: Matematická analýza I, 5. vyd. Plzeò, ZÈU Plzeò, 2003. 158 stran.
ISBN 80-7082-978-8
[3] KAÒKA, M., COUFAL, J., KLÙFA, J.: Uèebnice matematiky pro ekonomy, Ekopress Praha 2007
[4] MO©OVÁ, V.: Matematická analýza II., 1.vyd, UP Olomouc 2005. 134 stran. ISBN 80-244-1005-2
69
Seznam obrázkù
1 Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = 4x − x2 a osou x . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 9 − x2 a y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2 + 4x + 5, y = 0, x = −2 a x = 0 . . . . . . 28
4 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2 − x − 2, x = 0, x = 2 a y = 0 . . . . . . . 29
5 Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = x2 − 2x, pøímkami x = −1, x = 3 a osou x . 30
6 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 3 − x2, y = −2x3 a y = 0 . . . . . . . . . . . 31
7 Plocha obrazce omezeného funkcí y = x2 a pøímkou y = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Plocha obrazce omezeného funkcí y = x2 a pøímkami y = −2, x = −1 a x = 2 . . . . . 33
9 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2 + 3, y = 4
x2 , x = −2, x = 2 a y = 0 . . . . 34
10 Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = −x3 − 8, osou y a pøímkou y = 19 . . . . . . 35
11 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 9 − x2, y = 4 − x2 a y = 0 . . . . . . . . . . . 36
12 Plocha obrazce omezeného funkcemi f(x) = 9
4π2 − x2 a g(x) = cos x . . . . . . . . . . 37
13 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 16 − x2, y = 16 − 4x2 a y = 0 . . . . . . . . . 38
14 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 3x − x2, y = 6x − x2 a y = 0 . . . . . . . . . 39
15 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2, y = 1
x , y = −ex, x = 0 a x = 2 . . . . . . 40
16 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 4 − x2, y = x3 + 2, a souøadnými osami x a y 41
17 Plocha obrazce omezeného køivkami y = 4 − x2 a y = 2 − x . . . . . . . . . . . . . . . 42
18 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2 a y = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
19 Plocha obrazce omezeného funkcemi f(x) = 1
1+x2 a g(x) = x2
2 . . . . . . . . . . . . . . 44
20 Plocha obrazce omezeného køivkami y = ln x, y = 2 a osou x . . . . . . . . . . . . . . 45
21 Plocha obrazce omezeného funkcí f(x) = sin x a osou x . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
22 Plocha obrazce omezeného køivkami y = x2 + 3 a y = 2x2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . 47
23 Obrazec omezený køivkami y = tg x, y = 0 a x = π
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
24 Obrazec omezený køivkami y =
√
x, y = 0, x = 1 a x = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
25 Obrazec omezený køivkami y = −3x − x2 a y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
26 Obrazec omezený køivkami y =
√
x, y =
√
2x − 4 a osou x . . . . . . . . . . . . . . . . 51
27 Obrazec omezený køivkami y = x2 − 16, x = −1, x = 2 a y = 0 . . . . . . . . . . . . . 52
28 Obrazec omezený kru¾nicí (x − 1)2
+ y2 = 1 a pøímkou y = x . . . . . . . . . . . . . . 53
29 Obrazec omezený køivkami y = 2
√
x, y = 2
x, x = 2 a osou x . . . . . . . . . . . . . . . 54
30 Obrazec omezený køivkami y = π2 − x2 a y = |sin x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
31 Obrazec omezený køivkami y = 4 − x2 a y = −1
4x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
32 Obrazec omezený funkcemi f(x) = ex, g(x) = e−x, pøímkou x = 2 a osou y . . . . . . . 57
33 Graf funkce f(x) =
√
x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
34 Graf køivky y2 = 4
9x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
35 Graf køivky y2 = (x + 1)3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
36 Graf køivky y2 = 4
9 (2 − x)3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
37 Graf funkce f(x) = 4
3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
38 Graf funkce y = x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
39 Graf funkce f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
40 Graf køivky 9y2 = x (3 − x)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
41 Graf køivky y2 = 4 + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
42 Gracké znázornìní Giniho indexu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
70
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
RNDr. Vratislava Mo¹ová, CSc.
Integrální poèet
Vydala Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
Jeremenkova 1142/42, 772 00 Olomouc
www.mvso.cz
tel./fax: +420 587 332 311
Vytiskl Vydavatel
Nová Ulice 560/404
www.vydavatel.cz
+420 777 666 555
Zdrojové umístìní URL: http://www.adresa.cz/dokument.pdf
Text nepro¹el jazykovou úpravou.
Gracký návrh obálky zpracoval Jméno Pøíjmení
1. vydání
c Moravská vysoká ¹kola Olomouc, o. p. s.
ISBN: 978-1-56619-909-4