DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
DIFERENCIÁLNÍ
POČET (1)STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
STUDIUM
DIFERENCIÁLNÍ
POČET (1)
Funkce jedné proměnné
Řešené příklady
RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ,CSc.
RNDr. Vratislava MOŠOVÁ,CSc.
Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s., 2018
Projekt EDULAM -
”
Zvýšení kvality vzdělávání na MVŠO s ohledem na potřeby trhu práce, digitalizaci
a internacionalizaci“ (č. projektu XXXXX) je spolufinancován Evropskou unií.
© Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s.
Autor: RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc.
RNDr. Vra slava MOŠOVÁ, CSc.
Olomouc 2018
Obsah
Úvod 6
Výpočet limit 7
a) Limita ve vlastním hromadném bodě 8
b) Limita v nevlastním bodě 15
c) Uži věty o limitě složené funkce 20
Spojitost funkce 26
Asymptoty ke grafu funkce 36
Výpočet derivací 42
Uži základních vzorců a pravidla pro derivování součtu 43
Derivace součinu 45
Derivace podílu 48
Derivace složené funkce 50
Logaritmická derivace 54
Tečna a normála 58
L’ Hospitalovo pravidlo 65
Extrémy 72
a) Lokální extrémy a intervaly monotónnos 73
b) Globální extrémy 79
Inflexní body, intervaly konvexity a konkávity 84
Průběh funkce 93
Využití diferenciálního počtu v praxi 103
Seznam literatury a použitých zdrojů 110
Seznam obrázků 111
Úvod
Cílem textu je seznámení studentů s diferenciální počtem funkce jedné proměnné, a to především
s jeho využi m formou řešených příkladů. Po přečtení textu student správně chápe pojem
funkce a uvědomuje si užitečnost funkcí pro popis vztahů mezi jednotlivými veličinami, rozpoznává
a charakterizuje základní vlastnos funkcí. Pro funkce jedné proměnné bezpečně definuje
limitu funkce, zná vlastnos limit a umí počítat limity rozličných funkcí, rozumí pojmu spojitos
funkce. Chápe a umí definovat derivaci funkce, ru nně zvládá výpočet derivací rozmanitých
funkcí, chápe geometrický význam derivace. Zvládá aplikaci všech vědomos diferenciálního
počtu a umí vyšetřit průběh různých funkcí.
Kapitola 1
Výpočet limit
Po prostudování kapitoly budete umět:
• počítat limity ve vlastním bodě;
• počítat jednostranné limity,
• počítat limity v nevlastním bodě,
• stanovit limitu složené funkce.
Klíčová slova:
Limita, jednostranná limita, vlastní bod, nevlastní bod, složená funkce.
VÝPOČET LIMIT 8
a) Limita ve vlastním hromadném bodě
Příklady, v nichž užíváme úpravy předpisu funkce:
Příklad 1.1 Spočítejte lim
x→4
x2−2x−8
x2−9x+20
.
Řešení
lim
x→4
x2
− 2x − 8
x2 − 9x + 20
=
(
0
0
)
= lim
x→4
(x − 4) (x + 2)
(x − 4) (x − 5)
= lim
x→4
x + 2
x − 5
=
6
−1
= −6
Příklad 1.2 Spočítejte lim
x→−1
x2−2x−3
x2+8x+7
.
Řešení
lim
x→−1
x2
− 2x − 3
x2 + 8x + 7
=
(
0
0
)
= lim
x→−1
(x + 1) (x − 3)
(x + 1) (x + 7)
= lim
x→−1
x − 3
x + 7
=
−4
6
= −
2
3
Příklad 1.3 Spočítejte lim
x→3
2x2−5x−3
3x2−11x+6
.
Řešení
lim
x→3
2x2
− 5x − 3
3x2 − 11x + 6
=
(
0
0
)
= lim
x→3
2
(
x + 1
2
)
(x − 3)
3
(
x − 2
3
)
(x − 3)
= lim
x→3
2x + 1
3x − 2
=
7
7
= 1
Příklad 1.4 Spočítejte lim
x→−2
x3+3x2+2x
x2−x−6
.
Řešení
lim
x→−2
x3
+ 3x2
+ 2x
x2 − x − 6
=
(
0
0
)
= lim
x→−2
x (x2
+ 3x + 2)
x2 − x − 6
=
= lim
x→−2
x (x + 1) (x + 2)
(x + 2) (x − 3)
= lim
x→−2
x (x + 1)
x − 3
=
2
−5
= −
2
5
Příklad 1.5 Spočítejte lim
x→1
x3+2x2−x−2
x2−1
.
Řešení
lim
x→1
x3
+ 2x2
− x − 2
x2 − 1
=
(
0
0
)
= lim
x→1
x2
(x + 2) − (x + 2)
x2 − 1
= lim
x→1
(x + 2) (x2
− 1)
x2 − 1
=
= lim
x→1
(x + 2) = 3
9 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.6 Spočítejte lim
x→−1
x4−1
x3+5x2+5x+1
.
Řešení
lim
x→−1
x4
− 1
x3 + 5x2 + 5x + 1
=
(
0
0
)
= lim
x→−1
x4
− 1
(x3 + 1) + 5x (x + 1)
=
= lim
x→−1
(x2
+ 1) (x + 1) (x − 1)
(x + 1) [(x2 − x + 1) + 5x]
= lim
x→−1
(x2
+ 1) (x − 1)
x2 + 4x + 1
=
2 · (−2)
1 − 4 + 1
=
−4
−2
= 2
Příklad 1.7 Spočítejte lim
x→5
√
x−1−2
x2−4x−5
.
Řešení
lim
x→5
√
x − 1 − 2
x2 − 4x − 5
=
(
0
0
)
= lim
x→5
(√
x − 1 − 2
) (√
x − 1 + 2
)
(x2 − 4x − 5)
(√
x − 1 + 2
) =
= lim
x→5
(√
x − 1
)2
− 22
(x2 − 4x − 5)
(√
x − 1 + 2
) =
= lim
x→5
x − 1 − 4
(x − 5) (x + 1)
(√
x − 1 + 2
) = lim
x→5
1
(x + 1)
(√
x − 1 + 2
) =
1
6
(√
4 + 2
) =
1
24
Příklad 1.8 Spočítejte lim
x→0
3√
1+x2−1
x2 .
Řešení
lim
x→0
3
√
1 + x2 − 1
x2
=
(
0
0
)
= lim
x→0
( 3
√
1 + x2 − 1
)
(
3
√
(1 + x2)2
+ 3
√
1 + x2 + 1
)
x2
(
3
√
(1 + x2)2
+ 3
√
1 + x2 + 1
) =
= lim
x→0
( 3
√
1 + x2
)3
− 13
x2
(
3
√
(1 + x2)2
+ 3
√
1 + x2 + 1
) = lim
x→0
1 + x2
− 1
x2
(
3
√
(1 + x2)2
+ 3
√
1 + x2 + 1
) =
= lim
x→0
1
3
√
(1 + x2)2
+ 3
√
1 + x2 + 1
=
1
3
√
12 + 3
√
1 + 1
=
1
3
Příklad 1.9 Spočítejte lim
x→2
x−2√
7+x−3
.
Řešení
lim
x→2
x − 2
√
7 + x − 3
=
(
0
0
)
= lim
x→2
(x − 2)
(√
7 + x + 3
)
(√
7 + x − 3
) (√
7 + x + 3
) =
= lim
x→2
(x − 2)
(√
7 + x + 3
)
7 + x − 9
= lim
x→2
(x − 2)
(√
7 + x + 3
)
x − 2
= lim
x→2
(√
7 + x + 3
)
= 6
VÝPOČET LIMIT 10
Příklad 1.10 Spočítejte lim
x→1
( 1
x−1
− 3
x3−1
)
.
Řešení
lim
x→1
(
1
x − 1
−
3
x3 − 1
)
= (∞ − ∞) = lim
x→1
x2
+ x + 1 − 3
(x − 1) (x2 + x + 1)
=
= lim
x→1
x2
+ x − 2
(x − 1) (x2 + x + 1)
=
(
0
0
)
= lim
x→1
(x − 1) (x + 2)
(x − 1) (x2 + x + 1)
=
= lim
x→1
x + 2
x2 + x + 1
=
3
3
= 1
Příklad 1.11 Spočítejte lim
x→1
( 1
x2−1
− 2
x4−1
)
.
Řešení
lim
x→1
(
1
x2 − 1
−
2
x4 − 1
)
= (∞ − ∞) = lim
x→1
x2
+ 1 − 2
(x2 − 1) (x2 + 1)
=
= lim
x→1
x2
− 1
(x2 − 1) (x2 + 1)
=
(
0
0
)
= lim
x→1
1
x2 + 1
=
1
2
Příklad 1.12 Spočítejte lim
x→ 1
2
(
8x3−1
6x2−5x+1
− 2x2+x−1
2x2−7x+3
)
.
Řešení
= lim
x→ 1
2
(
8x3
− 1
6x2 − 5x + 1
−
2x2
+ x − 1
2x2 − 7x + 3
)
= lim
x→ 1
2
8x3
− 1
6x2 − 5x + 1
− lim
x→ 1
2
2x2
+ x − 1
2x2 − 7x + 3
=
=
(
0
0
)
−
(
0
0
)
= lim
x→ 1
2
(2x − 1) (4x2
+ 2x + 1)
6
(
x − 1
2
) (
x − 1
3
) − lim
x→ 1
2
2
(
x − 1
2
)
(x + 1)
2
(
x − 1
2
)
(x − 3)
=
= lim
x→ 1
2
(2x − 1) (4x2
+ 2x + 1)
(2x − 1) (3x − 1)
− lim
x→ 1
2
x + 1
x − 3
= lim
x→ 1
2
4x2
+ 2x + 1
3x − 1
−
3
2
−5
3
=
=
4 · 1
4
+ 2 · 1
2
+ 1
3 · 1
2
− 1
−
(
−
9
10
)
=
3
1
2
+
9
10
= 6 +
9
10
=
69
10
Výpočet jednostranných limit a uži věty o jednostranných limitách a
”
oboustranné“ limitě:
Příklad 1.13 Spočítejte lim
x→4
3x−15
x−4
.
Řešení
lim
x→4
3x − 15
x − 4
=
[
−3
0
]
lim
x→4+
3x − 15
x − 4
=
[
−3
→ 0+
]
= −∞
lim
x→4−
3x − 15
x − 4
=
[
−3
→ 0−
]
= +∞
lim
x→4+
3x − 15
x − 4
̸= lim
x→4−
3x − 15
x − 4
=⇒ lim
x→4
3x − 15
x − 4
neexistuje
11 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.14 Spočítejte lim
x→−3
2x
(x+3)2 .
Řešení
lim
x→−3
2x
(x + 3)2 =
[
−6
0
]
lim
x→−3+
2x
(x + 3)2 =
[
−6
→ 0+
]
= −∞
lim
x→−3−
2x
(x + 3)2 =
[
−6
→ 0+
]
= −∞
lim
x→−3+
2x
(x + 3)2 = lim
x→−3−
2x
(x + 3)2 =⇒ lim
x→−3
2x
(x + 3)2 = −∞
Příklad 1.15 Spočítejte lim
x→−1
x
(1−x2)3 .
Řešení
lim
x→−1
x
(1 − x2)3 =
[
−1
0
]
lim
x→−1+
x
(1 − x2)3 =
[
−1
→ 0+
]
= −∞
lim
x→−1−
x
(1 − x2)3 =
[
−1
→ 0−
]
= +∞
lim
x→−1+
x
(1 − x2)3 ̸= lim
x→−1−
x
(1 − x2)3 =⇒ lim
x→−1
x
(1 − x2)3 neexistuje
Příklad 1.16 Spočítejte lim
x→0
|x|
x
.
Řešení
lim
x→0
|x|
x
=
(
0
0
)
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0
1 = 1
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
(−1) = −1
lim
x→0+
|x|
x
̸= lim
x→0−
|x|
x
=⇒ lim
x→0
|x|
x
neexistuje
VÝPOČET LIMIT 12
Příklad 1.17 Spočítejte lim
x→0
x3+|x|
|x|
.
Řešení
lim
x→0
x3
+ |x|
|x|
=
(
0
0
)
lim
x→0+
x3
+ |x|
|x|
= lim
x→0+
x3
+ x
x
= lim
x→0+
x (x2
+ 1)
x
= lim
x→0+
(
x2
+ 1
)
= 1
lim
x→0−
x3
+ |x|
|x|
= lim
x→0−
x3
− x
−x
= lim
x→0−
x (x2
− 1)
−x
= lim
x→0−
[
−
(
x2
− 1
)]
= 1
lim
x→0+
x3
+ |x|
|x|
= lim
x→0−
x3
+ |x|
|x|
=⇒ lim
x→0
x3
+ |x|
|x|
= 1
Příklad 1.18 Spočítejte lim
x→5
2x|x−5|
x−5
.
Řešení
lim
x→5
2x |x − 5|
x − 5
=
(
0
0
)
lim
x→5+
2x |x − 5|
x − 5
= lim
x→5+
2x (x − 5)
x − 5
= lim
x→5+
2x = 10
lim
x→5−
2x |x − 5|
x − 5
= lim
x→5−
2x (−x + 5)
x − 5
= lim
x→5−
(−2x) = −10
lim
x→5+
2x |x − 5|
x − 5
̸= lim
x→5−
2x |x − 5|
x − 5
=⇒ lim
x→5
2x |x − 5|
x − 5
neexistuje
Příklad 1.19 Spočítejte lim
x→−6
x+2
|x(6+x)|
.
Řešení
lim
x→−6
x + 2
|x (6 + x)|
=
[
−4
→ 0+
]
= −∞
Uži goniometrických vzorců při výpočtu limit:
Příklad 1.20 Spočítejte lim
x→ π
2
cos x
2
−sin x
2
cos x
.
Řešení
lim
x→π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
=
(
0
0
)
= lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos2 x
2
− sin2 x
2
=
= lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2(
cos x
2
− sin x
2
) (
cos x
2
+ sin x
2
) = lim
x→ π
2
1
cos x
2
+ sin x
2
=
1
cos π
4
+ sin π
4
=
=
1
√
2
2
+
√
2
2
=
1
√
2
=
√
2
2
13 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.21 Spočítejte lim
x→ π
2
cos 2x+sin2 x
1−sin x
.
Řešení
lim
x→π
2
cos 2x + sin2
x
1 − sin x
=
(
0
0
)
= lim
x→ π
2
cos2
x − sin2
x + sin2
x
1 − sin x
= lim
x→ π
2
cos2
x
1 − sin x
=
(
0
0
)
=
= lim
x→ π
2
1 − sin2
x
1 − sin x
= lim
x→ π
2
(1 − sin x) (1 + sin x)
1 − sin x
=
= lim
x→ π
2
(1 + sin x) = 1 + sin
π
2
= 1 + 1 = 2
Příklad 1.22 Spočítejte lim
x→ π
4
x(1−tg x)
cos 2x
.
Řešení
lim
x→π
4
x (1 − tg x)
cos 2x
=
(
0
0
)
= lim
x→ π
4
x
(
1 − sin x
cos x
)
cos2 x − sin2
x
= lim
x→ π
4
x · cos x−sin x
cos x
(cos x − sin x) (cos x + sin x)
=
= lim
x→ π
4
x
cos x (cos x + sin x)
=
π
4
cos π
4
(
cos π
4
+ sin π
4
) =
π
4
√
2
2
(√
2
2
+
√
2
2
) =
π
4
√
2
2
·
√
2
=
=
π
4
1
=
π
4
Příklad 1.23 Spočítejte lim
x→π
tg x
sin 2x
.
Řešení
lim
x→π
tg x
sin 2x
=
(
0
0
)
= lim
x→π
sin x
cos x
2 sin x · cos x
= lim
x→π
sin x
2 sin x · cos2 x
= lim
x→π
1
2 · cos2 x
=
=
1
2 cos2 π
=
1
2 (−1)2 =
1
2
VÝPOČET LIMIT 14
Příklad 1.24 Spočítejte lim
x→0
√
1+tg x−
√
1−tg x
sin x
.
Řešení
lim
x→0
√
1 + tg x −
√
1 − tg x
sin x
=
(
0
0
)
=
= lim
x→0
(√
1 + tg x −
√
1 − tg x
) (√
1 + tg x +
√
1 − tg x
)
sin x
(√
1 + tg x +
√
1 − tg x
) =
= lim
x→0
1 + tg x − 1 + tg x
sin x
(√
1 + tg x +
√
1 − tg x
) = lim
x→0
2 tg x
sin x
(√
1 + tg x +
√
1 − tg x
) =
= lim
x→0
1
√
1 + tg x +
√
1 − tg x
· lim
x→0
2 sin x
cos x
sin x
=
1
√
1 + 0 +
√
1 − 0
· lim
x→0
2
cos x
=
1
2
·
2
cos 0
=
=
1
2
·
2
1
= 1
Využi vzorců lim
x→0
sin x
x
= 1 a lim
x→0
tg x
x
= 1:
Příklad 1.25 Spočítejte lim
x→0
sin 3x
tg 2x
.
Řešení
lim
x→0
sin 3x
tg x
=
(
0
0
)
= lim
x→0
3sin 3x
3x
2tg 2x
2x
=
3 · 1
2 · 1
=
3
2
Příklad 1.26 Spočítejte lim
x→0
tg 3
2
x
sin x
3
.
Řešení
lim
x→0
tg 3
2
x
sin x
3
=
(
0
0
)
= lim
x→0
3
2
tg 3
2
x
3
2
x
1
3
sin x
3
x
3
=
3
2
· 1
1
3
· 1
=
9
2
Příklad 1.27 Spočítejte lim
x→0
sin2 x
2
tg 3x
.
Řešení
lim
x→0
sin2 x
2
tg 3x
=
(
0
0
)
= lim
x→0
sin2 x
2
(x
2 )
2 ·
(x
2
)2
tg 3x
3x
· 3x
= lim
x→0
sin2 x
2
(x
2 )
2
x
4
tg 3x
3x
· 3
=
12
· 0
4
1 · 3
=
0
3
= 0
15 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.28 Spočítejte lim
x→0
x·sin 2x
tg2 x
4
.
Řešení
lim
x→0
x · sin 2x
tg2 x
4
=
(
0
0
)
= lim
x→0
x · sin 2x
2x
· 2x
tg x
4
x
4
·
tg x
4
x
4
·
(x
4
)2
= lim
x→0
sin 2x
2x
· 2x2
(
tg x
4
x
4
)2
· x2
16
= lim
x→0
sin 2x
2x
· 2
(
tg x
4
x
4
)2
· 1
16
=
=
1 · 2
12 · 1
16
= 32
Příklad 1.29 Spočítejte lim
x→0
5
2
x−sin 4x
2·tg x
5
−6x
.
Řešení
lim
x→0
5
2
x − sin 4x
2 · tg x
5
− 6x
=
(
0
0
)
= lim
x→0
5
2
x−sin 4x
x
2 tg x
5
−6x
x
= lim
x→0
5
2
− sin 4x
4x
· 4
2 ·
tg x
5
x
5
· 1
5
− 6
=
5
2
− 1 · 4
2 · 1 · 1
5
− 6
=
−3
2
−28
5
=
=
15
56
b) Limita v nevlastním bodě
Využi vzorce lim
x→±∞
1
x
= 0 :
Příklad 1.30 Spočítejte lim
x→∞
(2x3
+ 3x2
− 10).
Řešení
lim
x→∞
(
2x3
+ 3x2
− 10
)
= 2 · ∞3
+ 3 · ∞2
− 10 = ∞ + ∞ − 10 = +∞
Příklad 1.31 Spočítejte lim
x→−∞
(2x3
+ 3x2
− 10).
Řešení
lim
x→−∞
(
2x3
+ 3x2
− 10
)
= 2 (−∞)3
+ 3 (−∞)2
− 10 = −∞ + ∞ − 10 = (∞ − ∞) =
= lim
x→−∞
[
x3
(
2 +
3
x
−
10
x3
)]
= lim
x→−∞
x3
· lim
x→−∞
(
2 +
3
x
−
10
x3
)
= (−∞)3
(2 + 0 − 0) =
= −∞ · 2 = −∞
VÝPOČET LIMIT 16
Příklad 1.32 Spočítejte lim
x→∞
(
1
105 x4
+ 50x3
− 510
x
)
.
Řešení
lim
x→∞
(
1
105
x4
+ 50x3
−
510
x
)
=
1
105
∞4
+ 50∞3
−
510
∞
= ∞ + ∞ − 0 = +∞
Příklad 1.33 Spočítejte lim
x→−∞
(
1
105 x4
+ 50x3
− 510
x
)
.
Řešení
lim
x→−∞
(
1
105
x4
+ 50x3
−
510
x
)
=
1
105
(−∞)4
+ 50 (−∞)3
−
510
−∞
= ∞ − ∞ + 0 =
= (∞ − ∞) = lim
x→−∞
[
x4
(
1
105
+
50
x
−
510
x5
)]
= lim
x→−∞
x4
· lim
x→∞
(
1
105
+
50
x
−
510
x5
)
=
= (−∞)4
(
1
105
+ 0 − 0
)
= +∞
Poznámka.
Srovnej výpočty limit v příkladech 1.30 - 1.33. V příkladech 1.30 a 1.32 byly operace s nevlastními
čísly definovány; nenastaly žádné problémy. Napro tomu v příkladech 1.31 a 1.33 jsme
dospěli k neurčitým výrazům, proto jsme museli nejprve limitovanou funkci upravit, abychom
dospěli k výsledku.
Příklad 1.34 Spočítejte lim
x→∞
x3−3x+5
6+3x2−2x3 .
Řešení
lim
x→∞
x3
− 3x + 5
6 + 3x2 − 2x3
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
x3
(
1 − 3
x2 + 5
x3
)
x3
( 6
x3 + 3
x
− 2
) = lim
x→∞
1 − 3
x2 + 5
x3
6
x3 + 3
x
− 2
=
1 − 0 + 0
0 + 0 − 2
=
= −
1
2
Příklad 1.35 Spočítejte lim
x→−∞
6x3−2
2+3x2 .
Řešení
lim
x→−∞
6x3
− 2
2 + 3x2
=
(∞
∞
)
= lim
x→−∞
x3
(
6 − 2
x3
)
x2
( 2
x2 + 3
) = lim
x→−∞
x
(
6 − 2
x3
)
2
x2 + 3
=
−∞ (6 − 0)
0 + 3
=
=
−6∞
3
= −∞
17 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.36 Spočítejte lim
x→±∞
7x2−3x
4x3+6
.
Řešení
lim
x→±∞
7x2
− 3x
4x3 + 6
=
(∞
∞
)
= lim
x→±∞
x2
(
7 − 3
x
)
x3
(
4 + 6
x3
) = lim
x→±∞
7 − 3
x
x
(
4 + 6
x3
) =
7 − 0
±∞ (4 + 0)
=
=
7
±∞
= 0
Příklad 1.37 Spočítejte lim
x→∞
(√
x2 − 3x − 10 − x
)
.
Řešení
lim
x→∞
(√
x2 − 3x − 10 − x
)
= (∞ − ∞) =
= lim
x→∞
(√
x2 − 3x − 10 − x
) (√
x2 − 3x − 10 + x
)
√
x2 − 3x − 10 + x
=
= lim
x→∞
x2
− 3x − 10 − x2
√
x2 − 3x − 10 + x
= lim
x→∞
−3x − 10
√
x2 − 3x − 10 + x
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
−3x−10
x
√
x2−3x−10+x
x
=
= lim
x→∞
−3 − 10
x
√
x2−3x−10
x2 + 1
= lim
x→∞
−3 − 10
x
√
1 − 3
x
+ 10
x2 + 1
=
−3 − 0
√
1 − 0 + 0 + 1
=
−3
2
Příklad 1.38 Spočítejte lim
x→∞
3√
x3+2x−1
x+2
.
Řešení
lim
x→∞
3
√
x3 + 2x − 1
x + 2
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
3√
x3+2x−1
x
x+2
x
= lim
x→∞
√
x3+2x−1
x3
1 + 2
x
=
= lim
x→∞
√
1 + 2
x2 − 1
x3
1 + 2
x
=
√
1
1
= 1
Příklad 1.39 Spočítejte lim
x→∞
√
9x2+2x
x+1
a lim
x→−∞
√
9x2+2x
x+1
.
Řešení
lim
x→∞
√
9x2 + 2x
x + 1
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
√
9x2+2x
x
x+1
x
= lim
x→∞
√
9x2+2x
x2
1 + 1
x
= lim
x→∞
√
9 + 2
x
1 + 1
x
=
=
√
9 + 0
1 + 0
=
√
9 = 3
VÝPOČET LIMIT 18
Pozor!
√
x2 = |x|
Pokud x → +∞, pak
√
x2 = x
Pokud x → −∞, pak
√
x2 = −x =⇒ x = −
√
x2
lim
x→−∞
√
9x2 + 2x
x + 1
=
(∞
∞
)
= lim
x→−∞
√
9x2+2x
x
x+1
x
= lim
x→−∞
−
√
9x2+2x
x2
1 + 1
x
= lim
x→−∞
−
√
9 + 2
x
1 + 1
x
=
=
−
√
9
1
= −3
Příklad 1.40 Spočítejte lim
x→±∞
[
2x2+1
3−x2 ·
(
1 + 2
x
+ 3x−4
15x2+5
)]
.
Řešení
lim
x→±∞
[
2x2
+ 1
3 − x2
·
(
1 +
2
x
+
3x − 4
15x2 + 5
)]
=
= lim
x→±∞
2x2
+ 1
3 − x2
· lim
x→±∞
(
1 +
2
x
+
3x − 4
15x2 + 5
)
=
= lim
x→±∞
x2
(
2 + 1
x2
)
x2
( 3
x2 − 1
) · lim
x→±∞
(
1 +
2
x
+
x
(
3 − 4
x
)
x2
(
15 + 5
x2
)
)
=
2
−1
·
(
1 + 0 +
3
±∞
)
=
= −2 · (1 + 0 + 0) = −2
Příklad 1.41 Spočítejte lim
x→±∞
[
6x2+15
2x3−5x
+ 10x5−x6
10+x5
]
.
Řešení
lim
x→±∞
[
6x2
+ 15
2x3 − 5x
+
10x5
− x6
10 + x5
]
= lim
x→±∞
x2
(
6 + 15
x2
)
x3
(
2 − 5
x2
) + lim
x→±∞
x6
(10
x
− 1
)
x5
(10
x5 + 1
) =
=
6 + 0
±∞ (2 − 0)
+
±∞ (0 − 1)
0 + 1
= 0 ± ∞(−1) = 0 ∓ ∞ = ∓∞
Využi vzorce lim
x→∞
ax
=



0 pro a ∈ (−1, 1)
1 pro a = 1
∞ pro a > 1
neexistuje pro a ≤ −1
Příklad 1.42 Spočítejte lim
x→∞
3x−2·5x+2
5·6x−3·4x−1 .
Řešení
lim
x→∞
3x
− 2 · 5x+2
5 · 6x − 3 · 4x−1
= lim
x→∞
3x−2·5x+2
6x
5·6x−3·4x−1
6x
= lim
x→∞
(3
6
)x
− 2 ·
(5
6
)x
· 52
5 · 1 − 3 ·
(4
6
)x−1
· 1
6
=
= lim
x→∞
(1
2
)x
− 2
(5
6
)x
· 25
5 − 3
(2
3
)x−1
· 1
6
=
0 − 2 · 0 · 25
5 − 3 · 0 · 1
6
=
0
5
= 0
19 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.43 Spočítejte lim
x→∞
3·7x+1−2·4x
5·7x+2+1
2
(−5)x−1 .
Řešení
lim
x→∞
3 · 7x+1
− 2 · 4x
5 · 7x+2 + 1
2
(−5)x−1 = lim
x→∞
3·7x+1−2·4x
7x
5·7x+2+1
2
(−5)x−1
7x
= lim
x→∞
3 · 7 · 1 − 2
(4
7
)x
5 · 72 · 1 + 1
2
·
(
−5
7
)x
· 1
7
=
=
3 · 7 − 2 · 0
5 · 72 + 1
2
· 0 · 1
7
=
3
35
Příklad 1.44 Spočítejte lim
x→∞
(1
2 )
x
−2·3x−1+5x+1
2·(3
4 )
x−1
+6·5x
.
Řešení
lim
x→∞
(1
2
)x
− 2 · 3x−1
+ 5x+1
2 ·
(3
4
)x−1
+ 6 · 5x
= lim
x→∞
(1
2 )
x
−2·3x−1+5x+1
5x
2·(3
4 )
x−1
+6·5x
5x
= lim
x→∞
( 1
10
)x
− 2 ·
(3
5
)x−1
· 1
5
+ 5
2 ·
( 3
20
)x−1
· 1
5
+ 6 · 1
=
=
0 − 2 · 0 · 1
5
+ 5
2 · 0 · 1
5
+ 6
=
5
6
Využi vzorců lim
x→±∞
(
1 + 1
x
)x
= e, lim
x→±∞
(
1 + k
x
)x
= ek
, k ∈ R\ {0} a věty o limitě
složené funkce:
Příklad 1.45 Spočítejte lim
x→∞
( x
x−3
)x
.
Řešení
lim
x→∞
(
x
x − 3
)x
= lim
x→∞
(
x − 3 + 3
x − 3
)x
= lim
x→∞
(
1 +
3
x − 3
)x
=
= lim
x→∞
(
1 +
3
x − 3
)x−3+3
= lim
x→∞
[(
1 +
3
x − 3
)x−3
·
(
1 +
3
x − 3
)3
]
=
= lim
x→∞
(
1 +
3
x − 3
)x−3
· lim
x→∞
(
1 +
3
x − 3
)3
= e3
· (1 + 0)3
= e3
Příklad 1.46 Spočítejte lim
x→∞
(x+3
x−2
)3x
.
Řešení
lim
x→∞
(
x + 3
x − 2
)3x
= lim
x→∞
[(
x − 2 + 2 + 3
x − 2
)x]3
= lim
x→∞
[(
1 +
5
x − 2
)x]3
=
= lim
x→∞
[(
1 +
5
x − 2
)x−2+2
]3
= lim
x→∞
[(
1 +
5
x − 2
)x−2
·
(
1 +
5
x − 2
)2
]3
=
=
[
e5
· (1 + 0)2]3
= e15
VÝPOČET LIMIT 20
Příklad 1.47 Spočítejte lim
x→−∞
(2x−1
2x+3
)x+1
3
.
Řešení
lim
x→−∞
(
2x − 1
2x + 3
)x+1
3
= lim
x→−∞
(
2x + 3 − 3 − 1
2x + 3
)x+1
3
=
= lim
x→−∞
{[(
1 −
4
2x + 3
)x]1
3
·
(
1 −
4
2x + 3
)1
3
}
=
= lim
x→−∞



[(
1 +
−4
2x + 3
)2x+3−3
2
]1
3
·
(
1 +
−4
2x + 3
)1
3



=
= lim
x→−∞



[(
1 +
−4
2x + 3
)2x+3
]1
6
·
(
1 +
−4
2x + 3
)1
3
−1
2



=
(
e−4
)1
6
· (1 + 0)−1
6 =
= e−4
6 · 1 = e−2
3
c) Užití věty o limitě složené funkce
Příklad 1.48 Spočítejte lim
x→±∞
sin 1
x
.
Řešení
lim
x→±∞
sin
1
x
= sin
[
lim
x→±∞
1
x
]
= sin 0 = 0
Příklad 1.49 Spočítejte lim
x→±∞
e
1
(x−2)2
.
Řešení
lim
x→±∞
e
1
(x−2)2
= e
lim
x→±∞
1
(x−2)2
= e0
= 1
lim
x→±∞
1
(x − 2)2 =
[
1
∞
]
= 0
21 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.50 Spočítejte lim
x→3
e
1
(x−3)2
.
Řešení
lim
x→3
e
1
(x−3)2
= e
lim
x→3
1
(x−3)2
= [e∞
] = +∞
lim
x→3
1
(x − 3)2 =
[
1
0
]
= +∞
lim
x→3+
1
(x − 3)2 =
[
1
→ 0+
]
= +∞
lim
x→3−
1
(x − 3)2 =
[
1
→ 0+
]
= +∞
Příklad 1.51 Spočítejte lim
x→∞
e
3−x3
4x+x2
.
Řešení
lim
x→∞
e
3−x3
4x+x2
= e
lim
x→∞
3−x3
4x+x2
=
[
e−∞
]
= 0
lim
x→∞
3 − x3
4x + x2
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
x3
( 3
x3 − 1
)
x2
(4
x
+ 1
) =
∞ · (−1)
1
= −∞
Příklad 1.52 Spočítejte lim
x→−∞
ln x+3
x−2
.
Řešení
lim
x→−∞
ln
x + 3
x − 2
= ln
[
lim
x→−∞
x + 3
x − 2
]
= ln 1 = 0
lim
x→−∞
x + 3
x − 2
=
(∞
∞
)
= lim
x→−∞
x
(
1 + 3
x
)
x
(
1 − 2
x
) = 1
Příklad 1.53 Spočítejte lim
x→3
ln x2−x+4
(x−3)2 .
Řešení
lim
x→3
ln
x2
− x + 4
(x − 3)2 = ln
[
lim
x→3
x2
− x + 4
(x − 3)2
]
= [ln ∞] = ∞
lim
x→3
x2
− x + 4
(x − 3)2 =
[
10
→ 0+
]
= +∞
VÝPOČET LIMIT 22
Příklad 1.54 Spočítejte lim
x→−1
e
1−x
x+1 .
Řešení
lim
x→−1
e
1−x
x+1 = e
lim
x→−1
1−x
x+1
lim
x→−1
1 − x
x + 1
=
[
2
0
]
lim
x→−1−
1 − x
x + 1
=
[
2
→ 0−
]
= −∞
lim
x→−1−
e
1−x
x+1 = e
lim
x→−1
1−x
x+1
=
[
e−∞
]
= 0
lim
x→−1+
1 − x
x + 1
=
[
2
→ 0+
]
= +∞
lim
x→−1+
e
1−x
x+1 = e
lim
x→−1
1−x
x+1
=
[
e+∞
]
= ∞
lim
x→−1+
e
1−x
x+1 ̸= lim
x→−1−
e
1−x
x+1 =⇒ lim
x→−1
e
1−x
x+1 neexistuje
Poznámka.
Neexistence lim
x→−1
e
1−x
x+1 plyne již z toho, že neexistuje lim
x→−1
1−x
x+1
.
Příklad 1.55 Spočítejte lim
x→±∞
arctg x2−2
x2+5x
.
Řešení
lim
x→±∞
arctg
x2
− 2
x2 + 5x
= arctg
[
lim
x→±∞
x2
− 2
x2 + 5x
]
= arctg 1 =
π
4
lim
x→±∞
x2
− 2
x2 + 5x
=
(∞
∞
)
= lim
x→±∞
x2
(
1 − 2
x2
)
x2
(
1 + 5
x
) = 1
Příklad 1.56 Spočítejte lim
x→±∞
arccotg 1
x2 .
Řešení
lim
x→±∞
arccotg
1
x2
= arccotg
[
lim
x→±∞
1
x2
]
= arccotg 0 =
π
2
23 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 1.57 Spočítejte lim
x→∞
arccotg 2x4
x−1
a lim
x→−∞
arccotg 2x4
x−1
.
Řešení
lim
x→∞
arccotg
2x4
x − 1
= arccotg
[
lim
x→∞
2x4
x − 1
]
= [arccotg ∞] = 0
lim
x→∞
2x4
x − 1
=
(∞
∞
)
= lim
x→∞
2x4
x
(
1 − 1
x
) = lim
x→∞
2x3
1 − 1
x
= ∞
lim
x→−∞
arccotg
2x4
x − 1
= arccotg
[
lim
x→−∞
2x4
x − 1
]
= [arccotg (−∞)] = π
lim
x→−∞
2x4
x − 1
=
(∞
∞
)
= lim
x→−∞
2x4
x
(
1 − 1
x
) = lim
x→−∞
2x3
1 − 1
x
= −∞
VÝPOČET LIMIT 24
Limita funkce f pro x → x0 se rovná L, když pro každou posloupnost bodů
xn → x0, x ̸= 0 konverguje posloupnost funkčních hodnot f (xn) → (x0).
Funkce může mít limitu vlastní popř. nevlastní. Pokud má funkce limitu, je tato
limita jediná a je rovna společné hodnotě jednostranných limit funkce.
Při výpočtu limit uplatňujeme následující pravidla: Limita součtu je rovna součtu
limit. Limita součinu je rovna součinu limit. Výpočet limity složené začínáme od
vnitřní složky. Je dobré si zapamatovat, že:
lim
x→0±
1
x
= ±∞, lim
x→±∞
1
x
= 0, lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
Výpočet limity zahájíme dosazením limitní hodnoty za proměnnou. Pokud obdržíme
neurčitý výraz, je třeba funkci vhodným způsobem upravit.
1. Vypočítejte limity.
• lim
x→−3
x2−9
x2+x−6
[6
5
]
• lim
x→7
√
x+2−3
x2−6x−7
[ 1
48
]
• lim
x→5
x2−20
(x−5)2
[+∞]
• lim
x→∞
(
6x+7
5x8−9x3 − x3−6x6
2+x3
)
[+∞]
• lim
x→2
x2−4
x2+x−6
[4
5
]
• lim
x→6
x−6√
x+3−3
[6]
• lim
x→3
x2+2
x−3
[neexistuje]
• lim
x→4
x2−2x−8
x2−5x+4
[2]
• lim
x→4
x2−20
(x−4)2
[−∞]
• lim
x→∞
(
5x3−4x
7x+2
− 6x+1
x3+5
)
[+∞]
• lim
x→+∞
( 3
√
x3 + x2 + 1 − 3
√
x3 − x2 + 1
)
[2
3
]
• lim
x→±∞
(√
1 + x + x2 −
√
1 − x + x2
)
[±1]
25 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
• lim
x→+∞
(3x−5
3x+7
)2x−1
4
[e−2
]
• lim
x→−1−
ln x+1
x−1
[−∞]
• lim
x→1+
ln x+1
x−1
[+∞]
• lim
x→±∞
ln x+1
x−1
[0]
• lim
x→±∞
arctg x
x+1
[π
4
]
• lim
x→0
arccotg 1
x2
[0]
• lim
x→4
e
2−
√
x
3−
√
2x+1
[
e
3
4
]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 2
Spojitost funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozhodnout, zda je funkce v daném bodě spojitá či nespojitá;
• rozlišit jednotlivé typy bodů nespojitos ,
• vytvořit si grafickou představu o tom, jak vypadá situace v okolí bodu nespojitos
.
Klíčová slova:
Funkce spojitá v bodě, funkce spojitá na intervalu, bod odstranitelné nespojitos
, nespojitost 1. druhu, nespojitost 2. druhu.
27 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 2.1 Vyšetřete body nespojitos funkce y = x−6√
x−2−2
.
Řešení
D(f):
√
x − 2 − 2 ̸= 0 ∧ x − 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ̸= 6 ∧ x ≥ 2
x ∈ ⟨2, 6) ∪ (6, ∞)
Funkce není definovaná v bodě x = 6.
Vyšetříme jednostranné limity v tomto bodě.
lim
x→6±
x − 6
√
x − 2 − 2
=
[
0
0
]
= lim
x→6±
(x − 6)
(√
x − 2 + 2
)
x − 2 − 4
= lim
x→6±
(√
x − 2 + 2
)
= 4
Protože obě jednostranné limity jsou konečné a rovnají se, má funkce v bodě x = 6 odstranitelnou
nespojitost.
Příklad 2.2 Vyšetřete body nespojitos funkce y = arctg 1
x+1
.
Řešení
D(f): x + 1 ̸= 0 ⇐⇒ x ̸= −1
x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, ∞)
V bodě x = −1 funkce není definována, proto zde spočítáme jednostranné limity.
lim
x→−1−
arctg
1
x + 1
=
označme 1
x+1
= t
x → −1−
⇒ t → −∞
= lim
x→−∞
arctg t = −
π
2
lim
x→−1+
arctg
1
x + 1
=
označme 1
x+1
= t
x → −1+
⇒ t → +∞
= lim
x→+∞
arctg t =
π
2
Spočtené jednostranné limity jsou konečné různé, funkce má proto v bodě x = −1 nespojitost
I. druhu se skokem π
2
−
(
−π
2
)
= π.
Příklad 2.3 Vyšetřete body nespojitos funkce y = x4−2x
x2−4
.
Řešení
D(f): x2
− 4 ̸= 0 ⇐⇒ x ̸= ±2
x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞)
Spočteme jednostranné limit v bodech -2 a 2.
lim
x→−2±
x4
− 2x
x2 − 4
=
[
20
0
]
= ∓∞
V bodě x = −2 jsou obě jednostranné limity nevlastní. Zadaná funkce má v tomto bodě nespojitost
II. druhu.
lim
x→2±
x4
− 2x
x2 − 4
=
[
12
0
]
= ±∞
V bodě x = 2 jsou obě jednostranné limity nevlastní a proto má zadaná funkce v tomto bodě
nespojitost II. druhu.
SPOJITOST FUNKCE 28
Příklad 2.4 Vyšetřete body nespojitos funkce y = x2+2x
x3−4x
.
Řešení
D(f): x3
− 4x ̸= 0 ⇐⇒ x (x − 2) (x + 2) ̸= 0
x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, ∞)
Jednostranné limity spočteme pro x → −2, 0, 2.
lim
x→−2±
x2
+ 2x
x3 − 4x
=
(
0
0
)
= lim
x→−2±
x (x + 2)
x (x + 2) (x − 2)
= lim
x→−2±
1
x − 2
= −
1
4
Bod x = −2 je bodem odstranitelné nespojitos .
lim
x→0±
x2
+ 2x
x3 − 4x
=
(
0
0
)
= lim
x→0±
x (x + 2)
x (x + 2) (x − 2)
= lim
x→0±
1
x − 2
= −
1
2
Bod x = 0 je bodem odstranitelné nespojitos .
lim
x→2±
x2
+ 2x
x3 − 4x
=
[
8
0
]
= ±∞
Bod x = 2 je bodem nespojitos II. druhu.
Příklad 2.5 Vyšetřete body nespojitos funkce y =
{
sin x
x
pro x < 0
1
x
pro x > 0
.
Řešení
D(f) : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Do definičního oboru nepatří bod 0. Vyšetříme jednostranné limity v tomto bodě.
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
sin x
x
= 1
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
1
x
= ∞
Protože jedna z jednostranných limit je nevlastní, má zadaná funkce v bodě x = 0 nespojitost
II. druhu.
29 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 2.6 Vyšetřete body nespojitos funkce y =



x + 1 pro x < 0
2x pro 0 ≤ x ≤ 1
2 pro x > 1
.
Řešení
D(f) = R
Funkce je sice definovaná pro všechna reálná čísla, ale v bodech x = 0 a x = 1 se předpis mění.
Vypočteme proto jednostranné limity v těchto dvou bodech.
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(x + 1) = 1
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
2x = 0
V bodě x = 2 jsou jednostranné limity konečné a navzájem různé, absolutní hodnota jejich
rozdílu je rovna 1. Zadaná funkce má proto v tomto bodě nespojitost I. druhu se skokem 1.
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2x = 2
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2 = 2
V bodě x = 1 jsou jednostranné limity konečné a rovnají se. Zadaná funkce má proto pro
x → 1 limitu rovnu 2. Současně je tato limita rovna funkční hodnotě v bodě nula. Funkce je
v bodě x = 1 spojitá.
Příklad 2.7 Pojednejte o spojitos funkce f(x) =



x2
+ 1 pro x ∈ ⟨−1, 0) ∪ (0, 1⟩
0 pro x = 0
−1
x
pro |x| > 1
na jejím definičním oboru a načrtněte její graf.
Řešení
D(f) = R; |x| > 1 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) .
Funkce x2
+ 1 je kvadra cká funkce, která je spojitá na svém D(f) = R a odtud plyne, že
je spojitá na každé podmnožině D(f); tedy i na intervalech (−1, 0) a (0, 1). Lineární lomená
funkce −1
x
je spojitá na R\ {0} a z toho plyne, že je spojitá na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞).
Chování funkce v bodech, v nichž se mění její předpis, musíme vyšetřit zvlášť. V našem případě
jsou to body -1, 0, 1.
Pro x → −1:
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
(
−
1
x
)
=
−1
1
= 1
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
(
x2
+ 1
)
= (−1)2
+ 1 = 2 = f (−1) lim
x→−1
f(x) neexistuje
Jednostranné limity jsou vlastní, ale různé, proto bod -1 je bod nespojitos I. druhu se skokem
1.
lim
x→−1+
f(x) − lim
x→−1−
f(x) = |2 − 1| = 1
SPOJITOST FUNKCE 30
Funkce f je spojitá zprava v bodě −1.
Pro x → 0:
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(
x2
+ 1
)
= 02
+ 1 = 1 ̸= f(0); f(0) = 0.
Funkce f má v bodě 0 vlastní limitu, ale ta není rovna f(0). Bod 0 je bod odstranitelné nespojitos
.
Pro x → 1:
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(
x2
+ 1
)
= 12
+ 1 = 2 = f(2)
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(
−
1
x
)
=
−1
1
= −1 lim
x→1
f(x) neexistuje
Jednostranné limity jsou vlastní, ale jsou různé, proto bod 1 je bod nespojitos I. druhu se
skokem 3.
lim
x→1+
f(x) − lim
x→1−
f(x) = |−1 − 2| = |−3| = 3
Funkce f je spojitá zleva v bodě 1.
Závěr: Funkce f je spojitá na intervalech (−∞, −1), ⟨−1, 0), (0, 1⟩ a (1, ∞).
Funkce f má 3 body nespojitos : -1, 0, 1.
1
3 12 1 2
x
1
2
y
Obr. 2.1 Graf funkce f(x)
Zdroj: Vlastní zpracování
Uvědom si a srovnej s grafem funkce f!
V bodě -1 a 1 funkce nemá limitu.
lim
x→0
f(x) = 1
lim
x→±∞
f(x) = 0
31 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 2.8 Pojednejte o spojitos funkce f(x) =
{
−2x
pro x ∈ (−∞, 0)
2
x
pro x ∈ (0, ∞)
na jejím definičním oboru a načrtněte její graf.
Řešení
D(f) = R\ {0} .
Exponenciální funkce −2x
je spojitá na R, je tedy spojitá i na intervalu (−∞, 0) .
Funkce lineární lomená 2
x
je spojitá na R\ {0}, je tedy spojitá i na intervalu (0, ∞).
Bod 0, ve kterém se mění předpis funkce vyšetříme zvlášť pomocí jednostranných limit.
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
2
x
=
[
2
→ 0+
]
= +∞ f(0) neexistuje
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(−2x
) = −20
= −1 lim
x→0
f(x) neexistuje
Jedna z jednostranných limit je nevlastní, proto je bod 0 bodem nespojitos II. druhu.
Závěr: Funkce f je spojitá na intervalech (−∞, 0) a (0, ∞) a má jeden bod nespojitos - 0.
1
2 2 4
x
2
1
y
Obr. 2.2 Graf funkce f(x)
Zdroj: Vlastní zpracování
Uvědom si a srovnej s grafem funkce f!
Přímka o rovnici x = 0 je ver kální asymptota grafu funkce f.
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
2
x
= 0; lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(−2x
) =
[
−
1
2∞
]
= 0
SPOJITOST FUNKCE 32
Příklad 2.9 Pojednejte o spojitos funkce f(x) =



log1
2
x pro x ∈ (0, ∞)
1 pro x = 0
−3
x
pro x ∈ (−∞, 0)
na jejím definičním oboru a načrtněte její graf.
Řešení
D(f) = R
Logaritmická funkce log1
2
x je spojitá na intervalu (0, ∞).
Funkce lineární lomená −3
x
je spojitá na R\ {0} a tedy je spojitá i na intervalu (−∞, 0).
Bod 1, v němž se mění předpis funkce, vyšetříme zvlášť .
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(
−3
x
)
=
[
−3
→ 0−
]
= +∞ lim
x→0
f(x) = +∞
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
log1
2
x = +∞ f(0) = 1
Obě jednostranné limity jsou nevlastní, proto je bod 0 bod nespojitos II. druhu.
Závěr:Funkce f je spojitá na intervalech (−∞, 0) a (0, ∞) a má jeden bod nespojitos - 0.
x 0
3 1 1 3
0
2
1
1
2
y
Obr. 2.3 Graf funkce f(x)
Zdroj: Vlastní zpracování
Uvědom si a srovnej s grafem funkce f!
Přímka o rovnici x = 0 je ver kální asymptota grafu funkce f.
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(
−3
x
)
= 0; lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
log1
2
x = −∞
33 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Funkce f je spojitá v bodě x0, je-li limita funkce f v bodě x0 je rovna funkční
hodnotě f (x0). V takovém případě lim
x→x+
0
f (x) = lim
x→x−
0
f (x). Funkce je spojitá
na intervalu, pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
Body, ve kterých ale lim
x→x+
0
f (x) ̸= lim
x→x−
0
f (x), se nazývají body nespojitos .
Funkce, která není v bodě x0 definovaná, může mít v tomto bodě jeden ze tří
typů nespojitos :
• odstranitelnou nespojitost, když jednostranné limity jsou konečné a rovnají
se,
• nespojitost 1. druhu, pokud jednostranné limity jsou konečné a nerovnají
se,
• nespojitost 2. druhu, pokud alespoň jedna z jednostranných limit je ne-
vlastní.
1. Pojednejte o spojitos funkcí a sestrojte jejich graf.
• f(x) =
{
10 pro x = −5
x2−25
x+5
pro x ̸= −5



























−5 5
−5
−10
−15
5
10
x
y
bod -5 je bod odstranitelné nespojitos
f je spojitá na intervalech (−∞, −5) a (−5, ∞)



























SPOJITOST FUNKCE 34
• f(x) =
{
x pro |x| ≤ 1
1 pro |x| > 1



























−2 −1 1
−2
−1
2
x
y
-1 je bod nespojitos I. druhu se skokem 2
f je spojitá na intervalech (−∞, −1) a ⟨−1, ∞)



























• f(x) = 1
x
+ 4x2


























−2 2 4
−5
5
10
x
y
0 je bod nespojitos II. druhu
f je spojitá na intervalech (−∞, 0) a (0, ∞)


























35 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
2. Určete číslo a ∈ R tak, aby funkce f byla spojitá na celém definičním
oboru.
• f(x) =
{
x4−16
x+2
pro x ̸= −2
a pro x = −2
[a = −32]
• f(x) =
{
e− 1
x2
pro x ̸= 0
a pro x = 0
[a = 0]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 3
Asymptoty ke grafu funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
• napsat a nakreslit k danému grafu asymptotu bez směrnice;
• napsat a nakreslit k danému grafu asymptotu se směrnicí.
Klíčová slova:
Asymptota bez směrnice, jednostranné limity ve vlastním bodě, asymptota se
směrnicí, limity v nevlastních bodech.
37 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 3.1 Určete rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = x3
1+x3 .
Řešení
Určíme D(f) : x3
+ 1 ̸= 0 =⇒ x3
̸= −1 =⇒ x ̸= −1.
D(f) = R\ {−1}.
Bod −1 /∈ D(f), funkce v něm není spojitá.
Určíme jednostranné limity v tomto bodě. Pokud aspoň jedna z nich je nevlastní, pak přímka
o rovnici x = −1 je asymptotou bez směrnice (ver kální asymptotou).
lim
x→−1+
x3
1 + x3
=
[
−1
→ 0+
]
= −∞
lim
x→−1−
x3
1 + x3
=
[
−1
→ 0−
]
= +∞
Přímka o rovnici x = −1 je asymptota bez směrnice. Bod -1 je bod nespojitos II. druhu.
Zjis me, zda graf funkce má asymptoty se směrnicí. Rovnice takové asymptoty je y = kx + q,
přičemž
k = lim
x→±∞
f(x)
x
a q = lim
x→±∞
(f(x) − kx).
V našem případě
k = lim
x→±∞
x3
1+x3
x
= lim
x→±∞
x3
x(1 + x3)
= lim
x→±∞
x3
x + x4
= lim
x→±∞
1
x
1
x3 + 1
= 0
q = lim
x→±∞
(
x3
1 + x3
− 0 · x
)
= lim
x→±∞
x3
1 + x3
= lim
x→±∞
1
1
x3 + 1
= 1
Graf funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = 0 · x + 1, tedy y = 1. (Tato asymptota je
rovnoběžná s osou x, říká se jí horizontální asymptota.)
Graf funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1 a asymptotu se směrnicí o rovnici
y = 1.
y 1
x 1
2 21
3
2
1
2
3
Obr. 3.1 Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x3
1+x3
Zdroj: Vlastní zpracování
ASYMPTOTY KE GRAFU FUNKCE 38
Příklad 3.2 Určete rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = x
1+x2 .
Řešení
Určíme D(f) = R, funkce nemá žádný bod nespojitos , graf funkce nemá asymptoty bez směr-
nice.
Vyšetříme, zda má graf funkce asymptoty se směrnicí, spočítáme tedy k a q.
k = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x
1+x2
x
= lim
x→±∞
1
1 + x2
= lim
x→±∞
1
x2
1
x2 + 1
= 0
q = lim
x→±∞
(f(x) − k · x) = lim
x→±∞
(
x
1 + x2
− 0 · x
)
= lim
x→±∞
1
x
1
x2 + 1
= 0
Rovnice asymptoty se směrnicí je y = kx + q, tedy y = 0 · x + 0 =⇒ y = 0.
Graf funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = 0; je to horizontální asymptota.
y 0
6 4 2 2 4 6
0.6
0.6
Obr. 3.2 Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x
1+x2
Zdroj: Vlastní zpracování
39 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 3.3 Určete rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = x + x
3x−1
.
Řešení
Určíme D(f) = R\
{1
3
}
.
Protože x = 1
3
je bod nespojitos , vyšetříme jednostranné limity
lim
x→ 1
3
+
(
x +
x
3x − 1
)
=
1
3
+
[ 1
3
→ 0+
]
=
1
3
+ ∞ = +∞
lim
x→ 1
3
−
(
x +
x
3x − 1
)
=
1
3
+
[
+1
3
→ 0−
]
=
1
3
− ∞ = −∞
Přímka o rovnici x = 1
3
je ver kální asymptota (asymptota bez směrnice).
Bod 1
3
je bod nespojitos II. druhu.
Zjis me, zda má graf funkce asymptotu se směrnicí.
k = lim
x→±∞
x + x
3x−1
x
= lim
x→±∞
(
1 +
1
3x − 1
)
= 1 + lim
x→±∞
1
x
3 − 1
x
= 1 + 0 = 1
q = lim
x→±∞
(
x +
x
3x − 1
− 1 · x
)
= lim
x→±∞
x
3x − 1
= lim
x→±∞
1
3 − 1
x
=
1
3
y = 1 · x +
1
3
Graf funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 1
3
a asymptotu se směrnicí o rovnici
y = x + 1
3
.
y x
1
3
x
1
3
2 1 1 2
3
2
1
1
2
3
Obr. 3.3 Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x + x
3x−1
Zdroj: Vlastní zpracování
ASYMPTOTY KE GRAFU FUNKCE 40
Příklad 3.4 Určete rovnice všech asymptot grafu funkce f(x) = x2
+ 1
x2 .
Řešení
Určíme D(f) = R\ {0}.
Vypočteme jednostranné limity v bodě 0.
lim
x→0+
(
x2
+
1
x2
)
= 0 + lim
x→0+
(
1
x2
)
=
[
1
→ 0+
]
= +∞
lim
x→0−
(
x2
+
1
x2
)
= 0 + lim
x→0−
(
1
x2
)
=
[
1
→ 0+
]
= +∞
Přímka o rovnici x = 0 je ver kální asymptota. Bod 0 je bod nespojitos II. druhu.
Zjis me, zda má graf funkce asymptotu se směrnicí.
k = lim
x→±∞
x2
+ 1
x2
x
= lim
x→±∞
x4
+ 1
x3
=
(∞
∞
)
= lim
x→±∞
x4
(
1 + 1
x4
)
x3
=
= lim
x→±∞
[
x
(
1 +
1
x4
)]
= ±∞(1 + 0) = ±∞ · · · asymptota se směrnicí neexistuje
Graf funkce má ver kální asymptotu x = 0.
x 0
6 4 2 2 4 6
2
2
4
Obr. 3.4 Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x2
+ 1
x2
Zdroj: Vlastní zpracování
41 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Přímky, ke kterým se limitně blíží graf funkce, se nazývají asymptoty. Asymptota
bez směrnice má tvar x = x0. Může existovat jen v bodě nespojitos II. druhu
funkce f, to je v bodech, v nichž aspoň jedna z jednostranných limit je nevlastní:
lim
x→x±
0
f (x) = ±∞.
Asymptota se směrnicí ke grafu funkce y = f (x) má tvar y = kx + q, kde
k = lim
x→±∞
f(x)
x
, q = lim
x→±∞
(f (x) − kx).
1. Určete rovnice všech asymptot grafu funkce.
• f (x) = x4+3x3
(x+1)3
[
ver kální asymptota: x = −1
asymptota se směrnicí: y = x
]
• f (x) = 1
x
+ 4x2
[
ver kální asymptota: x = 0
]
• f (x) = 9x2−3
x3
[
ver kální asymptota: x = 0
asymptota se směrnicí: y = 0
]
• f (x) = x2−1
x2+1 [
horizontální asymptota: y = 1
]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 4
Výpočet derivací
Po prostudování kapitoly budete umět:
• zacházet s pravidly pro derivování elementárních funkcí;
• zacházet s pravidly pro derivování součtu, součinu a podílu,
• zacházet s pravidly pro derivování složené funkce,
• vysvětlit geometrický význam 1. derivace v bodě,
• spočítat vyšší derivace,
• určit hodnotu derivací ve zvoleném bodě.
Klíčová slova:
Derivace funkce v bodě, derivace funkce na intervalu, derivace součtu, derivace
součinu, derivace podílu, derivace složené funkce, logaritmická derivace, derivace
elementárních funkcí, derivace vyšších řádů.
43 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Pro přípustná x vypočtěte k funkci f(x) její první derivaci, tedy funkci f′
(x).
Užití základních vzorců a pravidla pro
derivování součtu
Příklad 4.1 f(x) = x3
+ ex
− sin x + 3
Řešení
f′
(x) = 3x2
+ ex
− cos x + 0 = 3x2
+ ex
− cos x
Příklad 4.2 f(x) = 2x
+ ln x − log5 x + ln 6
Řešení
f′
(x) = 2x
ln 2 +
1
x
−
1
x ln 5
+ 0 = 2x
ln 2 +
1
x
−
1
x ln 5
Příklad 4.3 f(x) = sin x − cos x + tg x − cotg x
Řešení
f′
(x) = cos x + sin x +
1
cos2 x
+
1
sin2
x
Příklad 4.4 f(x) = arcsin x + arctg x + arcsin 3
Řešení
f′
(x) =
1
√
1 − x2
+
1
1 + x2
+ 0 =
1
√
1 − x2
+
1
1 + x2
Příklad 4.5 f(x) = x2
+ x + 1 + 1
x
+ 1
x2
Řešení
Nejprve upravíme.
f(x) = x2
+ x + 1 + x−1
+ x−2
f′
(x) = 2x + 1 + 0 + (−1) · x−2
+ (−2) · x−3
= 2x + 1 −
1
x2
−
2
x3
VÝPOČET DERIVACÍ 44
Příklad 4.6 f(x) = 3
√
x −
4
√
x3 + 5
√
2 − 1
3√
x2
+ 1
6√
x5
Řešení
Nejprve upravíme.
f(x) = x
1
3 − x
3
4 +
5
√
2 − x−2
3 + x−5
6
f′
(x) =
1
3
x−2
3 −
3
4
x−1
4 + 0 −
(
−
2
3
)
x−5
3 +
(
−
5
6
)
· x−11
6 =
=
1
3
3
√
x2
−
3
4 4
√
x
+
2
3
3
√
x5
−
5
6
6
√
x11
Příklad 4.7 f(x) = x5−x3+1
x2
Řešení
f(x) =
x5
x2
−
x3
x2
+
1
x2
= x3
− x + x−2
f′
(x) = 3x2
− 1 + (−2) · x−3
= 3x2
− 1 −
2
x3
Příklad 4.8 f(x) = x2
(x3
− x−2
+ x−5
)
Řešení
f(x) = x5
− x0
+ x−3
= x5
− 1 + x−3
f′
(x) = 5x4
− 0 + (−3) · x−4
= 5x4
−
3
x4
Příklad 4.9 f(x) = 3
√
x2 4
√
x3
√
x +
√
5 3√
7
4√
6
Řešení
Nejprve upravíme.
f(x) = x
2
3 · x
3
12 · x
1
24 +
√
5 3
√
7
4
√
6
= x
23
24 +
√
5 3
√
7
4
√
6
f′
(x) =
23
24
x− 1
24 + 0 =
23
24 24
√
x
Příklad 4.10 f(x) = x
5
2 − x−3,5
+ x
√
5+1
+ x1+π
Řešení
f′
(x) =
5
2
x
3
2 − (−3, 5)x−4,5
+ (
√
5 + 1) · x
√
5
+ (1 + π)xπ
=
=
5
2
√
x3 +
7
2
√
x9
+ (
√
5 + 1) · x
√
5
+ (1 + π)xπ
45 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Derivace součinu
Příklad 4.11 f(x) = 7
8
· arcsin x
Řešení
f′
(x) = 0 · arcsin x +
7
8
·
1
√
1 − x2
=
7
8
√
1 − x2
Příklad 4.12 f(x) = 3x3
4
− 5
3x2 + 16 − 5
3
√
x2 + 9
2 4√
x
Řešení
Upravíme.
f(x) =
3
4
· x3
−
5
3
· x−2
+ 16 − 5 · x
2
3 +
9
2
· x−1
4
f′
(x) =
3
4
· 3x2
−
5
3
· (−2) · x−3
+ 0 − 5 ·
2
3
x−1
3 +
9
2
· (−
1
4
) · x−5
4 =
=
9
4
x2
+
10
3x3
−
10
3 3
√
x
−
9
8
4
√
x5
Příklad 4.13 f(x) = 24 ·
√
x
3
√
x
4
√
x3
Řešení
Upravíme.
f(x) = 24 · x
1
2 · x
1
6 · x
3
24 = 24x
12+4+3
24 = 24x
19
24
f′
(x) = 24 ·
19
24
· x− 5
24 =
19
24
√
x5
Příklad 4.14 f(x) = x3−4x2+7x
16
Řešení
Upravíme a vyhneme se tak derivaci podílu.
f(x) =
1
16
(x3
− 4x2
+ 7x)
f′
(x) =
1
16
(3x2
− 8x + 7)
VÝPOČET DERIVACÍ 46
Příklad 4.15 f(x) = 3 tg x − 2 arctg x
5
Řešení
f′
(x) = 3 ·
1
cos2 x
−
2
5
·
1
1 + x2
=
3
cos2 x
−
2
5(1 + x2)
Příklad 4.16 f(x) = 2 ln x
5
− 5 log 2
3
− 2 log3 x
7
Řešení
f′
(x) =
2
5
·
1
x
− 0 −
2
7
·
1
x ln 3
=
2
5x
−
2
7x ln 3
Příklad 4.17 f(x) = 3 ln x√
2
− 6x
5
+ 3x4
4
− 7
3x2
Řešení
f′
(x) =
3
√
2
·
1
x
−
6
5
· 1 +
3
4
· 4x3
−
7
3
· (−2)x−3
=
3
x
√
2
−
6
5
+ 3x3
+
14
3x3
Příklad 4.18 f(x) = 6x4
· sin x
Řešení
f′
(x) = 6 · 4x3
· sin x + 6x4
cos x = 6x3
(4 sin x + x cos x)
Příklad 4.19 f(x) = (x + ex
) · tg x
Řešení
f′
(x) = (1 + ex
) · tg x + (x + ex
) ·
1
cos2 x
Příklad 4.20 f(x) = 2
x2 · arcsin x
Řešení
f′
(x) = 2 · (−2) · x−3
arcsin x +
2
x2
·
1
√
1 − x2
=
−4
x3
arcsin x +
2
x2
√
1 − x2
47 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 4.21 f(x) = (x2
+ 1) · arctg x
Řešení
f′
(x) = 2x · arctg x + (x2
+ 1) ·
1
x2 + 1
= 2x arctg x + 1
Příklad 4.22 f(x) = 3x
· ln x − 2ex
log5 x
Řešení
f′
(x) = 3x
ln 3 · ln x + 3x
·
1
x
− 2
[
ex
· log5 x + ex
·
1
x ln 5
]
=
= 3x
(
ln 3 · ln x +
1
x
)
− 2ex
(
log5 x +
1
x ln 5
)
Příklad 4.23 f(x) = (2x − 3) · (x2
− 6x + 5)
Řešení
f′
(x) = 2(x2
− 6x + 5) + (2x − 3)(2x − 6) = 2x2
− 12x + 10 + 4x2
− 6x − 12x + 18 =
= 6x2
− 30x + 28 = 2(3x2
− 15x + 14)
Příklad 4.24 f(x) = (x sin α + cos α) · (x cos α − sin α)
Řešení
f′
(x) = sin α · (x cos α − sin α) + (x sin α + cos α) · cos α =
= x sin α cos α − sin2
α + x sin α cos α + cos2
α =
= 2x sin α cos α + cos2
α − sin2
α = x sin 2α + cos 2α
Příklad 4.25 f(x) = 6 ln 5 · log5 x − 3 ln x · log x
Řešení
f′
(x) = 6 ln 5 ·
1
x ln 5
− 3
[
1
x
· log x + ln x ·
1
x ln 10
]
=
6
x
−
3
x
(
log x −
ln x
ln 10
)
Příklad 4.26 f(x) = (1 + x2
) · sin x · arccotg x
Řešení
f′
(x) =
[
2x · sin x + (1 + x2
) · cos x
]
· arccotg x + (1 + x2
) · sin x ·
−1
1 + x2
=
=
[
2x sin x + (1 + x2
) cos x
]
arccotg x − sin x
Příklad 4.27 f(x) = 23
ex
· 5x
· ln x
Řešení
f′
(x) = 8
{
[ex
· 5x
+ ex
· 5x
· ln 5] ln x + ex
· 5x
·
1
x
}
= 8ex
· 5x
[
(1 + ln 5) ln x +
1
x
]
VÝPOČET DERIVACÍ 48
Derivace podílu
Příklad 4.28 f(x) = 2x
1−x2
Řešení
f′
(x) =
2(1 − x2
) − 2x(−2x)
(1 − x2)2
=
2 − 2x2
+ 4x2
(1 − x2)2
=
2x2
+ 2
(1 − x2)2
Příklad 4.29 f(x) = sin x−ex
cos x
Řešení
f′
(x) =
(cos x − ex
) · cos x − (sin x − ex
) · (− sin x)
cos2 x
=
=
cos2
x − ex
cos x + sin2
x − ex
sin x
cos2 x
=
1 − ex
(cos x + sin x)
cos2 x
Příklad 4.30 f(x) = x2−3x
4x2+8
Řešení
f′
(x) =
(2x − 3)(4x2
+ 8) − (x2
− 3x) · 8x
(4x2 + 8)2
=
8x3
− 12x2
+ 16x − 24 − 8x3
+ 24x2
(4x2 + 8)2
=
12x2
+ 16x − 24
(4x2 + 8)2
=
4(3x2
+ 4x − 6)
42(x2 + 2)2
=
3x2
+ 4x − 6
4(x2 + 2)2
Příklad 4.31 f(x) = 4
x2+5x−1
Řešení
f′
(x) =
0 · (x2
+ 5x − 1) − 4(2x + 5)
(x2 + 5x − 1)2
=
−4(2x + 5)
(x2 + 5x − 1)2
Příklad 4.32 f(x) = 4
x2−5x3
Řešení
f′
(x) =
−4 · (2x − 15x2
)
(x2 − 5x3)2
=
−4x(2 − 15x)
x4(1 − 5x)2
=
−4(2 − 15x)
x3(1 − 5x)2
49 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 4.33 f(x) = 6
(2−x)(3−2x2)
Řešení
f′
(x) =
−6 · [−1(3 − 2x2
) + (2 − x) · (−4x)]
(2 − x)2(3 − 2x2)2
=
−6 [−3 + 2x2
− 8x + 4x2
]
(2 − x)2(3 − 2x2)2
=
=
−6(6x2
− 8x − 3)
(2 − x)2(3 − 2x2)2
Příklad 4.34 f(x) = 1
tg x
Řešení
f′
(x) =
− 1
cos2 x
tg2 x
=
−1
tg2 x · cos2 x
=
−1
sin2 x
cos2 x
· cos2 x
=
−1
sin2
x
Příklad 4.35 f(x) = x2−3x+4
15
Řešení
f′
(x) =
(2x − 3) · 15 − (x2
− 3x + 4) · 0
152
=
2x − 3
15
Poznámka.
Není-li ve jmenovateli proměnná, je zbytečné derivovat funkci jako podíl. Funkci upravíme a derivujeme
jako součin s jedním konstantním činitelem.
f(x) =
1
15
(x2
− 3x + 4)
f′
(x) =
1
15
(2x − 3) =
2x − 3
15
VÝPOČET DERIVACÍ 50
Derivace složené funkce
Příklad 4.36 f(x) = (3x2
− 4x + 5)3
Řešení
f′
(x) = 3(3x2
− 4x + 5)2
(6x − 4)
Příklad 4.37 f(x) = 3
√
1
x
− 2
√
x
Řešení
Upravíme.
f′
(x) =
1
3
(x−1
− 2x
1
2 )−2
3 ·
(
−1 · x−2
− 2 ·
1
2
x−1
2
)
=
− 1
x2 − 1√
x
3 3
√(1
x
− 2
√
x
)2
Příklad 4.38 f(x) = ln tg x + 1
2
cotg 2x
Řešení
f′
(x) =
1
tg x
·
1
cos2 x
+
1
2
·
(
−1
sin2
2x
)
· 2 =
cos x
sin x
·
1
cos2 x
−
1
sin2
2x
=
=
1
sin x · cos x
−
1
sin2
2x
=
=
2
sin 2x
−
1
sin2
2x
=
2 sin 2x − 1
sin2
2x
Příklad 4.39 f(x) = arctg 1
x
Řešení
f′
(x) =
1
1 +
(1
x
)2 ·
(
−1
x2
)
=
1
x2+1
x2
·
(
−1
x2
)
=
−1
1 + x2
Příklad 4.40 f(x) = ln
(
x + 2
x2+1
)
Řešení
f′
(x) =
1
x + 2
x2+1
·
(
1 +
−2 · 2x
(x2 + 1)2
)
=
1
x3+x+2
x2+1
·
x4
+ 2x2
+ 1 − 4x
(x2 + 1)2
=
=
x4
+ 2x2
− 4x + 1
(x3 + x + 2)(x2 + 1)
51 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 4.41 f(x) = ecos3 5x
Řešení
f′
(x) = ecos3 5x
· 3 · cos2
5x · (− sin 5x) · 5 = −15 sin 5x · cos2
5x · ecos3 5x
Příklad 4.42 f(x) = 2
√
3x2−2
Řešení
f′
(x) = 2
√
3x2−2
ln 2 ·
1
2
(
3x2
− 2
)−1
2
· 6x =
3x
√
3x2 − 2
2
√
3x2−2
ln 2
Příklad 4.43 f(x) = ln ex−e−x
ex+e−x
Řešení
f′
(x) =
ex
+ e−x
ex − e−x
·
(ex
+ e−x
)(ex
+ e−x
) − (ex
− e−x
)(ex
− e−x
)
(ex + e−x)2
=
=
e2x
+ e0
+ e0
+ e−2x
− (e2x
− e0
− e0
+ e−2x
)
(ex − e−x)(ex + e−x)
=
e2x
+ 2 + e−2x
− e2x
+ 2 − e−2x
e2x − e−2x
=
4
e2x − e−2x
Příklad 4.44 f(x) = ln sin x
Řešení
f′
(x) =
1
sin x
· cos x = cotg x
Příklad 4.45 f(x) = log3(x2
− 1)
Řešení
f′
(x) =
1
(x2 − 1) · ln 3
· 2x =
2x
(x2 − 1) ln 3
Příklad 4.46 f(x) = ln [ln(ln x)]
Řešení
f′
(x) =
1
ln(ln x)
·
1
ln x
·
1
x
=
1
x · ln x · ln(ln x)
VÝPOČET DERIVACÍ 52
Příklad 4.47 f(x) = 23x
Řešení
f′
(x) = 23x
· ln 2 · 3x
· ln 3 = 3x
· 23x
· ln 2 · ln 3
Příklad 4.48 f(x) = ex
+ eex
+ eeex
Řešení
f′
(x) = ex
+ eex
· ex
+ eeex
· eex
· ex
= ex
[
1 + eex
(1 + eeex
)
]
Příklad 4.49 f(x) = arctg 1+x
1−x
Řešení
f′
(x) =
1
1 +
(1+x
1−x
)2 ·
1 · (1 − x) − (1 + x) · (−1)
(1 − x)2
=
1
1 +
(1+x
1−x
)2 ·
2
(1 − x)2
=
=
1
1−2x+x2+1+2x+x2
(1−x)2
·
2
(1 − x)2
=
2
2 + 2x2
=
1
1 + x2
Příklad 4.50 f(x) = 2cos2 x·sin x
Řešení
f′
(x) = 2cos2 x·sin x
· ln 2 ·
[
2 cos x · (− sin x) · sin x + cos2
x · cos x
]
=
= 2cos2 x·sin x
· ln 2 · cos x
(
cos2
x − 2 sin2
x
)
= 2cos2 x sin x
sin x · ln 2 · cos x ·
(
1 − 3 sin2
x
)
Příklad 4.51 f(x) = 1
4
ln(2x2
− 3)4
Řešení
f′
(x) =
1
4
·
1
(2x2 − 3)4
· 4(2x2
− 3)3
· 4x =
4x
2x2 − 3
Příklad 4.52 f(x) = e(3− 2
x
)3
Řešení
f′
(x) = e(3− 2
x )
3
· 3
(
3 −
2
x
)2
· (−2) · (−1) · x−2
=
6
x2
(
3 −
2
x
)2
· e(3− 2
x )
3
53 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 4.53 f(x) = log3
x2
Řešení
f′
(x) = 3 log2
x2
·
1
x2 ln 10
· 2x =
6 log2
x2
x ln 10
Příklad 4.54 f(x) =
(
arcsin 1
x
)4
Řešení
f′
(x) = 4
(
arcsin
1
x
)3
·
1
√
1 −
(1
x
)2
·
(
−1
x2
)
= 4
(
arcsin
1
x
)3
·
1
√
x2−1
x2
·
(
−1
x2
)
=
= −
4
x
√
x2 − 1
(
arcsin
1
x
)3
Příklad 4.55 f(x) =
(
sin x2
4
)3
Řešení
f′
(x) = 3
(
sin
x2
4
)2
· cos
x2
4
·
1
4
· 2x =
3
2
x cos
x2
4
(
sin
x2
4
)2
Příklad 4.56 f(x) = ln 1
x3
Řešení
f′
(x) =
1
1
x3
·
−3
x4
= x3
·
−3
x4
= −
3
x
Příklad 4.57 f(x) = log3(x2
− 1)
Řešení
f′
(x) =
1
(x2 − 1) · ln 3
· 2x =
2x
(x2 − 1) ln 3
VÝPOČET DERIVACÍ 54
Logaritmická derivace
Při výpočtu derivace funkcí tvaru f(x)g(x)
, x ∈ {x ∈ R, f(x) > 0}, využijeme iden tu
f(x)g(x)
= eln f(x)g(x)
= eg(x) ln f(x)
a vzorec pro derivování složené funkce.
Příklad 4.58 f(x) = xx2
Řešení
f′
(x) =
(
xx2
)′
=
(
ex2 ln x
)′
= ex2 ln x
(
2x · ln x + x2
·
1
x
)
= xx2
· x(2 ln x + 1) =
= xx2+1
(2 ln x + 1)
Příklad 4.59 f(x) =
( x
2−x
)2x
Řešení
f′
(x) =
[(
x
2 − x
)2x
]′
=
(
e2x·ln x
2−x
)′
=
= e2x·ln x
2−x ·
(
2 ln
x
2 − x
+ 2x ·
2 − x
x
·
2 − x − x · (−1)
(2 − x)2
)
=
=
(
x
2 − x
)2x
·
(
2 ln
x
2 − x
+
4
2 − x
)
Příklad 4.60 f(x) = x
√
(2 − x2)3
Řešení
f′
(x) =
[
(2 − x2
)
3
x
]′
=
(
e
3
x
·ln(2−x2)
)′
= e
3
x
·ln(2−x2)
[
−
3
x2
ln(2 − x2
) +
3
x
·
−2x
2 − x2
]
=
= (2 − x2
)
3
x · (−3)
(
ln(2 − x2
)
x2
+
2
2 − x2
)
= −3 x
√
(2 − x2)3
(
ln(2 − x2
)
x2
+
2
2 − x2
)
Příklad 4.61 f(x) = (sin x)cos x
Řešení
f′
(x) =
(
ecos x ln sin x
)′
= ecos x ln sin x
(
− sin x · ln sin x + cos x ·
1
sin x
· cos x
)
=
= (sin x)cos x
(
cos2
x
sin x
− sin x ln sin x
)
55 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 4.62 f(x) = xln x
Řešení
f′
(x) =
(
eln x·ln x
)′
= eln x·ln x
(
1
x
· ln x + ln x ·
1
x
)
= xln x
·
1
x
· 2 ln x = xln x−1
ln x2
Příklad 4.63 f(x) = (ln x)x
Řešení
f′
(x) =
(
ex ln(ln x)
)′
= ex ln(ln x)
[
ln (ln x) + x ·
1
ln x
·
1
x
]
= (ln x)x
[
ln (ln x) +
1
ln x
]
Příklad 4.64 f(x) = (ln x)ln x
Řešení
f′
(x) =
(
eln x·ln(ln x)
)′
= eln x·ln(ln x)
[
1
x
· ln (ln x) + ln x ·
1
ln x
·
1
x
]
=
= (ln x)ln x
·
1
x
[ln (ln x) + 1] =
1
x
(ln x)ln x
ln (e ln x)
VÝPOČET DERIVACÍ 56
Derivace funkce v bodě x0 je definována vztahem lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
.
Ve všech bodech, kde jsou uvedené elementární funkce definovány, pla
(xn
)′
= nxn−1
, c′
= 0
(ax
)′
= ax
ln a, (ex
)′
= ex
(loga x)′
=
1
x ln a
, (ln x)′
=
1
x
(sin x)′
= cos x, (cos x)′
= − sin x
(tg x)′
=
1
cos2 x
, (cotg x)′
= −
1
sin2
x
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, (arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
(arctg x)′
=
1
1 + x2
, (arccotg x) = −
1
1 + x2
Pro derivování součtu, součinu a podílu pla
(cf (x))′
x=x0
= cf′
(x0)
(f (x) ± g (x))′
x=x0
= f′
(x0) ± g′
(x0)
(f (x) g (x))′
x=x0
= f′
(x0) g (x0) + f (x0) g′
(x0)
(
f (x)
g (x)
)′
x=x0
=
f′
(x0) g (x0) − f (x0) g′
(x0)
g2 (x0)
.
Derivace složené funkce je rovna součinu derivací jednotlivých složek
(g (f (x)))′
x=x0
= g′
(y0) f′
(x0) .
V logaritmické derivaci se využívá složení exponenciální funkce s logaritmickou
a pravidla pro derivování složené funkce: f (x)g(x)
= eg(x) ln f(x)
.
57 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
1. K dané funkci f určete její první derivaci, tj. f’.
• f(x) = 3x4
cos x
[f′
(x) = 3x3
(4 cos x − x sin x)]
• f(x) = 2ex
x2−4 [
f′
(x) =
2ex
(x2−4−2x)
(x2−4)2
]
• f(x) = 6
(x3−5)2
[
f′
(x) = −36x2
(x3−5)3
]
• f(x) =
(
tg 2
x
)4
[
f′
(x) = −8
(tg 2
x )
3
x2·cos2 2
x
]
• f(x) =
√
1 + ln2
x [
f′
(x) = ln x
x
√
1+ln2 x
]
• f(x) = (sin x)x2
[
f′
(x) = x (sin x)x2
(2 ln sin x + x cotg x)
]
• f(x) = 1
4
ln x2−1
x2+1 [
f′
(x) = x
x4−1
]
• Určete f′′′
(−1) pro funkci f(x) = 1
x
+ 3x3
.
[f′′′
(−1) = 12]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 5
Tečna a normála
Po prostudování kapitoly budete umět:
• k dané funkci napsat rovnici tečny;
• k dané funkci napsat rovnici normály.
Klíčová slova:
Derivace funkce v bodě, směrnice přímky, sečna, tečna, normála, rovnice přímky
určené bodem a směrnicí.
59 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 5.1 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f(x) = 3x2
− 6x + 2 v bodě T = [0; ?].
Řešení
Nejprve určíme f(0) = 3 · 02
− 6 · 0 + 2 = 2, tedy dotykový bod T = [0; 2].
T = [x0, f(x0)], tedy x0 = 0, f(x0) = 2.
Dále určíme f′
(x) = 6x − 6 a hodnotu derivace v dotykovém bodě,
tj. f′
(x0) = f′
(0) = 6 · 0 − 6 = −6. Dosadíme získané hodnoty do rovnice tečny a normály:
t : y − f(x0) = f′
(x0)(x − x0)
y − 2 = −6(x − 0)
y = −6x + 2
n : y − f(x0) = −
1
f′(x0)
(x − x0)
y − 2 = −
1
−6
(x − 0)
y =
1
6
x + 2
n
T
t
4 2 2 4
4
2
Obr. 5.1 Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3x2
− 6x + 2
Zdroj: Vlastní zpracování
TEČNA A NORMÁLA 60
Příklad 5.2 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f(x) = x + 1
x
v bodě T = [−1; ?].
Řešení
f(−1) = −1 +
1
−1
= −1 − 1 = −2 x0 = −1, f(x0) = −2, T = [−1; −2]
f′
(x) = 1 −
1
x2
, f′
(−1) = 1 −
1
(−1)2
= 1 − 1 = 0
Úvaha: Víme, že f′
(x0) = kt = 0 je směrnice tečny, z toho vyplývá, že tečna bude rovnoběžná
s osou x a prochází bodem T = [−1; −2]. Rovnice tečny bude t : y = −2.
Určení rovnice výpočtem:
t : y − (−2) = 0(x − (−1))
y + 2 = 0
y = −2
Normála n je kolmá na tečnu t : n ⊥ t, t ∥ x =⇒ n ∥ y, normála bude rovnoběžná s osou y a
prochází bodem T = [−1; −2], rovnice normály je
n : x = −1
Kdybychom dosazovali do rovnice normály, pak obdržíme y + 2 = −1
0
(x + 1), kde
[−1
0
]
je
nedefinovaný výraz a normála svírá s osou x úhel 90◦
.
t
n
T
4 2 2 4
1
1
3
5
Obr. 5.2 Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = x + 1
x
Zdroj: Vlastní zpracování
61 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 5.3 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f(x) = 3
x−2
+ 5x v bodě T = [−1; ?].
Řešení
f(−1) =
3
−3
+ 5(−1) = −1 − 5 = −6; x0 = −1, f(x0) = −6, T = [−1; −6]
f′
(x) =
−3 · 1
(x − 2)2
+ 5
f′
(−1) =
−3
(−3)2
+ 5 =
−1
3
+ 5 =
−1 + 15
3
=
14
3
= kt · · · směrnice tečny
t : y + 6 =
14
3
(x + 1)
y =
14
3
x +
14
3
− 6
y =
14
3
x −
4
3
n : y + 6 = −
1
14
3
(x + 1)
y + 6 = −
3
14
(x + 1)
y = −
3
14
x −
3
14
− 6
y = −
3
14
x −
87
14
t
n
T
10 10 20
10
20
Obr. 5.3 Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3
x−2 + 5x
Zdroj: Vlastní zpracování
TEČNA A NORMÁLA 62
Příklad 5.4 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f(x) = x+3
x−1
v bodě T = [3; ?].
Řešení
f(3) =
3 + 3
3 − 1
=
6
2
= 3; x0 = 3, f(x0) = 3, T = [3; 3]
f′
(x) =
1 · (x − 1) − (x + 3) · 1
(x − 1)2
=
x − 1 − x − 3
(x − 1)2
=
−4
(x − 1)2
f′
(3) =
−4
(3 − 1)2
=
−4
4
= −1 = kt · · · směrnice tečny
t : y − 3 = −1(x − 3)
y = −x + 3 + 3
y = −x + 6
n : y − 3 = −
(
1
−1
)
(x − 3)
y − 3 = x − 3
y = x
t
n
T
9 3 9
10
5
5
10
Obr. 5.4 Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = x+3
x−1
Zdroj: Vlastní zpracování
63 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 5.5 Určete rovnici tečny t a normály n funkce f(x) = 3
√
3 − x v bodě T = [3; ?].
Řešení
f(3) = 3
√
3 − 3 =
3
√
0 = 0; x0 = 3, f(x0) = 0, T = [3; 0]
f′
(x) =
−1
3 3
√
(3 − x)2
f′
(3) =
−1
3 3
√
(3 − 3)2
=
[
−1
0
]
· · · tento výraz není definován
Hodnotu f′
(3) vypočteme podle definice derivace funkce v bodě.
f′
(3) = lim
h→0
f(3 + h) − f(3)
h
= lim
h→0
3
√
3 − (3 + h) − 0
h
= lim
h→0
3
√
−h
h
= lim
h→0
−1
3
√
h2
= −∞
Znamená to, že tečna je rovnoběžná s osou y, prochází bodem T = [3; 0] a má rovnici
t : x = 3
Potom normála n, která je kolmá na tečnu a prochází též bodem T = [3; 0] má rovnici
n : y = 0
t
n
T
10 5 105
10
5
5
10
Obr. 5.5 Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3
√
3 − x
Zdroj: Vlastní zpracování
TEČNA A NORMÁLA 64
Derivaci funkce v bodě x0 lze geometricky interpretovat jako směrnici tečny ke
grafu funkce y = f (x), která prochází bodem (x0, f (x0)).
Rovnice tečny má pak tvar y = f (x0) + f′
(x0) (x − x0). Rovnice normály (tj.
přímky kolmé na tečnu) je y = f (x0) − 1
f′(x0)
(x − x0).
1. Určete rovnici tečny t a normály n grafu funkce f v bodě T.
• f(x) = 1
2
x4
− 1
x
; T = [1; ?] [
t : y = 3x − 7
2
n : y = −1
3
x − 1
6
]
• f(x) = x2
− 4; T = [0; ?] [
t : y = −4
n : x = 0
]
• f(x) = x2
− x; T = [3; ?] [
t : y = 5x − 9
n : y = −1
5
x + 33
5
]
• f(x) = 1
4
x4
− 3x2
; T = [2; ?] [
t : y = −4x
n : y = 1
4
x − 17
2
]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 6
L' Hospitalovo pravidlo
Po prostudování kapitoly budete umět:
• spočítat limitu neurčitých výrazů typu ”0
0
”nebo ”∞
∞
”;
• spočítat limitu neurčitých výrazů typu ”0 · ∞”, ”∞ − ∞”, ”00
”.
Klíčová slova:
Neurčité výrazy, typ neurčitého výrazu, derivace, l’Hospitalovo pravidlo.
L' HOSPITALOVO PRAVIDLO 66
Příklad 6.1 Spočítejte lim
x→0
ex−e−x
sin x
.
Řešení
lim
x→0
ex
− e−x
sin x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
ex
+ e−x
cos x
=
1 + 1
1
= 2
Příklad 6.2 Spočítejte lim
x→e
ln x−1
x−e
.
Řešení
lim
x→e
ln x − 1
x − e
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→e
1
x
1
=
1
e
Příklad 6.3 Spočítejte lim
x→2
ln(x2−3)
x2+3x−10
.
Řešení
lim
x→2
ln(x2
− 3)
x2 + 3x − 10
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→2
2x
x2−3
2x + 3
=
4
7
Příklad 6.4 Spočítejte lim
x→0
3√
x+1+ 3√
x−1
x
.
Řešení
lim
x→0
3
√
x + 1 + 3
√
x − 1
x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
1
3 3
√
(x+1)2
+ 1
3 3
√
(x−1)2
1
=
2
3
Příklad 6.5 Spočítejte lim
x→0
tg x−1+cos 3x
ex−e−x .
Řešení
lim
x→0
tg x − 1 + cos 3x
ex − e−x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
1
cos2 x
− 3 sin 3x
ex + e−x
=
1
2
Příklad 6.6 Spočítejte lim
x→+∞
ln x+1
x−1
1
x+3
.
Řešení
lim
x→+∞
ln x+1
x−1
1
x+3
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→+∞
x−1
x+1
· x−1−x−1
(x−1)2
−1
(x+3)2
= lim
x→+∞
2(x + 3)2
x2 − 1
=
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
4(x + 3)
2x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
4
2
= 2
67 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 6.7 Spočítejte lim
x→0
ex−e−x−2x
x−sin x
.
Řešení
lim
x→0
ex
− e−x
− 2x
x − sin x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
ex
+ e−x
− 2
1 − cos x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
ex
− e−x
sin x
=
(
0
0
)
l′H
=
= lim
x→0
ex
+ e−x
cos x
= 2
Příklad 6.8 Spočítejte lim
x→+∞
3x2−6x
4x−8
.
Řešení
lim
x→+∞
3x2
− 6x
4x − 8
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
6x − 6
4
=
+∞
4
= +∞
Příklad 6.9 Spočítejte lim
x→1
x·ln x
x2−1
.
Řešení
lim
x→1
x · ln x
x2 − 1
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→1
1 · ln x + x · 1
x
2x
=
0 + 1
2
=
1
2
Příklad 6.10 Spočítejte lim
x→+∞
e2x
x2 .
Řešení
lim
x→+∞
e2x
x2
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
2 · e2x
2x
= lim
x→+∞
e2x
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
2e2x
1
= +∞
Příklad 6.11 Spočítejte lim
x→+∞
ln(1+ex)
x
.
Řešení
lim
x→+∞
ln(1 + ex
)
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
1
1+ex · ex
1
= lim
x→+∞
ex
1 + ex
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
ex
ex
=
= lim
x→+∞
1 = 1
L' HOSPITALOVO PRAVIDLO 68
Příklad 6.12 Spočítejte lim
x→+∞
5x2
4x .
Řešení
lim
x→+∞
5x2
4x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
10x
4x ln 4
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
10
4x ln2
4
=
[
10
+∞
]
= 0
Příklad 6.13 Spočítejte lim
x→0+
ln x
1
x
.
Řešení
lim
x→0+
ln x
1
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
(−x) = 0
Příklad 6.14 Spočítejte lim
x→+∞
x3
ln x
.
Řešení
lim
x→+∞
x3
ln x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
3x2
1
x
= lim
x→+∞
3x3
= +∞
Příklad 6.15 Spočítejte lim
x→0+
ln 1
x
1
x
.
Řešení
lim
x→0+
ln 1
x
1
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→0+
x · (− 1
x2 )
− 1
x2
= lim
x→0+
x = 0
Příklad 6.16 Spočítejte lim
x→+∞
(
4x3
x2−5
− 3
x
)
.
Řešení
lim
x→+∞
(
4x3
x2 − 5
−
3
x
)
= lim
x→+∞
4x3
x2 − 5
− lim
x→∞
3
x
= lim
x→+∞
4x3
x2 − 5
− 0 =
= lim
x→+∞
4x3
x2 − 5
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→+∞
12x2
2x
= lim
x→+∞
6x = +∞
69 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 6.17 Spočítejte lim
x→−∞
√
4−x−2
x
.
Řešení
lim
x→−∞
√
4 − x − 2
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→−∞
−1
2
√
4−x
1
=
[
−1
+∞
]
= 0
V následujících příkladech je nutné nejdříve limitovaný výraz upravit tak, aby byly splněny předpoklady
l’Hospitalova pravidla.
Příklad 6.18 Spočítejte lim
x→0+
( 3
√
x · ln x) .
Řešení
lim
x→0+
( 3
√
x · ln x
)
= (0 · ∞) = lim
x→0+
ln x
1
3√
x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→0+
1
x
−1
3
3√
x4
= −3 lim
x→0+
3
√
x = 0
Příklad 6.19 Spočítejte lim
x→0
(x · cotg 2x).
Řešení
lim
x→0
(x · cotg 2x) = (0 · ∞) = lim
x→0
x
tg 2x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
1
2
cos2 2x
=
1
2
Příklad 6.20 Spočítejte lim
x→1−
[ln x · ln(1 − x)] .
Řešení
lim
x→1−
[ln x · ln(1 − x)] = (0 · ∞) = lim
x→1−
ln(1 − x)
1
ln x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→1−
−1
1−x
−1
x ln2 x
=
= lim
x→1−
x · ln2
x
1 − x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→1−
ln2
x + x · 2 ln x · 1
x
−1
= 0
Příklad 6.21 Spočítejte lim
x→∞
[x−1
2
· ln x−9
x+3
]
.
Řešení
lim
x→∞
[
x − 1
2
· ln
x − 9
x + 3
]
= (∞ · 0) =
1
2
lim
x→∞
ln x−9
x+3
1
x−1
=
(
0
0
)
l′H
=
1
2
lim
x→∞
x+3
x−9
· x+3−x+9
(x+3)2
−1
(x−1)2
=
= −
1
2
lim
x→∞
(x − 1)2
· 12
(x − 9)(x + 3)
=
(∞
∞
)
l′H
= −
1
2
lim
x→∞
2(x − 1) · 12
x + 3 + x − 9
=
= −
1
2
lim
x→∞
24x − 24
2x − 6
=
(∞
∞
)
l′H
= −
1
2
lim
x→∞
24
2
= −
1
2
· 12 = −6
L' HOSPITALOVO PRAVIDLO 70
Příklad 6.22 Spočítejte lim
x→1
( 1
ln x
− 1
x−1
)
.
Řešení
lim
x→1
(
1
ln x
−
1
x − 1
)
= (∞ − ∞) = lim
x→1
x − 1 − ln x
(x − 1) ln x
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→1
1 − 1
x
ln x + (x − 1) · 1
x
=
= lim
x→1
x−1
x
x·ln x+x−1
x
= lim
x→1
x − 1
x · ln x + x − 1
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→1
1
ln x + x · 1
x
+ 1
=
1
2
Příklad 6.23 Spočítejte lim
x→0
(1
x
− 1
ex−1
)
.
Řešení
lim
x→0
(
1
x
−
1
ex − 1
)
= (∞ − ∞) = lim
x→0
ex
− 1 − x
x(ex − 1)
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
ex
− 1
ex − 1 + x · ex
=
=
(
0
0
)
l′H
= lim
x→0
ex
ex + ex + xex
=
1
2
Příklad 6.24 Spočítejte lim
x→0
(
cotg x − 1
x
)
.
Řešení
lim
x→0
(
cotg x −
1
x
)
= (∞ − ∞) = lim
x→0
(
1
tg x
−
1
x
)
= lim
x→0
x − tg x
x tg x
=
(
0
0
)
l′H
=
= lim
x→0
1 − 1
cos2 x
tg x + x · 1
cos2 x
= lim
x→0
cos2 x−1
cos2 x
sin x·cos x+x
cos2 x
= lim
x→0
cos2
x − 1
sin x · cos x + x
=
(
0
0
)
l′H
=
= lim
x→0
−2 cos x sin x
cos2 x − sin2
x + 1
=
0
2
= 0
Příklad 6.25 Spočítejte lim
x→2
( 4
x2−4
− 1
x−2
)
.
Řešení
lim
x→2
(
4
x2 − 4
−
1
x − 2
)
= (∞ − ∞) = lim
x→2
4 − x − 2
x2 − 4
= lim
x→2
2 − x
x2 − 4
=
(
0
0
)
l′H
=
= lim
x→2
−1
2x
= −
1
4
Poznámka.
Některé z příkladů 6. kapitoly lze spočítat úpravami limitované funkce jako v kapitole 1 a naopak
- mnohé limity uvedené v kapitole 1 lze určit pomocí l’Hospitalova pravidla.
71 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
L’Hospitalovo pravidlo se užívá k určování limit výrazů typu ”0
0
”nebo ”∞
∞
”.
L’Hospitalovo pravidlo můžeme také použít při určování limit výrazů typu ”0·∞”,
”∞ − ∞”, ”00
”, ”∞0
”nebo ”1∞
”ovšem až po úpravě, která výraz převede na typ
”0
0
”nebo ”∞
∞
”.:
• ”0 · ∞”upravíme takto u · v = u
1
v
na typ ”0
0
”,
• ”∞ − ∞”upravíme takto u − v = 1
1
u
− 1
1
v
=
1
v
− 1
u
1
uv
na typ ”0
0
”,
• ”00
”, ”∞0
”, ”1∞
”pomocí úpravy uv
= ev ln u
převedeme na typ ”e0·∞
”.
1. Uži m l’Hospitalova pravidla spočtěte dané limity.
• lim
x→0
ex−1+sin x
x·cosx
[2]
• lim
x→1+
5 ln(x−1)
ln(2x−2)
[5]
• lim
x→0
ex−e−x−2x
x−sin x
[2]
• lim
x→5
x3−x2−20x
2x2−10x
[9
2
]
• lim
x→∞
4x3−5x2+6
2x2+x
[+∞]
• lim
x→1
x
2
3 −1
x
3
5 −1 [10
9
]
• lim
x→0
sin x−x
arcsin x−x
[−1]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 7
Extrémy
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozhodnout, kdy je funkce rostoucí a kdy je klesající,
• najít body lokálního maxima a lokálního minima, pokud existují,
• najít body, ve kterých má funkce lokální maximum a lokální minimum.
Klíčová slova:
První derivace, stacionární bod, lokální maximum, lokální minimum, Weierstrassova
věta, globální maximum, globální minimum.
73 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
a) Lokální extrémy a intervaly monotónnosti
Příklad 7.1 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = x4
4
− x3
3
− x2
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) =
1
4
4x3
−
1
3
3x2
− 2x = x3
− x2
− 2x; D(f′
) = R.
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0
x3
− x2
− 2x = 0 ⇐⇒ x(x − 2)(x + 1) = 0
x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1
(B) z D(f′
) : ∅ (žádné nejsou)
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 2) 2 (2, ∞)
f′
(x) − 0 + 0 − 0 +
f(x) ↘ − 5
12
↗ 0 ↘ −8
3
↗
o. l. min. o. l. max. o. l. min.
f(−1) =
(−1)4
4
−
(−1)3
3
− (−1)2
=
1
4
+
1
3
− 1 =
3 + 4 − 12
12
= −
5
12
f(0) = 0
f(2) =
24
4
−
23
3
− 22
=
16
4
−
8
3
− 4 = −
8
3
Funkce je rostoucí na intervalech (−1, 0) a (2, ∞) a klesající na intervalech (−∞, −1) a (0, 2).
Funkce má ostré lokální minimum − 5
12
v bodě −1 a −8
3
v bodě 2 a ostré lokální maximum 0
v bodě 0.
0, 0
1,
5
12
2,
8
3
4 2 2
4
2
2
Obr. 7.1 Lokální extrémy funkce f(x) = x4
4 − x3
3 − x2
Zdroj: Vlastní zpracování
EXTRÉMY 74
Příklad 7.2 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = x4+4x3−8x2
4
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) =
1
4
(4x3
+ 12x2
− 16x) = x3
+ 3x2
− 4x; D(f′
) = R.
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0 ⇐⇒ x3
+ 3x2
− 4x = 0 ⇒ x(x − 1)(x + 4) = 0
x1 = 0, x2 = 1 , x3 = −4
(B) z D(f′
) : ∅
x ∈ (−∞, −4) −4 (−4, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞)
f′
(x) − 0 + 0 − 0 +
f(x) ↘ −32 ↗ 0 ↘ −3
4
↗
o. l. min. o. l. max. o. l. min.
Funkce je klesající na intervalech (−∞, −4) a (0, 1) a rostoucí na intervalech (−4, 0) a (1, ∞).
Funkce má ostré lokální minimum −32 v bodě −4 a −3
4
v bodě 1.
Funkce má ostré lokální maximum 0 v bodě 0.
4, 32
0, 0
1,
3
4
6 3 3
9
18
27
Obr. 7.2 Lokální extrémy funkce f(x) = x4
+4x3
−8x2
4
Zdroj: Vlastní zpracování
75 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 7.3 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = 10x3
− 6x5
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 30x2
− 30x4
; D(f′
) = R.
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0 ⇐⇒ 30(x2
− x4
) = 0 ⇒ 30x2
(1 − x2
) = 0
x = 0, 1 − x2
= 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x1,2 = ±1
(B) z D(f′
) : ∅
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞)
f′
(x) − 0 + 0 + 0 −
f(x) ↘ −4 ↗ 0 ↗ 4 ↘
o. l. min. extrém o. l. max.
nenastane
Funke je rostoucí na intervalu (−1, 1) a klesající na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞).
Funkce má ostré lokální minimum −4 v bodě −1 a ostré lokální maximum 4 v bodě 1.
0, 0
1, 4
1, 4
2 2
10
5
5
Obr. 7.3 Lokální extrémy funkce f(x) = 10x3
− 6x5
Zdroj: Vlastní zpracování
EXTRÉMY 76
Příklad 7.4 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = x − 1
2x2 .
Řešení
D(f) = R\ {0} .
f′
(x) = 1 −
1
2
· (−2) · x−3
= 1 +
1
x3
; D(f′
) = R\ {0} .
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0 ⇐⇒ 1 + 1
x3 = 0 ⇒ x3+1
x3 = 0 ⇒ x3
+ 1 = 0 ⇒ x = −1
(B) z D(f′
) : x = 0, ale 0 /∈ D(f), proto extrém nemůže v tomto bodě nastat
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, ∞)
f′
(x) + 0 − ¬∃ +
f(x) ↗ −3
2
↘ ¬∃ ↗
o. l. max. extrém
nenastane
Funkce je rostoucí na intervalech (−∞, −1) a (0, ∞) a klesající na intervalu (−1, 0).
Funkce má ostré lokální maximum −3
2
v bodě −1.
1,
3
2
3 2 1 1 2
8
4
4
Obr. 7.4 Lokální extrémy funkce f(x) = x − 1
2x2
Zdroj: Vlastní zpracování
77 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 7.5 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = x3
− 3x + 2.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 3x2
− 3; D(f′
) = R.
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0 ⇐⇒ 3(x2
− 1) = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x1,2 = ±1
(B) z D(f′
) : ∅
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, ∞)
f′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ↗ 4 ↘ 0 ↗
o. l. max. o. l. min.
Funkce je rostoucí na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) a klesající na intervalu (−1, 1).
Funkce má ostré lokální maximum 4 v bodě −1 a ostré lokální minimum 0 v bodě 1.
1, 4
1, 0
3 1 1
10
5
5
Obr. 7.5 Lokální extrémy funkce f(x) = x3
− 3x + 2
Zdroj: Vlastní zpracování
EXTRÉMY 78
Příklad 7.6 Určete lokální extrémy a intervaly monotónnos funkce f(x) = 3
√
(x2 − 4x)2.
D(f) = R.
f′
(x) =
2
3
(x2
− 4x)−1
3 · (2x − 4) =
4
3
x − 2
3
√
x2 − 4x
; D(f′
) = R\ {0, 4} .
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0 ⇐⇒ 4
3
x−2
3√
x2−4x
= 0 ⇒ x = 2
(B) z D(f′
) : x = 0, x = 4
x ∈ (−∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, 4) 4 (4, ∞)
f′
(x) − ¬∃ + 0 − ¬∃ +
f(x) ↘ 0 ↗ 2 3
√
2 ↘ 0 ↗
o. l. min. o. l. max. o.l.min
Funkce je rostoucí na intervalech (0, 2) a (4, ∞) a klesající na intervalech (−∞, 0) a (2, 4).
Funkce má ostré lokální maximum 2 3
√
2 v bodě 2 a ostré lokální minimum 0 v bodech 0 a 4.
2, 2 2
3
4, 00, 0
t t
2 2 6
3
Obr. 7.6 Lokální extrémy funkce f(x) = 3
√
(x2 − 4x)2
Zdroj: Vlastní zpracování
Poznámka.
Vypočítáme limitu f′
(x) v bodech 0 a 4.
lim
x→0
f′
(x) =
4
3
lim
x→0
x − 2
3
√
x2 − 4x
=
[
−2
0
]
a lim
x→4
f′
(x) =
4
3
lim
x→4
x − 2
3
√
x − 4x
=
[
2
0
]
79 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Výpočtem jednostranných limit v bodech 4 a 0 zjis me, že lim
x→0
f′
(x) ani lim
x→4
f′
(x) neexistuje.
Jednostranné limity jsou to ž nevlastní a různé. Znamená to, že jednostranné tečny v bodech
[0, 0] a [4, 0] splývají, jsou rovnoběžné s osou y a mají rovnice x = 0 a x = 4, přičemž y ≥ 0.
b) Globální extrémy
Příklad 7.7 Najděte globální extrémy (tedy největší a nejmenší hodnotu) funkce
f(x) = x4
4
− x2
na intervalech α) ⟨−2, 2⟩ , β) ⟨−1, 3⟩ , γ) ⟨2, 4⟩.
Řešení
α) Interval ⟨−2, 2⟩.
1) Vyhledáme všechny body podezřelé z globálního extrému.
a) Body podezřelé z lokálního extrému na intervalu (−2, 2).
f′
(x) =
4x3
4
− 2x = x3
− 2x; D(f′
) = R
(A) f′
(x) = 0
x3
− 2x = 0
x(x2
− 2) = 0
x1 = 0, x2,3 = ±
√
2
(B) z D(f′
) · · · ∅
Zjis me, zda vyhledané body patří do intervalu (−2, 2).
Body 0, −
√
2,
√
2 ∈ (−2, 2).
b) Krajní body intervalu: −2 a 2.
2) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech.
f(−2) =
(−2)4
4
− (−2)2
= 0 f(−
√
2) =
(−
√
2)4
4
− (−
√
2)2
=
4
4
− 2 = −1
f(2) =
24
4
− 22
= 0 f(
√
2) =
(
√
2)4
4
− (
√
2)2
= −1
f(0) = 0
3) Vyhledáme největší funkční hodnotu, to je 0, a nejmenší funkční hodnotu, to je -1.
Závěr: Funkce má globální maximum 0 v bodech −2, 0, 2.
Funkce má globální minimum −1 v bodech −
√
2 a
√
2.
EXTRÉMY 80
4 42 2 33
5
10
15
20
25
Obr. 7.7 Graf funkce f(x) = x4
4 − x2
na intervalu ⟨−2, 2⟩
Zdroj: Vlastní zpracování
β) Interval ⟨−1, 3⟩.
1) Vyhledáme všechny body podezřelé z globálního extrému.
a) Body podezřelé z lokálního extrému na intervalu (−1, 3).
(A) x1 = 0
x2,3 = ±
√
2
(B) ∅
Pozor! Bod −
√
2 /∈ (−1, 3), proto jej z dalších úvah vypus me.
b) Krajní body intervalu: −1 a 3.
2) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech.
f(−1) =
(−1)4
4
− (−1)2
=
1
4
− 1 = −
3
4
f(0) = 0
f(3) =
34
4
− 32
=
81
4
− 9 =
45
4
f(
√
2) = −1
3) Vyhledáme největší funkční hodnotu, to je 45
4
a nejmenší funkční hodnotu, to je −1.
Závěr: Funkce má globální maximum 45
4
v bodě 3.
Funkce má globální minimum −1 v bodě
√
2.
81 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
2 2 44 33
5
10
15
20
25
Obr. 7.8 Graf funkce f(x) = x4
4 − x2
na intervalu ⟨−1, 3⟩
Zdroj: Vlastní zpracování
γ) Interval
⟨
2, 7
2
⟩
.
1) Vyhledáme všechny body podezřelé z globálního extrému.
a) Body podezřelé z lokálního extrému na intervalu
(
2, 7
2
)
.
(A) x1 = 0
x2,3 = ±
√
2
(B) ∅
Pozor! Body 0, −
√
2,
√
2 /∈
(
2, 7
2
)
, proto je z dalších úvah vypouš me.
b) Krajní body intervalu: 2 a 7
2
.
2) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech.
f(2) = 0 f
(
7
2
)
=
(7
2
)4
4
−
(
7
2
)2
=
1617
64
.
= 25, 26
3) Vyhledáme největší funkční hodnotu, to je 25, 26 a nejmenší funkční hodnotu, to je
0.
Závěr: Funkce má globální maximum 25, 26 v bodě 7
2
.
Funkce má globální minimum 0 v bodě 2.
EXTRÉMY 82
4 422 33
5
10
15
20
25
Obr. 7.9 Graf funkce f(x) = x4
4 − x2
na intervalu
⟨
2, 7
2
⟩
Zdroj: Vlastní zpracování
Poznámka.
Všimněte si, že funkce má na svém D(f) globální minimum -1 v bodech −
√
2 a
√
2, globální
maximum nemá.
Srovnejte grafy pro jednotlivé intervaly a uvědomte si, kdy nastává globální extrém v bodě lokálního
extrému a kdy nastává v krajním bodě zadaného intervalu. Je zřejmé, že hodnota globálního
extrému závisí na zadaném intervalu.
83 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Pomocí 1. derivace funkce lze rozhodnout o monotonii funkce. V bodě x0, v němž
f′
(x0) > 0 je funkce f rostoucí. V bodě x0, v němž f′
(x0) < 0 je funkce f kle-
sající.
Bod, ve kterém první derivace funkce f nabývá nulové hodnoty se nazývá stacionární
bod. V tomto bodě může mít funkce lokální extrém. Pokud je funkce ve
stacionárním bodě spojitá, v levém okolí stacionárního bodu je rostoucí a v pravém
okolí stacionárního bodu je klesající, pak tento bod je bodem lokální maxima
funkce. Pokud je funkce je funkce ve stacionárním bodě spojitá, v levém
okolí stacionárního bodu klesající a v pravém okolí stacionárního bodu rostoucí,
pak funkce má v tomto stacionárním bodě lokální minimum.
Na základě Weierstrassovy věty má každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu
globální minimum i globální maximum. Tyto extrémy se nacházejí buď v bodech
lokálních extrémů uvnitř nebo v krajních bodech zadaného intervalu. Vybíráme
je v závislos na funkčních hodnotách v těchto bodech.
1. Najděte intervaly monotónnos a lokální extrémy funkce.
• f (x) = x4−8x2
4 



o. l. min. −4 v bodech −2 a 2
o. l. max. 0 v bodě 0
f je rostoucí na (−2, 0) a (2, ∞)
f je klesající na (−∞, −2) a (0, 2)




• f (x) = x2−1
x2+1 

o. l. min. −1 v bodě 0
f je rostoucí na (0, ∞)
f je klesající na (−∞, 0)


2. Najděte globální extrémy funkce f(x) = 4x3−x4
5
na intervalu
• ⟨2, 4⟩ [
globální minimum −48
5
v bodě −2
globální maximum 27
5
v bodě 3
]
• ⟨−1, 2⟩ [
globální minimum −1 v bodě −1
globální maximum 16
5
v bodě 2
]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 8
Inflexní body, intervaly
konvexity a konkávity
Po prostudování kapitoly budete umět:
• rozhodnout, kdy je funkce konvexní a kdy je konkávní;
• najít inflexní body.
Klíčová slova:
Druhá derivace, inflexní bod, konvexní funkce, konkávní funkce.
85 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 8.1 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity pro funkci
f(x) = x4
− 6x3
+ 12x2
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 4x3
− 18x2
+ 24x; D(f′
) = R.
f′′
(x) = 12x2
− 36x + 24; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ 12(x2
− 3x + 2) = 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x1 = 1, x2 = 2
(B) z D (f′′
) : ∅
x ∈ (−∞, 1) 1 (1, 2) 2 (2, ∞)
f′′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ∪ 7 ∩ 16 ∪
inf. bod inf. bod
f(1) = 14
− 6 · 13
+ 12 · 12
= 7
f(2) = 24
− 6 · 23
+ 12 · 22
= 16 − 48 + 48 = 16
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−∞, 1) a (2, ∞) a ryze konkávní na intervalu (1, 2).
Funkce má 2 inflexní body: I1 = [1, 7] a I2 = [2, 16].
2, 16
1, 7
1 2 3
10
30
20
Obr. 8.1 Inflexní body funkce f(x) = x4
− 6x3
+ 12x2
Zdroj: Vlastní zpracování
INFLEXNÍ BODY, INTERVALY KONVEXITY A KONKÁVITY 86
Příklad 8.2 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity funkce
f(x) = x4
12
− 2x2
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) =
1
12
· 4x3
− 2 · 2x =
1
3
x3
− 4x; D(f′
) = R.
f′′
(x) =
3
3
x2
− 4 = x2
− 4; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ x2
− 4 = 0 ⇒ x2
= 4 ⇒ x1,2 = ±2
(B) z D (f′′
) : ∅
x ∈ (−∞, −2) −2 (−2, 2) 2 (2, ∞)
f′′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ∪ −20
3
∩ −20
3
∪
inf. bod inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−∞, −2) a (2, ∞) a ryze konkávní na intervalu (−2, 2).
Funkce má 2 inflexní body: I1 =
[
−2, −20
3
]
a I2 =
[
2, −20
3
]
.
2,
20
3
2,
20
3
4 2 2 4
9
6
3
3
Obr. 8.2 Inflexní body funkce f(x) = x4
12 − 2x2
Zdroj: Vlastní zpracování
87 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 8.3 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity pro funkci
f(x) = 3x5
− 10x3
+ 10x + 15.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 15x4
− 30x2
+ 10; D(f′
) = R.
f′′
(x) = 60x3
− 60x; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ 60x3
− 60x = 0/:60
x3
− x = 0
x(x2
− 1) = 0
x1 = 0, x2,3 = ±1
(B) z D (f′′
) : ∅
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞)
f′′
(x) − 0 + 0 − 0 +
f(x) ∩ 12 ∪ 15 ∩ 18 ∪
inf. bod inf. bod inf. bod
Funkce je ryze konkávní na intervalech (−∞, −1) a (0, 1) a ryze konvexní na intervalech (−1, 0)
a (1, ∞).
Funkce má 3 inflexní body: I1 = [−1, 12], I2 = [0, 15] a I3 = [1, 18].
1, 12 0, 15
1, 18
4 2 2
5
5
10
15
Obr. 8.3 Inflexní body funkce f(x) = 3x5
− 10x3
+ 10x + 15
Zdroj: Vlastní zpracování
INFLEXNÍ BODY, INTERVALY KONVEXITY A KONKÁVITY 88
Příklad 8.4 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity funkce
f(x) = 12x+2
x2 .
Řešení
D(f) = R\ {0} .
f′
(x) = 12 ·
1 · x2
− (x + 2) · 2x
(x2)2 = 12
x2
− 2x2
− 4x
x4
= −12
x(x + 4)
x4
=
= −12
x + 4
x3
; D(f′
) = R\ {0} .
f′′
(x) = −12
1 · x3
− (x + 4) · 3x2
(x3)2
= −12
x3
− 3x3
− 12x2
x6
= 24
x + 6
x4
; D(f′′
) = R\ {0} .
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ 24x+6
x4 = 0 ⇒ x + 6 = 0 ⇒ x = −6
(B) z D (f′′
) : x = 0, protože 0 /∈ D(f), inflexe v tomto bodě nemůže nastat
x ∈ (−∞, −6) −6 (−6, 0) 0 (0, ∞)
f′′
(x) − 0 + ¬∃ +
f(x) ∩ −4
3
∪ ¬∃ ∪
inf. bod inflexe
neexistuje
Funkce je ryze konkávní na intervalu (−∞, −6) a ryze konvexní na intervalech (−6, 0) a (0, ∞).
Funkce má 1 inflexní bod I =
[
−6, −4
3
]
.
6,
4
3
6 6 12
6
3
3
6
Obr. 8.4 Inflexní bod funkce f(x) = 12x+2
x2
Zdroj: Vlastní zpracování
89 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 8.5 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity pro funkci
f(x) = x4
12
− 2x2
+ 3x − 1.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) =
1
12
· 4x3
− 4x + 3 =
1
3
x3
− 4x + 3; D(f′
) = R.
f′′
(x) =
1
3
· 3x2
− 4 = x2
− 4; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ x2
− 4 = 0 ⇒ x1,2 = ±2
(B) z D (f′′
) : ∅
x ∈ (−∞, −2) −2 (−2, 2) 2 (2, ∞)
f′′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ∪ −41
3
∩ −5
3
∪
inf. bod inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−∞, −2) a (2, ∞) a ryze konkávní na intervalu (−2, 2).
Funkce má 2 inflexní body: I1 =
[
−2, −41
3
]
a I2 =
[
2, −5
3
]
.
2,
41
3
2,
5
3
6 3 3 6
20
10
10
Obr. 8.5 Inflexní body funkce f(x) = x4
12 − 2x2
+ 3x − 1
Zdroj: Vlastní zpracování
INFLEXNÍ BODY, INTERVALY KONVEXITY A KONKÁVITY 90
Příklad 8.6 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity funkce
f(x) = x4
+ 4x3
.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 4x3
+ 12x2
; D(f′
) = R.
f′′
(x) = 12x2
+ 24x; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ 12x(x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = −2
(B) z D (f′′
) : ∅
x ∈ (−∞, −2) −2 (−2, 0) 0 (0, ∞)
f′′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ∪ −16 ∩ 0 ∪
inf. bod inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−∞, −2) a (0, ∞) a ryze konkávní na intervalu (−2, 0).
Funkce má 2 inflexní body: I1 = [−2, −16] a I2 = [0, 0].
0, 0
t
2, 16
2 2
25
25
Obr. 8.6 Inflexní body funkce f(x) = x4
+ 4x3
Zdroj: Vlastní zpracování
Poznámka.
Inflexní tečna t v bodě I2 má rovnici y = 0, protože f′
(0) = 0, a splývá tedy s osou x.
91 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 8.7 Určete inflexní body a intervaly ryzí konvexity a ryzí konkávity funkce
f(x) = 3
√
x + 2.
Řešení
D(f) = R.
f′
(x) = 1
3
(x + 2)−2
3 = 1
3 3
√
(x+2)2
; D(f′
) = R\ {−2} .
f′′
(x) = 1
3
· (−2
3
) · (x + 2)
−5
3 = −2
9 3
√
(x+2)5
; D(f′′
) = R\ {−2} .
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ −2
9 3
√
(x+2)5
= 0 ⇒ −2 = 0, což nepla .
Pro žádné x ∈ R není f′′
(x) = 0.
(B) z D (f′′
) : x = −2 a přitom −2 ∈ D(f).
Tedy inflexe v bodě -2 může nastat
x ∈ (−∞, −2) −2 (−2, ∞)
f′′
(x) + ¬∃ −
f(x) ∪ 0 ∩
inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalu (−∞, −2) a ryze konkávní na intervalu (−2, ∞).
Funkce má 1 inflexní bod: I = [−2, 0].
t
2, 0
6 24 4 6
2
1
1
2
Obr. 8.7 Inflexní bod funkce f(x) = 3
√
x + 2
Zdroj: Vlastní zpracování
Poznámka.
Vypočteme lim
x→−2
f′
(x) = lim
x→−2
1
3 3
√
(x+2)2
= +∞.
Znamená to, že inflexní tečna t je rovnoběžná s osou y a má rovnici x = −2.
Všimněte si, že inflexní tečna přechází v bodě dotyku z jedné strany grafu funkce (křivky) na
druhou. Pamatujte si, že tuto vlastnost mají všechny inflexní tečny.
INFLEXNÍ BODY, INTERVALY KONVEXITY A KONKÁVITY 92
Pomocí 2. derivace funkce lze rozhodnout o tom, kdy je funkce konvexní (tzn. její
graf je nad tečnou) a kdy je funkce konkávní (tzn. Její graf je pod tečnou). Pokud
má funkce f v bodě x0 nenulovou druhou derivaci a pokud f′′
(x0) > 0 je funkce
f v bodě x0 konvexní. Jestliže ale f′′
(x0) < 0 je funkce f v bodě x0 konkávní.
Bod, ve kterém je funkce f definovaná a ve kterém se funkce f se mění z konvexní
na konkávní, se nazývá inflexní bod.
1. Určete inflexní body a intervaly konvexity a konkávity.
• f (x) = 4x3−x4
5 

inflexní body: I1 = [0, 0], I2 =
[
2, 16
5
]
f je konvexní na (0, 2)
f je konkávní na (−∞, 0), (2, ∞)


• f (x) = 2x
1−x2


inflexní bod I = [0, 0]
f je konvexní na (−∞, −1) a (0, 1)
f je konkávní na (−1, 0) a (1, ∞)


Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 9
Průběh funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
• analyzovat průběh libovolné reálné funkce jedné proměnné;
• graficky znázornit zadanou funkci.
Klíčová slova:
Definiční obor, obor hodnot, periodicita funkce, monotonie funkce, stacionární
bod, extrémy funkce, konvexní funkce, konkávní funkce, inflexní bod, asymptota
bez směrnice, asymptota se směrnicí.
PRŮBĚH FUNKCE 94
Příklad 9.1 Vyšetřete průběh funkce f(x) = x4
4
− x2
.
Řešení
1 D(f) = R.
Parita: f(−x) = (−x)4
4
− (−x)2
= x4
4
− x2
= f(x) · · · funkce je sudá, její graf je osově
souměrný podle osy y.
Průsečíky s osou x: x4
4
− x2
= 0
x2
(
x2
4
− 1
)
= 0
x1 = 0, x2,3 = ±2
S osou x má graf 3 průsečíky: P1 = [0; 0] (je zároveň i průsečíkem s osou y),
P2 = [2; 0], P3 = [−2; 0].
x ∈ (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, ∞)
f(x) + − − +
graf f nad osou x pod osou x pod osou x nad osou x
2 Funkce je spojitá, protože je rozdílem dvou spojitých funkcí, nemá ver kální asymptoty.
Chování funkce v nevlastních bodech (v krajních bodech definičního oboru):
lim
x→±∞
[
x4
4
− x2
]
= (∞ − ∞) = lim
x→±∞
[
x4
(
1
4
−
1
x2
)]
=
= (±∞)4
(
1
4
− 0
)
= +∞
3 Vyšetříme monotónnost a lokální extrémy.
f′
(x) = x3
− 2x; D(f′
) = R.
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0
x(x2
− 2) = 0
x1 = 0
x2,3 = ±
√
2
(B) z D(f′
) : D(f) = D(f′
); ∅
x ∈ (−∞, −
√
2) −
√
2 (−
√
2, 0) 0 (0,
√
2)
√
2 (
√
2, ∞)
f′
(x) − 0 + 0 − 0 +
f(x) ↘ −1 ↗ 0 ↘ −1 ↗
o. l. min. o. l. max. o. l. min.
Funkce je rostoucí na intervalech (−
√
2, 0) a (
√
2, ∞).
Funkce je klesající na intervalech (−∞, −
√
2) a (0,
√
2).
Funkce má ostré lokální maximum 0 v bodě 0 a ostré lokální minimum −1 v bodech −
√
2
a
√
2.
95 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
4 Vyšetříme konvexitu, konkávitu a inflexní body.
f′′
(x) = 3x2
− 2; D(f′′
) = R.
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0 ⇐⇒ 3x2
− 2 = 0 ⇒ x1,2 = ±
√
2
3
(B) z D(f′′
) : D(f) = D(f′′
); ∅
x ∈
(
−∞, −
√
2
3
)
−
√
2
3
(
−
√
2
3
,
√
2
3
) √
2
3
(√
2
3
, ∞
)
f′′
(x) + 0 − 0 +
f(x) ∪ −5
9
∩ −5
9
∪
inf. bod inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalech
(
−∞, −
√
2
3
)
a
(√
2
3
, ∞
)
.
Funkce je ryze konkávní na intervalu
(
−
√
2
3
,
√
2
3
)
.
Funkce má 2 inflexní body: I1 =
[
−
√
2
3
, −5
9
]
a I2 =
[√
2
3
, −5
9
]
.
5 Zjis me, zda má graf funkce asymptotu se směrnicí. Rovnice asymptoty se směrnicí má
tvar y = kx + q.
k = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x4
4
− x2
x
= lim
x→±∞
(
x3
4
− x
)
= (∞ − ∞) =
= lim
x→±∞
[
x3
(
1
4
−
1
x2
)]
= (±∞)3
(
1
4
− 0
)
= ±∞
Asymptota se směrnicí neexistuje.
6 Graf funkce.
3 1.5 1.5 3
x
2
1
1
2
y
Obr. 9.1 Graf funkce f(x) = x4
4 − x2
Zdroj: Vlastní zpracování
Funkce není prostá a není omezená (je omezená pouze zdola).
Funkce má globální minimum −1 v bodech
√
2 a −
√
2, globální maximum nemá.
PRŮBĚH FUNKCE 96
Příklad 9.2 Vyšetřete průběh funkce f(x) = x3
x2−1
.
Řešení
1 D(f) : x2
− 1 ̸= 0 ⇒ x2
̸= 1 ⇒ x1,2 ̸= ±1.
D(f) = R\ {−1, 1}.
Parita: f(−x) = (−x)3
(−x)2−1
= −x3
x2−1
= −f(x) · · · funkce je lichá, její graf je středově souměrný
podle počátku soustavy souřadnic.
Průsečíky s osou x: x3
x2−1
= 0 ⇒ x = 0
Graf má 1 průsečík s osou x a to P = [0; 0], což je zároveň i průsečík s osou y.
x ∈ (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
f(x) − + − +
graf f pod osou x nad osou x pod osou x nad osou x
2 Funkce není spojitá v bodech -1 a 1.
Výpočtem jednostranných limit v těchto bodech zjis me, zda jimi prochází ver kální
asymptota.
lim
x→1+
x3
x2−1
=
[ 1
→0+
]
= +∞
lim
x→1−
x3
x2−1
=
[ 1
→0−
]
= −∞



Bod 1 je bod nespojitos II. druhu.
Přímka x = 1 je ver kální asymptota.
lim
x→−1+
x3
x2−1
=
[ −1
→0−
]
= +∞
lim
x→−1−
x3
x2−1
=
[ −1
→0+
]
= −∞



Bod -1 je bod nespojitos II. druhu.
Přímka x = −1 je ver kální asymptota.
Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech.
lim
x→±∞
x3
x2 − 1
=
(∞
∞
)
= lim
x→±∞
x
1 − 1
x2
= ±∞
3 Vyšetříme monotónnost a lokální extrémy.
f′
(x) =
3x2
(x2
− 1) − x3
· 2x
(x2 − 1)2
=
x4
− 3x2
(x2 − 1)2
=
x2
(x2
− 3)
(x2 − 1)2
; D(f′
) = R\ {−1, 1} .
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0
x2
(x2
− 3)
(x2 − 1)2
= 0
x1 = 0
x2,3 = ±
√
3
(B) z D(f′
) :
−1 a 1 /∈ D(f′
), ale -1 a 1 /∈ D(f), proto v nich extrém nemůže nastat.
Tedy z D(f′
) · · · ∅.
97 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
x ∈ (−∞, −
√
3) −
√
3 (−
√
3, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1,
√
3)
√
3 (
√
3, ∞)
f′(x) + 0 − ¬∃ − 0 − ¬∃ − 0 +
f(x) ↗ −2, 6 ↘ ¬∃ ↘ 0 ↘ ¬∃ ↘ 2, 6 ↗
o. l. max. extrém o. l. min.
nenastane
Funkce je rostoucí na intervalech (−∞, −
√
3) a (
√
3, ∞).
Funkce je klesající na intervalech (−
√
3, −1), (−1, 1) a (1,
√
3).
Funkce má ostré lokální maximum −2, 6 v bodě −
√
3.
Funke má ostré lokální minimum 2, 6 v bodě
√
3.
4 Vyšetříme konvexitu, konkávitu a inflexní body.
f′′
(x) =
(4x3
− 6x)(x2
− 1)2
− (x4
− 3x2
) · 2(x2
− 1) · 2x
(x2 − 1)4
=
=
(x2
− 1) · (4x5
− 6x3
− 4x3
+ 6x − 4x5
+ 12x3
)
(x2 − 1)4
=
2x3
+ 6x
(x2 − 1)3
=
2x(x2
+ 3)
(x2 − 1)3
D(f′′
) = R\ {−1, 1} .
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0
2x(x2
+ 3)
(x2 − 1)3
= 0
x = 0
(B) z D(f′′
): -1 a 1 /∈ (D(f′′
), ale -1 a 1 /∈ D(f); tzn. žádný další inflexní bod nezískáme.
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ∞)
f′′
(x) − ¬∃ + 0 − ¬∃ +
f(x) ∩ ¬∃ ∪ 0 ∩ ¬∃ ∪
inf. bod
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−1, 0) a (1, ∞).
Funkce je ryze konkávní na intervalech (−∞, −1) a (0, 1).
Funkce má 1 inflexní bod: I ≡ P = [0, 0].
5 Zjis me, zda má graf funkce asymptotu se směrnicí.
k = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x3
x2−1
x
= lim
x→±∞
x3
x3 − x
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→±∞
3x2
3x2 − 1
=
(∞
∞
)
l′H
=
= lim
x→±∞
6x
6x
= lim
x→±∞
1 = 1
q = lim
x→±∞
(f(x) − k · x) = lim
x→±∞
(
x3
x2 − 1
− 1 · x
)
= lim
x→±∞
x3
− x3
+ x
x2 − 1
=
= lim
x→±∞
x
x2 − 1
=
(∞
∞
)
l′H
= lim
x→±∞
1
2x
=
[
1
±∞
]
= 0
y = 1 · x + 0
Přímka o rovnici y = x je asymptotou se směrnicí.
PRŮBĚH FUNKCE 98
6 Graf funkce.
y x
x 1x 1
P It
2 2
x
3
3
y
Obr. 9.2 Graf funkce f(x) = x3
x2−1
Zdroj: Vlastní zpracování
Funkce není omezená, nemá globální extrémy, není prostá.
Poznámka.
Inflexní tečna t v bodě P ≡ I splývá s osou x, protože f′
(0) = 0.
Příklad 9.3 Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x − 5)
3
√
x2.
Řešení
1 D(f) = R.
Parita: f(−x) = (−x − 5) 3
√
(−x)2 = (−x − 5)
3
√
x2
f(−x) ̸= f(x) a f(−x) ̸= −f(x) · · · funkce není ani sudá, ani lichá
Průsečíky s osou x: (x − 5)
3
√
x2 = 0
x1 = 5 a x2 = 0
Graf funkce pro ná osu x ve dvou bodech: P1 = [5, 0] a P2 = [0, 0], bod P2 je zároveň
průsečík s osou y.
x ∈ (−∞, 0) (0, 5) (5, ∞)
f(x) − − +
graf f pod osou x pod osou x nad osou x
99 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
2 Funkce je spojitá, je součinem dvou spojitých funkcí.
Graf funkce nemá ver kální asymptoty.
Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech.
lim
x→±∞
(x − 5) ·
3
√
x2 = (±∞ − 5) 3
√
(±∞)2 = ±∞ · ∞ = ±∞
3 Vyšetříme monotónnost a lokální extrémy.
f′
(x) = 1 ·
3
√
x2 + (x − 5) ·
2
3
· x−1
3 =
3
√
x2 +
2(x − 5)
3 3
√
x
=
3x + 2x − 10
3 3
√
x
=
=
5x − 10
3 3
√
x
=
5
3
·
x − 2
3
√
x
D(f′
) = R\ {0} .
Body podezřelé z lokálního extrému:
(A) z nutné podmínky: f′
(x) = 0
5
3
·
x − 2
3
√
x
= 0
x = 2
(B) z D(f′
) : 0 /∈ D(f′
) a 0 ∈ D(f); x = 0
x ∈ (−∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, ∞)
f′
(x) + ¬∃ − 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ −3 3
√
4 ↗
o. l. max. o. l. min.
Funkce je rostoucí na intervalech (−∞, 0) a (2, ∞).
Funkce je klesající na intervalu (0, 2).
Funkce má ostré lokální maximum 0 v bodě 0.
Funke má ostré lokální minimum −3 3
√
4 v bodě 2.
4 Vyšetříme konvexitu, konkávitu a inflexní body.
f′′
(x) =
5
3
·
1 · 3
√
x − (x − 2) · 1
3
x−2
3
( 3
√
x)2
=
5
3
·
3
√
x − x−2
3
3√
x2
3
√
x2
=
5
3
·
3x−x+2
3
3√
x2
3
√
x2
=
=
5
3
·
2x + 2
3
3
√
x4
=
10
9
·
x + 1
3
√
x4
D(f′′
) = R\ {0} .
Body podezřelé z inflexe:
(A) z nutné podmínky: f′′
(x) = 0
10
9
x + 1
3
√
x4
= 0
x = −1
PRŮBĚH FUNKCE 100
(B) z D(f′′
) : 0 /∈ (D(f′′
), ale 0 ∈ D(f); x = 0
x ∈ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, ∞)
f′′
(x) − 0 + ¬∃ +
f(x) ∩ −6 ∪ 0 ∪
inf. bod inflexe
nenastane
Funkce je ryze konvexní na intervalech (−1, 0) a (0, ∞).
Funkce je ryze konkávní na intervalu (−∞, −1).
Funkce má 1 inflexní bod: I = [−1, −6].
5 Zjis me, zda má graf funkce asymptotu se směrnicí.
k = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
(x − 5) ·
3
√
x2
x
= lim
x→±∞
[(
1 −
5
x
)
3
√
x2
]
= +∞
Asymptota se směrnicí neexistuje.
6 Graf funkce.
2 2 4 6
x
9
6
3
y
Obr. 9.3 Graf funkce f(x) = (x − 5)
3
√
x2
Zdroj: Vlastní zpracování
Funkce není prostá, není omezená, nemá globální extrémy.
Poznámka.
Tečna v bodě P2 = [0, 0] neexistuje, protože f′
(0) neexistuje. Existují pouze jednostranné tečny,
které splývají s nekladnou čás osy y.
101 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Na základě funkčního předpisu určíme definiční obor funkce a ověříme periodicitu
a paritu funkce. Stanovíme nulové body funkce a body, v nichž funkce není
definována. Ty nám rozdělí definiční obor na subintervaly, ve kterých funkce nabývá
buď jen kladných nebo jen záporných hodnot.
Pomocí první derivace rozhodneme o monotonii funkce: Určíme body, ve kterých
je 1. derivace nulová nebo v nichž neexistuje. Tyto body rozdělí číselnou
osu na subintervaly, ve kterých je funkce buď jen rostoucí nebo jen klesající. Určíme
lokální extrémy funkce.
Pomocí druhé derivace určíme, kde je funkce konvexní a kde konkávní: Určíme
body, v nichž je druhá derivace nulová nebo v nichž druhá derivace není definována.
Tyto body rozdělí číselnou osu na subintervaly, v nichž je funkce buď jen
konvexní nebo jen konkávní. Určíme inflexní body.
Zjis me, zda funkce má asymptoty bez směrnice nebo se směrnicí.
Spočteme některé funkční hodnoty ve významných bodech (např. v bodech extémů
nebo v inflexních bodech).
Nakreslíme graf.
1. Vyšetřete průběh funkce, načrtněte její graf a napište, zda je funkce omezená,
prostá a zda má globální extrémy.
• f(x) = 4x3−x4
5 





















−2 32−1
−1
27
5
−48
5
16
5
x
y






















PRŮBĚH FUNKCE 102
• f(x) = x
4−x2





















2−2
3
−3
x
y





















Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Kapitola 10
Využití diferenciálního
počtu v praxi
Po prostudování kapitoly budete umět:
• zkonstruovat grafy funkcí, které popisují určitou reálnou situaci;
• určit z grafu, který popisuje určitý reálný proces, vlastnos tohoto procesu.
Klíčová slova:
Graf, růst, pokles, maximální hodnota, minimální hodnota, limitní hodnota.
VYUŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU V PRAXI 104
Příklad 10.1 Číslo 1000 rozdělte na dva sčítance tak, aby součet jejich druhých mocnin byl mi-
nimální.
Řešení
Označme x a y hledané sčítance.
Pla x + y = 1000, tedy y = 1000 − x.
Pro součet s druhých mocnin pla
s = x2
+ y2
= x2
+ (1000 − x)2
= x2
+ 106
− 2 · 103
x + x2
, přičemž s závisí (je funkcí) x,
tedy s(x) = 2x2
− 2 · 103
x + 106
.
Určíme stacionární bod funkce s.
s′
(x) = 4x − 2 · 103
= 0
2x − 103
= 0
x =
1000
2
= 500
Potom y = 1000 − 500 = 500
Pomocí druhé derivace funkce s zjis me, zda a jaký typ extrému v bodě 500 nastává.
s′′
(x) = 4, s′′
(500) = 4 > 0 ⇒ lokální minimum
Číslo 1000 rozdělíme na dva stejné sčítance 500 a 500.
Příklad 10.2 Z lepenky tvaru čtverce o straně a se mají v rozích vyříznout čtverce o straně x tak,
aby vznikla krabice bez víka. Určete velikost x strany čtverce, aby objem krabice byl co největší.
Určete objem vzniklé krabice.
Řešení
Situace je zachycena na následujícím obrázku
a 2 x xx
Obr. 10.1 Podstava kvádru
Zdroj: Vlastní zpracování
105 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Vzniklá krabice bude mít tvar kvádru, jehož podstava má plochu (a − 2x)2
a výška je x.
Objem kvádru
V (x) = (a − 2x)2
x
V (x) = a2
x − 4ax2
+ 4x3
Stacionární bod funkce V
V ′
(x) = a2
− 8ax + 12x2
= 0
x1,2 =
8a ±
√
64a2 − 48a2
24
=
⟨ a
2
a
6
Zjis me zda a jaký druh extrému v bodech x1 = a
2
, x2 = a
6
nastává.
V ′′
(x) = −8a + 24x
V ′′
(a
2
)
= −8a +
24
2
a = 4a > 0 → lokální minimum
V ′′
(a
6
)
= −8a +
24
6
a = −4a < 0 → lokální maximum
Objem krabice bude V =
(
a − 2a
6
)2
· a
6
=
(2
3
a
)2
· a
6
= 2a3
27
Aby objem krabice byl co největší, je třeba z lepenky vyříznout v rozích čtverce o straně a
6
.
Objem zhotovené krabice bude 2a3
27
(j3
).
Příklad 10.3 Určete rozměry odkrytého bazénu o objemu V = 32 m3
se čtvercovým dnem tak,
aby na obložení jeho čtyř stěn a dna se spotřebovalo co nejméně materiálu. Určete obsah plochy
na obložení.
Řešení
Označme x délku strany dna a v výšku bazénu.
Bazén má tvar kvádru, kde x je délka hrany podstavy a v jeho výška.
Víme, že objem V bazénu je V = 32 m3
a objem V kvádru je V = x2
v.
Tedy 32 = x2
v a odtud v = 32
x2 .
Označme S plochu stěn a dna bazénu.
S = x2
+ 4xv = x2
+ 4x32
x2 = x2
+ 128
x
, přičemž S závisí (je funkcí) x.
Tedy S(x) = x2
+ 128
x
Určíme stacionární bod funkce S
S′
(x) = 2x −
128
x2
= 0
2x3
− 128 = 0
x3
= 64 ⇒ x = 4
VYUŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU V PRAXI 106
Zjis me zda a jaký typ extrému v bodě 4 nastává.
S′′
(x) = 2 +
256
x3
S′′
(4) = 2 +
256
43
= 2 +
256
64
= 2 + 4 = 6 > 0 ⇒ lokální minimum
Potom v = 32
42 = 32
16
= 2
Obsah plochy na obložení S = 42
+ 4 · 4 · 2 = 16 + 32 = 48
Dno bazénu bude čtverec o straně 4 m a výška bazénu bude 2 m. Obsah plochy na obložení
bude 48 m2
.
Příklad 10.4 Jaké rozměry bude mít konzerva tvaru válce, jejíž objem je 250 cm3
, aby se na její
výrobu spotřebovalo co nejméně materiálu. Určete spotřebu materiálu.
Řešení
Označme r poloměr a v výšku válce.
Objem V válce V = πr2
v a je roven 250 cm3
, tedy 250 = πr2
v ⇒ v = 250
πr2
Spotřebovaný materiál označíme S a je roven povrchu válce,
tedy S = 2πr2
+ 2πrv = 2πr (r + v)
Dosadíme za v
S = 2πr
(
r + 250
πr2
)
= 2πr2
+ 500
r
, S je funkcí r, tedy S(r) = 2πr2
+ 500
r
Určíme stacionární bod funkce S
S′
(r) = 4πr −
500
r2
= 0
πr −
125
r2
= 0
πr3
− 125 = 0 ⇒ r =
3
√
125
π
=
5
3
√
π
.
= 3,41
Potom v = 250
πr2 = 250
π
(
5
3√
π
)2 = 250
25 3√
π
= 10
3√
π
.
= 6,82
Zjis me zda a jaký typ extrému v bodě 5
3√
π
nastává.
S′′
(r) = 4π + 1000
r3 ; S′′
(
5
3√
π
)
= 4π + 1000
125
π
= 4π + 8π = 12π > 0 ⇒ lokální minimum
Spotřeba materiálu S = 2π · 3, 41 · (3, 41 + 6, 82)
.
= 219
Konzerva bude mít tvar rovnostranného válce (v = 2r), jenž má poloměr podstavy 3,41 cm
a výšku 6,82 cm. Spotřeba materiálu bude přibližně 219 cm2
.
107 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Příklad 10.5 Radnice dostala dotaci 60 000 Kč na oplocení dětského hřiště, které má tvar obdélníka.
Když 1 m plotu stojí 750 Kč, určete rozměry hřiště tak, aby jeho plocha byla při daném
rozpočtu co největší.
Řešení
Označme délky stran hřiště jako x a y.
Z dotace lze pořídit 60 000
750
= 80 [m] plotu.
Pro obvod hřiště, který je možné oplo t, pla
80 = 2(x + y) =⇒ y = 80
2
− x
y = 40 − x
Plocha hřiště má být co největší, to znamená, že
P = x · y → max
P(x) = x(40 − x) → max
P(x) = 40x − x2
→ max
Určíme stacionární bod funkce P (tj. bod, kde může nastat extrém).
P′
(x) = 40 − 2x
40 − 2x = 0 ⇐⇒ x = 20 a současně y = 40 − 20 = 20
Ověříme, zda ve stacionárním bodě x = 20 extrém skutečně nastává.
P′′
(x) = −2
P′′
(20) = −2 < 0 → lokální maximum obdržíme pro x = 20.
Plocha hřiště, která odpovídá rozměrům x = 20, y = 20 je
P = 20 · 20 = 400 [m2
].
Při daném rozpočtu lze oplo t čtvercové hřiště o straně 20 m. Jeho plocha pak bude 400 m2
.
Příklad 10.6 Pro zabezpečení kon nuální výroby louhu je třeba mít k dispozici 10 000 t kamenné
soli. Pořizovací cena včetně dopravy je 9 000 Kč/t. Náklady spojené s vyřízením a převze m
jedné dodávky jsou 8 500 Kč včetně vstupní kontroly. Náklady na udržení zásob se pohybovaly
v loňském roce kolem 15% průměrné hodnoty zásob za rok. Určete, v jak velkých dodávkách je
třeba zásobovat výrobu, aby náklady s m spojené byly co nejnižší.
Řešení
Ze zadání je vidět, že
požadované množství nakupované položky s = 10 000 t,
pořizovací cena c = 9 000 Kč/t,
náklady na vyřízení jedné dodávky nj = 8 500 Kč,
náklady na udržení zásob ns = 15% z průměrné hodnoty zásob po období T = 1 rok.
Označme Q - výši dodávky. Předpokládejme, že celkové náklady N(Q) jsou součtem nákladů
na pořízení zásob Q
2
Tnsc a nákladů na udržování zásob s
Q
uj.
V našem případě celkové náklady
N(Q) =
Q
2
· 1 · 0,15 · 9 000 +
10 000
Q
· 8 500 = 675 Q +
85 000 000
Q
VYUŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU V PRAXI 108
Určíme stacionární bod:
N′
(Q) = 675 −
85 000 000
Q2
= 0
Odtud Q2
= 85 000 000
675
Op mální velikost dodávek Q =
√
85 000 000
675
.
= 355 [t]
Aby náklady na zásobování byly co nejnižší, je třeba výrobu zásobovat dodávkami o velikos
355 t.
Příklad 10.7 Kolik elektronických koloběžek má výrobce prodat, aby maximalizoval svůj příjem,
když funkce příjmu je dána rovnicí TR(Q) = −4Q2
+ 1280Q + 350 a Q je počet prodaných
koloběžek?
Řešení
Určíme stacionární bod funkce příjmu.
TR′
(Q) = − 8Q + 1280
− 8Q + 1280 = 0
Stacionární bod Q = 160 [ks]
Zjis me, zda pro Q = 160 funkce příjmu nabývá svého maxima.
TR′′
(Q) = −8
TR′′
(160) = −8 < 0 ⇒ funkce příjmu nabývá pro Q = 160 svého maxima
Výrobce maximalizuje svůj příjem, když prodá 160 kusů koloběžek.
Příklad 10.8 Zjistěte typ cenové elas city poptávky v bodě P = 4, když funkce poptávky má
tvar
Q = 150 − P5
− 2,5P3
− P.
Řešení
Cenová elas cita ε je poměr procentuální změny poptávky Q po zboží a procentuální změny
ceny P zboží. Spočteme ji pomocí vztahu
ε (p) = Q′
(P)
P
Q(P)
.
Pokud má určité P ε(p0) > 1, jedná se o cenově elas ckou, pro ε(p0) = 1 o jednotkově elasckou,
a pro ε(p0) < 1, cenově neelas ckou kategorii cenové elas city poptávky.
Pro danou funkci poptávky spočteme, že
Q′
= −5P4
− 2,5 · 3P2
− 1.
Pak
ε(P) = (−5P4
− 7,5P2
− 1) ·
P
150 − P5 − 2,5P3 − P
ε(4) = (−5 · 44
− 7,5 · 42
− 1)
4
150 − 45 − 2,5 · 43 − 4
= 5,398
Protože ε(4) > 1, jedná se o cenově elas ckou kategorii cenové poptávky.
109 DIFERENCIÁLNÍ POČET (1)
Řada ekonomických procesů má charakter determinis cké závislos a lze je formálně
popsat prostřednictvím funkce. Diferenciální počet je exaktní nástroj,
který nám umožní proniknout do vlastnos funkcí popsaného procesu. Z věcné
interpretace získaných výsledků je pak možné vyvodit závěry a opatření užitečné
pro praxi.
1. Jaké rozměry bude mít vodní koryto obdélníkového průřezu nahoře otevřené,
má-li být obvod průřezu co nejmenší a obsah průřezu
P = 24,5 dm2
.
[3,5 dm a 7 dm, obvod 14 dm]
2. Průřez tunelu má tvar obdélníka zakončeného půlkružnicí; obvod průřezu
je a metrů. Jaký musí být poloměr kružnice, aby plošný obsah průřezu byl
největší? [ a
4+π
m
]
Literatura k tématu
[1] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd.,
Praha: Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[3] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd.,
Olomouc: UP, 2013, 329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[4] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
Seznam literatury a použitých zdrojů
[1] BERMAN, G. N.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, Moskva: Nauka, 1965,
443 s. (rusky)
[2] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, Moskva: Nauka, 1977,
527 s. (rusky)
[3] DĚMIDOVIČ, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matema cké analýzy, 1. vyd., Praha: Fragment,
2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[4] MÁDROVÁ, V.: Matema cká analýza I., Olomouc: UP, 2001, 217 s.,
ISBN 80-244-0269-6 (skripta)
[5] Mádrová, V., Marek, J.: Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd., Olomouc: UP, 2013,
329 s., ISBN 978-80-244-3410-10 (skripta)
[6] MOŠOVÁ, V.: Matema cká analýza I., 1.vyd, Olomouc: UP, 2002. 126 s.,
ISBN 80-244-0464-8 (skripta)
[7] TOMICA, R.: Cvičení z matema ky I, Brno: VUT, 1970, 293 s.
Seznam obrázků
2.1. Graf funkce f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Graf funkce f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Graf funkce f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1. Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x3
1+x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x
1+x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x + x
3x−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4. Asymptoty ke grafu funkce f(x) = x2
+ 1
x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1. Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3x2
− 6x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2. Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = x + 1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3. Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3
x−2
+ 5x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4. Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = x+3
x−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5. Tečna a normála ke grafu funkce f(x) = 3
√
3 − x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1. Lokální extrémy funkce f(x) = x4
4
− x3
3
− x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2. Lokální extrémy funkce f(x) = x4+4x3−8x2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3. Lokální extrémy funkce f(x) = 10x3
− 6x5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4. Lokální extrémy funkce f(x) = x − 1
2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.5. Lokální extrémy funkce f(x) = x3
− 3x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6. Lokální extrémy funkce f(x) = 3
√
(x2 − 4x)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.7. Graf funkce f(x) = x4
4
− x2
na intervalu ⟨−2, 2⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.8. Graf funkce f(x) = x4
4
− x2
na intervalu ⟨−1, 3⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.9. Graf funkce f(x) = x4
4
− x2
na intervalu
⟨
2, 7
2
⟩
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.1. Inflexní body funkce f(x) = x4
− 6x3
+ 12x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2. Inflexní body funkce f(x) = x4
12
− 2x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3. Inflexní body funkce f(x) = 3x5
− 10x3
+ 10x + 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4. Inflexní bod funkce f(x) = 12x+2
x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.5. Inflexní body funkce f(x) = x4
12
− 2x2
+ 3x − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6. Inflexní body funkce f(x) = x4
+ 4x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.7. Inflexní bod funkce f(x) = 3
√
x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.1. Graf funkce f(x) = x4
4
− x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2. Graf funkce f(x) = x3
x2−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.3. Graf funkce f(x) = (x − 5)
3
√
x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.1. Podstava kvádru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104