MATEMATICKÁ
ANALÝZA
S T U D I J N Í O P O R A P R O K O M B I N O V A N É
S T U D I U M
Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 2018
MATEMATICKÁ
ANALÝZA
RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc.,
RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc.,
©
Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s.
Autor: RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc.,
RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc.,
Olomouc 2018
Obsah
Úvod 8
1. Funkce jedné proměnné 9
Definice funkce 10
Vlastnosti funkcí 12
Elementární funkce 16
Polynomy 16
Funkce racionální lomená 17
Goniometrické funkce 20
Cyklometrické funkce 22
Exponenciální funkce 26
Logaritmické funkce 27
Obecná mocnina 28
2. Limita a spojitost funkce 31
Definice limity funkce 32
Pravidla pro počítání s limitami 34
Spojitost 37
Druhy nespojitosti 38
Spojitost na intervalu 40
3. Derivace funkce 42
Derivace funkce v bodě 43
Pravidla pro derivování 46
Derivace vyšších řádů 49
Využití diferenciálního počtu 50
L’Hospitalovo pravidlo 50
Monotonie a extrémy funkce 52
Vyšetřování průběhu funkce 55
4. Neurčitý integrál 63
Primitivní funkce a neurčitý integrál 64
Základní integrační metody 66
Metoda per partes 66
Substituční metoda 67
Integrace racionální funkce lomené 68
Integrace goniometrických funkcí 70
5. Určitý integrál 73
Definice Riemannova určitého integrálu 74
Výpočet určitého integrálu 76
6. Nevlastní integrál 81
Integrál jako funkce meze 82
Nevlastní integrály 83
Nevlastní integrály vlivem meze 84
Výpočet dle Leibniz – Newtonovy formule 86
Nevlastní integrály vlivem funkce 88
Výpočet dle Leibniz – Newtonovy formule 89
Geometrická interpretace nevlastních integrálů 92
7, Diferenciální počet funkce více proměnných 97
Základní pojmy 98
Pojem funkce dvou proměnných 99
Limita 102
Dvojnásobná limita 104
Výpočet limity 106
Spojitost funkce dvou proměnných 108
8. Parciální derivace a totální diferenciál 118
Parciální derivace 119
Geometrický význam parciálních derivací 119
Parciální derivace na množině 120
Výpočet derivací 121
Parciální derivace vyšších řádů 122
Totální diferenciál 124
Užití totálního diferenciálu 126
Tečná rovina a normála 126
9, Extrémy funkce 132
Extrémy funkce dvou proměnných 133
Lokální extrémy 133
Geometrická interpretace lokálních extrémů 137
Postup při určování lokálních extrémů na otevřené množině 138
Globální extrémy 143
Určování globálních extrémů na kompaktní množině 144
Vázané extrémy 144
Funkce tří proměnných 148
10. Implicitní funkce 152
11. Dvojný integrál 162
Dvojný integrál 163
Výpočet dvojného integrálu postupnými integracemi – dvojnásobný integrál 166
Dvojný integrál přes měřitelné množiny 168
Transformace do polárních souřadnic 170
Geometrické aplikace dvojného integrálu 171
12. Trojný integrál 174
Definice trojného Riemannova integrálu 175
Výpočet trojného integrálu 175
Aplikace trojného integrálu 180
Geometrické aplikace 180
Fyzikální aplikace 181
Úvod
Cílem předmětu je seznámení studentů s diferenciálním a integrálním počtem funkce jedné
a více proměnných a jejich aplikacemi. Student po ukončení semestru správně chápe pojem
funkce a uvědomuje si užitečnost funkcí pro popis vztahů mezi jednotlivými veličinami, rozpoznává
a charakterizuje základní vlastnosti funkcí. Pro funkce jedné i více proměnných bezpečně
určuje definiční obory funkcí, definuje limitu funkce, zná vlastnosti limit a umí počítat
limity rozličných funkcí, rozumí pojmu spojitosti funkce. Chápe a umí definovat derivaci
funkce, rutinně zvládá výpočet derivací rozmanitých funkcí, chápe geometrický význam
derivace. Zvládá aplikaci všech vědomostí diferenciálního počtu. Pro funkci jedné proměnné
definuje primitivní funkci a neurčitý integrál, má osvojeny základní integrační metody. Pro
funkce jedné a více proměnných rozumí způsobu konstrukce určitého integrálu, ovládá jeho
základní vlastnosti a výpočet. Je schopen využít vědomosti integrálního počtu při řešení
základních geometrických a fyzikálních úloh
Kapitola 1
Funkce jedné proměnné
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat základní vlastnosti funkcí
 rozeznat typ a určit vlastnosti dané elementární funkce
 kreslit grafy elementárních funkcí
Klíčová slova:
Funkce, definiční obor, obor hodnot, restrikce, graf funkce, funkce sudé, liché, omezené,
monotonní, periodické, prosté, inverzní, složené, polynom, obecná mocnina,
goniometrické a cyklometrické funkce, funkce racionální lomená, exponenciální,
logaritmická
MATEMATICKÁ ANALÝZA 10
Definice funkce
Definice 1.1 Nechť RI J   Zobrazení Rf I  nazveme (reálnou) funkcí jedné (reálné)
proměnné. Množina I se nazývá definiční obor a množina { ( ) R }J f x x I    obor hodnot
funkce f 
Příklad Dráha s je funkcí času t Píšeme ( )s s t 
Objem krychle V je funkcí délky hrany a Platí 3
V a 
Poznámka Možností, jak zadat funkci, je několik. Funkce může být dána analyticky (buď explicitně
ve tvaru ( )y f x nebo implicitně ( ) 0)F x y   graficky nebo tabulkou.
Příklad Funkce 10x
y  je zadaná explicitně. Funkce 10 0x
y   je zadaná implicitně.
Poznámka Poznamenejme, že každou funkci zadanou explicitně lze zapsat v implicitním tvaru. Opak
však nemusí platit. Např. ze zápisu 2
0y x  nemůžeme jednoznačně vyjádřit y jako funkci
proměnné x Je totiž y x  
Poznámka Pro definiční obor budeme také používat označení Df nebo Domf a pro obor hodnot
Hf nebo Imf 
Poznámka Pokud není uvedeno jinak, bereme za definiční obor ten interval, na němž lze příslušné
operace provést. Pamatujte, že
 jmenovatel zlomku musí být nenulový,
 výraz pod druhou odmocninou musí být nezáporný,
 argument logaritmické funkce musí být kladný,
 argument funkce tg x musí být různý od lichých násobků 2

,
 argument funkce cotg x musí být různý od sudých násobků 2

.
 argument funkcí arcsin 𝑥 a arccos 𝑥 musí patřit do intervalu 〈−1,1〉
Příklad Stanovte definiční obor a obor hodnot funkce
2
( )
4
x
f x
x
 

Řešení Ve jmenovateli musí být výraz pod odmocninou kladný. Platí 2
4 0x   když 2 2x    Tzn.
definiční obor zadané funkce ( 2 2)I     Obor hodnot ( )J   
11 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Definice1.2 Dvě funkce se rovnají, když mají stejné definiční obory a když pro všechna x ze společného
definičního oboru platí ( ) ( )f x g x 
Příklad Rozhodněte, zda se funkce
2
1
1( ) x
xf x 
 a ( ) 1g x x  rovnají.
Řešení: Definiční obory daných funkcí jsou různé: ( 1) (1 )Df      ( )Dg    A tak, přestože
pro 1x  je
2
1
1 1x
x x
    funkce f a g se nerovnají.
Definice 1.3 Nechť f I  R a 1I I  Funkci 1g I  R takovou, že ( ) ( )g x f x pro všechna
1x I  nazveme restrikcí funkce f na množinu 1I  Píšeme 1
( ) ( ) Ig x f x  
Příklad Funkce f z předchozího příkladu je restrikcí funkce g na interval ( 1) (1 )   
Definice 1.4 Grafem funkce f I J  nazveme množinu všech bodů v rovině, o souřadnicích
( ( ))x f x x I   
Příklad Nakreslete graf funkce
1 0
sgn( ) 0 0
1 0
x
y x x
x
 

  

 
Řešení
xy sgn
MATEMATICKÁ ANALÝZA 12
Vlastnosti funkcí
Definice 1.5 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f I  R je na
intervalu I
 omezená zdola, když existuje konstanta 𝐾 ∈ ℝ, tak že ( )f x K  x I  
 omezená shora, když existuje konstanta 𝐾 ∈ ℝ, tak že ( )f x K  x I  
 omezená, když existuje konstanta 𝐾 > 0, 𝐾 ∈ ℝ, tak že ( )f x K   x I  
Příklad Funkce 1 2x
y   je zdola omezená. Její graf je zdola ohraničený přímkou 1y  
Definice 1.6 Nechť I je symetrická množina, tj. x I x I     Řekneme, že funkce f I  R je
na intervalu I
 sudá, když pro všechna x I platí ( ) ( )f x f x  
 lichá, když pro všechna x I platí ( ) ( )f x f x   
Příklad Funkce 2
1
x
y  je sudá. Její graf je souměrný podle osy y
13 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Příklad Funkce 3
y x je lichá. Její graf je souměrný podle počátku.
Definice 1.7 Nechť Rp  a množina RI  s každým bodem x obsahuje také bod x p  Řekneme,
že funkce f I  R je na intervalu I periodická, když pro všechna x I platí ( ) ( )f x p f x  
Příklad Funkce cosy x je periodická. Její graf se v intervalech délky 2 opakuje.
Definice 1.8 Řekneme, že funkce f I  R je na intervalu I
 (ostře) rostoucí, když pro všechna 1 2x x I   1 2x x  platí 1 2( ) ( )f x f x 
 (ostře) klesající, když pro všechna 1 2x x I   1 2x x  platí 1 2( ) ( )f x f x 
 nerostoucí, když pro všechna 1 2x x I   1 2x x  platí 1 2( ) ( )f x f x 
 neklesající, když pro všechna 1 2x x I   1 2x x  platí 1 2( ) ( )f x f x 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 14
Funkcím (ostře) rostoucím a (ostře) klesajícím říkáme souhrnně (ostře) monotonní funkce.
Příklad Funkce 1
( )x
ey  je klesající
Definice 1.9 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f I  R je na
intervalu I prostá, když pro každé 1 2x x I   1 2x x  je 1 2( ) ( )f x f x 
Poznámka Každá ostře monotonní funkce je i prostá.
Příklad Funkce ( )y f x je prostá. Graf této funkce protínají všechny rovnoběžky s osou x vždy jen
v jediném bodě.
Definice 1.10 Jsou dány funkce 1 1 2 2f I J g I J     a 1 2J I  Funkci 1 2h I J  definovanou
vztahem ( ) ( ( ))h x g f x pak nazveme složenou funkcí. Funkce g je její vnější a f její vnitřní
složka.
Poznámka Někdy místo pojmu skládání funkcí používáme termín superpozice a píšeme h g f o
15 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Příklad Z funkcí 1
( ) ln( 2) ( ) uu f x x g u     sestavte funkci složenou a určete definiční obor
a obor hodnot zadaných složek.
Řešení
( ) ln( 2)f x x   2 0 2 Dom (2 ) Im ( )x x f f          
1
( ) u 0 Dom ( 0) (0 ) Im ( )ug u g g           
1
ln( 2)( ) ( ( )) xh x g u x   
ln(x-2) 0 x-2>0 x-2 1 x>2 Dom (2 3) (3 ) Im ( , )h h             
Definice 1.11 Jestliže funkce f I J  je prostá, pak funkci 1
f 
, která každému y J přiřazuje to
jediné x J , pro které ( )f x y  nazveme inverzní funkcí k zadané funkci f 
Příklad K funkci 3
1y x  utvořte funkci inverzní.
Řešení Zadaná funkce je prostá pro všechna Rx  a můžeme k ní utvořit funkci inverzní, která má
tvar 3
1y x  
Poznámka Role definičního oboru a oboru hodnot se u navzájem inverzních funkcí zaměňují.
Pokud v inverzní funkci provedeme symbolickou záměnu proměnných, jsou grafy dané funkce
a funkce k ní inverzní symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu.
Poznámka Inverzní funkce k funkci ostře monotonní je opět ostře monotonní.
Poznámka Složením navzájem inverzních funkcí obdržíme identitu:
1 1
( ( )) ( ( ))f f x x f f y y 
   
Příklad Funkce ( ) lnf x x a ( ) x
g x e jsou navzájem inverzní. To znamená např. že
(2 5)
ln( ) 2 5x
e x
  
2
ln((1 ) 2
1x
e x
  
MATEMATICKÁ ANALÝZA 16
Elementární funkce
Polynomy
Definice 1.12 Nechť 0na … a   R. Funkci tvaru 1
1 1 0( ) n n
n n nP x a x a x … a x a
     
nazveme polynomem n -tého stupně. Konstanty 0na … a  jsou tzv. koeficienty polynomu.
Příklad 5 2
( ) 3P x x x x   je polynom 5. stupně s koeficienty 5 1a   4 0a   3 0a   2 3a   1 1a  
0 0a  
Věta 1.1 Dva polynomy se rovnají, když se rovnají jejich koeficienty u příslušných mocnin.
Definice 1.13 Číslo C   pro které platí ( ) 0P    se nazývá kořenem polynomu P a výraz ( )x 
kořenovým činitelem uvažovaného polynomu.
Poznámka Najít kořen polynomu P který má reálné koeficienty, znamená řešit algebraickou rovnici
( ) 0P x   Řešením této rovnice mohou být jak reálná, tak komplexní čísla.
Příklad Určete kořeny polynomu 3 2
( ) 2 2 1P x x x x    
Řešení: Polynom na levé straně kubické rovnice 3 2
2 2 1 0x x x    rozložíme na součin
2 2
(2 1) 2 1 0 ( 1)(2 1) 0 ( )( )(2 1) 0x x x x x x i x i x             
Součin je nulový, když některý z činitelů je nulový. Kořeny zadaného polynomu jsou tedy 1
1 2x  
2x i a 3x i  
Věta 1.2 (Základní věta algebry.) Algebraická rovnice ( ) 0 1nP x n    má nad tělesem komplexních
čísel alespoň jeden kořen 
Poznámka Každý polynom n -tého stupně má (pokud počítáme každý k -násobný kořen za k kořenů
a každou dvojici komplexně sdružených kořenů za dva kořeny) právě n kořenů.
Definice 1.14 Nechť polynom nP má r reálných pk -násobných kořenů ( 1 )p p … r     a s dvojic
komplexně sdružených jl -násobných kořenů ( 1 )j ja ib j … s      Součin
1 2
1 2( ) ( ) ( )k k
n nP x a x x …    1 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2( ) [( ) ] [( ) ] [( ) ]sr lk l l
r s s… x x a b x a b … x a b      
17 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
nazýváme rozkladem polynomu nP na součin kořenových činitelů (v reálném oboru).
Příklad Polynomy a) 3 2
2 2x x x    b) 5 3
8 16x x x  rozložte v reálném oboru na součin kořenových
činitelů.
Řešení
a) 3 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2)x x x x x x x x x x x              
Zadaný polynom má reálné jednoduché kořeny 1 1 2   
b) 5 3 4 2 2 2
8 16 ( 8 16) ( 4)x x x x x x x x       
2
( 0)[( 2 )( 2 )]x x i x i    
Zadaný polynom má reálný jednoduchý kořen 0 a dvojici dvojnásobných komplexně sdružených
kořenu 2i 
Funkce racionální lomená
Definice 1. 15 Nechť nP a mQ jsou polynomy. Podíl
( )
( )
( )
n
m
P x
R x
Q x
 (5)
nazýváme racionální funkcí neryze lomenou, když n m a racionální funkcí ryze lomenou když
n m  Definičním oborem funkce R jsou všechna reálná čísla s výjimkou reálných kořenů polynomu
ve jmenovateli.
Poznámka V každé neryze lomené funkci lze provést naznačené dělení a rozepsat tuto funkci na
součet polynomu a funkce racionální ryze lomené.
Příklad Určete definiční obor funkce
2
2
2 5
1
x
x


a rozložte ji na součet polynomu a funkce racionální ryze
lomené.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 18
Řešení Protože 2
1 0x    když 1x    tvoří definiční obor zadané funkce sjednocení intervalů
( 1) ( 1 1) (1 )       Dále
2 2
2 2 2
2 5 2( 1) 3 3
2
1 1 1
x x
x x x
  
   
  
Věta 1.3 Nechť ( )R x je funkce racionální ryze lomená. Jestliže  je k -násobný reálný kořen jmenovatele
funkce ( )R x  pak v rozkladu na parciální zlomky tomuto kořenu přísluší k zlomků tvaru
1 2
2
( ) ( ) ( )
k
k
A A A
…
x x x  
   
  
Příklad Funkci 2
1
4
x
x


rozložte na parciální zlomky.
Řešení Polynom ve jmenovateli má dva reálné různé kořeny 1 2 2x     Kořenu 1 2x  přísluší v rozkladu
jeden zlomek tvaru 2
A
x a kořenu 2 2x   přísluší jeden zlomek tvaru 2
B
x  Proto obecný tvar
rozkladu je
2
1
4 2 2
x A B
x x x

  
  
Po vynásobení celé rovnice jmenovatelem 2
4x  dostaneme
1 ( 2) ( 2)x A x B x     
Odtud
3
2 3 4
4
1
2 1 4
4
x A A
x B B
     
        
Rozklad má tvar 2
1 3 1
4 4( 2) 4( 2)
x
x x x

  
  
Věta 1.4 Nechť ( )R x je funkce racionální ryze lomená. Jestliže a bi je dvojice komplexně sdružených
l -násobných kořenů jmenovatele funkce ( )R x  pak v rozkladu na parciální zlomky těmto kořenům
přísluší l zlomků tvaru
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) [( ) ] [( ) ]
l l
l
B x C B x C B x C
…
x a b x a b x a b
  
   
     
19 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Příklad Funkci
3
4 2
2
2 1
x
x x

 
rozložte na parciální zlomky.
Řešení Polynom ve jmenovateli 4 2 2 2
2 1 ( 1)x x x    má kořeny 1 2 3 4x i x i      Obecný tvar rozkladu
pro dvojnásobné komplexně sdružené kořeny je
3
4 2 2 2 2
2
2 1 1 ( 1)
x Ax B Cx D
x x x x
  
  
   
Po vynásobení celé rovnice polynomem 2 2
( 1)x  dostaneme
3 2
2 ( )( 1)x Ax B x Cx D      
3 3 2
2 ( ) ( 1)x A x x B x Cx D       
Odtud porovnáním koeficientů u příslušných mocnin dostaneme
3
2
0
1
0
0 1
2
x A
x B
x A C C
x D
 
 
     
 
Rozklad má tvar
3
4 2 2 2 2
2 2
2 1 1 ( 1)
x x x
x x x x
 
  
   
Poznámka Pokud máme rozložit funkci racionální neryze lomenou, provedeme nejprve naznačené
dělení, funkci zapíšeme jako součet polynomu a funkce racionální ryze lomené. Dále pak jmenovatele
funkce racionální ryze lomené rozložíme na součin kořenových činitelů a podle věty 1.3 a věty
1.4 stanovíme obecný tvar rozkladu této funkce. Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin (tzv.
metoda neurčitých koeficientů) určíme hodnotu konstant, které se vyskytují v obecném tvaru roz-
kladu.
Příklad Výraz 3
1
8x 
rozložte na parciální zlomky.
Řešení Jmenovatel 3 2
8 ( 2)( 2 4)x x x x      2
( 2)(( 1) 3)x x   má jeden jednoduchý reálný
kořen a jednu dvojici komplexně sdružených jednoduchých kořenů. Obecný tvar rozkladu je pak
3 2
1
8 2 2 4
A Bx C
x x x x

  
   
Odtud
2
2 2
1 ( 2 4) ( )( 2)
1 ( 2 4) ( 2 ) ( 2)
A x x Bx C x
A x x B x x C x
      
       
MATEMATICKÁ ANALÝZA 20
Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin obdržíme
2
1
0
0
0 2 2
1 4 2
x A B
x A B C
x A C
  
   
  
1 12 1 12 1 3A B C          
Po dosazení vypočtených konstant do obecného tvaru rozkladu obdržíme
3 2
1 1 4
1 12( 2) 12( 2 4)
x
x x x x

  
   
Goniometrické funkce
Z grafů goniometrických funkcí můžeme číst jejich vlastnosti.
siny x
cosy x
21 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
tgy x
cotgy x
Z grafů je vidět, že funkce
 sin x je lichá, periodická s periodou 2
 cos x je sudá, periodická s periodou 2
 tg x je lichá, periodická s periodou 
 cotg x je lichá, periodická s periodou 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 22
V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty goniometrických funkcí pro vybrané argumenty
20x 
   :
0 6

4

3

2

sin x 0 1
2
2
2
3
2
1
cos x 1 3
2
2
2
1
2
0
tg x 0 3
3
1 3 
cotg x  3 1 3
3
0
Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí pro argument 2x 
 využijeme toho, že funkce je lichá
nebo sudá a periodicity funkce.
Mezi goniometrickými funkcemi platí následující vztahy
2 2
sin cos 1x x 
sin
tg (2 1) Z
cos 2
x
x x k k
x

     
cos
cotg Z
sin
x
x x k k
x
    
tg cotg 1 Z
2
x x x k k

     
sin2 2sin cosx x x
2 2
cos2 cos sinx x x 
2 1
sin (1 cos2 )
2
x x  ,
2 1
cos (1 cos2 )
2
x x 
Cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Při jejich odvození se musíme
omezit pouze na ten subinterval, na kterém je příslušná goniometrická funkce prostá.
23 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Definice 1.16 Inverzní funkcí k funkci siny x definované na intervalu 2 2
 
   je funkce arcsin x
Je tedy arcsin x to 2 2y  
   pro které sin y x 
siny x
arcsiny x
Poznámka Funkce arcsiny x je definovaná na intervalu 1 1    nabývá hodnot z intervalu
2 2
 
    v celém definičním oboru je rostoucí a lichá.
V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro některé vybrané argumenty. Zbývající hodnoty
určíme díky skutečnosti, že funkce arcsin x je lichá.
x 0 1
2
2
2
3
2
1
arcsin x 0 6

4

3

2

Příklad Určete definiční obor funkce ( 2)
2( ) arcsin x
f x 
 a stanovte funkční hodnotu ( 4)f  
Řešení Zadaná funkce je definovaná, když pro její argument platí
( 2)
21 1 tzn když 4 0x
x
        
Dále 2( 4) ( 1)f arcsin 
    
MATEMATICKÁ ANALÝZA 24
Definice 1.17 Inverzní funkcí k funkci cosy x definované na intervalu 0    je funkce arccos x
Je tedy arccos x to 0y    pro které cos y x 
arccosy x
cosy x
Poznámka Funkce arccosy x je definovaná na 1 1    nabývá hodnot z intervalu 0    a je
v celém definičním oboru klesající.
V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro vybrané argumenty.
x -1 3
2 2
2
1
2 0 1
2
2
2
3
2
1
arccos x  5
6
 3
4
 2
3

2

3

4

6
 0
Definice 1.18 Inverzní funkcí k tgy x definované na 2 2( ) 
 je funkce arctg x Funkce arctg x
přiřazuje každému ( )x  to 2 2( )y  
   pro které tg y x 
Poznámka Funkce arctgy x je definovaná na intervalu ( ) , nabývá hodnot z intervalu
2 2( ) 
  a je v celém definičním oboru rostoucí a lichá.
25 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
artgy x
Skutečnosti, že funkce arctg x je lichá, využijeme k určení dalších funkčních hodnot.
x 0 3
3
1 3 
arctg x 0 6

4

3

2

Definice 1.19 Inverzní funkcí k funkci cotgy x definované na (0 ) je funkce arccotg x Je tedy
arccotg x to (0 )y    pro které cotg y x 
arccotgy x
cotgy x
MATEMATICKÁ ANALÝZA 26
Poznámka Funkce arccotgy x je definovaná na intervalu ( )  nabývá hodnot z intervalu
(0 ) a je v celém definičním oboru klesající.
x  3 1 3
3 0 3
3
1 3 
arccotg x  5
6
 3
4
 2
3

2

3

4

6

0
Exponenciální funkce
Definice 1.20 Exponenciální funkce je pro ( )x  dána vztahem 0x
y a a   
0 1x
y a a    1x
y a a  
Poznámka Pro 1a  je exponenciální funkce rostoucí a pro 0 1a  je klesající. Nabývá hodnot
z intervalu (0 ) 
Poznámka V aplikacích má největší význam exponenciální funkce x
y e  která má za základ
Eulerovo číslo 2 71813e … 
Poznámka Vztah mezi exponenciální funkcí a goniometrickými funkcemi je dán prostřednictvím tzv.
Eulerových vzorců. Platí
cos sin kde 1.ix
e x i x i    
Odtud máme sin
2
ix ix
e e
x
i


  cos
2
ix ix
e e
x


 
27 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Logaritmické funkce
Definice 1.21 Inverzní funkce k exponenciální funkci x
y a se nazývá logaritmická a značí se
logay x  Logaritmická funkce je tedy to ( )y    pro které y
a x 
Poznámka Definiční obor logaritmické funkce je interval (0 ) , obor hodnot ( ) 
,0 1x
y a a   logay x
, 1x
y a a 
Poznámka Nejužívanější jsou logaritmické funkce o základu 10 - tzv. dekadický logaritmus, který
zapisujeme jako logy x  a logaritmus o základu e - tzv. přirozený logaritmus, který budeme nadále
značit jako lny x  .
logay x
MATEMATICKÁ ANALÝZA 28
Poznámka Nechť čísla 1 2 0a b x x x      Připomeňme si, že pro logaritmické funkce platí následující
vztahy
log
1 2 1 2
1
1 2
2
log
log log log
log log log
log
log
log
a
x
a
x
a a a
a a a
b
a
b
a x
a x
x x x x
x
x x
x
x
x
a
 
 
  
  
 
Obecná mocnina
Definice 1.22 Nechť s je libovolné reálné číslo. Funkci, kterou pro 0x   definujeme vztahem
lns s x
x e 
budeme nazývat obecnou mocninou a značit s
xy  .
0s  1s  1s 
0 1s 
0s 
Poznámka Definičním oborem jsou všechna (0 )x   oborem hodnot (0 )y   
29 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
 Čísla, pro která polynom nabývá nulovou hodnotu, se nazývají kořeny poly-
nomu.
 Funkci racionální ryze lomenou je možné rozložit na součet parciálních
zlomků.
 Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické funkce.
Inverzní funkce k funkcím exponenciálním se nazývají logaritmické funkce.
 Exponenciální funkce má tvar x
y a  0a   Obecná mocnina má tvar s
y x 
0x  
1. Co je definiční obor a co je obor hodnot funkce? Uveďte příklad.
2. Vyjmenujte, jaké vlastnosti mohou mít funkce. Každou z vlastností definujte a
vysvětlete pomocí obrázku.
3. Jakou vlastnost musí mít funkce, aby k ní existovala funkce inverzní?
4. Mezi probranými funkcemi najděte ty, jejichž definičním oborem nejsou
všechna reálná čísla.
5. Mezi probranými funkcemi najděte ty, které jsou v celém svém definičním
oboru ryze monotonní.
6. Nakreslete grafy všech cyklometrických funkcí.
7. Jak bude vypadat čitatel v obecném tvaru rozkladu na parciální zlomky, když
jmenovatel má a) reálné, b) komplexní kořeny?
8. Stanovte definiční obory funkcí
a) 1
( 3) 4x x
y 
 

b) 1 1
1 1x xy    
c) 2
2
6 5
x
x x
y 
 

d) ln(sin )y x
[a) ( 4 3) (3 )x     , b) ( 1 1 )x      , c) 2 3 13) ( 3 13 )x        ,
d) Z (2 (2 1) )kx k k    ]
9. Nakreslete grafy funkcí a určete jejich vlastnosti.
a) 2 2 2
3 6 5y x y x y x x       
b) 3 21 1
3
x
x x xy y y 
     
c) 2
16y x 
{a) paraboly, b) kubické paraboly, c) hyperboly, d) část hyperboly
22
2 2
4 4
1yx
  nad osou x ]
10. Rozložte na parciální zlomky
a) 4
1
1 x
b) 2
1
( 2) ( 2)
x
x x x

 
[a) 2
1 1 1
4(1 ) 4(1 ) 2(1 )x x x  
  , b) 2
1 1 1
4 4( 2) 2( 2)x x x 
   ]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 30
Základní literatura:
[1] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2]MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001. 217 stran. ISBN 80-
244-0269-6 (skripta)
[3] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd. Olomouc,
UP Olomouc, 2013. 329 stran.. ISBN 978-80-244-3410-0.
[4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I. 1. vyd. UP Olomouc, 2002. 126 stran.
ISBN 80-244-0464-8.
Kapitola 2
Limita a spojitost funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat limitu
 počítat limity
Klíčová slova:
Vlastní limita, nevlastní limita, jednostranné limity.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 32
Definice limity funkce
Definice 2.1 Nechť 0x  R a 0   Otevřený interval 0 0 0( ) ( )O x x x     nazýváme delta
okolím bodu na přímce. Pravým okolím bodu 0x nazveme interval 𝑂+(𝑥0) = ⟨𝑥0, 𝑥0 + 𝛿). Levým
okolím bodu 0x je interval 𝑂−
(𝑥0) = (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0⟩. Interval 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )U x x x x x      
nazveme ryzím okolím bodu 0x 
Věta 2.1 Okolí bodu na přímce splňují následující axiomy:
(A1) Pro libovolná dvě okolí téhož bodu platí 1 0 2 0 0( ) ( ) ( )O x O x O x  
(A2) Okolí dvou různých bodů na přímce jdou zvolit tak, aby platilo 1 2( ) ( )O x O x  
(A3) Když 1 0( )x O x  pak existuje okolí 1 0( ) ( )O x O x 
Definice 2.2 Nechť I  R. Bod 0x I je hromadným bodem množiny I když každé jeho okolí
obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny I
Příklad Hromadným bodem množiny 1
{ R}x x  je například bod 0 0x  
Definice 2.3 (Heine) Funkce f má v hromadném bodě 0x svého definičního oboru
limitu L ( RL ), když pro každou posloupnost bodů { }nx  0nx x  0nx x 
posloupnost funkčních hodnot 0{ ( )}n nf x 
 konverguje k číslu L Píšeme pak
0
lim ( )
x x
f x L

 nebo 0( ) prof x L x x  
Poznámka Funkce nemusí být v bodě, ve kterém počítáme její limitu, definovaná.
Poznámka Funkce f má v bodě 0x nevlastní limitu, když pro každou posloupnost { } Domnx f 
0nx x  0nx x platí, že posloupnost funkčních hodnot 1{ ( )}n nf x 
 diverguje k  (popř. ).
Píšeme
0 0
lim ( ) ( popř lim ( ) )
x x x x
f x f x
 
     
33 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Funkce f má v nevlastním bodě limitu L když pro každou posloupnost 1{ } Domn n nx f x
    
(popř. nx   ) platí, že posloupnost funkčních hodnot 1{ ( )}n nf x 
 konverguje k L Píšeme pak
lim ( ) (popř lim ( ) )
x x
f x L f x L
 
   
Poznámka Na obrázku je graficky zachycena definice limity. Pro body 1 2 3, , ,...x x x ,
které se blíží k 0x , jdou hodnoty 1 2 3( ), ( ), ( ),...f x f x f x k limitě .L
1( )f x
L
2( )f x
2x 0x 3x 1x
Věta 2.2 Jestliže existuje
0
lim ( )
x x
f x L

  pak je jediná.
Poznámka Z věty 2.2 plyne, že lim sin
x
x

a lim cos
x
x

neexistují.
Věta 2.3 Jestliže funkce f má v bodě 0x konečnou limitu, pak existuje okolí, v němž je omezená.
Definice 2.4 (Jednostranné limity) Funkce f má v hromadném bodě 0x svého definičního oboru
limitu zprava, když pro každou posloupnost 1{ }n nx 
 takovou, že 0( )nx O x
  0nx x  platí
( )nf x L  Píšeme pak
0
0lim ( ) popř ( )
x x
f x L f x L


    
Funkce f má v hromadném bodě 0x svého definičního oboru limitu zleva, když pro každou posloupnost
1{ }n nx 
 takovou, že 0( )nx O x
  0nx x  platí ( )nf x L  Píšeme
0
0lim ( ) popř ( )
x x
f x L f x L


     (21)
MATEMATICKÁ ANALÝZA 34
Limitu zprava a limitu zleva nazýváme souhrnně jednostranné limity.
Příklad Spočítejte limitu funkce
1 pro 2
( )
3 pro 2
x
f x
x

 

když 2x 
 
Řešení 22
lim ( ) 1 lim ( ) 3xx
f x f x
 
   
Věta 2.4 Funkce f má v hromadném bodě 0x svého definičního oboru limitu, právě když zde má
limitu zprava a limitu zleva a obě se rovnají.
Příklad Stanovte limitu funkce 1
xy   pro 1 0x 
   Výsledky ověřte na grafu funkce.
Řešení
1 0
1 1 1
lim 1 lim 0 lim
x x xx x x
  
     
Pravidla pro počítání s limitami
Věta 2.5 Nechť existuje 0 1lim ( )x x f x L   0 2lim ( )x x g x L  a čísla 1 2 RL L   pak existuje limita
součtu, rozdílu, součinu eventuelně podílu funkcí f a g Platí
0
1 2lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x L L

    (22)
0
1 2lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x L L

    (23)
0
1 2lim ( ) ( )
x x
f x g x L L

  (24)
0
1
2
2
( )
lim pokud 0
( )x x
f x L
L
g x L
    (25)
Výčet neurčitých výrazů:
∞
∞
,
0
0
, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 1∞
, ∞0
, 00
35 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Příklad Spočítejte
2
4
2
2
lim x
x
x




Řešení Když do daného zlomku dosadíme 2x   dostaneme neurčitý výraz typu 0
0 . Proto před tím,
než začneme počítat limitu, zlomek upravíme. Čitatele rozložíme na součin a zkrátíme se jmenovatelem.
Pak spočteme limitu.
2
2 2
4 ( 2)( 2)
lim lim 0
2 2x x
x x x
x x 
  
  
 
Věta 2.6 Nechť 0
lim ( ) 0x x f x  a existuje okolí 0( )O x  v němž je funkce g ohraničená, pak
0
lim ( ) ( ) 0
x x
f x g x

 
Příklad Dokažte, že 1
lim sin 0x
x
x

 
Řešení Protože 1
lim 0x x  a pro libovolné Rx je funkce sin x omezená, lze aplikovat
Větu 2. 6. obdržíme tak požadovanou rovnost.
Věta 2.7 Nechť v levém okolí bodu 0x je funkce f omezená a
0
lim ( ) 0x x
g x

 . Pokud pro všechna
0 0( )x x x   je ( ) ( )sgn f x sgn g x  pak
0
( )
lim
( )x x
f x
g x

 
Když ale ( ) ( )sgn f x sgn g x pro 0 0( )x x x    pak
0
( )
lim
( )x x
f x
g x

 
Poznámka V pravém okolí bodu 0x platí analogické tvrzení.
Příklad Spočítejte 3
1
11
lim xx  

Řešen: V čitateli zlomku 3
1
1x 
je kladná konstanta, jmenovatel pro 1x 
  je kladný a jde k 0, proto
1 3
1
1
lim
1x
L
x

  

Pro 1x 
  je jmenovatel záporný a jde k 0, proto 2 3
1
1
lim
1x
L
x

  

.
Protože 1 2L L  nemá funkce v bodě 0 1x   limitu.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 36
Věta 2.8 Když 0 0
lim ( ) lim ( )x x x xf x g x  a funkce af g h splňují v jistém okolí bodu 0x  že
( ) ( ) ( )f x h x g x   pak
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x h x g x
  
  
Poznámka Na základě Věty 2.8 lze dokázat, že
0
sin
lim 1
x
x
x
 
Příklad Spočítejte 2
1 cos
0
lim x
xx



Řešení Čitatele i jmenovatele vynásobíme výrazem 1 cos x  pak
22
2 20 0 0
1 cos 1 cos sin 1 1
lim lim lim
(1 cos ) 1 cos 2x x x
x x x
x x x x x  
   
    
  
Věta 2.9 (Limita složené funkce) Nechť
0 0
0lim ( ) lim ( )
x x y y
f x y g y L
 
  
a existuje 0( )O x tak, že pro všechna 0 0( )x O x x x   je také 0( )f x y  Pak existuje
0
lim ( ( ))x x g f x a platí
0
lim ( ( ))
x x
g f x L

 .
Příklad Spočítejte  1
1
0
lim ln x
x



Řešení  1 1
1 1
0 1
lim ln lim ln 0x x
x y
y y 
 
    
Příklad Spočítejte sin( )
0
lim x
x x
x



Řešení
1 1
0 0 0
sin( ) sin 1
lim lim lim 1
sin( ) 2x x x
x x x x
x x x x
 
  
   
       
    
37 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Spojitost
V předešlé kapitole jsme se věnovali limitě funkce a právě prostřednictvím limity je definován pojem
spojitost funkce. V této kapitole si nejprve uvedeme, co to znamená, že funkce je spojitá v bodě
a na intervalu, klasifikujeme různé druhy nespojitosti a nakonec se zmíníme o stejnoměrně spojitých
funkcích.
Definice 2.5 Funkce f je spojitá v hromadném bodě 0 D ,x f právě když
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
Poznámka (Geometrická interpretace spojitosti) Z definice limity a spojitosti (viz definice 2.1 a 2.5)
dostaneme, že funkce f je spojitá v bodě 0x  když
0 0pro jde ( ) ( )x x f x f x  
( )y f x
Definice 2.6 Funkce f je v bodě 0x spojitá zprava, když
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

 a zleva, když
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
2x 0x 1x
1( )f x
0( )f x
2( )f x
MATEMATICKÁ ANALÝZA 38
Poznámka Vzhledem k definicím limity uvedeným v předchozím odstavci, můžeme spojitost definovat
také následujícími ekvivalentními způsoby: Funkce f je spojitá v bodě 0x  když pro každou posloupnost
1{ }n nx 
 takovou, že 𝑥 𝑛 → 𝑥0, 𝑥 ≠ 𝑥0, platí 0( ) ( )nf x f x
Věta 2.10 Funkce f je spojitá v bodě 0x  právě když zde má obě jednostranné limity, pro které platí
0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x 
  
Věta 2.11 Jestliže funkce f a g jsou spojité v bodě 0x , pak také funkce f
gf g f g    (když
0( ) 0g x  ) jsou spojité v bodě 0x 
Věta 2.12 Nechť funkce f je spojitá v bodě 0x , funkce g je spojitá v bodě 0 0( )y f x , pak také
složená funkce g fo je spojitá v bodě 0x 
Druhy nespojitosti
Funkce nemusí být jenom spojité. Například funkce racionální lomená je nespojitá v kořenech svého
jmenovatele, funkce cotg x je nespojitá v celistvých násobcích  Věnujme se proto nyní klasifikaci
jednotlivých druhů nespojitosti.
Definice 2.7 Bod 0x  v němž funkce není spojitá, se nazývá
 bodem odstranitelné nespojitosti, když funkce f není v bodě 0x definovaná a platí
0 0( ) ( )f x f x 
 
nebo když
0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x 
  
 Bodem nespojitosti 1. druhu, když obě jednostranné limity jsou konečné a
0 0( ) ( )f x f x 
 
 Bodem nespojitosti 2. druhu, když alespoň jedna z jednostranných limit je nevlastní.
39 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
Příklad Určete body nespojitosti funkcí
a)
2
4 4
2
x x
xy  
 
b) Heavisideovy funkce ( 1)y H x  a
c) funkce 2
1
x
y  
Řešení
 Pro funkci
2
4 4
2
x x
xy  
 je 0 2x   bodem odstranitelné nespojitosti, protože
2
2 2
4 4
lim lim( 2) 0
2x x
x x
x
x 
 
   

 Heavisideovu funkci definujeme vztahem
1 pro 0
( )
0 pro 0
x
H x
x

 

Pro funkci ( 1)y H x  je 0 1x   bodem nespojitosti 1. druhu, protože
1 1
lim ( 1) 1 lim ( 1) 0
x x
H x H x 
 
     
 Pro 2
1
x
y  je 0 0x  bodem nespojitosti 2. druhu, protože
2 2
1 1
1 1
lim lim
x xx x 
 
   
Poznámka Jestliže v bodě 0x limita funkce neexistuje, je funkce v tomto bodě nespojitá.
Je-li funkce definovaná v izolovaném bodě, pak ji zde považujeme za spojitou.
Příklad Funkce 1
( ) sin xf x  je nespojitá v bodě 0 0x   protože zde nemá limitu.
Dirichletova funkce 𝑓(𝑥) = {
1 pro 𝑥 racionální
0 pro 𝑥 racionální
je nespojitá ve všech bodech svého definičního
oboru.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 40
Spojitost na intervalu
Definice 2.8 Funkce f je spojitá na intervalu I když je spojitá v každém jeho vnitřním bodě a pokud
levý (pravý) koncový bod patří do intervalu I je v něm spojitá zprava (zleva).
Definice 2.9 Funkce f je na intervalu I po částech spojitá, když zde má pouze konečný počet bodů
nespojitosti, a to prvního druhu.
Příklad Funkce sgn(x)y  je po částech spojitá.
Věta 2.13 (Weierstrass) Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená a nabývá zde své nejmenší
a největší hodnoty, a to buď uvnitř, nebo v krajních bodech intervalu.
V tomto odstavci bylo uvedeno, že limita funkce f pro 0x x se rovná L když
pro každou posloupnost bodů 0nx x  0x x  konverguje posloupnost funkčních
hodnot 0( ) ( )nf x f x  Funkce může mít nejvýš jednu limitu. Při výpočtu limit využíváme
skutečnosti, že limita součtu funkcí je rovna součtu limit, limita součinu
funkcí je rovna součinu limit, limita složené funkce je rovna limitě z jejích složek.
Funkce je v bodě spojitá, právě když lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0). O vlastnostech funkce
spojité na uzavřeném intervalu pojednává Weierstrassova věta.
1. Nakreslete graf takové funkce f  pro kterou
1
lim ( ) 5
x
f x

 a
1
lim ( )
x
f x

 
2. Nakreslete graf funkce
pro 1
( )
1 pro 1
x x
f x
x

 

Má tato funkce v bodě 0 1x 
limitu?
3. Musí být funkce v bodě, ve kterém je spojitá, také definovaná?
4. Čemu se musí rovnat limita funkce f v bodě 0x  aby funkce byla v tomto bodě
spojitá?
5. Jak je to se spojitostí funkce racionální lomené a cyklometrických funkcí?
6. Spočítejte limitu
a)
2
0
9
03lim když 3 3x
x
x x
x


    
b)
0
0 2lim cotg když 0
x x
x x x 

  
c) 2
0
lim x
x
x 


d)
0
lim arctg
x
x

[a) 3 , b) 6 0   , c)  d) 0 ]
41 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
7. Určete body nespojitosti funkce
a)
2
2
1
3 2
( ) x
x x
f x 
 

b)
1
1( ) x
xf x 

c) ( ) [ ]f x x
[a) 1x  — bod odstranitelné nespojitosti, 2x   — bod nespojitosti 2. Druhu;
b) 1x  — bod nespojitosti 2. Druhu; c) Nx n n   — body nespojitosti 1.
Druhu.]
Základní literatura:
[1]DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2]MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001. 217 stran. ISBN 80-
244-0269-6 (skripta)
[3] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd. Olomouc,
UP Olomouc, 2013. 329 stran.. ISBN 978-80-244-3410-0.
[4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I. 1. vyd. UP Olomouc, 2002. 126 stran.
ISBN 80-244-0464-8
Kapitola 3
Derivace funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat derivaci funkce
 spočítat libovolnou derivaci
 aplikovat poznatky diferenciálního počtu
Klíčová slova:
Derivace funkce v bodě, derivace funkce na intervalu, derivace vyšších řádů, logaritmická
derivace, L’Hospitalovo pravidlo, stacionární body, lokální extrémy, globální
(absolutní) extrémy, funkce konvexní a konkávní, asymptoty bez směrnice a se
směrnicí
43 DERIVACE FUNKCE
Derivace funkce v bodě
Při zavedení pojmu derivace vycházíme z limity. Derivaci zavedeme jako limitu relativní změny
funkce. Tento způsob definování dělá z derivace nástroj k podchycení dynamiky dění. V tomto
odstavci kromě definice derivace si uvedeme ještě pravidla pro její výpočet.
Definice 3.1 Nechť funkce f je definována v okolí bodu 0x a existuje konečná limita
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x

  

pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě 0x  Pokud uvedená limita neexistuje nebo je
nevlastní, funkce v bodě 0x derivaci nemá.
Poznámka Kromě označení 0( )f x se pro derivaci funkce v bodě používá i zápisu 0x xf 
 
Poznámka Derivaci funkce f v bodě 0x je možné také definovat vztahem
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x
f x
h
 
  
kde 0h x x  je diference argumentu x v bodě 0x 
Diferenci argumentu x můžeme také značit 0x x x   
Pokud 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x   označíme diferenci funkce f v bodě 0x  dostáváme další možnost
zápisu pro derivaci funkce
0
0
0
( )
( ) lim
x
f x
f x
x 

  

Poznámka (Geometrický význam derivace) Podíl 0
0
( ) ( )f x f x
x x

 představuje z geometrického hlediska
směrnici sečny ke křivce ( )y f x , která prochází body ( ( ))x f x a 0 0( ( ))x f x  Jestliže se s bodem
x začneme blížit k 0x  bude sečna přecházet v tečnu. To znamená, že derivaci
0
0 0
( ) ( )
0( ) lim f x f x
x x x xf x 
 
  můžeme geometricky interpretovat jako směrnici tečny ke křivce
( )y f x v bodě 0 0( ( ))x f x 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 44
Příklad Spočítejte derivaci funkce v bodě 0x z definice derivace, když
a) 2
( )f x x  b) ( ) x
f x e  c) ( ) sin( )f x x 
Řešení
a)
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) 2 (2 )
0
0 0 0
lim lim lim 2x h x x x h h x x h h
h h h
h h h
x     
  
  
b)
00 0 0 0( 1) 1
0 0 0
lim lim lim
x hx h x hx xe ee e e
h h h
h h h
e e
  
  
   
02
2 20 0
0 0
sin( ) sin 2cos sin
c) lim lim
x h h
h h
x h x
h h

 
 
  20
0
0
2
2 sin
lim cos cos
2
h
hh
x h
x


 
Poznámka (Rovnice tečny a normály) Vzhledem ke geometrickému významu derivace dostáváme,
že tečna ke grafu funkce ( )y f x je přímka, která prochází bodem 0 0( ( ))x f x a má směrnici
0( )f x  Rovnice tečny má proto tvar
0 0 0( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x   
Normála ke grafu funkce ( )y f x v bodě 0 0( ( ))x f x je přímka kolmá na tečnu. Směrnice této normály
je rovna 0
1
( )f x

 a rovnice normály má tvar
0 0
0
1
( ) ( ) ( )
( )
f x f x x x
f x
   

45 DERIVACE FUNKCE
Příklad Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce 2
y x  a to v bodě (1 )T   
Řešení Pro druhou souřadnici bodu dotyku máme 2
1 1y    Podle předchozího příkladu a) máme
1(1) 2 2xy x 
    
Rovnice tečny má tvar
1 2( 1) 1 2y x y x      
a rovnice normály je
𝑦 = −
1
2
𝑥 +
3
2
Poznámka (Fyzikální interpretace) Derivace funkce v bodě představuje okamžitou lokální
změnu. Tak například, když ( )s s t je dráha, pak 0
0
0
( ) ( )
0( ) lim s t s t
t t
t t
s t 


  je okamžitá rychlost.
Definice 3.2 Nechť funkce f je definována v okolí bodu 0x a existuje konečná limita
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
xf
x x 


 

pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě 0x zprava.
Pokud existuje konečná limita
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
xf
x x 


 

pak ji nazýváme derivací funkce f v bodě 0x zleva.
Poznámka Derivaci funkce v bodě 0x zprava je možné také značit 0( )f x
 a derivaci funkce v bodě
0x zleva lze značit 0( )f x
 
Věta 3.1 Funkce f má v bodě 0x derivaci, právě když zde má derivaci zprava a derivaci zleva, které
se navzájem rovnají.
Věta 3.2 (Derivace a spojitost) Jestliže funkce f má v bodě 0x konečnou derivaci, pak je v tomto
bodě spojitá.
Poznámka Obrácená věta neplatí. Funkce, která je spojitá v bodě, nemusí mít v tomto bodě derivaci.
Funkce y x  je sice v bodě 0 0x  spojitá, ale nemá zde derivaci, protože (0 ) 1 1 (0 )y y 
     
MATEMATICKÁ ANALÝZA 46
y x 
Pravidla pro derivování
Pro praktické počítání je důležité vědět, jak se derivuje součet, součin a podíl funkcí, jak je to s derivováním
složené funkce a jak vypadají derivace elementárních funkcí.
Věta 3.3 Ve všech bodech, kde jsou uvedené funkce definovány, platí
1
2 2
2 2
2 2
( ) , 0
( ) ln , ( )
1 1
(log ) , (ln )
ln
(sin ) cos , (cos ) sin
1 1
(tg ) , (cotg )
cos sin
1 1
(arcsin ) , (arccos )
1 1
1 1
(arctg ) , (arccotg )
1 1
n n
x x xx
a
x nx c
a a a e e
x x
x a x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x

  
  
  
   
   
   
 
   
 
47 DERIVACE FUNKCE
Věta 3.4 Nechť funkce f a g mají derivaci v bodě 0x svého společného definičního oboru a c je
libovolná konstanta, pak existují derivace
0 0 0
0
( )
( ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )) ) )
( )x x x x x x
x x
f x
cf x f x g x f x g x
g x  

 
       
 
pro které platí
0 0( ( ) ( )) x xcf x cf x
 
0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( )) x xf x g x f x g x
   
0 0 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) x xf x g x f x g x f x g x
   
(
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑦)
)
′
=
𝑓′(𝑥0)𝑔(𝑥0) − 𝑓(𝑥0)𝑔′(𝑥0)
𝑔2(𝑥0)
.
Příklad Spočítejte derivaci funkce 2
( ) x
f x x e v bodě 0x 
Řešení Funkci budeme derivovat jako součin podle věty 3.4. Při derivování jednotlivých činitelů využijeme
výsledků z příkladu, který jsme spočítali již dříve.
0
00
2 2 2
0 0( (2 ) (2 ( ) )) xx x x
x xx xx e xe x e x x e
     
Věta 3.5 Nechť funkce f má v bodě 0x a jeho okolí derivaci a funkce g má derivaci v bodě
0 0( )y f x  pak složená funkce g fo má derivaci v bodě 0x a platí
0 0 0( ( ( )) ( ) ( )) x xg f x g y f x
   
Poznámka Větu 3.5 lze použít i k výpočtu derivace vícenásobně složené funkce, která se pak rovná
součinu derivací jednotlivých složek.
Příklad Spočítejte derivaci funkce 3
( ) sinf x x v bodě 0x 
Řešení Funkci budeme derivovat jako složenou funkci podle věty 3.5. Její vnitřní složka je 3
u x
a vnější složka je siny u  Při derivování jednotlivých složek využijeme výsledků z dříve uvedeného
příkladu. Protože
3 2
(sin ) cos a ( ) 3u u x x   
dostaneme
.cos3)cos3()(sin
3
0
2
0
0
32
0
3
xxxxx xxxx  
MATEMATICKÁ ANALÝZA 48
Věta 3.6 Nechť funkce f má v bodě 0x derivaci různou od nuly, pak inverzní funkce 1
f 
(pokud
existuje) má v bodě 0 0( )y f x derivaci, pro kterou platí
0
1
0
1
( ( ))
( )y yf y
f x


  

Příklad Spočítejte derivaci funkce ( ) lnf x x v bodě 0x 
Řešení Funkce je inverzní funkcí k funkci ( ) x
f x e  Podle dříve uvedeného příkladu je 0
0
( ) xx
x xe e
  
Z věty 3.6 a vzhledem ke skutečnosti, že pro 0 0y  platí 0 0lnx y  máme
1
0 0
0 0
ln
0
1 1
(ln( )) yx
y y x
y e e
e y


     
Definice 3.3 Funkce f má derivaci na intervalu I , když má derivaci v každém jeho vnitřním bodě
a pokud levý (pravý) krajní bod patří do intervalu, má v něm derivaci zprava (zleva).
Pomocí definice derivace a výše uvedených vět lze odvodit následující vzorce pro derivování elementárních
funkcí:
Příklad Derivujte funkce
a) sin cos
cos )x x
xy b
  1
ln xy   c) 2
tg 2y x 
Řešení
a) Funkci derivujeme jako podíl (viz Věta 3.3)
dx
d
2
sin cos (cos sin )cos (sin cos )( sin )
cos cos
x x x x x x x x
x x
     
  
 
2
1
cos x

b) Funkci derivujeme jako funkci složenou podle Věty 3.4
dx
d 1 2
1
1 1 1
ln (ln ) ( )x x
x x x
 

        
 
c) Funkce je vícenásobně složená (viz poznámka výše), a tedy
dx
d
 2
2 3
1 4sin2
tg 2 2tg2 2
cos 2 cos 2
x
x x
x x
  
49 DERIVACE FUNKCE
Poznámka (Logaritmická derivace) Když chceme derivovat funkci ( )
( )g x
f x  upravíme ji nejprve na
tvar ( ) ( )ln ( )
( )g x g x f x
f x e a pak derivujeme. Obdržíme
( ) ( )
( ) ( )ln ( ) ( )
( )
g x f x
y f x g x f x g x
f x
 
    
 
Příklad Derivujte funkci 2x
y x 
Řešení 2 2 ln 2 ln 2 21
( ) ( ) (2ln 2 ) (2 2ln ) 2 (1 ln )x x x x x x x
xx e e x x x x x x        
Derivace vyšších řádů
V matematické analýze se pracuje i s derivacemi vyšších řádů. Obdržíme je postupným derivováním
z derivací řádů nižších.
Definice 3.4 Nechť funkce f má derivaci v 0( )O x a funkce f  má derivaci v bodě 0x  pak říkáme,
že funkce f má druhou derivaci v bodě 0x a píšeme
0
0( ) ( ( )) x x
f x f x 
   
Příklad Spočtěte 2. derivaci funkce ln2y x 
Řešen: 2
1 1 1
2 2x x x
y y      
Příklad Zjistěte, zda funkce 2x x
y x e e   je řešením diferenciální rovnice 3 2 2 3y y y x     
Řešení: Spočteme 2. derivaci zadané funkce: 2 2
1 2 4x x x x
y e e y e e        Po dosazení do levé
strany diferenciální rovnice dostaneme
2 2 2
4 3 6 3 2 2 2 2 3x x x x x x
e e e e x e e x         
Protože v poslední rovnici se levá strana rovná pravé, je funkce 2x x
y x e e   řešením rovnice
3 2 2 3y y y x     
MATEMATICKÁ ANALÝZA 50
Poznámka Definici 3.4 můžeme zobecnit a definovat derivaci n -tého řádu
0
( ) ( 1)
0( ) ( ( )) x x
n n
f x f x 


 
Vztah platí pro všechna ta 0x  pro která má funkce ( 1)n
f 
derivaci.
Derivace vyšších řádů značíme (4) (5)
f f f f …    
Příklad Spočtěte n -tou derivaci funkce 3
lny x 
Řešení:
2
3
3 1
3x
xx
y    𝑦′′
= 3 (−
1
𝑥2
), 3
2
3 x
y    4
(4) 6
3 x
y 
  …
1
( 1) 3( 1)( )
1 2 3
n
n
nn
x
y n …

  
     
Využití diferenciálního počtu
Diferenciální počet je účinným nástrojem při zkoumání vlastností funkcí. Pomocí derivací můžeme
stanovit limity neurčitých výrazů. Můžeme také pomocí toho, zda derivace určitého řádu je kladná
či záporná, určít intervaly, ve kterých je funkce rostoucí popř. klesající a ve kterých je konvexní popř.
konkávní. Pomocí limity zase rozhodneme, jestli graf funkce má nějaké asymptoty.
L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo slouží k výpočtu limity funkce.
Věta 3.7 (l’Hospitalovo pravidlo) Nechť pro funkce a platí ( Pokud
i jsou diferencovatelné v okolí bodu a existuje pak existuje také pro kterou
platí
Věta 3.8 Nechť pro funkce a platí Pokud i jsou -krát diferencovatelné
v okolí bodu a existuje pak existuje také a platí
f g
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
 
   f
g 0x
0
( )
( )lim f x
g x
x x




0
( )
( )lim f x
g x
x x

0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x 

 

f g
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
 
   f g k
0x
( )
( )
0
( )
( )
lim
k
k
f x
g xx x

0
( )
( )lim f x
g x
x x
51 DERIVACE FUNKCE
Poznámka Věty 3.7 a 3.8 platí i v případě, když předpokládáme, že nebo
že popř. když místo bereme nebo
Poznámka L’Hospitalovo pravidlo se užívá k určování limit výrazů typu " " nebo " ".
L’Hospitalovo pravidlo můžeme také použít při určování limit výrazů typu " ", " ", " ", "
" nebo " " ovšem až po úpravě, která výraz převede na typ " " nebo " ":
 " " upravíme takto na typ " ",
 " " upravíme takto na typ " ",
 " ", " ", " " pomocí úpravy převedeme na typ " ".
Příklad Spočítejte
Řešení
Příklad Spočítejte
Řešení
Příklad Spočítejte
Řešení
0 0
( )
( )
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
k
kx x x x
f x f x
g x g x 
 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
 
  
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
 
   0x x x  x  
0
0


0  0
0
0
 1 0
0


0 1
v
u
u v  0
0

1 1
1 1 1
1 1 v u
u v uv
u v

    0
0
0
0 0
 1 lnv v u
u e 0
e 
1
sin
0
lim
x
e
x
x



0
0
0 0
1
lim " " lim 1
sin cos
x x
x x
e e
x x 
 
   
1
lim ln( 1)x
x
x

 
1
11 ln( 1)
lim ln( 1)"0 " lim " " lim 0
1
x
x x x
x
x
x x


  

     
0
lim(sin )x
x
x


0 lnsin 0
0 0 0
lim(sin ) "0 " lim lim 1x x x
x x x
x e e
  
  
2
2cos
sin 0
01 10 0 0 0
lnsin
lim lnsin "0 " lim " " lim lim " "
tg
x
x
x x x x
x x
x x
x x
x

    

    
2
10
cos
2
lim 0
x
x
x


  
MATEMATICKÁ ANALÝZA 52
Monotonie a extrémy funkce
Definice 3.5 Řekneme, že funkce f je v bodě 0x (ostře) rostoucí, když existuje vlastní okolí bodu
0x tak, že 0 0 0 0 0 0( ) ( ) pro ( ) a ( ) ( ) pro ( )f x f x x x x f x f x x x x         
Pokud 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) pro 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0) a 𝑓(𝑥0) > 𝑓(𝑥) pro 𝑥 ∈ (𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿), pak funkce f je
v bodě 0x (ostře) klesající.
Poznámka Funkce je rostoucí na intervalu I právě když je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu.
Funkce je klesající na intervalu I právě když je klesající v každém bodě tohoto intervalu.
Věta 3.9 (Postačující podmínka monotonie) Když funkce f má v bodě 0x první derivaci a 0( ) 0f x  
pak f je v 0x (ostře) rostoucí. Když funkce f má v bodě 0x první derivaci a 0( ) 0f x   pak f je
(ostře) klesající.
Příklad Určete intervaly, na kterých je funkce 3y x   ostře rostoucí a na kterých je ostře klesající.
Řešení Zadanou funkci můžeme psát ve tvaru
3 pro 3
( ) 0 pro 3
3 pro 3
x x
f x x
x x
  

  
   
.
O monotonii funkce rozhodneme na základě první derivace
1 pro 3
( ) 0 pro 3
1 pro 3
x
f x x
x
 

   
  
Odtud obdržíme, že funkce 3y x   je pro 3x   ostře rostoucí a pro 3x   ostře klesající.
Poznámka, I když je funkce v nějakém bodě rostoucí, nemusí ještě mít v tomto bodě kladnou první
derivaci. Například funkce 3
y x je v bodě 0 0x  rostoucí, ale (0)y není kladná. (Namalujte si
obrázek.)
Poznámka Když pro všechna x I je ( ) 0f x   pak je funkce f (ostře) rostoucí na intervalu I
Pokud ( ) 0f x  pro všechna x I  je funkce f (ostře) klesající na intervalu I V případě, že pro
všechna x I platí neostrá nerovnost ( ) 0f x  (popř. ( ) 0f x  ) pro všechna x I  hovoříme
o tom, že funkce je na intervalu I nerostoucí (popř. neklesající).
Definice 3.6 Bod, ve kterém má funkce nulovou první derivaci, se nazývá stacionární bod.
53 DERIVACE FUNKCE
Definice 3.7 Funkce f I H  nabývá v bodě 0x svého
 lokálního maxima, když existuje okolí 0( )O x tak, že pro všechna 0( )x O x je 0( ) ( )f x f x 
 lokálního minima, když existuje okolí 0( )O x tak, že pro všechna 0( )x O x je 0( ) ( )f x f x 
Pokud 0( ) ( )f x f x (popř. 0( ) ( )f x f x ) pro všechna 0 0( )x O x I x x     je 0x bodem ostrého
lokálního maxima (popř. minima).
Body lokálního maxima a minima nazýváme souhrnně body lokálních extrémů.
Poznámka Funkce může mít tedy extrém buď ve stacionárních bodech nebo v bodech, v nichž derivace
neexistuje. Například funkce 2
y x má ve stacionárním bodě 0 0x  lokální extrém. Funkce
y x  v bodě 0 0x  nemá sice derivaci, ale má zde lokální extrém.
Na druhé straně stacionární bod nemusí být ještě bodem lokálního extrému, jak je tomu třeba
u funkce 3
y x 
Věta 3.10 Nechť funkce f je spojitá v bodě 0x I  Když pro všechna 0( )x O x platí
0 0( ) 0 pokud a ( ) 0 pokudf x x x f x x x     
má funkce f v bodě 0x ostré lokální maximum.
Pokud pro všechna 0( )x O x platí
0 0( ) 0 pokud a ( ) 0 pokudf x x x f x x x     
pak má funkce f v bodě 0x ostré lokální minimum.
Věta 3.11 Nechť 0x je stacionárním bodem funkce f a existuje 0( )f x  Jestliže 0( ) 0f x   pak
funkce f má v bodě 0x lokální maximum. Když 0( ) 0f x   má funkce f v bodě 0x lokální mi-
nimum.
Příklad Vyšetřete lokální extrémy funkce 2
6y x x  
Řešení Nejprve určíme stacionární body: 𝑦′
= 2𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥 = 3. Podle věty 3.11 rozhodneme
o druhu extrému. Protože pro libovolné x je ( ) 2 0y x    má zadaná funkce v bodě 𝑥 = 3 lokální
minimum.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 54
Příklad Určete rozměry rotačního válce, který má při daném objemu nejmenší povrch.
Řešení Označme:
r — poloměr válce,
v — výšku válce,
V — objem válce,
S — povrch válce.
Pro objem pak platí 2
V r v  Odtud dostaneme, že 2
V
v
r
 
Pro povrch S válce máme 𝑆(𝑟) = 2𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟𝑣 = 2𝜋𝑟2
+
2𝑣
𝑟
Najdeme stacionární body funkce ( )S S r 
3
3
2 2
2 4 2
( ) 4 0
2
V r V V
S r r r
r r




       
O druhu extrému rozhodneme pomocí druhé derivace.
3
3 3
4 4 4
( ) 4
V r V
S r
r r



    
3 3( ) 0 je bodem minima
2 2
V V
S r
 
    
Válec bude mít při daném objemu nejmenší povrch, když jeho poloměr 3
2
V
r  
Poznámka Úlohy najít lokální nebo absolutní extrém funkce bývají označovány jako úlohy optimali-
zační.
Definice 3.8 Řekneme, že funkce f nabývá v bodě 0x I svého absolutního maxima, když pro
všechna x I platí, že 0( ) ( )f x f x 
Funkce f nabývá v bodě 0x I svého absolutního minima, když pro všechna x I je
0( ) ( )f x f x 
Souhrnně absolutní maximum a absolutní minimum nazýváme absolutními extrémy.
Věta 3.12 Každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu a b   nabývá svého absolutního extrému
buď v některém bodě lokálního extrému nebo v krajních bodech intervalu.
55 DERIVACE FUNKCE
Příklad Najděte absolutní extrémy funkce 3
( ) 2 6 8f x x x   na intervalu 0 3   
Řešení Zadaná funkce je spojitá na uzavřeném intervalu 0 3   
Derivace 2
( ) 6 6 0f x x     když 1x   
Bod 1x   nepatří do uvažovaného intervalu.
Protože ( ) 12f x x  a (1) 12 0f     má funkce v bodě 1x  lokální minimum.
Porovnáním funkčních hodnot v bodě lokálního extrému, kde (1) 4f   a v krajních bodech intervalu,
kde platí (0) 8f   𝑓(3) = 44 zjistíme, že bod 3x  je bodem absolutního maxima a bod
1x  je bodem absolutního minima.
Vyšetřování průběhu funkce
Graf funkce, zejména když je přesný, umožňuje vytvořit si také přesnou představu o vlastnostech
funkce. K jeho sestrojení můžeme využít své poznatky z diferenciálního počtu.
Definice 3.9 Nechť existuje 0( )f x  Řekneme, že funkce f je v bodě 0x
 konvexní, právě když existuje 0( )O x  že pro všechna 0 0( )x O x x x    je
0 0 0( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x   (58)
 konkávní, právě když existuje 0( )O x  že pro všechna 0 0( )x O x x x    je
0 0 0( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x    (59)
Poznámka Graf funkce, která je v bodě 0x konvexní, se nachází nad tečnou a že graf funkce, která
je v bodě 0x konkávní, se nachází pod tečnou.
Věta 3.13 Když funkce f má v bodě 0x druhou derivaci a 0( ) 0f x   pak f je v 0x konvexní. Pokud
0( ) 0f x   je funkce f v 0x konkávní.
Poznámka Funkce f je konvexní (konkávní) na intervalu I pokud je konvexní (konkávní) pro
všechna x I 
Definice 3.9 Nechť f je spojitá v bodě 0x a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. Řekneme, že 0x
je inflexní bod, když se v něm funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 56
Věta 3.14 Pokud existuje 0( )f x a 0x je inflexní bod, pak 0( ) 0f x  
Poznámka Inflexním bodem funkce může být jen ten bod 0x  v němž 0( )f x neexistuje nebo kde
0( ) 0f x  
Poznámka Obecně platí:
Když ( 1) ( )
0 0 0 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0n n
f x f x … f x f x
       a
 n je sudé, ( )
0( ) 0n
f x   pak f má v bodě 0x ostré lokální minimum,
 n je sudé, ( )
0( ) 0n
f x   pak f má v bodě 0x ostré lokální maximum,
 n je liché, ( )
0( ) 0n
f x   pak f je rostoucí v bodě 0x 
 n je liché, ( )
0( ) 0n
f x   pak f je klesající v bodě 0x 
Když ( 1) ( )
0 0 0( ) ( ) 0 ( ) 0n n
f x … f x f x
      a
 n je sudé, ( )
0( ) 0n
f x   pak f je konvexní v bodě 0x 
 n je sudé, ( )
0( ) 0n
f x   pak f je v bodě 0x konkávní,
 n je liché, pak f má v bodě 0x inflexi.
Definice 3.10 V rovině je dána funkce f a přímka p Řekneme, že p je asymptotou ke grafu funkce
( )y f x  právě když vzdálenost bodů grafu funkce ( )y f x od přímky p se pro x   blíží
nule.
Poznámka Asymptoty jsou přímky, ke kterým se blíží graf funkce, když x popř. 
 0xx
v případě, že 0x je bod, ve kterém funkce není definovaná.
Věta 3.15 Přímka 0x x je asymptotou bez směrnice ke grafu funkce ( )y f x  právě když
0
lim ( )
x x
f x

 
Věta 3.16 Přímka y ax b  je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce ( )y f x právě, když
𝑎 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑥
, 𝑏 = lim
𝑥→±∞
(𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥).
Poznámka Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme následovně
(a) Stanovíme nulové body funkce a body, v nichž funkce není definována. Ty nám rozdělí definiční
obor na subintervaly, ve kterých funkce nabývá buď jen kladných nebo jen záporných hodnot.
57 DERIVACE FUNKCE
(b) Spočteme první derivaci a určíme body, v nichž je 1. derivace nulová nebo v nichž neexistuje.
Číselnou osu tak rozdělíme na subintervaly, ve kterých je funkce buď jen rostoucí nebo jen klesající.
(c) Spočteme druhou derivaci a určíme body, v nichž je druhá derivace nulová nebo v nichž není
definována. Tyto body rozdělí číselnou osu na subintervaly, v nichž je funkce buď jen konvexní nebo
jen konkávní.
(d) Zjistíme, zda funkce má nějaké asymptoty bez směrnice nebo se směrnicí.
(e) Spočteme některé funkční hodnoty ve významných bodech (např. v bodech extémů nebo v inflexních
bodech) a nakreslíme graf.
Příklad Vyšetřete průběh funkce 3
2 6 8y x x   
Řešení
(a) Definiční obor: ( )x  
(b) Derivace 2
6 6y x   
1066 2
 xx
Funkce je rostoucí, když 6( 1)( 1) 0x x   tj. ( 1 1 )x      
Funkce je klesající, když 6( 1)( 1) 0x x   tj. 1 1x    
Funkční hodnoty v bodech extrémů: .4)1(,12)1(  ff
(b) Druhá derivace 12y x  
0012  xx
max min
-1 1
MATEMATICKÁ ANALÝZA 58
Funkční hodnota v inflexním bodě: .8)0( f
Funkce je konvexní, když 12 0x  tj. (0 )x  
Funkce je konkávní, když 12 0x  tj. ( 0x   
(d) Asymptoty bez směrnice funkce nemá, protože je všude definovaná.
Protože 𝑎 = lim
𝑥→±∞
2𝑥3−6𝑥+8
𝑥
= +∞, nemá funkce ani asymptoty se směrnicí.
Graf funkce 3
2 6 8y x x   :
Příklad Vyšetřete průběh funkce 1
xy x  
Řešení
(a) Dom ( 0) (0 )f x    
2
1
0 0x
xy x
   
2
1
0 0x
xy x
   
(b)
2
2 2
( 1)( 1)11
1 x xx
xx x
y      
infl.bod
0
59 DERIVACE FUNKCE
Funkce je klesající, když 0 1 0) (0 1y x         
Funkce je rostoucí, když 0 ( 1 1 )y x         
Extémy: max min( 1) 2 (1) 2y y     
(c) 3
2
x
y  Funkce je konvexní, když 0 0y x    
Funkce je konkávní, když 0 0y x    
(d) Protože 1
0
lim( )x
x
x

   je 0x  asymptotou bez směrnice.
Dále
2
1 1 1 1
lim ( ) lim (1 ) 1 lim ( ) 0
x x x
a x b x x
x x x x  
          
Je tedy y x asymptotou se směrnicí.
Graf funkce
2
( 1)
1
x
xy 
 a asymptot 0x y x   :
Derivace funkce v bodě 0x je definována vztahem
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x

  

Číslo 0( )f x je směrnice tečny ke grafu funkce ( )y f x v bodě 0x 
Derivaci vyššího řádu obdržíme derivováním derivace řádu o jedničku nižšího.
Když funkce má v bodě extrému derivaci, pak je tato derivace rovna nule.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 60
Výpočet limit typu " " nebo " " můžeme provést pomocí l’Hospitalova pravidla.
Z 1. derivace funkce určíme stacionární body a intervaly, ve kterých je funkce rostoucí
nebo klesající.
Z 2. derivace funkce určíme intervaly, ve kterých je funkce konvexní nebo konkávní.
Pomocí limit určujememe asymptoty ke grafu funkce.
1. Napište vztah, kterým je definována první derivace funkce v bodě.
2. Jestliže funkce má v bodě 0x derivaci, musí být v tomto bodě spojitá?
3. Jaký je geometrický význam 1. derivace v bodě?
4. Zopakujte si základní vzorce pro derivování funkcí.
5. Které typy limit se dají počítat pomocí l’Hospitalova pravidla přímo?
6. Jaká musí být hodnota první derivace funkce v bodě extrému? Proč?
7. Uveďte nutné podmínky pro to, aby dost hladká funkce (tzn. funkce, která má
potřebné derivace) byla na intervalu I klesající a konkávní.
8. Jak je definován stacionární a jak inflexní bod hladké funkce?
9. Musí mít funkce ve svém stacionárním bodě extrém?
10. Za jakých podmínek má funkce asymptotu bez směrnice a asymptotu se směr-
nicí?
11. Spočtěte derivace a rozhodněte, kdy je derivace definovaná.
a) 2 7
(2 3 2ln )x
x x x   
b) (tg cos )x x 
c) 2
( )x
x e 
d) ( (cos sin ))x
xe x x 
e) 1
1 3x
y 

f) 2
2ln x
xy 

[a) 6 2
4 7 3 ln3x
xx x   , b) cos x , c) (2 )x
xe x , d) (cos sin 2 cos )x
e x x x x  ,
e) 3
3 1
32 (1 3 )
( )
x
y x

     , f) 2
4
4
R { 2}x
y x

    ‚ ]
12. Spočítejte derivace funkce f v daném bodě
a) 5
0 4( ) sinf x x x 
  
b) 2
0( ) ln 1f x x x  
c) ( ) ln(arctg ) 3f x x x  
d) ( ) 2
t
e
tf t t  
[a) 25
4 2( ) cos ( )f x x f      ,b) 2
( ) (1) 2xf x f    ,c) 2
31
4(1 )arctg
( ) ( 3)x x
f x f 
    ,
d)
2
2
( 1)
4( ) (2)
t
e t e
t
f t f
    ]
0
0


f
61 DERIVACE FUNKCE
13. Spočítejte derivaci funkce (logaritmická derivace)
a) x
y x
c) cos
sin
x
y x
[a) (ln 1)x
y x x   , b)
2cos cos
sin(sin ) ( sin ln(sin ) )x x
xy x x x    ]
14. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce ( )y f x v bodě T když
a) 2
( 0)y x T   
b) 1
2arcsin ( )y x T   
[a) (0 0) 0 0T t y n x        ,b)   ,032634:,, 62
1
 
yxtT 0633: 2
33
 yxn ]
15. Spočítejte 2. derivaci funkce
a)
3
1ln x
xy 
b) (cos sin )x
y e x x 
[a)
2
2 2
4 2
( 1)
x x
x x
y   

  , b) 2 (sin cos )x
y e x x    ]
16. Pomocí l’Hospitalova pravidla spočítejte limitu
a)
b)
c)
[a) , b) , c) ]
17. Určete absolutní extrémy funkce 1
1xf x   na intervalu ( 4 0   
[ max min(0) 1 ( 4) 4 2f f       ]
18. Vyšetřete průběh funkce
a) ( )
x
e
xf x  
b)
3
2
1
( ) x
x
f x 
 
[a) ( 0) (0 )Df      2
( 1)
( )
x
x e
x
f x 
   pro ( 0) (0 1x     klesá, pro 1 )x  roste,
2
3
( 2 2)
( )
x
x x e
x
f x  
   konkávní pro ( 0)x   konvexní pro (0 )x   Asymptota: 0x   Pro
x   je 0y  asymptotou.
b) ( 0) (0 )Df     
3
3
2
( ) x
x
f x    pro 3
( 2) (0 )x    roste, pro 3
( 2 0)x   klesá.
4
6
( ) x
f x    konkávní pro ( 0) (0 )x     Asymptoty: 0x   y x  ]
2
2 sin2
0 arcsin
lim x x
x x x


5
2
lim
x
e
x x 
 
tg1
0
lim
x
xx 

4
3  1
MATEMATICKÁ ANALÝZA 62
Základní literatura:
[1]DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2]MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001. 217 stran. ISBN 80-
244-0269-6 (skripta)
[3] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd. Olomouc,
UP Olomouc, 2013. 329 stran.. ISBN 978-80-244-3410-0.
[4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I. 1. vyd. UP Olomouc, 2002. 126 stran.
ISBN 80-244-0464-8
Kapitola 4
Neurčitý integrál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 znát primitivní funkce k funkcím
 stanovit primitivní funkce na základě vlastností neurčitého integrálu
 použít metodu per partes
 použít substituční metodu
Klíčová slova:
Primitivní funkce, neurčitý integrál, metoda per partes, substituční metoda
MATEMATICKÁ ANALÝZA 64
Primitivní funkce a neurčitý integrál
Definice 4.1 Nechť f a F jsou funkce definované na otevřeném intervalu I Když funkce F má
na intervalu I derivaci takovou, že pro všechna x I platí
( ) ( )F x f x   (1)
pak říkáme, že funkce F je primitivní k funkci f na intervalu I
Příklad Ukažte, že ( ) ( 1)ln(1 )F x x x x    je primitivní funkcí k ( ) ln(1 )f x x  na intervalu
( 1) 
Řešení Obě funkce F i f jsou na intervalu ( 1) definovány. Současně pro všechna x z tohoto
intervalu platí
1
( ) ln(1 ) 1 ln(1 ) ( )
1
x
F x x x f x
x

        

To znamená, že F je primitivní funkcí k f 
Obecně ke každé funkci f nemusí na daném intervalu existovat funkce primitivní. Platí však následující
tvrzení.
Věta 4.1 Ke každé funkci f spojité na intervalu I existuje na intervalu I funkce primitivní.
Z definice primitivní funkce je zřejmé, že když F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I pak
také všechny funkce které se od F liší o konstantu, jsou primitivní k f na I
Definice 4.2 Množinu všech primitivních funkcí příslušných na intervalu I k funkci f nazveme neurčitý
integrál. Píšeme pak ( ) ( )f x dx F x c  
Zde ( )f x je integrovaná funkce (integrand), dx je diferenciál nezávisle proměnné, c je integrační
konstanta.
Poznámka Integrování a derivace jsou na intervalu, na kterém je lze realizovat, navzájem inverzní
operace:
[ ( ) ] [ ( )] ( )f x dx F x f x  
( ) ( ) ( )F x dx f x dx F x    
65 NEURČITÝ INTEGRÁL
Zapamatujte si, jak vypadají základní vzorce pro integrování některých funkcí. O správnosti vztahů
se přesvědčíme tak, že obě strany rovnic derivujeme (viz definice 4. 1).
Věta 4.2 Ve všech bodech, kde jsou uvažované funkce definovány, platí
1
2
2
2
2
22
1
1 ln
1
ln
sin cos
cos sin
1
cotg1
tg sin
cos
1
arcsin1
arctg 11
11 arccosarccotg
11
n
n
x
x xx
x
x dx c n dx x c
n x
a
e dx e ca dx c
a
x dx x c
x dx x c
dx x c
dx x c x
x
dx x c
dx x c xx
dx x cdx x c
xx

        

  
  
 
  
 
 
  
    

 





Příklad Spočítejte následující integrály 0dx dx 10
x dx 10x
dx 1
x
dx
Řešení: Integrovat budeme podle vzorců uvedených ve větě 4.2.
1
2
11
10
0 0 počítáme jako pro 0
počítáme jako pro 0
počítáme jako pro 11
11
10
10 počítáme jako pro 10
ln10
1
2 počítáme jak
n
n
n
x
x x
dx c x dx x
dx x c x dx n
x
x dx c x dx n
dx c a dx a
dx x dx x c
x

 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
  
 
 
 
 
  1
o pro
2
n
x dx n
 
   
 

MATEMATICKÁ ANALÝZA 66
Základní integrační metody
Věta 8.3 Nechť k je libovolná konstanta a na intervalu I existují integrály ( )f x dx ( )g x dx Pak
také existují  ( ) ( )f x g x dx  ( )k f x dx a platí: Integrál součtu funkcí je roven součtu integrálů
těchto funkcí. Konstantu lze vytknout před integrál.
 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx    
( ) ( )k f x dx k f x dx  
Poznámka Větu lze zobecnit na konečný počet sčítanců. Platí vztah
∫[𝑘1 𝑓1(𝑥) + 𝑘2 𝑓2(𝑥) + ⋯ 𝑘 𝑛 𝑓𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑘1 ∫ 𝑓1(𝑥) 𝑑𝑥 + ⋯ 𝑘 𝑛 ∫ 𝑓𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
Příklad Spočtěte
2
3 2
1 x
x x
dx


Řešení
2
3 2 2 2
(1 )(1 )1 1 1 1
( 1)
ln | |x xx
x xx x x x x
dx dx dx dx x c 
 
         
Metoda per partes
Věta 3.4 (Metoda per partes) Nechť funkce 𝑢(𝑥) a 𝑣(𝑥) mají na intervalu I spojité derivace prvního
řádu, pak
∫ 𝑢𝑣′
𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′
𝑣𝑑𝑥
Příklad Spočítejte integrál ( 1)cosx x dx 
Řešení
1 1
( 1)cos
cos sin
u x u
x xdx
v x v x
  
  
  

  .cossin)1(sinsin)1( cxxxxdxxx
67 NEURČITÝ INTEGRÁL
Příklad Spočítejte integrál 2
lnx x dx
Řešení
.
9
ln
33
ln
3
3
'
1
'ln
ln
3323
3
2
2
c
x
x
x
dx
x
x
x
x
vxv
x
uxu
xdxx 


 
Poznámka Když máme spočítat ( ) ( )nP x v x dx kde ( )nP x je polynom n -tého stupně, provedeme
v metodě per partes v závislosti na tvaru funkce ( )v x volbu takto:
 Pokud ( ) sin cosx
v x e x x    položíme ( ) ( )ng x P x  ( ) ( )f x v x  
 Pokud ( ) arctg arcsin lnn
v x x x x    položíme ( ) ( )nf x P x   ( ) ( )g x v x 
V případě, kdy integrál součinu polynomu a nějaké funkce řešíme metodou per partes, klademe za
nederivovanou funkci polynom za předpokladu, že ke druhému činiteli umíme určit primitivní funkci.
Jinak musíme provést volbu opačně.
Substituční metoda
Věta 3.5 (Substituční metoda) Nechť funkce ( )t x má na otevřeném intervalu 1I derivaci a zobrazuje
tento interval na interval 2I  funkce ( )y f t je spojitá na otevřeném intervalu 2I  Když položíme
( )t x  bude platit
( ( )) ( ) ( )f x x dx f t dt    
Příklad Spočítejte 2
cos sinx x dx
Řešení
3
2 2
cos
cos sin
sin 3
x t t
x xdx t dt c
xdx dt

      
 
  cx +cos
3
1 3

MATEMATICKÁ ANALÝZA 68
Poznámka Větu o substituci lze také aplikovat v opačném sledu
( )
( ) ( ( )) ( )
( )
x t
f x dx f t t dt
dx t dt

 


  

 
Příklad Spočítejte 2
1
dx
x

Řešení
22
sin
cos
arcsin
1 cos1
arcsin
x t
dx t dtdx
dt t c x c
x tx
t x


      
 

 
Příklad Spočítejte
7
2
( 1)
x dx
x 

Řešení
2 2
7
2
2 2
1
( 1)
1
x t
x
dx xdx t dt
x
x t
 
  

 

2 3
6 4 2( 1)
( 3 3 1)
t
t dt t t t dt
t

     
7 5 3
2 2 2 1
2
2 2 2
2( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1)
7 5 3
x x x
x c
  
      
Pro úspěšné zvládnutí integrace nestačí pamatovat si jen, že integrujeme buď přímo podle integračních
vzorců, nebo použijeme metodu per partes, eventuelně substituční metodu. Užitečné je také
vědět, jak postupovat při integraci racionální funkce lomené a jak pro určité typy funkcí zvolit substituci.
Ve zbytku kapitoly se proto budeme věnovat těmto otázkám.
Integrace racionální funkce lomené
Funkci racionální ryze lomenou rozložíme na součet parciálních zlomků a pak jednotlivé sčítance
integrujeme zvlášť. Musíme umět spočítat integrály tvaru ( )k
A
x
dx
 (subst. tx  )
69 NEURČITÝ INTEGRÁL
a 2 2
[( ) ]l
Bx C
x a b
dx
 
 Zde 2
2 2 2 2 2 2 2
(2 2 )
[( ) ] ( 2 ) [( ) ]
B
l l l
Bx C x a aB C
dx dx
x a b x ax a b x a b
  
 
      
  . Při integraci
prvního sčítance použijeme subst. tbaaxx  222
2 . Při integraci druhého sčítance subst.
tx  .
Příklad Spočítejte
3
2
x
x dx 
Řešení Nejprve v integrované funkci provedeme naznačené dělení
3 2 8
( 2) 2 4
2
x x x x
x
      

3 3
2 28
2 4 4 8ln 2
2 2 3
x x
dx x x dx x x x c
x x
 
             
  
 
Příklad Spočítejte 2
3 2
dx
x x
dx 

Řešení Jmenovatele rozložíme na součin kořenových činitelů a integrovanou funkci vyjádříme jako
součet parciálních zlomků
2
1 1
3 2 (1 )(2 )x x x x
 
   
1
(1 )(2 ) 1 2
A B
x x x x
  
   
1 (2 ) (1 )A x B x    
Pro 1x  je 1A   Pro 2x  je 1B    Je tedy
2
1 1 1
3 2 1 2x x x x
  
   
2
1 21 1
3 2 1 2
x t x sdx
dx dx dx
dx dt dx dsx x x x
   
    
      
  
1 1 2
( ) ( ) ln ln ln
1
x
dt ds t s c c
t s x

              

 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 70
Příklad Spočítejte
2
3
2
1
x
x
dx


Řešení Nejprve provedeme rozklad na parciální zlomky
2
3 2
2
1 1 1
x A Bx C
x x x x
 
 
   
2 2 2
2 ( 1) ( ) ( 1)x A x x B x x C x       
2
1
0
1
0
2
x A B
x A B C
x A C
  
   
   
1 0 1A B C      
2
3 2
2 1 1
1 1 1
x
x x x x

 
   
2
3 2
2 1 1
1 1 1
x
dx dx dx
x x x x

  
   
  
Protože 2 2 31
2 41 ( )x x x      dostaneme
 2 22 1
3
11 1 4
1 1 3 ( ) 1x
x t dt dx
dx dx
dx dtx x x t 
 
    
   
   
3
2
23
4
2 1
2 2 13
ln ln 1 arctg
2 ( 1) 3 3
3
x
s
ds x
t x c
s
dx ds



           



Integrace goniometrických funkcí
V integrálech tvaru sin cosmx nx dx nejprve provedeme úpravu pomocí vzorců
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
x y x y x y   
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
x y x y x y   
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
x y x y x y   
a pak integrujeme.
Příklad Spočítejte cos2 sin2x x dx
71 NEURČITÝ INTEGRÁL
Řešen:
1 1
cos2 sin2 (sin0 sin4 ) cos4
2 8
x xdx x dx x c

    
Integrály typu sin cosm n
x xdx řešíme tak, že pokud
 m n jsou celá, m liché, volíme substituci cos x t 
 m n jsou celá, n liché, volíme substituci sin x t 
 m n jsou sudá a kladná, upravíme integrovanou funkci pomocí vzorců
1
sin cos sin2
2
x x x
2 1
sin (1 cos2 )
2
x x 
2 1
cos (1 cos2 )
2
x x 
 pokud m n jsou sudá, alespoň jedno záporné, volíme substituci
tg x t 
Příklad Spočítejte
3
4
cos
sin
x
x
dx
Řešení
3 2 2
4 4 4
sincos cos (1 sin ) 1
cossin sin
x tx x x t
dx dx dt
xdx dtx x t
 
  

  
4 2 3 3
1 1 1 1 1 1
3 3sin sin
dt c c
t t t t x x
          
Poznámka Víme, že ke každé funkci spojité na intervalu I existuje primitivní funkce. Doposud jsme
tuto funkci získali v konečném tvaru. Některé integrály spojitých funkcí však není možné vyjádřit
v konečném tvaru. Tyto integrály představují tzv. vyšší transcendentní funkce. Patří sem např.
2
sin cos xx x x e
x x xe dx dx dx dx
       ln
dx
x  2
sin x dx 2
cos x dx
Množinu všech primitivních funkcí příslušných k funkci f nazýváme neurčitým integrálem.
Při výpočtu neurčitého integrálu používáme
 základní integrační vzorce
MATEMATICKÁ ANALÝZA 72
 skutečnost, že konstantu lze vytknout před integrál a že integrál součtu je roven
součtu integrálů
 metodu per partes
 substituční metodu.
1. Jak je definován neurčitý integrál?
2. Napište vztahy pro metodu per partes a substituční metodu v neurčitém inte-
grálu.
3. Jak byste postupovali při integraci funkce racionální lomené? Zopakujte si vzorce
pro integraci elementárních funkcí.
4. Metodou per partes, kde zvolíte n
xu 
 )1( 2
, stanovte rekurentní formuli pro
výpočet integrálu 2
( 1)
n n
dx
K dx
x
 


5. Metodou per partes, kde zvolíte xu n 1
sin 
 , stanovte rekurentní formuli pro výpočet
integrálu sinn
nI xdx 
6. Spočítejte integrály
a) arctgx x dx
b)
2
x
x e dx
c) 4 2
x
x x
dx

d) 4 2
1
x x
dx

e) 3 4
sin cosx x dx
f) sin3 cos4x xdx
[a) 21 1 1
2 2 2arctg arctgx x x x c   , b)
2
1
2
x
e c , c)    1 1
2 2ln ln 1 ln 1x x x c      ,
d) 1
arctgx x c
  , e) 7 51 1
7 5cos cosx x c  , f) 1 1
14 2cos7 cos( )x x c
   ]
Základní literatura:
[1]DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2]MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001. 217 stran. ISBN 80-
244-0269-6 (skripta)
[3] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd. Olomouc,
UP Olomouc, 2013. 329 stran.. ISBN 978-80-244-3410-0.
[4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I. 1. vyd. UP Olomouc, 2002. 126 stran.
ISBN 80-244-0464-8
Kapitola 5
Určitý integrál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 použít metodu per partes a substituční metodu pro výpočet určitého integrálu
 spočítat plochu křivočarého obrazce
Klíčová slova:
Určitý integrál, Newton-Leibnizova věta, metoda per partes pro určitý integrál, substituční
metoda v určitém integrálu
MATEMATICKÁ ANALÝZA 74
Definice Riemannova určitého integrálu
Odvození Riemannova určtého integrálu: Předpokládejme, že funkce f je na intervalu a b  
omezená.
Interval a b   rozdělíme na subintervaly 1i ix x   1 2i … n     Vzniklé dělení intervalu a b  
budeme značit
0 1n nD a x x … x b      
Číslo
1
1
( ) max( )n i i
i …n
D x x 
  
 
budeme nazývat normou dělení nD  Dělení intervalu je možné volit různými způsoby. Předpokládejme,
že 1{ }n nD 
 je nějaká posloupnost dělení. Řekneme, že posloupnost dělení { }nD je nulová,
když pro normy dělení platí lim ( ) 0n nD  
Pro dělení 0 1n nD a x x … x b      dále vybereme body 1i i ix x    1i … n    Množinu
těchto bodů označíme
1{ }n n…    
a budeme ji nazývat výběrem reprezentantů příslušným k dělení nD 
Číslo
1
1
( ) ( )( )
n
n n i i i
i
G D f f x x 

    
které geometricky můžeme interpretovat jako součet ploch obdélníků o stranách délky ( )if 
a 1( )i ix x   nazveme integrálním součtem příslušným k dělení nD  funkci f a výběru reprezentantů
n  (Viz vyplněná plocha na následujícím obrázku.)
75 URČITÝ INTEGRÁL
4( )f 
3( )f  ( )y f x
2( )f 
1( )f 
a 1 2 3 4 b
Riemannův určitý integrál definujeme jako limitní případ integrálních součtů.
Definice 4.1 (Riemann) Nechť funkce f je omezená na intervalu a b    Jesliže pro libovolnou
nulovou posloupnost dělení 1{ }n nD 
 existuje konečná limita
lim ( )n n
n
G D f I

    (23)
pak říkáme, že funkce f je riemannovsky integrovatelná na a b   a klademe
( ) ( )
b
a
R f x dx I  (24)
Množinu všech (riemannovsky) integrovatelných funkcí na a b   budeme v dalším textu značit
( )R a b 
Poznámka Definici 9.1 lze také vyjádřit následovně
 ( ) 0 0( { } ( ) ) ( )n n nf R a b D D G D f I                   ¨
Poznámka Když ( ) 0f x  na a b   pak ( )
b
a
f x dx představuje z geometrického hlediska plochu
rovinného obrazce omezeného křivkou ( )y f x a přímkami 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 a osou 𝑥. (Viz následující
obrázek.)
MATEMATICKÁ ANALÝZA 76
( )y f x
b
a
P f dx 
a b
Poznámka Každá funkce nemusí být riemannovsky integrovatelná. Riemannovsky integrovatelná
není např. Dirichletova funkce
0 pro iracionální
( )
1 pro racionální
x
x
x


 

Mezi integrovatelné funkce patří např. funkce spojité.
Výpočet určitého integrálu
Praktický výpočet Riemannova určitého integrálu provádíme na základě následující věty.
Věta 4.1 (Newton-Leibnizova) Nechť ( )f R a b   funkce F je na a b   spojitá a primitivní k f
na ( )a b  pak
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
R f x dx F b F a  
77 URČITÝ INTEGRÁL
Poznámka Věta umožňuje spočítat Riemannův integrál následovně: Jestliže F je primitivní funkcí
k funkci f na intervalu ( )a b  pak
(𝑅) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)] 𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
Příklad Spočítejte
2
0
sin2xdx


Řešení
2
2
0
0
cos2
sin2 1
2
x
xdx


 
     

Věta 4.2 Množina ( )R a b tvoří lineární prostor.
Poznámka Věta 4.2 vyjadřuje skutečnost, že určitý integrál ze součtu dvou funkcí je roven součtu
určitých integrálů. Konstantu lze vytknout před určitý integrál.
Příklad Spočítejte
2
2
1
2
1
0
x
x
dx

Řešení:
1 12 2
2 2
0 0
2 (1 ) 1
2
1 1
x x
dx dx
x x
 
 
  
1 1
2
0 0
1
2 2
1
dx dx
x
  
     1 1
0 0
2 2 arctg 2
2
x x

    
Pokud neumíme primitivní funkci určit přímo, můžeme sáhnout k substituční metodě nebo metodě
per partes.
Věta 4.3 (Per partes pro určitý integrál) Když funkce f g jsou na intervalu a b   spojitě diferencovatelné,
pak
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b
b
a
a a
f x g x dx f x g x f x g x dx    
Příklad Spočítejte
1
ln
e
x dx
Řešení 1
1 1
1
ln
ln [ ln ]
1
e e
eu x u
xdx x x dxx
v v x
  
   
   
  10 [ ] 1e
e x    
MATEMATICKÁ ANALÝZA 78
Věta 4.4 (Substituční metoda pro určitý integrál) Předpokládejme, že ( )t je funkce monotonní
a spojitě diferencovatelná pro všechna t      Na intervalu a b   kde ( )a    ( )b   
je dána funkce f  která je zde spojitá. Pak
( ) ( ( )) ( )
b
a
f x dx f t t dt


   
Příklad Spočítejte
2
ln
1
e
x
x dx
Řešení
12 3
1
2
1 0
0
ln
1
ln 1
3 3
1 0
1
e
x t
dx dtx t
dx t dtx
x
x t
x e t

  
     
   
  
 
Věta 4.5 Nechť 0 1 1 2 2 1 1) ) )n n n na b x x x x … x x x x                
Když pro 1 2i … n    je 1( )i if R x x   pak
1
1
( ) ( )
i
i
nb x
a x
i
f x dx f x dx


  
Příklad Využijte geometrického významu a spočítejte plochu rovinného obrazce omezeného křivkami
2
1y x  a 1x  .
Řešení Nakreslíme obrázek a využijeme toho, že plocha je symetrická podle osy x
1x 
2
1y x 
79 URČITÝ INTEGRÁL
2
23
1 2
2
1 0
0
1
2 8
2 1 2 2 4 2
1 0 3 3
1 2
x t
dx t dt t
P x dx t dt
x t
x t

 
  
            
  
 
Riemannův určitý integrál je pro nulovou posloupnost dělení definován jako limita
integrálních součtů.
Z geometrického hlediska představuje ( )
b
a
f x dx ( ) 0f x  plochu rovinného
obrazce omezeného křivkami ( )y f x  x a  x b  0y  
Hodnotu určitého integrálu spočteme jako rozdíl hodnot příslušné primitivní funkce
v horní a dolní mezi.
Při výpočtu některých určitých integrálů se používá substituční metoda nebo metoda
per partes.
1. Uveďte geometrickou interpretaci definice určitého integrálu.
2. Které funkce jsou riemannovsky integrovatelné? Uveďte příklad funkce, která
riemannovsky integrovatelná není.
3. Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet Riemannova určiteho inte-
grálu.
4. Čím se při výpočtu odlišuje metoda per partes pro určitý integrál od metody per
partes pro neurčitý integrál?
5. Čím se při výpočtu odlišuje substitučí metoda pro určitý integrál od substituční
metody pro neurčitý integrál?
6. Jak byste spočítali plochu rovinného obrazce omezeného křivkami 0y   0x  
3x  a siny x 
7. Spočítejte integrály
a)
2 2
0
sinx xdx


b)
2
1
sinx
e xdx


c
32
2
1
x
x e dx
d) 2
1
2 20
x
x x
dx 
e)
5
( 1)(2 )3
dx
x x 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 80
[a) 2  , b) 21
2 1e

 c) ce ˇ3
2
1
, d) 51
2 2 4ln arctg2 
  , e) 2
3ln ]
8. Spočítejte plochu rovinného obrazce omezeného křivkami ,0,3
 yxy
1,1  xx . [ 2
1
]
Základní literatura:
[1]DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[2]MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc, 2001. 217 stran. ISBN 80-
244-0269-6 (skripta)
[3] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R, 1.vyd. Olomouc,
UP Olomouc, 2013. 329 stran..
ISBN 978-80-244-3410-0.
[4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I. 1. vyd. UP Olomouc, 2002. 126 stran.
ISBN 80-244-0464-8
Kapitola 6
Nevlastní integrál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 určovat singulární body integrace
 vysvětlit pojem integrálu jako funkce horní (dolní) meze
 vysvětlit pojem nevlastního integrálu vlivem funkce a vlivem meze
 počítat nevlastní integrály vlivem meze i funkce
 určovat obsahy neomezených geometrických obrazců
Klíčová slova:
Integrál jako funkce horní, resp. dolní, meze, nevlastní integrál, singulární body integrace,
nevlastní integrál vlivem meze, nevlastní integrál vlivem funkce, konvergence
a divergence nevlastního integrálu.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 82
Integrál jako funkce meze
V předchozích úvahách, týkajících se integrálů, jsme se omezili pouze na integrály, v nichž
integrandem byla omezená funkce a integračním oborem byl omezený a uzavřený interval. V této
kapitole se budeme zabývat integrály, jejichž integrand není omezený a integrály, jejichž integrační
obor není uzavřený a omezený, tedy nevlastními integrály. K definici nevlastních integrálů potřebujeme
zavést pojem integrál jako funkce horní, resp. dolní meze.
Předpokládejme, že funkce 𝑓 je na intervalu 〈𝑎, 𝑏〉 integrovatelná podle Riemanna. Určitý
integrál  
b
a
f x dx je číslo, za předpokladu, že 𝑎 a 𝑏 jsou pevné hodnoty. Zůstane-li jedna mez pevná
(konstantní) a druhá mez bude nabývat různých hodnot z intervalu 〈𝑎, 𝑏〉, bude hodnota uvažovaného
určitého integrálu funkcí této proměnné meze. Existence takového integrálu plyne z aditivity
určitého integrálu. Proměnnou mez označíme 𝑥, integrační proměnnou pak jiným písmenem, např.
𝑡, aby dvě různé veličiny nebyly označeny stejným písmenem.
Je-li proměnná horní mez integrálu, pak dostaneme funkci 𝐻(𝑥) =  
x
a
f t dt a nazýváme ji
funkce horní meze integrálu funkce 𝑓.
Obrázek 6.1 Integrál jako funkce horní meze intergrálu funkce f
Je-li proměnná dolní mez integrálu, pak dostaneme funkci 𝐷(𝑥) =  
b
x
f t dt a nazýváme ji funkce
dolní meze integrálu funkce 𝑓.
Přitom proměnná 𝑥 je libovolné, ale určité číslo, které nabývá hodnot z integračního intervalu 〈𝑎, 𝑏〉.
83 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Nevlastní integrály
Určitý integrál  
b
a
f x dx jsme definovali v případě, že integrační interval je omezený a uzavřený
a funkce 𝑓 je na něm omezená. Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, pak definice určitého integrálu
pomocí integrálních součtů není vhodná a je třeba postupovat jiným způsobem.
Příklad Funkce
1
𝑥
je spojitá na intervalu (0, 1⟩, ale není na něm omezená, protože
0
1
lim
x x

  .
Nemůžeme tedy hovořit o integrálu 𝐼=
1
0
1
dx
x ve smyslu definice podle Riemanna.
Musíme pojem integrál zobecnit.
Uvažujeme-li 0 < 𝛼 < 1 je funkce
1
𝑥
spojitá i omezená na 〈𝛼, 1〉, existuje tedy integrál
𝐼 𝛼=
1
1
dx
x
 . Potom integrál 𝐼 lze určit jako limitu integrálu 𝐼 𝛼 pro 𝛼 → 0+
.
Tedy 𝐼 = lim
𝛼→0+
𝐼 𝛼.
Uvedený integrál
1
0
1
dx
x nazýváme nevlastním integrálem vlivem funkce.
O nevlastních integrálech hovoříme v případě je-li interval (𝑎, 𝑏) neomezený, tj. 𝑎 = −∞
nebo 𝑏 = +∞ nebo současně 𝑎 = −∞ a 𝑏 = +∞ nebo není-li funkce 𝑓 na intervalu (𝑎, 𝑏) omezená.
Body, v nichž nastávají výše uvedené okolnosti, nazýváme singulární body integrace.
Definice 6. 1 Řekneme, že bod c, kde 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 je singulárním bodem integrace funkce 𝑓 na intervalu
(𝑎, 𝑏), je-li buď 𝑐 = −∞ nebo 𝑐 = +∞ nebo není-li funkce 𝑓 na okolí bodu 𝑐 omezená.
Příklady singulárních bodů integrace:
 
c
f x dx

 singulárním bodem integrace je dolní mez mínus nekonečno; integrační obor není ome-
zený
 
1
f x dx

 singulárním bodem integrace je horní mez mínus nekonečno; integrační obor není ome-
zený
MATEMATICKÁ ANALÝZA 84
2
2
1
1
dx
x
 singulárním bodem integrace je 0; funkce 2
1
x
není na okolí bodu 0 omezená
Budeme předpokládat, že těchto singulárních bodů je konečný počet a že funkce f je na
každém uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární body integrovatelná.
Rozlišujeme:
 nevlastní integrály vlivem meze
 nevlastní integrály vlivem funkce
Nevlastní integrály vlivem meze
Je to integrál na neomezeném intervalu, tedy integrační meze jsou nevlastní čísla.
Obr. 6.2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
−∞
Obr. 6.2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
Obr. 6.2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
𝑎
85 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Definice 6.2 Nechť je funkce f definovaná na intervalu ⟨𝑎, +∞) a nechť pro každé 𝑡 > 𝑎 existuje
integrál  
t
a
f x dx . Potom řekneme, že nevlastní integrál  
a
f x dx

 konverguje (existuje), právě když
existuje vlastní limita  lim
t
t
a
f x dx
  (). Existuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem
   lim
t
t
a a
f x dx f x dx


  .
Jestliže limita () je nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
Podrobněji: Je-li limita () rovna plus nekonečnu, resp. mínus nekonečnu říkáme, že nevlastní integrál
diverguje k plus nekonečnu, resp. k mínus nekonečnu. Jestliže limita () neexistuje, říkáme, že
nevlastní integrál neexistuje.
Analogicky definujeme nevlastní integrál  
b
f x dx

 .
Definice 6.3 Nechť je funkce 𝑓 definovaná na intervalu (−∞, 𝑏⟩ a nechť pro každé 𝑡 < 𝑏 existuje
integrál  
b
t
f x dx . Potom řekneme, že nevlastní integrál  
b
f x dx

 konverguje, právě když existuje
vlastní limita  lim
b
t
t
f x dx
  (). Existuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem
   lim
b b
t
t
f x dx f x dx


  .
Jestliže limita () je nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
Definice 6.4 Nechť je funkce f definovaná na intervalu (−, +) a nechť konvergují nevlastní integrály
(1)  
c
f x dx

 a (2)  
c
f x dx

 , cR. Pak říkáme, že nevlastní integrál  f x dx


 konverguje
a definujeme jej vztahem  f x dx


 =  
c
f x dx

 +  
c
f x dx

 .
Diverguje-li aspoň jeden z integrálů (1) a (2), pak integrál  f x dx


 diverguje.
Poznámka Pomocí aditivity integrálu se dá snadno dokázat, že existence i hodnota integrálu
MATEMATICKÁ ANALÝZA 86
 f x dx


 nezávisí na volbě bodu 𝑐 ∈ 𝑅.
Výpočet dle Leibniz – Newtonovy formule
Známe-li primitivní funkci F integrandu na uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární
body, můžeme nevlastní integrály počítat následujícím způsobem.
     lim lim
t
t
at t
a a
f x dx f x dx F x

 
     
        lim lim
t t
F t F a F t F a
 
   
     lim lim
b b
b
tt t
t
f x dx f x dx F x
 

     
   lim
t
F b F t

 
     
c
c
f x dx f x dx f x dx
 
 
    =
=    lim lim
c b
a b
a c
f x dx f x dx
 
  =
= lim
𝑎→−∞
[𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎)] + lim
𝑏→+∞
[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐)]=
=    lim lim
b a
F b F a
 

Příklad Vypočítejme nevlastní integrály vlivem meze.
a) ∫
1
x2
∞
1
dx
b) ∫
1
4 + x2
0
−∞
dx
87 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Řešení
a) Funkce
1
𝑥2
je na intervalu 〈1, 𝑡〉, 𝑡 > 1, spojitá, tedy existuje integrál
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = [−
1
𝑥
]
1
𝑡
= −
1
𝑡
+ 1.
𝑡
1
∫
1
𝑥2
∞
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥2
𝑡
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
[−
1
𝑥
]
1
𝑡
= lim
𝑡→∞
(−
1
𝑡
+ 1) = lim
𝑡→∞
(−
1
𝑡
) + lim
𝑡→∞
1 =
= 0 + 1 = 1
Daný integrál konverguje a jeho hodnota je 1.
b) Funkce
1
4+𝑥2
je na intervalu 〈𝑡, 0〉, 𝑡 < 0 spojitá, existuje integrál ∫
1
4+x2
0
t
dx .
∫
1
4 + x2
0
−∞
dx = lim
𝑡→−∞
∫
1
4 + 𝑥2
0
𝑡
dx = lim
𝑡→−∞
[
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
2
]
𝑡
0
=
= lim
𝑡→−∞
[
1
2
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
2
)] =
1
2
lim
𝑡→−∞
(0 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
2
) =
=
1
2
( lim
𝑡→−∞
0 − lim
𝑡→−∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
2
) =
1
2
[0 − (−
𝜋
2
)] =
𝜋
4
Daný integrál konverguje; ∫
1
4+x2
0
−∞
dx =
𝜋
4
.
Příklad Vyšetřete existenci integrálu 𝐼 = ∫
𝑥
1+𝑥2
𝑑𝑥
∞
−∞
.
Řešení Integrál má 2 singulární body integrace, proto zvolíme bod 𝑐 ∈ (−∞, ∞), např. 𝑐 = 0 a rozdělíme
integrál na integrály 𝐼1 = ∫
𝑥
1+𝑥2
𝑑𝑥
0
−∞
a 𝐼2 = ∫
𝑥
1+𝑥2
𝑑𝑥
∞
0
, přičemž každý z nich má již jen
jeden singulární bod integrace.
Vypočteme např. 𝐼2.
𝐼2 = ∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑡→∞
∫
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
[
1
2
𝑙𝑛(1 + 𝑥2)]
0
𝑡
=
𝑡
0
=
1
2
lim
𝑡→∞
(𝑙𝑛(1 + 𝑡2) − ln 1) =
1
2
(∞ − 0) = ∞
MATEMATICKÁ ANALÝZA 88
Integrál 𝐼2 diverguje, integrál 𝐼1 již nemusíme počítat, protože podle definice 6.4 integrál 𝐼 diverguje.
Nevlastní integrály vlivem funkce
Integrandem je funkce, která není omezená na intervalu (𝑎, 𝑏).
Obrázek 6.3 Funkce f není omezená na okolí bodu c
Definice 6.5 Nechť funkce f je definovaná na omezeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏) a není omezená na žádném
levém okolí bodu b, přičemž pro každé 𝑡 ∈ ⟨𝑎, 𝑏) existuje integrál  
t
a
f x dx . Potom říkáme, že nevlastní
integrál  
b
a
f x dx konverguje (existuje), právě když existuje vlastní limita  lim
t
t b
a
f x dx
  ().
Existuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem  
b
a
f x dx =  lim
t
t b
a
f x dx
  .
Jestliže limita () je nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
Obrázek 6.3Funkce f není omezená na pravém okolí bodu a Obr. 6.3Funkce f není omezená na levém okolí bodu b
89 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Analogicky definujeme:
Definice 6.6 Nechť funkce f je definovaná na omezeném intervalu (𝑎, 𝑏⟩ a není omezená na žádném
pravém okolí bodu 𝑎 a nechť pro každé 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏⟩ existuje integrál  
b
t
f x dx . Potom říkáme, že nevlastní
integrál  
b
a
f x dx konverguje (existuje), právě když existuje vlastní limita  lim
b
t a
t
f x dx
  ().
Existuje-li nevlastní integrál pak jej definujeme vztahem  
b
a
f x dx =  lim
b
t a
t
f x dx
  .
Jestliže limita () je nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
Definice 6. 7 Nechť funkce 𝑓 není omezená na žádném okolí bodu 𝑐, 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) a nechť konvergují
nevlastní integrály (1)  
c
a
f x dx a (2)  
b
c
f x dx . Pak říkáme, že nevlastní integrál  
b
a
f x dx konverguje
a definujeme jej vztahem  
b
a
f x dx =  
c
a
f x dx +  
b
c
f x dx .
Diverguje-li aspoň jeden z integrálů (1) a (2), pak integrál  
b
a
f x dx diverguje.
Výpočet dle Leibniz – Newtonovy formule
 
b
a
f x dx =    lim lim
t
t
at b t b
a
f x dx F x 
 
   
        lim lim
t b t b
F t F a F t F a 
 
   
 
b
a
f x dx =    lim lim
b
b
tt a t a
t
f x dx F x 
 
   
        lim lim
t a t a
F b F t F b F t 
 
   
MATEMATICKÁ ANALÝZA 90
 
b
a
f x dx =  
c
a
f x dx +  
b
c
f x dx =
=    lim lim
t b
t c u c
a u
f x dx f x dx 
 
  =
=                  lim lim lim lim
t c u c t c u c
F t F a F b F u F t F u F b F a   
   
      
Předpokládáme, že F je primitivní funkce integrandu na uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární
body.
Příklad Vypočtěte nevlastní integrály vlivem funkce.
a) ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
1
0
b) ∫
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
1
𝑒
0
Řešení
a) Definiční obor funkce
1
𝑥2 je 𝑅 ∖ {0}. Funkce není omezená na pravém okolí bodu nula, protože
lim
𝑥→0+
1
𝑥2
= +∞. Bod 0 je singulární bod integrace. Funkce
1
𝑥2
je na intervalu 〈𝑡, 1〉, 𝑡 > 0, spojitá.
Existuje integrál∫
1
𝑥2 𝑑𝑥 = [−
1
𝑥
]
𝑡
1
= −1 +
1
𝑡
1
𝑡
.
∫
1
𝑥2
1
0
𝑑𝑥 = lim
𝑡→0+
∫
1
𝑥2
1
𝑡
𝑑𝑥 = lim
𝑡→0+
[−
1
𝑥
]
𝑡
1
= lim
𝑡→0+
(−1 +
1
𝑡
) = lim
𝑡→0+
(−1) + lim
𝑡→0+
1
𝑡
= −1 + ∞ =
= ∞
Integrál ∫
1
𝑥2
1
0
𝑑𝑥 diverguje.
91 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
b) Definiční obor funkce
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
je 𝑅 ∖ {0}. Funkce není omezená na pravém okolí bodu 0, protože
lim
𝑥→0+
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
= +∞. Na intervalu 〈𝑡,
1
𝑒
〉 , 𝑡 > 0, je funkce
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
spojitá, existuje integrál ∫
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
=
|
ln 𝑥 = 𝑢
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑑𝑢
| = ∫ 𝑢−2
𝑑𝑢 = −
1
𝑢
= −
1
ln 𝑥
.
∫
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
1
𝑒
0
= lim
𝑡→0+
∫
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
1
𝑒
0
= lim
𝑡→0+
[−
1
ln 𝑥
]
𝑡
1
𝑒
= lim
𝑡→0+
(
−1
ln
1
𝑒
+
1
ln 𝑡
) =
−1
−1
+ lim
𝑡→0+
1
ln 𝑡
=
= 1 + 0 = 1
Nevlastní integrál ∫
1
𝑥 𝑙𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
1
𝑒
0
konverguje a jeho hodnota je 1.
Příklad Vypočtěte nevlastní integrál 𝐼 = ∫
𝑑𝑥
√1−𝑥2
1
−1
, pokud konverguje.
Řešení Definiční obor 𝐷(𝑓): 𝑥 ∈ (−1, 1). Body −1 a 1 ∉ 𝐷(𝑓) a funkce
1
√1−𝑥2
není omezená na pravém
okolí bodu −1 a na levém okolí bodu 1.
lim
𝑡→−1+
1
√1−𝑥2
= +∞ a také lim
𝑥→1−
1
√1−𝑥2
= +∞
Integrand
1
√1−𝑥2
je na intervalu (−1, 1) spojitá funkce a má primitivní funkci arcsin 𝑥. Integrál
𝐼 má tedy dva singulární body integrace 1 a −1. Pomocí bodu 𝑐 ∈ (−1, 1) rozdělíme integrál 𝐼 na
dva integrály 𝐼1 a 𝐼2; položíme 𝑐 = 0.
𝐼1 = ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
0
−1
, 𝐼2 = ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
1
0
𝐼1 = ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
= lim
𝑡→−1+
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
0
𝑡
0
−1
= lim
𝑡→−1+
[arcsin 𝑥] 𝑡
0
= lim
𝑡→−1+
(arcsin 0 − arcsin 𝑡) =
= lim
𝑡→−1+
(0 − arcsin 𝑡) = 0 − (−
𝜋
2
) =
𝜋
2
𝐼2 = ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
= lim
𝑡→1−
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
𝑡
0
1
0
= lim
𝑡→1−
[arcsin 𝑥]0
𝑡
= lim
𝑡→1−
(arcsin 𝑡 − arcsin 0) =
=
𝜋
2
− 0 =
𝜋
2
MATEMATICKÁ ANALÝZA 92
Oba integrály 𝐼1 a 𝐼2 konvergují, tedy integrál 𝐼 také konverguje a jeho hodnota 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 =
=
𝜋
2
+
𝜋
2
= 𝜋
Geometrická interpretace nevlastních
integrálů
Je-li 𝑓 spojitá a nezáporná funkce, můžeme nevlastní integrál, pokud konverguje, považovat za obsah
příslušného neomezeného geometrického obrazce M.
Obrázek 6.4 𝑀 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
, 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}
93 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Příklad Vypočítejte obsah 𝑃 části roviny ohraničené osou 𝑥 a grafem funkce 𝑓(𝑥) =
5
1+𝑥2
.
Řešení Nejprve sestrojíme graf funkce 𝑓.
Obrázek 6.5 Graf funkce 𝑓(𝑥) =
5
1+𝑥2
𝑃 = ∫
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
∞
−∞
Integrál má dva singulární body integrace: +∞ a −∞. Je to nevlastní integrál vlivem meze. Rozdělíme
jej na dva integrály 𝐼1 a 𝐼2, zvolíme bod 𝑐 = 0.
𝐼1 = ∫
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→−∞
∫
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→−∞
[5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥] 𝑡
0
0
𝑡
0
−∞
=
= lim
𝑡→−∞
(5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0 − 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡) = 0 − 5 (−
𝜋
2
) =
5
2
𝜋
𝐼2 = ∫
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫
5
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
[5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥]0
𝑡
𝑡
0
∞
0
=
= lim
𝑡→∞
(5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 − 5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0) = 5
𝜋
2
− 0 =
5
2
𝜋
𝑃 = 𝐼1 + 𝐼2 = 5𝜋
Obsah neomezeného obrazce je konečný a je 𝑃 = 5𝜋(𝑗2).
MATEMATICKÁ ANALÝZA 94
Příklad Vypočítejte obsahy 𝑃1 a 𝑃2 části roviny ležící v I. kvadrantu ohraničené křivkou 𝑦 =
1
√ 𝑥
a
přímkou 𝑥 = 1.
Řešení Sestrojíme graf funkce 𝑦 =
1
√ 𝑥
.
Obrázek 6.6 Graf funkce
1
√𝑥
a přímky 𝑥 = 1
Přímka 𝑥 = 1 rozdělí uvažovanou část roviny na dvě části. Označme
𝑃1 = ∫
1
√ 𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑡→0+
∫ 𝑥−
1
2
1
𝑡
1
0
𝑑𝑥 = lim
𝑡→0+
[2√ 𝑥] 𝑡
1
= 2 lim
𝑡→0+
(1 − √ 𝑡) = 2(1 − 0) = 2
a
𝑃2 = ∫
1
√ 𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫ 𝑥−
1
2
𝑡
1
∞
1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
[2√ 𝑥]1
𝑡
= 2lim
𝑡→∞
(√𝑡 − 1) = 2(∞ − 1) = ∞
Obrazec 𝑃1 má konečný obsah 2(𝑗2
), naproti tomu obrazec 𝑃2 má nekonečný obsah.
Poznámka Obecnější případ, kdy singulárních bodů uvnitř intervalu (a,b) je více nebo jsou to krajní
body intervalu. Nechť body c0, c1, c2,……,cn , kde a=c0c1….cn=b jsou singulární body integrace
funkce f a nechť každý z integrálů   
1
i
i
c
c
f x dx

 , i=1,2,…, n obsahuje jen jeden singulární bod.
Potom  
b
a
f x dx konverguje, konvergují-li všechny integrály . V tom případě definujeme  
b
a
f x dx
=  
1
1
i
i
cn
i c
f x dx


  . Jestliže některý z integrálů diverguje, říkáme, že  
b
a
f x dx diverguje.
95 NEVLASTNÍ INTEGRÁL
Poznámka Konvergentní nevlastní integrály mají tytéž základní vlastnosti jako vlastní integrály. Platí
pro ně věta o linearitě, věta o monotonii a věta o aditivitě.
S Riemannovým (určitým) integrálem, tj. integrálem, jehož integrační obor i integrand
jsou omezené, v aplikacích nevystačíme. Řada fyzikálních, technických i matematických
problémů vyžaduje integrál, jehož integrand nebo integrační obor jsou
neomezené. Takové integrály nazýváme nevlastní a definujeme je jako limity určitých
integrálů s proměnnou mezí. Existuje-li příslušná vlastní limita, pak nevlastní integrál
konverguje, jinak diverguje.
1. Co rozumíme pojmem integrál jako funkce horní, resp. dolní meze?
2. Vysvětlete, které body nazýváme singulárními body integrace.
3. Jak jsou definovány nevlastní integrály?
4. Kdy mluvíme o nevlastním integrálu vlivem funkce?
5. Kdy mluvíme o nevlastním integrálu vlivem meze?
6. Jaký je geometrický význam nevlastních integrálů?
7. Vypočítejte nevlastní integrály.
a) ∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)4
∞
2 [konverguje;
1
3
]
b) ∫
1
𝑥√ 𝑥
𝑑𝑥
∞
2
[konverguje; √2]
c) ∫
𝑑𝑥
√𝑥3
4
0
[diverguje; +∞]
d) ∫
2
𝑥−1
𝑑𝑥
5
1
[diverguje; +∞]
e) ∫
2
𝑥−1
𝑑𝑥
5
1
[konverguje; e]
8. Vyšetřete konvergenci nevlastního integrálu.
a) ∫
1
(𝑥−2)3
𝑑𝑥
4
1
[diverguje]
b) ∫
1
2−𝑥
𝑑𝑥
4
−1
[diverguje]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 96
9. Vypočítejte obsah 𝑃 části roviny ležící v I. kvadrantu ohraničené křivkou
𝑦 = 𝑒−𝑥 a přímkou 𝑦 = 0.
[P=1(𝑗2
)]
10. Vypočítejte obsah 𝑃 části roviny ohraničené čarami.
a) 𝑥 = 1, 𝑦 =
1
𝑥3 osou 𝑥. [P=
1
2
(𝑗2
)]
b) 𝑦 = 𝑒−
𝑥
3 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 [P=3(𝑗2
)]
c) 𝑥 = 1, 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑦 = 0 [Obrazec nemá konečný obsah]
d) 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 =
1
√1−𝑥2
, 𝑦 = 0 [P=
𝜋
2
(𝑗2
)]
Základní literatura:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. 382 stran. ISBN 17-536-80 (skripta)
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. 459 stran. ISBN 80-7200-587-1
[3] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT, 2002. 242 stran. ISBN 80-214-9092-8
(skripta)
Kapitola 7
Diferenciální počet funkce
více proměnných
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat dvojrozměrný a trojrozměrný prostor a uvést jeho geometrickou in-
terpretaci
 načrtnout okolí a redukované okolí bodu v rovině
 definovat funkci dvou proměnných
 určovat definiční obory, případně obory hodnot a grafy
 chápat dvojnou a dvojnásobnou limitu funkce
 určovat limity
Klíčová slova:
Dvojrozměrný a trojrozměrný prostor, okolí bodu v rovině, dvojná limita, dvojnásobná
limita, spojitost funkce.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 98
Základní pojmy
V diferenciálním počtu funkce jedné proměnné byla základní množinou množina všech reálných
čísel, tzn. jednorozměrný euklidovský prostor, jehož geometrickou interpretací byla množina R1
všech bodů reálné přímky.
Pro funkce více proměnných je třeba zavézt další základní množiny, a to především dvojrozměrný
euklidovský prostor R2, jehož geometrickou interpretací je rovina a trojrozměrný euklidovský prostor
R3, jehož geometrickou interpretací je prostor.
Množinu všech uspořádaných dvojic  ,x y reálných čísel x a y nazveme rovinou, označíme ji 2
R
(dvojrozměrný euklidovský prostor). Každou uspořádanou dvojici  ,x y nazveme bodem v rovině,
čísla x a y jsou souřadnice tohoto bodu. Dva body  ,x y a  ,  považujeme za stejné (totožné),
právě když je x  , y  a píšeme    , ,x y   .
Vzdálenost dvou bodů 𝐴 = [𝑥1, 𝑥2] a 𝐵 = [𝑦1, 𝑦2] budeme měřit euklidovsky, tj. při označení vzdálenosti
 ,A B bude      
2 2
1 1 2 2,A B y x y x    
Rovina 𝑅2
= {[𝑥, 𝑦]; 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅}; 𝑅2
= 𝑅 × 𝑅
Podobně: Množinu všech uspořádaných trojic  , ,x y z reálných čísel x , y a z nazveme prostorem,
označíme jej 3
R (trojrozměrný euklidovský prostor). Každou uspořádanou trojici  , ,x y z nazveme
bodem v prostoru, čísla x , y a z jsou souřadnice tohoto bodu.    , , , ,x y z     x  , y 
, z  . Vzdálenost bodů  1 2 3, ,A x x x a  1 2 3, ,B y y y je dána vztahem
       
2 2 2
1 1 2 2 3 3,A B y x y x y x        
3
2
1
i i
i
y x

 
Prostor 𝑅3
= {[𝑥, 𝑦, 𝑧]; 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑧 ∈ 𝑅}; 𝑅3
= 𝑅 × 𝑅 × 𝑅
Definice 7.1 Buď  kladné číslo. 𝜹-ovým okolím bodu  0 0 0,X x y rozumíme množinu všech bodů
 ,X x y , pro jejich souřadnice platí    
2 2
0 0x x y y   <  .
 0XU =  0 0,x yU =   2
0: ,X R X X   𝛿- okolí bodu X0
 0X

U =  0 0,x y

U =   2
0:0 ,X R X X    redukované 𝛿 -okolí bodu X0.
99 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Grafické znázornění:
Obrázek 7.1 Grafické znázornění 𝑈𝛿(𝑋0)
Okolí 𝑈 𝛿(𝑋0) je vnitřek kruhu (otevřený kruh) se středem v bodě 0X a poloměrem  . Jak se liší
𝑈 𝛿(𝑋0) a𝑈 𝛿
∗(𝑋0)? – Vyjmeme-li z  0XU bod 0X , obdržíme𝑈 𝛿
∗(𝑋0).
Pojem funkce dvou proměnných
Definice 7.2 Reálná funkce dvou reálných proměnných je zobrazení množiny 2
D R do množiny
R (jinak zobrazení z 2
R do R ). (Dále jen funkce dvou proměnných.)
Podrobněji
Buď D libovolná množina bodů v 2
R (tj. v rovině). Nechť ke každému bodu  ,x y D je přiřazeno
jediné číslo z  R. Pak říkáme, že na D je definována funkce dvou proměnných x a y a píšeme
 ,z f x y , kde ,x y jsou nezávislé proměnné, z je závisle proměnná.
Množina D se nazývá definiční obor funkce f značíme  D f , množina všech hodnot z se nazývá
obor funkčních hodnot funkce f , značíme  H f .
Příklad
1.   2
2
,
sin 1
y
f x y
x


2. 𝑧 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 − 𝑥2
𝑒 𝑦
MATEMATICKÁ ANALÝZA 100
3. ObjemV rotačního válce o výšce v a poloměru r je 2
V r v . Tedy V je funkcí r a v ;
tedy  , , 0, 0V V r v r v   ;     2
, ; 0, 0D V r v R r v    .
Poznámka Stejně jako funkce jedné proměnné je funkce dvou proměnných určena svým přepisem
a definičním oborem.
Je-li funkce určena pouze rovnicí  ,z f x y , je nutné najít její definiční obor – tj. množinu všech
těch bodů, pro které má výraz  ,f x y smysl. Definičním oborem, na rozdíl od funkce jedné proměnné,
jsou velmi různorodé množiny např. vnitřek paraboly, mezikruží, I. kvadrant apod.
Obrázek 7.2 Příklady definičních oborů
Definice 7.3 Grafem funkce 𝑓 (též plochou o rovnici 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)) nazýváme množinu všech
bodů[𝑥, 𝑦, 𝑓 (𝑥, 𝑦)⏞
𝑧
] ∈ 𝑅3
, kde[𝑥, 𝑦] ∈ 𝐷(𝑓), reálného prostoru 𝑅3
. Značíme jej  G f .
Tedy           3
, , ; , , ,G f x y z R x y D f z f x y    .
101 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Příklad Určete    ,D f H f a graf funkce   2 2
, 4f x y x y   .
Řešení 𝐷(𝑓): 4 − 𝑥2
− 𝑦2
≥ 0 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4
𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
, 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4}. Definičním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic a
poloměrem 2 v rovině 𝑅2
.
Graf: 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 2
4 x y   /umocníme
2 2 2
4z x y  
2 2 2
4x y z   je rovnice kulové plochy se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2
Grafem 𝐺(𝑓) je horní polovina kulové plochy se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2 v prostoru
𝑅3
.
Obor hodnot 𝐻(𝑓) je uzavřený interval 〈0, 2〉 na ose z.
Obrázek 7.4 𝐷(𝑓) a 𝐺(𝑓) funkce 𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2
Uvědom si !    2
,D f R H f R  ,   3
G f R .
Geometrickým modelem grafu je často souvislá plocha v prostoru, může to být i křivka. Kolmý průmět
geometrického modelu  G f do roviny  xy je geometrický model  D f . Každá rovnoběžka
s osou z protne  G f nejvýše v jednom bodě.
Geometrický model grafu můžeme vyšetřovat pomocí jeho řezů rovinami rovnoběžnými s rovinami
souřadnic. Pravoúhlý průmět řezu rovinou rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou  xy do roviny
 xy nazýváme vrstevnice.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 102
Poznámka
Pojmy jako jsou omezenost, maximum a minimum se definují právě tak, jako pro funkci jedné proměnné.
Operace s funkcemi více proměnných se provádí právě tak, jako tomu bylo v případě funkcí
jedné proměnné. Lze tvořit i funkce složené.
Limita
Definice 7.4 Buď f funkce definovaná na množině D a buď  0 0,x y hromadný bod D . Funkce
f má v bodě  0 0,x y limitu L , píšeme
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L

 nebo  
0
0
lim ,
x x
y y
f x y L


 , jestliže ke každému
0  existuje 𝑈 𝛿
∗(𝑥0, 𝑦0) tak, že nerovnost  ,f x y L   platí pro všechny body
[𝑥, 𝑦] ∈ 𝐷 ∩ 𝑈 𝛿
∗(𝑥0, 𝑦0).
Stručný zápis limity:
lim𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 ⟺ ∀𝜀 > 0∃ 𝑈 𝜎
∗(𝑥0, 𝑦0): ∀[𝑥, 𝑦] ∈ 𝐷 ∩ 𝑈 𝜎
∗(𝑥0, 𝑦0) ⇒ |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀
Poznámka Bod je hromadným bodem množiny , když v každém jeho -okolí leží
aspoň jeden bod množiny různý od bodu . Samotný bod do množiny může,
ale nemusí patřit.
Vlastnosti limity
Pro limity funkcí dvou proměnných platí analogické věty jak pro limitu funkcí jedné proměnné.
Zejména platí:
1. Má-li funkce v bodě limitu, pak je jediná.
2. Platí věty o limitě, součtu, součinu a podílu dvou funkcí, za předpokladu, že v daném bodě
existuje limita každé funkce a v případě podílu je limita funkce ve jmenovateli různá od nuly.
3. Někdy se hovoří o limitě funkce v bodě jako o dvojné limitě.
  2
0 0,x y R D 
D  0 0,x y  0 0,x y D
f  0 0,x y
 ,z f x y  0 0,x y
103 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Stejně jako u funkce jedné proměnné i limita funkce dvou proměnných vypovídá, jak se chová funkce
v redukovaném okolí bodu. Je zde však složitější situace. U funkce jedné proměnné, jsme se z bodu
v okolí mohli blížit k bodu, v němž jsme limitu určovali, pouze po přímce. U funkce dvou proměnných
máme nekonečně mnoho možností, jak se z bodu
[𝑥, 𝑦] ∈ ⋃ (𝑥0, 𝑦0)∗
𝛿 blížit k bodu .
Můžeme se blížit například
1. po přímkách 2. po parabolách 3. zcela libovolně
Obrázek 7.5
Nechť 𝑃 = [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈 𝛿
∗(𝑃0), kde je bod, v němž určujeme limitu funkce .
Probíhá-li limitní proces tak, že souřadnice bodu jsou vázány rovnicí , pak
vypočteme po dosazení za jako limitu funkce jedné proměnné pro
. Rovnice vyjadřuje zpravidla jednoparametrický systém křivek, jež je možno prokládat
body a . Je-li vypočtená hodnota závislá na parametru systému křivek,
pak limita v bodě neexistuje. Není-li závislá na parametru, pak limita může existovat.
Je-li tato hodnota pro různé cesty stejná, pak lze pouze říci, že limita může (ale nemusí)
existovat. Najdeme-li jen dvě různé cesty vedoucí k různým hodnotám , pak limita
neexistuje.
Příklad Vyšetřete existenci limity funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦−3
𝑥+𝑦−5
v bodě [2, 3].
Řešení
Po dosazení za 𝑥 a 𝑦 obdržíme
lim
𝑥→2
𝑦→3
𝑦 − 3
𝑥 + 𝑦 − 5
= (
0
0
).
 0 0,x y
 0 0 0,P x y f
P ( )y x
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

( )x y
0x x ( )y x
P 0P
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

0P
( )y x
   
 
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y

MATEMATICKÁ ANALÝZA 104
Budeme se k bodu [2, 3] blížit po přímkách. Přímky budou mít rovnici
𝑦 − 3 = 𝑘(𝑥 − 2)
𝑦 = 𝑘𝑥 − 2𝑘 + 3
lim
𝑥→2
𝑦→3
𝑦=𝑘𝑥−2𝑘+3
𝑦 − 3
𝑥 + 𝑦 − 5
= lim
𝑥→2
𝑘𝑥 − 2𝑘 + 3 − 3
𝑥 + 𝑘𝑥 − 2𝑘 + 3 − 5
= lim
𝑥→2
𝑘(𝑥 − 2)
𝑥(1 + 𝑘) − 2(𝑘 + 1)
=
= lim
𝑥→2
𝑘(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(1 + 𝑘)
= lim
𝑥→2
𝑘
1 + 𝑘
=
𝑘
1 + 𝑘
; 𝑘 ≠ −1
Vypočítaná hodnota závisí na k, proto daná limita neexistuje.
Dvojnásobná limita
Někdy se tato limita nazývá také postupná nebo opakovaná limita.
Bod 𝑃 ∈ 𝑈 𝛿
∗(𝑃0) se může přibližovat k bodu dvojím způsobem po pravoúhlé cestě, tj.
po přímkách rovnoběžných s osami.
V případě dvojnásobné limity se bod 𝑃 ∈ 𝑈 𝛿
∗(𝑃0) přibližuje k bodu 𝑃0 po pravoúhlých cestách, tj. po
přímkách rovnoběžných s osami 𝑥 a 𝑦. A to je možné dvojím způsobem, viz obr. 7.6
Obr. 7.6 Bod 𝑃 se blíží k bodu 𝑃0 po pravoúhlých cestách
Pak můžeme spočítat dvojnásobnou limitu funkce postupným limitním přechodem vždy funkce
jedné proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme za konstantu.
 0 0 0,P x y
f
105 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Zápis:
Věta 7.1 Nechť lim𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 E existují-li dvojnásobné limity 𝐿1 a 𝐿2, pak platí 𝐿 = 𝐿1 = 𝐿2.
Rovnost obou postupných limit je nutnou, nikoliv však postačující podmínkou pro existenci dvojné
limity.
Tzn., že je-li , pak může existovat, je-li , pak neexistuje.
Příklad Vyšetřete existenci limity.
a) lim𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
b) lim𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑥2 𝑦2
𝑥2 𝑦2+(𝑥−𝑦)2
Řešení
a) Užijeme dvojnásobnou limitu.
lim
𝑥→0
[lim
𝑦→0
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
] = lim
𝑥→0
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
1 = 1 = 𝐿1
lim
𝑦→0
[lim
𝑥→0
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
] = lim
𝑦→0
(−
𝑦
𝑦
) = lim
𝑦→0
(−1) = −1 = 𝐿2
Protože 𝐿1 ≠ 𝐿2 lim𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
neexistuje.
b) Opět spočteme dvojnásobnou limitu.
lim
x→0
[lim
y→0
x2
y2
x2y2 + (x − y)2
] = lim
x→0
0
x2
= lim
x→0
0 = 0 = L1
lim
𝑦→0
[lim
x→0
x2
y2
x2y2 + (x − y)2
] = lim
𝑦→0
0
𝑦2
= lim
𝑦→0
0 = 0 = 𝐿2
Limita může existovat, protože 𝐿1 = 𝐿2. Zkusíme se blížit k bodu [0, 0] po přímkách 𝑦 = 𝑘𝑥.
lim
x→0
y→0
y=kx
x2
y2
x2y2 + (x − y)2
= lim
x→0
k2
x4
k2x4 + (x − kx)2
= lim
x→0
k2
x4
x2[k2x2 + (1 − k)2]
= lim
x→0
k2
x4
k2x2 + (1 − k)2
=
0
(1 − k)2
; k ≠ 1
   
0 0 0 0
1 2lim lim , , lim lim ,
x x y y y y x x
f x y L f x y L
   
    
      
1 2L L L 1 2L L L
MATEMATICKÁ ANALÝZA 106
Ale je-li k = 1, pak rovnice přímky je 𝑦 = 𝑥 a lim
y→0
𝑥4
𝑥4+(𝑥−𝑥)2
= lim
y→0
1 = 1.
Vypočítaná hodnota dvojné limity je pro k = 1 různá od 0 i od L1 a L2, tedy
lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥2 𝑦2
𝑥2 𝑦2+(𝑥−𝑦)2
neexistuje.
Výpočet limit funkce dvou proměnných je složitější než výpočet limity funkce jedné proměnné. Proto
nejdříve zjišťujeme, zda limita může existovat. Tedy pomocí dvojnásobné limity a blížení se po různých
cestách vyloučíme případy, kdy limita neexistuje. Pokud nevyloučíme existenci limity, snažíme
se ji vypočítat.
Výpočet limity
Výpočet limity funkce více proměnných je často obtížnější než výpočet limity funkce jedné proměnné.
Navíc k počítání neurčitých výrazů (
0
0
) nebo (
∞
∞
) nemáme k dispozici žádnou analogii l’Hospitalova
pravidla. Pří výpočtu používáme různé úpravy předpisu funkce, obdobně jako pří výpočtu
limit funkce jedné proměnné - užíváme vzorce, rozkládáme, rozšiřujeme atd. a nově počítáme limity
zavedením polárních souřadnic. Užíváme také obdobu vzorců základních limit funkce jedné pro-
měnné
Postup při výpočtu limity 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙 𝟎
𝒚→𝒚 𝟎
𝒇(𝒙, 𝒚):
 Přímým dosazením, je-li spojitá v bodě .
 Úpravou:
a. Jde-li o racionální lomenou funkci – rozložíme, krátíme apod.
b. Jde-li o lomené funkce obsahující rozdíl eventuálně součet s odmocninami – rozšíříme vhodným
výrazem, krátíme atd.
 Převedeme dvojnou limitu na limitu funkce jedné proměnné užitím polárních souřadnic:
Je-li , pak užijeme rovnice ; když
.
Pokud , pak mají rovnice tvar ; když
.
f  0 0,x y
   0 0, 0,0x y  cos , sinx y    
0, 0, pak 0x y   
   0 0, 0,0x y  0 0cos , sinx x y y      
0 0a , pakx x y y  0 
107 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
 Užitím základních limit:
, jestliže
Příklad Vypočtěte limity
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑦→3
(2𝑥2
− 3𝑦 + 5) d) lim
𝑥→0
𝑦→0
sin(6𝑥2+6𝑦2)
2(𝑥2+𝑦2)
𝑏) lim
𝑥→2
𝑦→2
𝑥3−𝑦3
𝑥4−𝑦4 e) lim
𝑥→0
𝑦→0
5𝑥2−3𝑦3
𝑥+2𝑦
𝑐) lim
𝑥→0
𝑦→0
3(𝑥2
+𝑦2)
√𝑥2+𝑦2 + 4 − 2
Řešení
𝑎) lim
𝑥→−2
𝑦→3
(2𝑥2
− 3𝑦 + 5) = 2(−2)2
− 3 . 3 + 5 = 4
V tomto případě šlo přímo dosadit a limita je rovna funkční hodnotě v bodě [−2,3], což svědčí o
tom, že daná funkce je v tomto bodě spojitá.
𝑏) lim
𝑥→2
𝑦→2
𝑥3
− 𝑦3
𝑥4 − 𝑦4
= (
0
0
) = lim
𝑥→2
𝑦→2
(𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2)
(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
= lim
𝑥→2
𝑦→2
𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦)
=
12
32
=
3
8
𝑐) lim
𝑥→0
𝑦→0
3(𝑥2
+𝑦2)
√𝑥2+𝑦2 + 4 − 2
= (
0
0
) = lim
𝑥→0
𝑦→0
3(𝑥2
+𝑦2)(√𝑥2+𝑦2 + 4 + 2)
𝑥2+𝑦2 + 4 − 4
= 3lim
𝑥→0
𝑦→0
(√𝑥2+𝑦2 + 4 + 2)
= 3 . 4 = 12
    
0
0
1
,lim 1 , g x y
x x
y y
g x y e


 
 
 0
0
sin ,
lim 1
,x x
y y
g x y
g x y


 
 0
0
,
lim 1
,x x
y y
tg g x y
g x y

  
0
0
lim , 0
x x
y y
g x y



MATEMATICKÁ ANALÝZA 108
d) lim
𝑥→0
𝑦→0
sin(6𝑥2
+ 6𝑦2)
2(𝑥2 + 𝑦2)
= (
0
0
) = lim
𝑥→0
𝑦→0
3 . sin(6𝑥2
+ 6𝑦2)
6𝑥2 + 6𝑦2
= 3 . 1 = 3
e) lim
𝑥→0
𝑦→0
5𝑥2
− 3𝑦3
𝑥 + 2𝑦
= (
0
0
) = lim
𝜌→0
5𝜌2
𝑐𝑜𝑠2
𝜑 − 3𝜌2
𝑠𝑖𝑛2
𝜑
𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 2𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑
= lim
𝜌→0
𝜌2(5𝑐𝑜𝑠2
𝜑 − 3𝑠𝑖𝑛2
𝜑)
𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 2𝑠𝑖𝑛𝜑)
=
= lim
𝜌→0
[𝜌 . 𝑘 (𝜑)] = 0 . 𝑘(𝜑) = 0
Výraz
5𝑐𝑜𝑠2 𝜑−3𝑠𝑖𝑛2 𝜑
𝑐𝑜𝑠𝜑+2𝑠𝑖𝑛𝜑
je vzhledem k 𝜌 konstanta závislá jen na 𝜑, oznnačili jsme ji 𝑘(𝜑).
Spojitost funkce dvou proměnných
Definice 7.5 Nechť bod [𝑥0, 𝑦0] ∈ 𝐷(𝑓) a je hromadným bodem 𝐷(𝑓). Říkáme, že funkce je spojitá
v bodě , je-li .
Řekneme, že funkce je spojitá na množině , je-li spojitá v každém bodě množiny .
Množinu všech bodů, v nichž je funkce spojitá, nazveme oborem spojitosti funkce 𝑓.
Poznámka Na rozdíl od limity – bod musí patřit do .
V izolovaném bodě 𝐷(𝑓) je funkce spojitá.
Platí analogické věty jako pro spojitost funkce jedné proměnné:
1. Věty o operacích se spojitými funkcemi: součet, rozdíl, součin, podíl (v případě, že je definován)
spojitých funkcí a absolutní hodnota spojité funkce je opět funkce spojitá.
2. Funkce složená ze spojitých funkcí je spojitá.
3. Elementární funkce v jsou spojité ve všech bodech svého .
4. Je-li spojitá v bodě, potom je v dostatečně malém okolí tohoto bodu omezená.
5. Funkce spojitá na kompaktní (tj. na uzavřené a omezené) množině
a) je na této množině omezená,
b) má v ní nejmenší a největší hodnotu (nabývá na ní svého globálního maxima a globálního
minima),
f
 0 0,x y    
0
0
0 0lim , ,
x x
y y
f x y f x y



f M M
 0 0,x y  D f
2
R  D f
f
109 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
c) je-li navíc tato množina souvislá, nabývá funkce každé hodnoty mezi a
pro libovolné dva body a z této množiny.
Poznámka U elementárních funkcí se shoduje s oborem spojitosti.
Příklad Vyšetřete spojitost funkce.
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥 + 𝑦
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
3𝑥 + 𝑦
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2 − 𝑦2
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2 + 𝑦2 − 4
Řešení
Všechny funkce jsou elementární, jsou tedy spojité na svém definičním oboru. Budeme tedy určovat
jejich 𝐷(𝑓).
a) 𝐷(𝑓): 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑦 ≠ −𝑥
Obor spojitosti je rovina 𝑅2
, z níž je vyňata přímka o rovnici 𝑦 = −𝑥, jejíž všechny body jsou
body nespojitosti.
Obor spojitosti: 𝑅2
∖ {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑦 = −𝑥}.
b) 𝐷(𝑓): (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 + 3)2
≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 2 ⋀ 𝑦 ≠ −3
Obor spojitosti je rovina 𝑅2
, z níž je vyňat bod [2, −3], který je jediným bodem nespojitosti.
Obor spojitosti: 𝑅2
∖ {2, −3}.
c) 𝐷(𝑓): 𝑥2
− 𝑦2
≠ 0 ⇒ 𝑦 ≠ ±𝑥
Body nespojitosti jsou všechny body přímky 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = −𝑥.
Obor spojitosti je rovina 𝑅2
s výjimkou přímek 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = −𝑥,
tj. 𝑅2
∖ {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑦 = 𝑥 ⋁ 𝑦 = −𝑥}.
d) 𝐷(𝑓): 𝑥2
+ 𝑦2
− 4 ≠ 0 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
≠ 4
 f A  f B
A B
 D f
MATEMATICKÁ ANALÝZA 110
Všechny body kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem 2 jsou body ne-
spojitosti.
Obor spojitosti je rovina 𝑅2
s výjimkou všech bodů kružnice, které má střed v počátku soustavy
souřadnic a poloměr 2.
Obor spojitosti: 𝑅2
∖ {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥2
+ 𝑦2
= 4}
S funkcemi se setkáváme v technických, přírodních, ekonomických a jiných vědách,
ba i v běžném životě. Je to všude tam, kde se zkoumají hodnoty dvou a více veličin,
které se obecně mění a jsou za daných podmínek vázány jistým vztahem. V praxi bývá
častější závislost jedné veličiny na větším počtu jiných veličin, což vede k pojmu
funkce více proměnných.
I když ve většině uvedených definic a vět shledáváme jistou analogii s definicemi a
větami platnými pro funkci jedné proměnné, některé problémy jsou nové a definice
a věty je nutné pro případ funkcí více proměnných znovu řádně formulovat.
Pří výkladu teorie funkce více proměnných jsme se soustředili především na funkci
dvou a tří proměnných. Důvodem je větší názornost a možnost vizualizace, což jistě
přispěje k lepšímu pochopení studované problematiky. Zobecněním úvah na větší počet
nezávisle proměnných je pak snadné a je více méně formální.
1. Vysvětlete pojem funkce dvou a více proměnných.
2. Graficky znázorněte okolí bodu [𝑥0, 𝑦0].
3. Načrtněte možný definiční obor funkce dvou proměnných.
4. Co může být grafem funkce dvou proměnných?
5. Jaký je rozdíl mezi dvojnásobnou a dvojnou limitou?
6. Kdy je funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) spojitá v bodě [𝑥0, 𝑦0]?
7. Formulujte některé vlastnosti spojité funkce.
8. Je dána funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑥2
− 𝑦2
+ 2𝑥𝑦.
Určete 𝑓(1, 1); 𝑓(1, 0); 𝑓 (𝑎,
1
𝑎
) , 𝑓(𝑎, −𝑎).
[𝑒 + 2, 2, 𝑒 + 𝑎2
−
1
𝑎2
+ 2, 𝑒−𝑎2
− 2𝑎2
]
9. Je dána funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥−𝑦
. Ukažte, že pro každý bod [𝑎, 𝑏] z 𝐷(𝑓) platí rovnost
𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓(𝑏, 𝑎) = 1.
111 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
10. Určete 𝐷(𝑓), 𝐻(𝑓)𝑎 𝐺(𝑓) funkce 𝑧 = 4 − 2𝑥 − 8𝑦.
[𝐷(𝑓) = 𝑅2
; 𝐻(𝑓) = 𝑅; 𝐺(𝑓)𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑎]
11. Určete definiční obor a obor hodnot funkce.
a) 𝑧 = √ 𝑥𝑦
[
𝐷(𝑓) , 𝐻(𝑓) = ⟨0, ∞)
]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (√𝑥2 + 𝑦2 − 4)
−1
[
𝐷(𝑓) , 𝐻(𝑓) = (𝑂, ∞)
]
12. Určete definiční obor funkce.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsin 𝑦 + 𝑙𝑛(4 − 𝑥2
− 𝑦2)
[
𝐷(𝑓)
]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 112
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √
2𝑥−𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2−4𝑥
[
𝐷𝑓
]
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2
√ 𝑥𝑦
[
𝐷(𝑓)
]
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + √ 𝑦
[
𝐷(𝑓)
]
113 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 + √𝑦2 − 1
[
𝐷(𝑓)
]
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
ln(𝑥𝑦)
√2−𝑥2−𝑦2
[
𝐷(𝑓)
]
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√𝑥−𝑦2
√2−𝑥
[
𝐷(𝑓)
]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 114
h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑙𝑛
𝑥2
1−𝑦2
[
𝐷(𝑓)
]
𝑐ℎ) 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
𝑥2
1−𝑦2
[
𝐷(𝑓)
]
i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥2
+ 𝑦2
− 9)
[
𝐷(𝑓)
]
115 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
13. Pomocí dvojnásobné limity dokažte neexistenci limity.
𝑎) lim
𝑥→0
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
[𝐿1 = 1, 𝐿2 = −1, 𝐿 𝑛𝑒𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑢𝑗𝑒 ]
𝑏) lim𝑥→∞
𝑦→∞
𝑠𝑖𝑛
𝜋𝑥
2𝑥+𝑦
[𝐿1 = 0, 𝐿2 = 1, 𝐿 𝑛𝑒𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑢𝑗𝑒 ]
𝑐)lim
𝑥→0
𝑦→0
3𝑥2 𝑦2
4𝑥2 𝑦2+5(𝑦−𝑥)2
[𝐿1 = 𝐿2 = 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖 𝑛𝑒𝑙𝑧𝑒 𝑣𝑦𝑙𝑜𝑢č𝑖𝑡]
14. Vypočtěte limity
𝑎) lim
𝑥→0
𝑦→0
2−√4−𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
[
1
4
]
𝑏) lim
𝑥→4
𝑦→0
𝑡𝑔√(𝑥−4)2−𝑦2
𝑥2√(𝑥−4)2−𝑦2
[
1
16
]
𝑐) lim
𝑥→2
𝑦→3
sin(3𝑥−2𝑦)
12𝑥−8𝑦
[
1
4
]
𝑑) lim
𝑥→3
𝑦→0
tg (𝑥𝑦)
𝑦
[3]
15. Určete obory spojitosti dané funkce a napište na jaké křivce leží její body nespo-
jitosti.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦−1
[
R2
∖ {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑦 = −𝑥 + 1};
křivka je parabola. ]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 116
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑒 𝑦
9−𝑥2−𝑦2
[
𝑅2
∖ {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥2
+ 𝑦2
= 9};
křivka je kružnice. ]
c)𝑓(𝑥, 𝑦) =
4𝑥2−3𝑦
5[(𝑥+1)2+(𝑦−4)2]
[R2
∖ {−1, 4}; jediný bod nespojitosti [−1, 4]]
d)𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 − 𝑦)
[
obor spojitosti množina bodů nespojitosti
]
Obor spojitosti je polorovina v 𝑅2
vyťatá přímkou 𝑦 = 𝑥 obsahující bod [1, 0], bez hraniční přímky.
Body nespojitosti vyplňují polorovinu vyťatou přímkou 𝑦 = 𝑥 obsahující bod [−1, 0], včetně hraniční
přímky.
117 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Základní literatura:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. 382 stran. ISBN 17-536-80 (skripta)
[2] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, 1986. 580 stran. ISBN
04-017-86
[3] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. 459 stran. ISBN 80-7200-587-1
[4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997. 373
stran. ISBN 80-86119-01-7
[5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT, 2002. 242 stran. ISBN 80-214-9092-8
(skripta)
[6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. 134 stran. ISBN 80-244-
1005-2 (skripta).
Kapitola 8
Parciální derivace a totální
diferenciál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat parciální derivace funkce
 vysvětlit pojem parciálních derivací vyšších řádů
 uvést geometrickou interpretaci parciálních derivací 1. řádu
 počítat parciální derivace
 objasnit pojem totálního diferenciálu
 uvést geometrickou interpretaci totálního diferenciálu
 určovat totální diferenciály
 určovat přibližně hodnoty výrazů
 napsat rovnici tečné roviny a normály
Klíčová slova:
Parciální derivace, parciální derivace vyšších řádů, smíšené parciální derivace, totální
diferenciál, tečná rovina, normála.
119 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Parciální derivace
Definice 8.1 Buď vnitřní bod definičního oboru funkce 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦). Dosaďme do
funkce za pevnou hodnotu , tím dostaneme funkci jedné proměnné a to
. Má-li funkce derivaci v bodě , to znamená, že existuje limita
říkáme, že funkce má v bodě parciální derivaci
podle proměnné a označíme ji , resp. .
Podobně se může stát, že funkce (tj. funkce proměnné ) má derivaci v bodě , tj. že
existuje limita . Tuto limitu nazýváme parciální derivací funkce 𝒇 podle
proměnné v bodě a označíme ji resp. .
Geometrický význam parciálních derivací
Obrázek 8.1
 0 0,x y  D f
 ,f x y y 0y
   0,g x f x y g 0x
       
0 0
0 0 0 0
0 0
, ,
lim lim
x x x x
g x g x f x y f x y
x x x x 
 

 
f  0 0,x y
x  0 0,
f
x y
x


 0 0,xf x y
 0 ,f x y y 0y
   
0
0 0 0
0
, ,
lim
y y
f x y f x y
y y


y  0 0,x y  0 0,
f
x y
y


 0 0,yf x y
MATEMATICKÁ ANALÝZA 120
- je směrnice tečny v bodě [𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)] ke křivce na ploše , přičemž
křivka je řezem roviny a plochy .
Podobně .
Úhly a hledáme tak, že najdeme úhel mezi příslušnou tečnou a kladným směrem příslušné osy.
Rozdíl oproti funkce jedné proměnné!
Existence parciálních derivací v bodě nezajistí spojitost funkce v tomto bodě. Srovnej s funkcí jedné
proměnné! Parciální derivace totiž popisují chování dané funkce pouze ve směrech souřadných os,
kdežto pojem spojitosti funkce se týká celého okolí daného bodu.
Parciální derivace na množině
Podobně jako u funkce jedné proměnné rozšiřujeme pojem parciální derivace v bodě na pojem parciální
derivace na množině.
Definice 8.2 Nechť funkce je definována na množině a nechť 𝑀 ≠ ∅ je množina
všech bodů , v nichž existuje (vlastní) parciální derivace 𝑓𝑥
′
(𝑥, 𝑦). Funkci definovanou
na množině předpisem 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥
′(𝑥, 𝑦) nazýváme parciální derivací funkce 𝒇 podle proměnné
na množině a značíme ji 𝑓𝑥
′
, resp. .
Obdobně definujeme funkci 𝑓𝑦
′
, resp. .
Poznámky
 Zřejmě .
 Počítáme-li parciální derivace funkce 𝑓 v libovolném bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝐷(𝑓), pak píšeme stručně
𝜕𝑓
𝜕𝑥
a
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, resp. 𝑓𝑥
′
a 𝑓𝑦
′
.
 Parciální derivace
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, resp.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
uvažovaná ve všech bodech , v nichž nabývá
vlastní hodnoty je funkcí dvou proměnných 𝑥 a 𝑦 s definičním oborem 𝐷(𝑓𝑥
′
) ⊂ 𝐷(𝑓), resp.
𝐷(𝑓𝑦
′
) ⊂ 𝐷(𝑓).
 Parciální derivace funkce na množině jsou funkce týchž nezávislé proměnných jako
funkce .
f
x


 0 0,x y tg  ,z f x y
0y y  ,z f x y
f
y


 0 0,x y tg
 
f   2
D f R
   ,x y D f g
M
x M
f
x


f
y


 M D f
   ,x y D f
f
f
121 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
 Funkce 𝑓𝑥
′
a 𝑓𝑦
′
nazýváme také parciální derivace 1. řádu, stručně 1. parciální derivace.
 Funkce dvou proměnných má dvě 1. parciální derivace, pokud existují.
 stejně jako je číslo , kdežto na množině stejně jako na
množině je funkce dvou proměnných.
Výpočet derivací
Parciální derivaci funkce v libovolném bodě podle určité proměnné vypočítáme tak, že funkci derivujeme
jen podle této proměnné, přičemž zbývající proměnnou považujeme za konstantu.
Při výpočtu užíváme týchž pravidel a vzorců jako při výpočtu derivace funkce jedné proměnné.
Při výpočtu parciální derivace v daném bodě obvykle nejprve stanovíme parciální derivaci v obecném
bodě a pak dosadíme za .
Definiční obor každé parciální derivace funkce je podmnožinou definičního oboru funkce , tedy
𝐷( 𝑓𝑥
′ ) ⊂ 𝐷(𝑓) 𝑎 𝐷( 𝑓𝑦
′
) ⊂ 𝐷(𝑓).
Příklad Vypočítejte parciální derivace funkce f v bodě A podle obou proměnných.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦; 𝐴 = [4,6]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
𝑦 + sin(𝑥𝑦2) ; 𝐴 = [1,0]
Řešení
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦; 𝐷(𝑓) = 𝑅2
𝑓𝑥
′
= 2𝑥𝑦; 𝑓𝑦
′ (𝐴) = 2.4.6 = 48 𝐷( 𝑓𝑥
′ ) = 𝐷( 𝑓𝑦
′
) = 𝑅2
𝑓𝑦
′
= 𝑥2
; 𝑓𝑦
′ (𝐴) = 42
= 16
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
𝑦 + sin(𝑥𝑦2
); 𝐷(𝑓) = 𝑅2
𝑓𝑥
′
= 6𝑥𝑦 + 𝑦2
cos(𝑥𝑦2); 𝐷( 𝑓𝑥
′ ) = 𝑅2
= 𝐷( 𝑓𝑦
′
)
𝑓𝑦
′
= 3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2
)
𝑓𝑥
′ (𝐴) = 6.1.0 + 02
cos(1. 02) = 0 + 0. 𝑐𝑜𝑠0 = 0
𝑓𝑦
′ (𝐴) = 3. 12
+ 2.1.0. cos(1. 02) = 3 + 0. 𝑐𝑜𝑠0 = 3
 0 0,
f
x y
x


 0 0,
f
x y
y


R
f
x


f
y


C
X C X
f f
MATEMATICKÁ ANALÝZA 122
Příklad Vypočítejte parciální derivace funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = √ 𝑥
4
𝑦2
+
𝑦3
3
a určete jejich definiční obory.
Řešení 𝑓(𝑥, 𝑦) = √ 𝑥
4
𝑦2
+
𝑦3
3
; 𝐷(𝑓) = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥 ≥ 0}
𝐷(𝑓)
𝑓𝑥
′
=
𝑦2
4√𝑥34 ; 𝐷( 𝑓𝑥
′ ) = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥 > 0}; 𝐷( 𝑓𝑥
′
) ⊂ 𝐷(𝑓)
𝐷(𝑓𝑥
′
)
𝑓𝑦
′
= 2√ 𝑥
4
𝑦 + 𝑦2
; 𝐷(𝑓𝑦
′
) = 𝐷( 𝑓)
Poznámka Derivováním se může definiční obor funkce zúžit.
Parciální derivace vyšších řádů
Parciální derivace 1. řádu, tj. 𝑓′ 𝑥 a 𝑓′ 𝑦, jsou funkce proměnných x a y. Tyto funkce můžeme opět
derivovat podle 𝑥 a 𝑦 a dostaneme tak parciální derivace 2. řádu, což jsou opět funkce proměnných
𝑥 a 𝑦. Pokud tyto funkce opět zderivujeme podle 𝑥 a 𝑦, obdržíme parciální derivace 3. řádu atd.
Obecně pak hovoříme o parciálních derivacích n-tého řádu.
123 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Parciální derivace 2. řádu funkce 𝑓:
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
= 𝑓′′ 𝑥𝑥,
𝜕3
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑓′′ 𝑥𝑦,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑓′′ 𝑥𝑦,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
= 𝑓′′ 𝑦𝑦
Funkce dvou proměnných má 4 parciální derivace 2. řádu.
Parciální derivace 3. řádu funkce :
, , , , , , ,
Obecně má funkce celkem parciálních derivací - tého řádu.
Poznámka Příslušnou parciální derivaci vyššího řádu dostaneme postupným derivováním podle
či podle v tom pořadí v jakém jsou uvedeny ve jmenovateli symbolického zápisu.
Parciální derivace, kde derivujeme podle obou proměnných, nazýváme smíšené parciální derivace,
Parciální derivace, kde derivujeme jen podle proměnné y nebo jen podle proměnné x, někdy nazýváme
ryzí parciální derivace.
U smíšených parciálních derivací obecně záleží na pořadí derivování. Kdy na pořadí nezáleží, uvádí
následující věta.
Věta 8.1 (O záměnnosti smíšených parciálních derivací.)
Má-li funkce spojité smíšené parciální derivace podle všech proměnných až do řádu , záleží
při výpočtu derivací řádu pouze na tom, kolikrát derivujeme podle té které proměnné a
nikoliv na tom, v jakém pořadí derivujeme podle jednotlivých proměnných.
Poznámka Má-li spojité parciální derivace 2. a 3. řádu, pak
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
=
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
;
Příklad Vypočítejte 1., 2. a 3. parciální derivace funkce 𝑓 a porovnejte smíšené parciální derivace.
funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
− 2𝑦2
+ 4𝑥2
𝑦2
− 6𝑥 + 2𝑦 − 3
f
3
3
f
x


3
2
f
x y

 
3
f
x y x

  
3
2
f
x y

 
3
2
f
y x

 
3
f
y x y

  
3
2
f
y x

 
3
3
f
y


 ,f x y 2n
n
x
y
 ,f x y n
 n
 ,f x y
3
2
f
x y

 
3
f
x y x


  
3
2
f
y x


 
3
2
f
y x

 
3
f
y x y

 
  
3
2
f
x y

 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 124
Řešení 𝐷(𝑓) = 𝑅2
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
+ 8𝑥𝑦2
− 6 𝑓′ 𝑦 = −4𝑦 + 8𝑥2
𝑦 + 2
𝑓′′ 𝑥𝑥 = 6𝑥 + 8𝑦2
𝑓′′ 𝑦𝑦 = −4 + 8𝑥2
𝑓′′ 𝑥𝑦 = 16𝑥𝑦 𝑓′′ 𝑦𝑥 = 16𝑥𝑦
𝑓′′′ 𝑥𝑥𝑥 = 6 𝑓′′′ 𝑦𝑦𝑦 = 0
𝑓′′′ 𝑥𝑥𝑦 = 16𝑦 𝑓′′ 𝑦𝑦𝑥 = 16𝑥
𝑓′′′ 𝑥𝑦𝑥 = 16𝑦 𝑓′′′ 𝑦𝑥𝑥 = 16𝑦
𝑓′′′ 𝑥𝑦𝑦 = 16𝑥 𝑓′′′ 𝑦𝑥𝑦 = 16𝑥
Definiční obor všech parciálních derivací funkce f je rovina R2 a všechny funkce jsou na R2 spojité.
Porovnáme smíšené parciální derivace.
𝑓′′ 𝑥𝑦 = 𝑓′′ 𝑦𝑥 = 16𝑥𝑦
𝑓′′′ 𝑥𝑥𝑦 = 𝑓′′′ 𝑥𝑦𝑥 = 𝑓′′′ 𝑦𝑥𝑥 = 16𝑦
𝑓′′′ 𝑥𝑦𝑦 = 𝑓′′′ 𝑦𝑦𝑥 = 𝑓′′′ 𝑦𝑥𝑦 = 16𝑥
Totální diferenciál
Definice 8.3 Nechť parciální derivace , funkce jsou definovány v bodě
a jeho okolí a nechť jsou v bodě spojité. Označme , přírůstky proměnných a .
Potom výraz nazýváme 1. totálním diferenciálem
funkce v bodě .
Poznámka Totální diferenciál je funkcí a , je tedy opět funkcí dvou proměnných. Má-li funkce
v bodě totální diferenciál, pak říkáme, že je diferencovatelná v bodě .
Jaký praktický význam má totální diferenciál říká následující věta.
f
x


f
y


 ,z f x y  0 0,x y
 0 0,x y dx dy x y
dz  0 0,df x y 
f
x


 0 0,x y dx
f
y



 0 0,x y dy
f  0 0,x y
dx dy
f  0 0,x y f  0 0,x y
125 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Věta 8.2 Nechť funkce má v bodě totální diferenciál. Označme přírůstek
funkční hodnoty funkce v bodě pro přírůstky nezávisle proměnných , , tedy
. Potom platí
Poznámka Na základě věty lze skutečný přírůstek funkční hodnoty přibližně nahradit diferenciálem.
Věta 8.3 Má-li funkce v bodě totální diferenciál, pak je v bodě spojitá.
Poznámka Srovnání s funkcí jedné proměnné: Tam stačila ke spojitosti funkce existence vlastní derivace.
U funkce dvou proměnných existence obou parciálních derivací ještě nezaručuje spojitost
funkce.
Poznámka Totální diferenciál funkce v libovolném bodě je výraz
.
Rozlišuj a !
Z obrázku lze vyčíst geometrický význam totálního diferenciálu: je přírůstek funkce
v bodě k tečné rovině ke grafu funkce v bodě , kdežto je
přírůstek funkce v bodě ke grafu funkce .
Výraz dává přírůstek funkce s jistou chybou.
 ,f x y  0 0,x y  0 0,f x y
f  0 0,x y ,dx dy x y
     0 0 0 0 0 0, , ,f x y f x dx y dy f x y    
   
   
0 0 0 0
2 20
0
, ,
lim 0
dx
dy
df x y f x y
dx dy


 


 ,f x y  0 0,x y  0 0,x y
 ,z f x y  ,x y
f f
dz dx dy
x y
 
 
 
 ,df x y  0 0,df x y
 0 0,df x y f
 0 0,x dx y dy   f  0 0,x y  0 0,f x y
f  0 0,x dx y dy  f
df f
MATEMATICKÁ ANALÝZA 126
Užití totálního diferenciálu
Podobně jako jsme nahrazovali u funkce jedné proměnné v prvním přiblížení přírůstek funkce diferenciálem
(geometricky – přírůstek funkce nahrazujeme přírůstkem k tečně), tak také u funkce dvou
proměnných nahrazujeme přírůstek funkce totálním diferenciálem (geometricky – přírůstek funkce
nahrazujeme přírůstkem k tečné rovině).
𝑓(𝑥0 + 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑑𝑦) ≐ f( 𝑥0, 𝑦0) + df( 𝑥0, 𝑦0)
Užití totálního diferenciálu
 k přibližným numerickým výpočtům
 k lokální aproximaci dané funkce lineární funkcí
 v teorii chyb
Tečná rovina a normála
U funkce jedné proměnné jsme určovali rovnici tečny a normály grafu funkce v daném
bodě.
Pro funkci dvou proměnných může určovat rovnici tečné roviny a normály plochy v daném
bodě.
Věta 8.5 Tečná rovina plochy v bodě , která není rovnoběžná s osou
existuje, právě když je funkce diferencovatelná v bodě .
Rovnice tečné roviny je dána vzorcem
,
resp. 𝑧 = 𝑧0 + 𝑧′
𝑥(𝑥0 𝑦0) (𝑥 − 𝑥0) + 𝑧′
𝑦(𝑥0 𝑦0) (𝑦 − 𝑦0)
Rovnice normály je dána vzorcem
, resp.
𝑥−𝑥0
𝑧′
𝑥(𝑥0 𝑦0)
=
𝑦−𝑦0
𝑧′
𝑦(𝑥0 𝑦0)
=
𝑧−𝑧0
−1
 y f x
 ,z f x y
  ,z f x y  0 0 0, ,T x y z z
f  0 0,x y

 
 
 
 0 0 0 0
0 0 0
, ,
:
f x y f x y
z z x x y y
x y

 
    
 
n
   
0 0 0
0 0 0 0
:
1, ,
x x y y z z
n
f f
x y x y
x y
  
 
  
 
127 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Příklad Vypočítejte totální diferenciál funkce 𝑧 =
𝑥2−𝑦2
𝑥𝑦
a) v libovolném bodě [x, y] pro libovolné přírůstky dx a dy,
b) v bodě [1, 1] pro libovolné přírůstky dx a dy,
c) v libovolném bodě [x, y] pro 𝑑𝑥 = 0,01 𝑎 𝑑𝑦 = −0,01,
d) v bodě [2, 2] pro 𝑑𝑥 = 0,03 𝑎 𝑑𝑦 = 0,01,
a)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
2𝑥2
𝑦 − (𝑥2
− 𝑦2)𝑦
(𝑥𝑦)2
=
𝑥2
𝑦 + 𝑦3
𝑥2 𝑦2
=
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥2 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
−2𝑥2
𝑦 − (𝑥2
− 𝑦2)𝑥
(𝑥𝑦)2
=
−𝑥3
− 𝑥𝑦2
𝑥2 𝑦2
= −
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦2
𝑑𝑧(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥2 𝑦
𝑑𝑥 −
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦2
𝑑𝑦 =
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦
(
1
𝑥
𝑑𝑥 −
1
𝑦
𝑑𝑦)
b)
dosadíme do dz 𝑥 = 1 𝑎 𝑦 = 1
𝑑𝑧(1,1) =
12
+ 12
1 ∙ 1
(
1
1
𝑑𝑥 −
1
1
𝑑𝑦) = 2 (𝑑𝑥 − 𝑑𝑦)
c)
dosadíme do dz 𝑑𝑥 = 0,01 𝑎 𝑑𝑦 = −0,01
𝑑𝑧(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦
(
1
𝑥
. 0,01 +
1
𝑦
. 0,01) = 0,01
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦
(
1
𝑥
+
1
𝑦
)
d)
dosadíme do dz 𝑥 = 2, 𝑦 = 2, 𝑑𝑥 = 0,03 𝑎 𝑑𝑦 = 0,01
𝑑𝑧(2,2) =
22
+ 22
2.2
(
1
2
. 0,03 −
1
2
. 0,01) =
8
4
∙
1
2
(0,03 − 0,01) = 0,02
Příklad Vypočítejte přibližně hodnotu výrazu 0,533
− 2 ∙ 1,152
.
Řešení Sestrojíme vhodnou funkci 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
− 2𝑦2
,
MATEMATICKÁ ANALÝZA 128
určíme bod [𝑥0, 𝑦0], v jehož blízkém okolí se nachází bod [𝑥0 + 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑑𝑦],
[𝑥0, 𝑦0] = [
1
2
, 1],
vypočteme 𝑑𝑥 = 0,53 − 0,5 = 0,03 a 𝑑𝑦 = 1,15 − 1 = 0,15.
Určíme diferenciál funkce 𝑓.
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
𝑑𝑥 − 4𝑦 𝑑𝑦
Využijeme vztahu 𝑓(𝑥0 + 𝑑𝑥, 𝑦0 + 𝑑𝑦) ≗ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑑𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Pro náš případ tedy bude
𝑓(0,53; 1,15) ≗ 𝑓 (
1
2
, 1) + 𝑑𝑓 (
1
2
, 1), kde 𝑑𝑥 = 0,03 a 𝑑𝑦 = 0,15.
𝑓 (
1
2
, 1) = (
1
2
)
3
− 2.1 = −
15
8
= −1,875
𝑑𝑓 (
1
2
, 1) = 3 (
1
2
)
2
. 0,03 − 4.1.0,15 =
0,09
4
− 0,60 = 0,0225 − 0,60 = −0,5775
𝑓(0,53; 1,15) ≗ −1,875 − 0,5775 = −2,4525
Výsledek: 0,533
− 2. 1,152
≗ −2,4525
Příklad Napište rovnici tečné roviny 𝜏 a normály n plochy 𝑧 = 4𝑥3
− 5𝑥𝑦 v bodě 𝑇 = [1, −1, ? ].
Řešení
Určíme 𝑧(𝑇) = 4.13
− 5.1. (−1) = 4 + 5 = 9; 𝑇 = [1, −1, 9]
𝑧′ 𝑥 = 12𝑥2
− 5𝑦 𝑧′ 𝑥(𝑇) = 12.12
− 5(−1) = 12 + 5 = 17
𝑧′ 𝑦 = −5𝑥 𝑧′ 𝑦(𝑇) = −5.1 = −5
Rovnice tečné roviny 𝜏:
𝜏: 𝑧 = 𝑧0 + 𝑧′ 𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑧′ 𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
𝜏: 𝑧 = 9 + 17(𝑥 − 1) − 5(𝑦 + 1)
𝜏: 17𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 − 13 = 0
129 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Rovnice normály n:
𝑛:
𝑥 − 𝑥0
𝑧′ 𝑥(𝑥0, 𝑦0)
=
𝑦 − 𝑦0
𝑧′ 𝑦(𝑥0, 𝑦0)
=
𝑧 − 𝑧0
−1
𝑛:
𝑥 − 1
17
=
𝑦 + 1
−5
=
𝑧 − 9
−1
Parciální derivace jsou definovány prostřednictvím derivace funkce jedné proměnné.
Při jejich výpočtu užíváme týchž pravidel a vzorců jako při výpočtu derivací funkce
jedné proměnné. Funkci derivujeme podle zadané proměnné, přičemž zbývající proměnnou
považujeme za konstantu. Má-li funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) totální diferenciál v bodě,
pak je v tomto bodě spojitá. Pomocí totálního diferenciálu můžeme určit přibližně
přírůstek funkce v bodě. Parciální derivace jsou součástí rovnice tečné roviny a nor-
mály.
1. Vyslovte definici
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, resp.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
2. Načrtněte graf fce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) a vysvětlete geometrický význam
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦 𝑂) a
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦 𝑂).
3. Jaká je podmínka záměnnosti pořadí derivování?
4. Jaký je vztah mezi spojitostí funkce 𝑓 v bodě [𝑥0, 𝑦0] a parciálními derivacemi,
resp. totálním diferenciálem v tomto bodě?
5. Jaký je geometrický význam totálního diferenciálu?
6. Vypočítejte obě první parciální derivace funkce
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥3
−
1
2
𝑥2
𝑦2
+ 3𝑥2
𝑦 −
𝑦3
4
− 5𝑥 + 150 a jejich hodnotu v bodě
𝐴 = [1, 0], 𝐵 = [−1, 1], 𝐶 = [𝑎,
1
𝑎
].
[𝑓′ 𝑥(𝐴) = 4; 𝑓′
𝑦(𝐴) = 3; 𝑓′ 𝑥(𝐵) = −1; 𝑓′
𝑦(𝐵) =
5
4
; 𝑓′ 𝑥(𝐶) = 9𝑎2
−
1
𝑎
+ 1; 𝑓′
𝑦(𝐶)
= −𝑎 + 3𝑎2
−
3
4𝑎2
; 𝑎 ≠ 0]
MATEMATICKÁ ANALÝZA 130
7. Určete 1. parciální derivace funkce.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 𝑦2 [𝑓′ 𝑥 =
1
2√𝑥−𝑦2
; 𝑓′ 𝑦 =
−𝑦
√𝑥−𝑦2
]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln(𝑥 + 𝑦2) [𝑓′ 𝑥 = ln(𝑥2
+ 𝑦2) +
𝑥
𝑥+𝑦2
; 𝑓′
𝑦 =
2𝑥𝑦
𝑥+𝑦2
]
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑥 [𝑓′ 𝑥 = 𝑦 𝑥
ln 𝑦 ; 𝑓′ 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥−1]
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
−
𝑥
𝑦 [𝑓′
𝑥 = −
1
𝑦
𝑒
−
𝑥
𝑦; 𝑓′
𝑦 =
𝑥
𝑦2
𝑒
−
𝑥
𝑦]
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
[𝑓′
𝑥 =
−𝑦
𝑥2+𝑦2
; 𝑓′ 𝑦 =
𝑥
𝑥2+𝑦2
]
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 𝑥2
[𝑓′ 𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑥2
𝑒 𝑦 𝑥2
ln 𝑦 ; 𝑓′ 𝑦 = 𝑥2
𝑦 𝑥2−1
𝑒 𝑦 𝑥2
]
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 𝑥2 𝑦−3𝑥 [𝑓′
𝑥 = 2𝑥𝑦 − 3; 𝑓′ 𝑦 = 𝑥2]
8. Vypočítejte parciální derivace 1. – 3. řádu funkce 𝑧 =
𝑥2
𝑦3
a určete jejich hodnotu
v bodě 𝐴 = [1, −1].
[
𝑧′
𝑥(𝐴) = −2, 𝑧′
𝑦(𝐴) = −3, 𝑧′′
𝑥𝑥(𝐴) = −2, 𝑧′′
𝑥𝑦(𝐴) = −6,
𝑧′′
𝑦𝑦(𝐴) = −12, 𝑧′′′ 𝑥𝑥𝑥(𝐴) = 0, 𝑧′′′𝑥𝑥𝑦(𝐴) = −6, 𝑧′′′𝑥𝑦𝑦(𝐴) = −24, 𝑧′′′
𝑦𝑦𝑦(𝐴) = −60
]
9. Vypočítejte
𝜕4 𝑓
𝜕3 𝜕𝑦
funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
a její hodnotu v bodě 𝑇 = [1, −1].
[−
3
2
]
10. Určete přibližně hodnotu výrazu √(4,05)2 + (2,93)2. [4,998]
11. Napište rovnici tečné roviny 𝜏 a normály n grafu funkce 𝑧 = 3𝑥2
+ 5𝑦2
v bodě
𝑇 = [1, −1, ? ]. [𝜏: 6𝑥 − 10𝑦 − 𝑧 − 8 = 0]
[𝑛:
𝑥−1
6
=
𝑦+1
−10
=
𝑧−8
−1
]
12. Určete totální diferenciál funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
2
ln(𝑥2
+ 𝑦2)
a) v libovolném bodě [𝑥, 𝑦], [𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦2
(𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦)]
b) v bodě 𝐴 = [1,2], [𝑑𝑓(1,2) =
1
5
(𝑑𝑥 + 2𝑑𝑦)]
c) v bodě [𝑥, 𝑦] pro 𝑑𝑥 = 0,01 a 𝑑𝑦 = 0,02,
[𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦2
(0,01𝑥 + 0,02𝑦)]
d) v bodě 𝐵 = [−1,1] pro 𝑑𝑥 = 0,1 a 𝑑𝑦 = −0,1. [𝑑𝑓(−1,1) = −0,1]
131 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL
Základní literatura:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. 382 stran. ISBN 17-536-80 (skripta)
[2] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, 1986. 580 stran. ISBN
04-017-86
[3] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. 459 stran. ISBN 80-7200-587-1
[4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997. 373
stran. ISBN 80-86119-01-7
[5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT, 2002. 242 stran. ISBN 80-214-9092-8
(skripta)
[6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. 134 stran. ISBN 80-244-
1005-2 (skripta)
Kapitola 9
Extrémy funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
 vysvětlit rozdíl mezi lokálním, globálním a vázaným extrémem
 geometricky znázornit extrémy
 vyhledat lokální extrémy
 určovat globální extrémy
Klíčová slova:
Lokální, globální a vázaný extrém, maximum a minimum funkce, stacionární bod,
sedlový bod, vazba.
133 EXTRÉMY FUNKCE
Extrémy funkce dvou proměnných
Lokální extrémy
Definice 9.1 Říkáme, že funkce má v bodě lokální maximum [minimum], když existuje
okolí takové, že pro všechny body
.
Říkáme, že funkce má v bodě ostré lokální maximum [minimum], když existuje redukované
okolí 𝑈 𝜕
∗
(𝑥0, 𝑦0), takové, že pro všechny body
[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈 𝜕
∗
(𝑥0, 𝑦0).
Lokální minima a lokální maxima nazýváme souhrnně lokální extrémy. Hodnota se nazývá
lokální minimum (lokální maximum) funkce v bodě .
Příklad Funkce nabývá v bodě ostrého lokálního minima 0, neboť dokonce
pro každý bod , nejen z redukovaného okolí bodu .
Bod je zároveň bodem, v němž má funkce globální maximum 0.
Obrázek 9.1 Graf funkce 𝒛 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
f  0 0,x y
 0 0,x yU    0 0, ,f x y f x y    0 0, ,f x y f x y  
   0 0, ,x y x yU
f  0 0,x y
   0 0, ,f x y f x y    0 0, ,f x y f x y  
 0 0,f x y
f  0 0,x y
2 2
z x y   0,0 2 2
0x y 
   2
, 0,0\x y R  0,0
 0,0
MATEMATICKÁ ANALÝZA 134
Poznámka Lokální extrémy hledáme na otevřené množině, tedy ve vnitřních bodech .
Věta 9.1 (Nutná podmínka pro existenci extrému.)
Nechť funkce má v bodě lokální extrém. Existují-li v bodě parciální derivace 1.
řádu této funkce, pak jsou rovny nule. Tj. platí =0.
Příklad Funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
má 1. parciální derivace 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 a 𝑓′ 𝑦 = 2𝑦. Najdeme bod, pro
nějž je splněna nutná podmínka.
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑦 = 2𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 0
V bodě extrém nastává, jeho hodnota je 0 – vysvětleno v předcházejícím příkladě. Určíme-li
rovnici tečné roviny  v bodě [0, 0, 0], pak obdržíme : z = 0. Tečná rovina splývá se souřadnicovou
rovinou (xy).
Příklad který, dokumentuje, že podmínka uvedená ve větě 9.1 není postačující pro existenci ex-
trémů.
Funkce má a přitom funkce v bodě nenabývá lokálního
extrému, neboť ve vnitřních bodech v I. a III. kvadrantu je a tedy , zatímco ve II. a IV.
kvadrantu je a tedy . V každém okolí tedy nabývá funkce jak kladných, tak i
záporných hodnot, přičemž 𝑧(0,0) = 0. Podle definice v bodě nemá funkce extrém, funkce
má v tomto bodě sedlo.
 D f
f  0 0,x y  0 0,x y
   0 0 0 0, ,f x y f x y
x y
 

 
 0,0
z xy    0,0 0,0 0x yz z   z xy  0,0
0xy  0z 
0xy  0z   0,0 z
 0,0
135 EXTRÉMY FUNKCE
Obrázek 9.2 Graf funkce 𝒛 = 𝒙𝒚
Definice 9.2 Řekneme, že bod je stacionárním bodem funkce , když v tomto bodě
existují parciální derivace a a platí .
Poznámka Bod v předcházejících příkladech je stacionární bod.
Věta 9.2 (O postačujících podmínkách pro extrém.)
Nechť funkce má v okolí stacionárního bodu spojité parciální derivace 2. řádu. Potom
platí:
Je-li 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) . 𝑓′′
𝑦𝑦
(𝑥0, 𝑦0) − [ 𝑓′′
𝑥𝑦
(𝑥0, 𝑦0)]
2
> 0, má funkce v bodě ostrý lokální
extrém, a to maximum pro případ 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) < 0 a minimum pro 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) > 0.
Je-li 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) . 𝑓′′
𝑦𝑦
(𝑥0, 𝑦0) − [ 𝑓′′
𝑥𝑦
(𝑥0, 𝑦0)]
2
< 0, nemá funkce v bodě lokální ex-
trém.
Poznámka
 Věta neříká nic o případu, kdy 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) . 𝑓′′
𝑦𝑦
(𝑥0, 𝑦0) − [ 𝑓′′
𝑥𝑦
(𝑥0, 𝑦0)]
2
= 0 . V tomto
případě totiž extrém někdy nastane a někdy nikoliv. Případ takového stacionárního bodu se
musí studovat zvlášť. Musíme vyšetřit chování funkce v okolí tohoto bodu, tj. vyšetřit existenci
extrému podle definice 9.1.
 0 0,x y  ,f x y
f
y


f
x


   0 0 0 0, , 0
f f
x y x y
x y
 
 
 
 0,0
 ,f x y  0 0,x y
f  0 0,x y
f  0 0,x y
MATEMATICKÁ ANALÝZA 136
 Označíme-li 𝐷1 = 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0),
𝐷2 = |
𝑓′′
𝑥𝑥
𝑓′′
𝑥𝑦
𝑓′′
𝑥𝑦
𝑓′′
𝑦𝑦
| (𝑥0, 𝑦0) = 𝑓′′
𝑥𝑥
(𝑥0, 𝑦0) ∙ 𝑓′′
𝑦𝑦
(𝑥0, 𝑦0) − − [ 𝑓′′
𝑥𝑦
(𝑥0, 𝑦0)]
2
,
kde , resp. , je determinant 1., resp. 2. řádu., pak postačující podmínku můžeme stručně zapsat
takto:
Je-li 𝐷2 > 0, pak má funkce f v bodě ostrý lokální extrém, a to maximum pro 𝐷1 < 0 a minimum
pro 𝐷1 > 0.
Je-li 𝐷2 < 0, nemá funkce f v bodě lokální extrém, ale sedlo.
Je-li 𝐷2 = 0, nelze o existenci extrému rozhodnout, neboť ten může, ale nemusí nastat.
Kromě stacionárních bodů může vést k lokálnímu extrému funkce také takový bod
, v němž obě parciální derivace neexistují nebo takový bod, v němž jedna parciální derivace
je rovna nule a zbývající neexistuje. Funkce samotná samozřejmě musí být v bodě definována
a bod musí být vnitřním bodem .
Analyzovat body, v nichž parciální derivace neexistují, je zpravidla složitější a je nutné postupovat
v jednotlivých případech různě. Má-li funkce skutečně v takovém bodě extrém, zjistíme vyšetřováním
chování funkce v okolí bodu a to zpravidla určením znaménka rozdílu
pro body [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈 𝜕
∗
(𝑥0, 𝑦0).
Nemění-li se znaménko rozdílu, pak extrém nastane. Je-li rozdíl kladný, je v bodě ostré lokální
minimum, je-li rozdíl záporný, pak je v bodě ostré lokální maximum.
Mění-li se znaménko rozdílu, pak extrém nenastane.
Body podezřelé z lokálního extrému jsou:
(A) stacionární body; získáme je řešením soustavy
1D 2D
 0 0,x y
 0 0,x y
 ,z f x y
 0 0,x y
 0 0,x y
 0 0,x y  D f
 0 0,x y
 0 0,x y
   0 0, ,f x y f x y
 0 0,x y
 0 0,x y
0
f
x



0
f
y



137 EXTRÉMY FUNKCE
(B) body, v nichž jedna parciální derivace neexistuje a zbývající je rovna nule nebo body, v nichž obě
parciální derivace neexistují; získáme je z 𝐷(𝑓′
𝑥
) a 𝐷(𝑓′
𝑦
).
Geometrická interpretace lokálních
extrémů
Výpočet lokálních extrémů funkce 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) vede ke stacionárním bodům . Tečná rovina
 sestrojená v bodě [𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0)] k ploše 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou
(𝑥, 𝑦).
Stacionárním bodům, v nichž extrém nastane, odpovídají na ploše 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) body, v jejichž okolí
se plocha rozprostírá buď nad nebo pod tečnou rovinou .
Příklad funkce, která má ostré lokální minimum v bodě [0, 0)]
a) Ve stacionárním bodě b) v bodě, v němž obě 1. parciální derivace neexistují
Obr.9.3 Graf funkce 𝒛 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Grafem funkce je rotační paraboloid;
: z = 0
Grafem funkce je kuželová plocha s vrcholem
v počátku souřadnic; , nelze sestrojit.
funkce je kuželová plocha s vrcholem v počátku souřadnic; , nelze sestrojit.
 0 0,x y
Obr. 9.3 Graf funkce 𝒛 = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
MATEMATICKÁ ANALÝZA 138
Stacionárním bodům, které nevedou k extrémům odpovídají na ploše body, v jejichž okolí má plocha
tvar sedla. (Tyto body jsou jistou analogií s inflexními body křivek). Sedlem funkce rozumíme bod
grafu, v němž je funkce hladká, obě její parciální derivace jsou rovny nule a současně nenastává
lokální extrém. Bod , v němž sedlo funkce nastává, se nazývá sedlový bod.
Příklad funkce, která má ve stacionárním bodě[0, 0] sedlo.
𝒛 = 𝒙𝒚
Postup při určování lokálních extrémů na otevřené
množině
1. Určíme body podezřelé z lokálních extrémů, tj.
(A) stacionární body,
(B) body, v nichž některá (případně obě) parciální derivace neexistuje a zbývající je rovna
nule.
2. Rozhodneme o existenci a typu lokálního extrému.
V případě bodů (A) rozhodneme podle postačující podmínky pro extrém.
V případě bodů (B) rozhodneme na základě definice lokálních extrémů; vyšetříme, jak se
chová funkce na okolí těchto bodů – tj. rozhodneme podle znaménka rozdílu
. Pokud pro každý bod [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈 𝜕
∗(𝑥0, 𝑦0) je rozdíl kladný, pak v bodě
nastává ostré lokální minimum; pokud je rozdíl záporný, pak v bodě nastává
ostré lokální maximum. Mění-li se znaménko rozdílu, pak extrém nenastane.
f
 D f f
   0 0, ,f x y f x y
 0 0,x y  0 0,x y
139 EXTRÉMY FUNKCE
Může nastat i neostré lokální maximum [minimum] a to v případě, že je rozdíl nekladný [nezáporný]
pro každý bod [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈 𝜕
∗
(𝑥0, 𝑦0).
Příklad Určete lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑒−(𝑥2+𝑦2)
.
Řešení Určíme 𝐷(𝑓) = 𝑅2
.
Vypočteme parciální derivace.
𝑓′ 𝑥 = −4𝑥 . 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
; 𝑓′ 𝑦 = −4𝑦 . 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
𝐷(𝑓′ 𝑥) = 𝐷(𝑓′ 𝑦) = 𝑅2
𝑓′′ 𝑥𝑥 = −4𝑒−(𝑥2+𝑦2)(1 − 2𝑥2)
𝑓′′ 𝑦𝑦 = −4𝑒−(𝑥2+𝑦2)(1 − 2𝑦2)
𝑓′′𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
𝐷(𝑓′′ 𝑥𝑥) = 𝐷(𝑓′′ 𝑦𝑦) = 𝐷(𝑓′′ 𝑥𝑦) = 𝑅2
Určíme body podezřelé z lokálního extrému.
(A) z nutné podmínky určíme stacionární body
𝑓′ 𝑥 = 0 ⟺ −4𝑥 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
= 0 ⇒ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑦 = 0 ⟺ −4𝑥 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
= 0 ⇒ 𝑦 = 0
Funkce má 1 stacionární bod 𝐴 = [0, 0].
(B) body, v nichž aspoň jedna parciální derivace neexistuje – určíme je z definičních oborů
𝐷(𝑓′ 𝑥) a 𝐷(𝑓′ 𝑦)
1. parciální derivace existují ve všech bodech 𝐷(𝑓) = 𝑅2
, odtud žádný další bod podezřelý z extrému
nezískáme, budeme psát ∅.
Podle postačující podmínky rozhodneme o existenci a typu extrému. Zjístíme hodnoty 𝑓′′ 𝑥𝑥(𝐴) =
−4; 𝑓′′ 𝑦𝑦(𝐴) = −4; 𝑓′′ 𝑥𝑦(𝐴) = 0 = 𝑓′′ 𝑦𝑥 a sestavíme z nich determinanty.
𝐷1 = |𝑓′′ 𝑥𝑥(𝐴)| = −4 < 0
𝐷2 = |
𝑓′′ 𝑥𝑥(𝐴) 𝑓′′ 𝑥𝑦(𝐴)
𝑓′′ 𝑥𝑦(𝐴) 𝑓′′ 𝑦𝑦(𝐴)
| = |
−4 0
0 −4
| = 16 > 0
𝑓(𝐴) = 2
MATEMATICKÁ ANALÝZA 140
Tečná rovina  má v bodě A rovnici 𝑧 = 2. Protože 𝐷2 > 0 a 𝐷1 < 0, má funkce ostré lokální maximum
2 v bodě 𝐴 = [0, 0].
Obrázek 9.5 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒆−(𝒙 𝟐+𝒚 𝟐)
Příklad Najděte lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
.
Řešení
Určíme 𝐷(𝑓) a 1. a 2. parciální derivace.
𝐷(𝑓) = 𝑅2
; 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥; 𝑓′ 𝑦 = −2𝑦; 𝑓′′ 𝑥𝑥 = 2; 𝑓′′ 𝑦𝑦 = −2; 𝑓′′ 𝑥𝑦 = 0 .
Definičním oborem všech parciálních derivací je množina 𝑅2
.
(A) z nutné podmínky určíme body podezřelé z extrému.
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑦 = 0 ⟺ −2𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 0
Funkce má 1 stacionární bod 𝐴 = [0, 0].
(B) tyto body určíme z 𝐷(𝑓′ 𝑥) a 𝐷(𝑓′ 𝑦): ∅
O existenci a typu extrému rozhodneme podle postačující podmínky.
𝐷1 = 2 > 0
141 EXTRÉMY FUNKCE
𝐷2 = |
2 0
0 −2
| = −4 < 0
Protože 𝐷2 < 0, nemá funkce v bodě A lokální extrém, nýbrž sedlo. Bod 𝐴 = [0, 0] je sedlový bod.
Sedlo je bod grafu – je to bod [0, 0,0]. Tečná rovina 𝜏: 𝑧 = 0.
Příklad Určete lokální extrémy funkce 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
− 15𝑥 − 12𝑦.
Řešení Určíme 𝐷(𝑓) = 𝑅2
Stanovíme parciální derivace 1. a 2. řádu a jejich definiční obory.
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥2
+ 3𝑦2
− 15
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥2 = 6𝑥
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
= 6𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑥𝑦 − 12
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦2
= 6𝑥
Definičním oborem všech parciálních derivací je množina 𝑅2
.
Určíme body, podezřelé z lokálních extrémů.
(A) stacionární body
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 0 ⟺ 3𝑥2
+ 3𝑦2
− 15 = 0 /: 3
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 0 ⟺ 6𝑥𝑦 − 12 = 0 ⇒ 𝑥𝑦 − 2 = 0
Obdrželi jsme soustavu rovnic
𝑥2
+ 𝑦2
− 5 = 0
𝑥𝑦 − 2 = 0 ⇒ 𝑦 =
2
𝑥
; 𝑥 ≠ 0;
dosadíme do 1. rovnice
𝑥2
+
4
𝑥2
− 5 = 0 /∙ 𝑥2
𝑥4
+ 4 − 5𝑥2
= 0 … bikvadratická rovnice
Zavedeme substituci 𝑧 = 𝑥2
, obdržíme kvadratickou rovnici.
𝑧2
− 5𝑧 + 4 = 0 𝑧1 = 4 ⟺ 𝑥2
= 4 ⇒ 𝑥1,2 = ±2
(𝑧 − 4) (𝑧 − 1) = 0 𝑧2 = 1 ⟺ 𝑥2
= 1 ⇒ 𝑥3,4 = ±1
MATEMATICKÁ ANALÝZA 142
potom 𝑦1 = 1; 𝑦2 = −1; 𝑦3 = 2; 𝑦4 = −2.
Obdrželi jsme 4 stacionární body:
𝐴 = [2, 1]; 𝐵 = [−2, − 1]; 𝐶 = [1, 2]; 𝐷 = [−1, −2]
(B) body určíme z 𝐷(𝑓′ 𝑥) a 𝐷(𝑓′ 𝑦): ∅
Podle postačující podmínky rozhodneme o existenci a typu lokálního extrému. Pro přehlednost sestavíme
tabulku pro stacionární body.
bod 𝝏 𝟐
𝒇
𝝏𝒙 𝟐
= 𝑫 𝟏
𝝏 𝟐
𝒇
𝝏𝒚 𝟐
𝝏 𝟐
𝒇
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝑫 𝟐 existence a
typ. lok. ex.
𝑨 = [𝟐, 𝟏] 12 > 0 12 6 144 − 36 = 108 > 0 o. l. min
𝑩 = [−𝟐, − 𝟏] −12 < 0 −12 −6 144 − 36 = 108 > 0 o. l. max
𝑪 = [𝟏, 𝟐] 6 6 12 36 − 144 = −108 < 0 neexistuje
𝑫 = [−𝟏, −𝟐] −6 −6 −12 36 − 144 = −108 < 0 neexistuje
𝑓(𝐴) = −28 ; 𝑓(𝐵) = 28
Funkce má ostré lokální maximum 28 v bodě 𝐵 = [−2, − 1] a ostré lokální minimum −28 v bodě
𝐴 = [2, 1].
143 EXTRÉMY FUNKCE
Obrázek 9.6 Graf funkce, která má ostré lokální maximum a ostré lokální minimum
Globální extrémy
Definice 9.3 Buď funkce definovaná na množině . Říkáme, že nabývá v bodě
globálního maxima [minima], když pro každý bod je
.
Poznámka
 Funkce nemusí mít ve svém žádné lokální extrémy nebo jich naopak může mít i nekonečně
mnoho, ale globální maximum, resp. minimum, v je jen jedno (pokud existuje),
ale může ho funkce nabývat i v nekonečně mnoha bodech.
 Globálním maximem [minimem] funkce rozumíme největší [nejmenší] hodnotu funkce 𝑓,
kterou nabývá na svém .
 Lze určovat i globální extrémy na množině .
f D f  0 0,x y D
 ,x y D
       0 0 0 0, , , ,f x y f x y f x y f x y   
 D f
 D f
f
 D f
 M D f
MATEMATICKÁ ANALÝZA 144
Určování globálních extrémů na kompaktní množině
V aplikacích bývá nejčastější úlohou vyhledávání globálních extrémů spojité funkce na kompaktní
(uzavřené a omezené) množině. V tomto případě máme zaručeno Weierstrassovou větou, že na takové
množině funkce nabývá svého globálního maxima i globálního minima, a to buď v bodech lokálních
extrémů ležících uvnitř množiny nebo v některém hraničním bodě množiny.
Postup při vyhledávání globálních extrémů funkce f na množině M
1. Zjistíme, zda je množina kompaktní a na ní spojitá. Pokud ano – existují globální extrémy.
2. Najdeme a shromáždíme všechny body z , které jsou podezřelé z toho, že by v nich funkce
mohla mít globální extrém na .
Jsou to následující body:
(A) Body z vnitřku množiny M podezřelé z lokálního extrému funkce (to jsou stacionární body
a ty, v nichž některá derivace neexistuje).
(B) Body z hranice množiny M podezřelé z vázaného lokálního extrému funkce (hranice je
vazbou – jde o lokální extrémy funkce jedné proměnné).
(C) Body hranice množiny M, které dosud nebyly v žádné úvaze (tj. v (a) nebo (b) ) zahrnuty; jsou
to body, v nichž se hranice láme a krajní body intervalů.
3. Vypočítáme funkční hodnoty ve všech bodech podezřelých z globálních extrémů. Největší
z těchto hodnot je pak globální maximum a nejmenší globální minimum funkce na množině
.
Poznámka Nemusíme určovat typ lokálního extrému (tj. zda se jedná o maximum či minimum), stačí
určit pouze funkční hodnoty.
Poznámka Je-li množina otevřená, pak funkce nemusí mít na globální extrémy. Pokud je
má, pak je to maximum a minimum z lokálních extrémů funkce na množině .
Vázané extrémy
Při studiu globálních extrémů funkce na hranici jsme se setkali s dalším typem extrémů, a to s extrémy
vázanými (podmíněnými, s vedlejší podmínkou). U těchto extrémů jde o vyhledávání extrémů
funkce na nějaké podmnožině jejího .
M f
M f
M
f
f
M
f
M
M f M
f M
 D f
145 EXTRÉMY FUNKCE
Definice 9.4 Funkce má v bodě vázané lokální maximum [minimum] při vazbě
, existuje-li takové okolí , že pro každý bod , jehož souřadnice
splňují vazbu , platí .
Vázané extrémy funkce jsou tedy extrémy jen v množině bodů určité křivky ležící v
. Křivka je určena buď explicitně rovnicí nebo implicitně rovnicí 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, kde
mají spojité derivace.
Funkce ve spojení s rovnicí 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, eventuelně , je vlastně funkcí jedné
proměnné. Z rovnice 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 vyjádříme jednu proměnnou a dosadíme ji do za , případně
za , a obdržíme buď případně . Daný úkol přejde v určení extrému funkce
jedné proměnné.
Geometrická interpretace
Vázané extrémy znamenají maximální a minimální hodnotu -ové souřadnice bodů ležících na prostorové
křivce 𝑞∗
, která leží na ploše určené rovnicí nad nebo pod křivkou ( leží
v souřadnicové rovině ). Křivka 𝑞∗
je řezem plochy a plochy, která je kolmá k souřadnicové
rovině a jejíž stopou v rovině je křivka .
Příklad Najděte vázaný lokální extrém funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 1 při vazbě 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.
Řešení 𝐷(𝑓) = 𝑅2
Z vazby vyjádříme 𝑦 = 1 − 𝑥 a dosadíme do funkce f. Obdržíme tak funkci F jedné proměnné,
a to x.
𝐹(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥) − 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 = 𝑥2
− 𝑥
Najdeme lokální extrém funkce F.
𝐹′(𝑥) = −2𝑥 − 1, 𝐹′(𝑥) = 0 ⟺ −2𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −
1
2
; 𝑦 = 1 − (−
1
2
) =
3
2
Bod 𝐴 = [−
1
2
,
3
2
] je stacionární bod funkce F.
𝐹′′(𝑥) = −2; 𝐹′′(𝐴) = −2 < 0 ⟹ v bodě A nastává ostré lokální maximum, přičemž
𝑓(𝐴) =
1
4
.
f  0 0,x y
 , 0g x y   0 0,x yU    0 0, ,x y x yU
 , 0g x y     0 0, ,f x y f x y    0 0, ,f x y f x y  
 ,z f x y q
 D f q ( )y x
a y
 ,z f x y ( )y x
z y
x  1z f x  2z f y
z
 ,z f x y q q
 xy  ,z f x y
 xy  xy q
MATEMATICKÁ ANALÝZA 146
Daná funkce má při vazbě 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 1 ostré lokální maximum
1
4
v bodě 𝐴 = [−
1
2
,
3
2
].
Příklad Vyhledejte globální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
4
+ 𝑦2
na množině
𝑀 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1 }.
Řešení 𝐷(𝑓) = 𝑅2
1) Množina M je kruh se středem v počátku soustavy souřadnic o poloměru 1 včetně ohraničující
kružnice k. Jde o kompaktní množinu a funkce f je na ní spojitá, což znamená, že globální extrémy f
na M existují.
𝒚 = −√ 𝟏 + 𝒙 𝟐
Obrázek 9.7 Grafické znázornění množiny M
2) Shromáždíme všechny body množiny M podezřelé z globálního extrému.
(a) body ležící uvnitř M podezřelé z lokálního extrému
(A) 𝑓′
𝑥
=
𝑥
2
; 𝑓′
𝑥
= 0 ⟺ 𝑥 = 0
𝑓′
𝑦
= 2𝑦; 𝑓′
𝑦
= 0 ⟺ 𝑦 = 0
Získali jsme 1 stacionární bod 𝐴 = [0, 0].
Přesvědčíme se, že 𝐴 ∈ 𝑀.
(B) ∅
147 EXTRÉMY FUNKCE
Poznámka
Pokud by nalezené body nepatřily do dané množiny M, pak bychom takové body z dalších úvah vy-
loučili.
(b) body ležící na hranici M, v nichž by mohl nastat vázaný lokální extrém
Hranice množiny M je kružnice k o rovnici 𝑥2
+ 𝑦2
= 1, a ta je vazbou.
Z rovnice 𝑥2
+ 𝑦2
= 1 vypočteme |𝑦| = √1 − 𝑥2.
„Horní“ půlkružnice má rovnici 𝑦 = √1 − 𝑥2; 𝑥 ∈ (−1, 1).
Dosadíme za 𝑦 do funkce 𝑓, obdržíme tak funkci jedné proměnné, označíme ji 𝐹.
𝐹(𝑥) =
𝑥2
4
+ (√1 − 𝑥2)
2
=
𝑥2
4
+ 1 − 𝑥2
= 1 −
3
4
𝑥2
Tutéž funkci F obdržíme i po dosazení 𝑦 = −√1 − 𝑥2.
Určíme stacionární body funkce F.
𝐹′(𝑥) = −
3
2
𝑥; 𝐹′(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 0
Obdrželi jsme 2 body: 𝐵 = [0, 1] a 𝐶 = [0, −1] ležící na kružnici k.
(c) body, které dosud nebyly uvažovány jsou body 𝐷 = [−1, 0] a 𝐸 = [1, 0]
3) Vypočteme funkční hodnoty ve všech získaných bodech.
𝑓(𝐴) = 0 𝑓(𝐶) = 1 𝑓(𝐸) =
1
4
𝑓(𝐵) = 1 𝑓(𝐷) =
1
4
Funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
4
+ 𝑦2
má na dané množině M globální maximum 1 v bodech 𝐵 = [0, 1] a 𝐶 =
[0, −1] a globální minimum 0 v bodě 𝐴 = [0, 0].
Poznámka Grafem funkce je eliptický paraboloid.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 148
Obrázek 9.8 Eliptický paraboloid
Funkce tří proměnných
Teorii diferenciálního počtu funkce více proměnných jsme vyložili na příkladu funkce dvou proměnných,
protože pro tuto funkci můžeme řadu zaváděných pojmů graficky znáznornit. Vizualizace základních
definovaných pojmů přispívá k jejich lepšímu pochopení a hlubšímu porozumění.
Snadno se pak dají úvahy uvedené pro funkci dvou proměnných analogicky formulovat pro funkci
tří proměnných, až pro funkci n proměnných.
Formulaci některých základních pojmů ukážeme na příkladu funkce tří proměnných.
Funkce 𝑓 tří proměnných je zobrazení z 𝑅3
do R.
Zápis: 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧).
𝐷(𝑓) ⊂ 𝑅3
, 𝐻(𝑓) ⊂ 𝑅, 𝐺(𝑓) ⊂ 𝑅4
𝐷(𝑓) a 𝐻(𝑓) lze graficky znázornit, 𝐺(𝑓) již ne. Okolím 𝑈 𝜕(𝑋0) bodu 𝑋0 ⊂ 𝑅3
rozumíme vnitřek
koule (otevřenou kouli) se středem v bodě 𝑋0 a poloměrem 𝜕; 𝜕 > 0.
Limita a spojitost je definována jako pro funkci dvou proměnných, jen tam přibude souřadnice 𝑧.
Parciální derivace a extrémy jsou opět definovány obdobně jako u funkce dvou proměnných, opět
však přibude z-ová souřadnice.
149 EXTRÉMY FUNKCE
Také body podezřelé z lokálního extrému vyhledáváme obdobně jako u funkce dvou proměnných:
(A) stacionární body: 𝑓𝑥
′
= 0, 𝑓𝑦
′
= 0, 𝑓𝑧
′
= 0
(B) body, v nichž některé nebo všechny 1. parciální derivace neexistují
A jak vypadají postačující podmínky pro lokální extrém uvádí následující věta.
Věta 9.3 (Postačující podmínky pro extrém.)
Nechť má spojité parciální derivace 2. řádu v okolí stacionárního bodu . Označme:
Potom, je-li
má funkce v bodě ostré lokální minimum
a je-li
𝐷1 < 0, 𝐷2 > 0, 𝐷3 < 0 má funkce v bodě ostré lokální maximum .
Vyhledávání největší a nejmenší hodnoty sledovaného ukazatele (veličiny) dosažené
v probíhajícím reálném procesu bývá častým problémem v praxi. Abychom tuto
úlohu zvládli musíme pochopit a umět určovat globální, lokální a vázané extrémy. Lokální
extrémy jsou extrémní hodnoty vzhledem k okolí bodu, globální pak vzhledem
k části definičního oboru funkce.
Lokální extrémy vyhledáváme na základě nutné podmínky a jejich existenci potvrzujeme
a typ určujeme na základě postačujících podmínek. Stanovování globálních extrémů
je aplikací metod vyhledávání lokálních a vázaných lokálních extrémů. Oproti
lokálním extrémům, kterých může funkce mít i nekonečně mnoho, globální extrém,
pokud existuje, je jen jeden.
f  0 0 0, ,x y z
 1 0 0 0, ,D f xx x y z
 
2
0 0 0, ,
f xx f xy
D
f xy f yy x y z/
 

 
 
3
0 0 0, ,
f xx f xy f xz
D f xy f yy f yz
f xz f yz f zz x y z/
  
  
  
1 2 30, 0, 0D D D   f  0 0 0, ,x y z  0 0 0, ,f x y z
f  0 0 0, ,x y z  0 0 0, ,f x y z
MATEMATICKÁ ANALÝZA 150
1. Jaký je rozdíl mezi lokálním a globálním extrémem? Jak jsou tyto extrémy
definovány?
2. Jaká je nutná podmínka pro existenci lokálního extrému?
3. Jaké jsou postačující podmínky pro lokální extrém?
4. Co jsou stacionární body? Který bod je stacionární?
5. Ve kterých bodech může nastat lokální (globální) extrém?
6. Co víte o tečné rovině ve stacionárních bodech?
7. Načrtněte graf funkce, která má ostré lokální minimum ve stacionárním bodě
(v bodě, v němž parciální derivace neexistují).
8. Jak se hledají globální extrémy funkce na uzavřené a souvislé množině?
9. Stanovte lokální extrémy funkce.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦4
+ 32𝑥2
− 32𝑥𝑦
[3 stacionární body, o. l. minimum – 16 v bodech [1, 2] a[−1, −2] ]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥3
− 𝑥𝑦2
+ 5𝑥2
+ 𝑦2
[4 stacionární body, o. l. minimum 0 v bodě [0, 0] ]
10. Najděte vázané lokální extrémy funkce f při dané vazbě.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
; vazba
𝑥
2
+
𝑦
3
− 1 = 0
[o. l. maximum
49
24
v bodě [
1
6
,
11
4
]]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2
− 4𝑥3
; vazba 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
[o. l .maximum 5 v bodě [1, 3]]
[o. l. minimum
7
27
v bodě [−
1
3
,
1
3
]]
11. Určete největší a nejmenší hodnotu (globální extrémy) funkce f na dané množině
M.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑥2
− 𝑦2
; 𝑀 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≤ 9 − 𝑥}
[glob. max. 4 v bodě [1, 1]]
[glob. min. −61 v bodech [9, 0] a [0, 9]]
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦; 𝑀 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅2
; 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 2}
[glob. max. 3 v bodech [1, 1] a [−1, −1] ]
[glob. min. −3 v bodech [−1, 1] a [1, −1]]
151 EXTRÉMY FUNKCE
Základní literatura:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. 382 stran. ISBN 17-536-80 (skripta)
[2] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, 1986. 580 stran. ISBN
04-017-86
[3] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. 459 stran. ISBN 80-7200-587-1
[4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997. 373
stran. ISBN 80-86119-01-7
[5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT, 2002. 242 stran. ISBN 80-214-9092-8
(skripta)
[6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. 134 stran. ISBN 80-244-
1005-2 (skripta)
Kapitola 10
Implicitní funkce
Po prostudování kapitoly budete umět:
 rozhodnout, zda rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 je definována funkce 𝑦 proměnné 𝑥
 derivovat implicitní funkci
 určovat extrémy implicitní funkce
 určovat rovnice tečny a normály
Klíčová slova:
implicitní funkce
153 IMPLICITNÍ FUNKCE
V předchozím textu jsme již zmínili, že funkci můžeme zadat analyticky, a to buď explicitně rovnicí
𝑦 = 𝑓(𝑥) nebo implicitně rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0. Známe řadu křivek, které jsou zadány rovnicí
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0: kružnice, elipsa, kardioida apod.
Příklad Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem 𝑟 je daná rovnicí
𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑟2
= 0. Kružnice však není grafem funkce, poněvadž každému 𝑥 ∈ 〈−𝑟, 𝑟〉 není přiřazeno
jenom jedno 𝑦.
Příklad Mějme dánu funkci dvou proměnných 𝐹(𝑥, 𝑦) a ptejme se, které body [𝑥, 𝑦] ∈ ℝ2
vyhovují
rovnici 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0.
a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 9
b) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 3𝑥
c) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 1
d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 1
e) 𝐹(𝑥, 𝑦) = √𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 − 𝑦 + 𝑥
Řešení Označme M množinu všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ ℝ2
, které vyhovují rovnici 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0.
a) (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
− 9 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 9
M je množina všech bodů kružnice se středem v bodě 𝑆[1; 2] a poloměrem 𝑟 = 3.
Obrázek 10.1 Množina M, kružnice
b) 2𝑦 − 3𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 =
2
3
𝑥
M je množina všech bodů přímky, která prochází počátkem soustavy souřadnic a má rovnici
𝑦 =
2
3
𝑥.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 154
Obrázek 10.2 Množina M, přímka
c) 𝑥2
+ 𝑦2
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
= −1
M = ∅
d) 𝑥𝑦 − 1 = 0 ⇒ 𝑦 =
1
𝑥
M je množina všech bodů hyperboly se středem 𝑆 = [0,0].
Obrázek 10.3 Množina M, hyperbola
e) √𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 − 𝑦 + 𝑥 = 0 ⇒ √(𝑦 − 𝑥)2 = 𝑦 − 𝑥 ⇒ |𝑦 − 𝑥| = 𝑦 − 𝑥
Množina M je polorovina s hraniční přímkou 𝑦 = 𝑥.
Jen v případě, že 𝑦 − 𝑥 ≥ 0 platí |𝑦 − 𝑥| = 𝑦 − 𝑥.
Obrázek 10.4 Množina M, polorovina
155 IMPLICITNÍ FUNKCE
Uvedené příklady dokládají, že množina M může být velmi různorodá. Pouze v některých
případech je množina M křivkou (a, b, d) a pouze v některých případech je grafem funkce (b a d).
Nabízí se otázka, kdy je množina M grafem nějaké funkce, tj. kdy je možné najít takovou spojitou
funkci 𝑓, aby všechny body množiny M byly právě ty body [𝑥, 𝑦], které vyhovují rovnici 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Přechod od explicitního tvaru k implicitnímu tvaru dané funkce je jednoduchý – stačí anulovat pravou
stranu funkčního předpisu. Opačný přechod – od implicitního k explicitnímu tvaru je často složitý
a někdy dokonce nemožný.
Bude nás tedy především zajímat kdy rovnice 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 definuje jednoznačně funkci 𝑓 jedné
reálné proměnné 𝑥 a jaké má funkce 𝑓 vlastnosti, např. je-li spojitá, jak se vypočítá její derivace atd.
Obecně jde o to, zda rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 je určena nějaká funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) a nikoli o to, zda ji umíme
explicitně vyjádřit.
Odpovědi dává následující věta.
Věta 10.1 (O existenci implicitní funkce.)
Má-li funkce 𝐹(𝑥, 𝑦)
1. spojité parciální derivace 𝐹𝑥
′
a 𝐹𝑦
′
v okolí bodu [𝑥0, 𝑦0],
2. je-li 𝐹(𝑥0, 𝑦0) = 0,
3. 𝐹𝑦
′
(𝑥0, 𝑦0) ≠ 0,
pak existuje okolí 𝑈 𝛿(𝑥0) a právě jedna spojitá funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) taková, že platí:
(a) 𝑓(𝑥0) = 𝑦0,
(b) 𝐹[𝑥, 𝑓(𝑥)] = 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝑈 𝛿(𝑥0),
(c) 𝑓′(𝑥) = −
𝐹𝑥
′(𝑥,𝑓(𝑥))
𝐹𝑦
′(𝑥,𝑓(𝑥))
pro každé 𝑥 ∈ 𝑈 𝛿(𝑥0).
Definice 10.1 Funkci 𝑦 = 𝑓(𝑥) (z věty 10.1), která je řešením rovnice 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 nazýváme funkcí
definovanou implicitně rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 nebo stručně implicitní funkcí.
Příklad Zadání funkce 𝑓:
– implicitní: 𝑥2
+ 𝑦2
− 1 = 0, 𝑦 ≥ 0
– explicitní: 𝑦 = √1 − 𝑥2
MATEMATICKÁ ANALÝZA 156
Obrázek 10.5 Funkce 𝑓, kladná část kružnice
Příklad Zjistěme, zda rovnice sin2
𝑦 − 3 + cos 𝑥 = 0 definuje 𝑦 jako funkci proměnné 𝑥.
Řešení Ověříme, zda jsou splněny předpoklady věty 10.1.
Zřejmě 𝐹(𝑥, 𝑦) = sin2
𝑦 − 3 + cos 𝑥.
1) Vypočteme 𝐹𝑥
′
= − sin 𝑥 a 𝐹𝑦
′
= 2 sin 𝑦 cos 𝑦 = sin 2𝑦.
Obě parciální derivace jsou spojité na ℝ2
.
Dále by měl existovat bod [𝑥0, 𝑦0], pro nějž by platilo 𝐹(𝑥0, 𝑦0) = 0, ale
𝐹(𝑥, 𝑦) = sin2
𝑦 − 3 + cos 𝑥 ≠ 0 vždy, poněvadž |sin2
𝑦| ≤ 1 a |cos 𝑥| ≤ 1.
Neexistuje žádný bod v rovině ℝ2
, na jehož okolí by daná rovnice definovala 𝑦 jako funkci
proměnné 𝑥.
Příklad Zjistěme, zda rovnice 𝑦2
− 2𝑥3
𝑦 + 𝑥6
− 𝑥4
+ 𝑥2
= 0 určuje na okolí 𝑈 𝛿(0,0) 𝑦 jako funkci
proměnné 𝑥.
Řešení Ověříme, zda jsou splněny předpoklady věty 10.1.
1) 𝐹𝑥
′
= −6𝑥2
𝑦 + 6𝑥5
− 4𝑥3
+ 2𝑥
𝐹𝑦
′
= 2𝑦 − 2𝑥3
Obě parciální derivace jsou spojité na ℝ2
.
2) 𝐹(0,0) = 0 − 2 ∙ 0 + 0 − 0 + 0 = 0
3) Ale 𝐹𝑦
′(0,0) = 2 ∙ 0 − 2 ∙ 03
= 0; má být 𝐹𝑦
′
≠ 0
Daná rovnice nedefinuje na žádném okolí bodu [0,0] 𝑦 jako funkci 𝑥.
Skutečně: Když vyjádříme z dané rovnice 𝑦, pak obdržíme 𝑦 = 𝑥3
± |𝑥|√𝑥2 − 1 a tato funkce je
definovaná pro 𝑥 ∈ (−∞, −1⟩⋃⟨1, ∞).
157 IMPLICITNÍ FUNKCE
Příklad Rozhodněme, zda rovnice 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑦
+ 𝑦𝑒 𝑥
− 1 = 0 definuje funkci 𝑦 = 𝑓(𝑥) na okolí
bodu [1,0].
Řešení Ověříme předpoklady věty 10.1.
1)
𝐹𝑥
′
= 𝑒 𝑦
+ 𝑦𝑒 𝑥
𝐹𝑦
′
= 𝑥𝑒 𝑦
+ 𝑒 𝑥 } jsou spojité na ℝ2
2) 𝐹(1,0) = 1 ∙ 𝑒0
+ 0 ∙ 𝑒1
− 1 ⇒ 1 − 1 = 0
3) 𝐹𝑦
′(1,0) = 1 ∙ 𝑒0
+ 𝑒1
⇒ 1 + 𝑒 ≠ 0
Na okolí bodu [1,0] daná rovnice definuje spojitou funkci 𝑦 = 𝑓(𝑥). Derivace této funkce je
𝑓′(𝑥) = −
𝐹𝑥
′
𝐹𝑦
′
= −
𝑒 𝑦
+ 𝑦𝑒 𝑥
𝑥𝑒 𝑦 + 𝑒 𝑥
Příklad Vypočítejme derivace 𝑓′ a 𝑓′′ funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥), která je definována implicitně rovnicí
ln √𝑥2 + 𝑦2 = arctg
𝑦
𝑥
, 𝑥, 𝑦 ≠ 0.
Řešení Převedeme rovnici na tvar 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 a určíme 𝑓′ podle vzorce uvedeného ve větě 10.1.
ln √𝑥2 + 𝑦2 − arctg
𝑦
𝑥
= 0
𝐹(𝑥, 𝑦) = ln √𝑥2 + 𝑦2 − arctg
𝑦
𝑥
𝐹𝑥
′
=
1
√𝑥2 + 𝑦2
∙
2𝑥
2√𝑥2 + 𝑦2
−
1
1 +
𝑦2
𝑥2
∙ (−
𝑦
𝑥2
) =
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
+
𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
∙
𝑦
𝑥2
=
𝑥 + 𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝐹𝑥
′
=
1
√𝑥2 + 𝑦2
∙
2𝑦
2√𝑥2 + 𝑦2
−
1
1 +
𝑦2
𝑥2
∙
1
𝑥
=
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
−
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑦 − 𝑥
𝑥2 + 𝑦2
𝑓′(𝑥) = −
𝐹′
𝑥
𝐹𝑦
= −
𝑥 + 𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑦 − 𝑥
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
, 𝑦 ≠ 𝑥
Derivaci 𝑓′ jsme mohli spočítat i přímo, bez použití vzorce. Derivujeme rovnici podle 𝑥 za předpokladu,
že 𝑦 je funkcí 𝑥, kterou explicitně neznáme. Funkci 𝑦 derivujeme jako funkcí složenou; vnitřní
složka není konkrétně vyjádřena, proto derivace vnitřní složky zůstane jen naznačena, tj. 𝑦′.
MATEMATICKÁ ANALÝZA 158
ln √𝑥2 + 𝑦2 − arctg
𝑦
𝑥
|derivujeme podle 𝑥
1
√𝑥2 + 𝑦2
∙
2𝑥 + 2𝑦𝑦′
2√𝑥2 + 𝑦2
=
1
1 +
𝑦2
𝑥2
∙
𝑦′
𝑥 − 𝑦 ∙ 1
𝑥2
𝑥 + 𝑦𝑦′
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑦′
𝑥 − 𝑦
𝑥2 + 𝑦2
/∙ (𝑥2
+ 𝑦2)
𝑥 + 𝑦𝑦′
= 𝑦′
𝑥 − 𝑦
𝑦′(𝑦 − 𝑥) = −𝑦 − 𝑥
𝑦′
=
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
, 𝑦 ≠ 𝑥 (𝑦′
= 𝑓′(𝑥))
Vzorce pro derivace vyšších řádů funkce určené implicitně jsou složité, proto vyšší derivace počítáme
postupným derivováním, bez použítí vzorců.
𝑦′
=
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
/ derivujeme podle 𝑥, 𝑦 je funkcí x
𝑦′′
=
(1 + 𝑦′)(𝑥 − 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑦′)
(𝑥 − 𝑦)2
=
𝑥 + 𝑥𝑦′
− 𝑦 − 𝑦𝑦′
− 𝑥 − 𝑦 + 𝑥𝑦′
+ 𝑦𝑦′
(𝑥 − 𝑦)2
=
=
2(𝑥𝑦′
− 𝑦)
(𝑥 − 𝑦)2
Za 𝑦′ dosadíme
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
.
𝑦′′
=
2 (𝑥
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
− 𝑦 )
(𝑥 − 𝑦)2
=
2(𝑥2
+ 𝑦2)
(𝑥 − 𝑦)3
, 𝑦 ≠ 𝑥
Příklad Napište rovnici tečny 𝑡 a normály 𝑛 ke křivce dané implicitně rovnicí
2𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
− 3𝑥 + 2𝑦 = 0 v bodě 𝑇 = [0; 𝑦 < 0].
Řešení Vypočteme 𝑦(0); do rovnice dosadíme 𝑥 = 0.
0 − 0 + 𝑦2
− 0 + 2𝑦 = 0
𝑦(𝑦 + 2) = 0
𝑦 = 0, 𝑦 = −2 𝑇 = [0; −2]
𝑇 = [𝑥0, 𝑓(𝑥0)]
𝑦′
= −
𝐹′
𝑥
𝐹′ 𝑦
= −
4𝑥 − 𝑦 − 3
−𝑥 + 2𝑦 + 2
𝑦′(0, −2) = −
0 + 2 − 3
0 − 4 + 2
= −
1
2
159 IMPLICITNÍ FUNKCE
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 + 2 = −
1
2
(𝑥 − 0)
𝑦 = −
1
2
𝑥 − 2
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −
1
𝑓′(𝑥0)
(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 + 2 = 2(𝑥 − 0)
𝑦 = 2𝑥 − 2
Rovnice tečny 𝑡: −
1
2
𝑥 − 2; rovnice normály 𝑛: 𝑦 = 2𝑥 − 2.
Příklad Určete lokální extrémy funkcí (𝑦 = 𝑓(𝑥)) definovaných implicitně rovnicí
𝑥2
− 𝑦2
+ 2𝑥 + 6𝑦 − 4 = 0.
Řešení Určíme 𝑦′.
𝑦′
= −
𝐹′
𝑥
𝐹′ 𝑦
= −
2𝑥 + 2
−2𝑦 + 6
=
𝑥 + 1
3 − 𝑦
, 𝑦 ≠ 3
Bod podezřelý z lokálního extrému získáme když 𝑦′
= 0. (nutná podmínka pro extrém)
𝑥 + 1
3 − 𝑦
= 0 ⇒ 𝑥 = −1
Vypočteme druhou souřadnici dosazením 𝑥 = −1 do rovnice funkce.
(−1)2
− 𝑦2
+ 2 ∙ (−1) + 6𝑦 − 4 = 0
−𝑦2
+ 6𝑦 − 5 = 0
𝑦2
− 6𝑦 + 5 = 0
(𝑦 − 1)(𝑦 − 5) = 0
𝑦 = 1, 𝑦 = 5
Určili jsme 2 stacionární body: 𝐴 = [−1,1] a 𝐵 = [−1,5].
Podle hodnoty 𝑦′′ v bodech 𝐴 a 𝐵 rozhodneme o existenci a typu extrému.
Vypočteme 𝑦′′ z 𝑦′.
𝑦′
=
𝑥 + 1
𝑦 − 3
/zderivujeme
𝑦′′
=
𝑦 − 3 − (𝑥 + 1)𝑦′
(𝑦 − 3)2
𝑦′′(𝐴) =
1 − 3 − (−1 + 1) ∙ 0
(1 − 3)2
=
−2
(−2)2
= −
1
2
< 0 ⇒ ostré lokální maximum
𝑦′′(𝐵) =
5 − 3 − (−1 + 1) ∙ 0
(5 − 3)2
=
2
22
=
1
2
> 0 ⇒ ostré lokální minimum
MATEMATICKÁ ANALÝZA 160
Funkce 𝑓1, resp. 𝑓2, definovaná implicitně danou rovnicí a podmínkou 𝑓1(−1) = 1, resp.
𝑓2(−1) = 5, má v bodě −1 ostré lokální maximum 1, resp. ostré lokální minimum 5.
Obrázek 10.6 Graf funkcí 𝑓1 a 𝑓2
Vedle explicitního zadání funkce jedné proměnné existuje i možnost zadat funkci implicitně,
tj. rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0. Ne každá taková rovnice však definuje funkci
𝑦 = 𝑓(𝑥). O existenci funkce 𝑓 rozhodujeme podle podmínek uvedených ve větě o
implicitní funkci. Tato věta také uvádí vzorec, jak derivovat implicitní funkci. Význam
věty spočívá v tom, že jakmile známe jediný bod křivky 𝑦 = 𝑓(𝑥), dovedeme v tomto
bodě spočítat derivace.
Funkce dané implicitně studujeme pomocí derivací stejně jako funkce zadané explicitně:
stanovujeme rovnici tečny a normály, určujeme extrémy apod.
1. Kdy mluvíme o implicitním zadání funkce?
2. Za jakých podmínek je rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 definována funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) ?
3. Jak se počítají derivace implicitní funkce?
4.Zjistěte, zda rovnicí 𝑦𝑒 𝑥
− 𝑥 ln 𝑦 − 1 = 0 je určena funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) na okolí bodu
𝑃0 = [0,1].
[ano]
5. Funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) je dána implicitně rovnicí 1 + 𝑥𝑦 − ln(𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑒−𝑥𝑦) = 0. Vypočtěte
𝑦′ a 𝑦′′.
[𝑦′
= −
𝑦
𝑥
; 𝑦′′
=
2𝑦
𝑥2
]
6. Funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) je dána implicitně rovnicí 𝑦 = 2𝑥 arctg
𝑦
𝑥
. Určete 𝑦′ a 𝑦′′.
[𝑦′
=
𝑦
𝑥
; 𝑦′′
= 0]
161 IMPLICITNÍ FUNKCE
7. Napište rovnici tečny 𝑡 a normály 𝑛 křivky definované implicitně rovnicí
(𝑥2
+ 𝑦2)(𝑦 − 1)2
− 5𝑦2
= 0 v bodě 𝐶 = [4,2].
[𝑡: 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
10
3
; 𝑛: 𝑦 = 3𝑥 − 10]
8. Určete lokální extrémy funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) definované implicitně rovnicí.
a. 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
− 4𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 [o. l. maximum 1 v bodě 1]
b. 𝑥2
𝑦3
+ 𝑦 − 3 = 0 [o. l. maximum 3 v bodě 0]
Základní literatura:
[1] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, 1980. 382 stran. ISBN 17-536-80 (skripta)
[2] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, 1986. 580 stran. ISBN
04-017-86
[3] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,
2003. 459 stran. ISBN 80-7200-587-1
[4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress Praha, 1997. 373
stran. ISBN 80-86119-01-7
[5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT, 2002. 242 stran. ISBN 80-214-9092-8
(skripta)
[6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 2005. 134 stran. ISBN 80-
244-1005-2
Kapitola 11
Dvojný integrál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 definovat dvojný Riemannův interál
 převést dvojná integrál na dvojnásobný
 transformovat dvojný integrál do polárních souřadnic
 počítat geometrické aplikace dvojného integrálu
Klíčová slova:
Dvojný integrál, dvojnásobný integrál, Fubiniova věta, polární souřadnice
163 DVOJNÝ INTEGRÁL
Dvojný integrál
Dvojný integrál zavedeme nejprve na dvojrozměrném uzavřeném intervalu 2
RJ  formálně stejně,
jako jsme zavedli Riemannův integrál funkce jedné proměnné na ba, (tedy jednorozměrný integrál.)
Hodnota jednorozměrného integrálu je konstruována tak, že reprezentuje určitou plochu
rovinného obrazce. Dvojný integrál pak odpovídá počítal objem jistého tělesa.
Integračním oborem jednorozměrného integrálu byl vždy interval. U dvourozměrného integrálu mohou
být integrační obory rozmanitější: jednoduché (např. obdélník, čtverec), nebo složitější (např.
kruh, kruhová výseč).
Postup, jakým budujeme dvojný integrál, lze aplikovat na případ trojného integrálu a dále i na případ
n-rozměrného integrálu (pro každé Nn  ).
Definice 11.1 Nechť jsou dány dva uzavřené intervaly, a to ba, na ose a na ose
Kartézský součin nazveme dvojrozměrným uzavřeným intervalem v a označíme
jej
Nechť posloupnost bodů , resp. je
dělením intervalu , resp. . Potom uspořádanou dvojici nazveme dělením
intervalu
Každý dvojrozměrný interval , kde i = 1,2,…,m, j =1,2,….,n, nazýváme
částečným intervalem dělení
Maximum z čísel označujeme a nazveme ho normou dělení ( je normou
dělení - je to délka největšího částečného intervalu.)
Poznámka O tom, jak vypadá dělení, si můžeme udělat názornou představu. Vedeme-li dělícími body
na osách a rovnoběžky se souřadnicovými osami, vznikne soustava obdélníků, které pokrývají
uvažovaný dvojrozměrný interval .
Uvažujme dělení dvojrozměrného intervalu na částečných intervalů Označme obsah
(míru) intervalu V našem případě míra se rovná obsahu obdélníka o stranách
x dc, ba, .y
dcba ,,  2
R
.J
 bxxxaD mx  ...10  dyyybD ny  ...10
ba, dc, ),( yx DDD 
.J
jjiiij yyxxJ ,, 11  
.J
)(),( yx DvDv )(Dv .D )( xDv
xD
x y
J
D J nm .ijJ
.ijJ jiij yxJ )(
.a ji yx 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 164
Definice 11.2 Nechť je funkce definovaná a omezená na intervalu a nechť
je dělením intervalu (viz Def 11.1). Označme ,resp. infimum, resp.
supremum funkce na částečném intervalu a obsah tohoto intervalu.
Potom číslo
nazýváme dolním součtem, a číslo
horním součtem funkce na intervalu při dělení
Poznámka
 Omezenost funkce na uzavřeném intervalu nám zaručuje existenci suprema a infima
funkce na
 V případě, že na mají tyto součty následující geometrický význam:
součin je objem kvádru vepsaného ploše,
součin je objem kvádru opsaného ploše,
součet je součtem objemů kvádrů vepsaných a součet je součtem objemů
kvádrů opsaných ploše
Zřejmě platí vztah
(11.1)
kde a
Tím že množina všech dolních a horních součtů funkce je omezená, má každá z uvažovaných množin
své supremum a infimum.
Jednomu dělení intervalu přísluší jeden dolní a jeden horní součet. Interval můžeme rozdělit nekonečně
mnoha způsoby. Uvažujme nyní všechna možná dělení intervalu Dostaneme množinu
příslušných dolních a příslušných horních součtů. Podle (11.1) mají tyto množiny supremum i in-
fimum.
Definice 11.3 Číslo nazveme dolním Riemannovým integrálem
a číslo horním Riemannovým integrálem funkce na intervalu
f dcbaJ ,, 
),( yx DDD  J jim , jiM ,
f jjiiij yyxxJ ,, 11   )( ijJ
)(),(
1 1
ij
m
i
n
j
ij JmDfs  

)(),(
1 1
ij
m
i
n
j
ij JMDfS  
 f J .D
f J
f .ijJ
0)( xf ,J
)( ijij Jm 
)( ijij JM 
),( Dfs ),( DfS
).,( yxfz 
),(),(),()( JMDfSDfsJm  
),(inf
),(
yxfm
Jyx 
 ).,(sup
),(
yxfM
Jyx 

f
J J
nD .J
),(sup),( n
DJ
Dfsdxdyyxf
n

),(inf),( n
D
J
DfSdxdyyxf
n
 f .J
165 DVOJNÝ INTEGRÁL
Jestliže se obě tato čísla sobě rovnají, říkáme, že funkce f je ( riemannovsky ) integrovatelná na
intervalu J. Pro obě tato čísla pak užíváme společné označení a toto číslo nazýváme
dvojným Riemannovým integrálem funkce na intervalu
Poznámka
 Z předpokladu omezenosti funkce na intervalu vyplývá, že horní a dolní součet, horní
a dolní integrál a dvojný integrál funkce na intervalu jsou vlastně čísla.
 Pro dvojný integrál se také používá značení , přičemž podle dvojrozměrného
intervalu J usoudíme, že jde o integrál dvojný.
Věta 11.1 (O integrovatelnosti funkce.) Je-li funkce spojitá na intervalu je na tomto
intervalu integrovatelná (integrabilní) podle Riemanna. Píšeme pak
Definice 11.3 Funkce je skoro všude spojitá, pokud má konečný počet bodů nespojitosti nebo
všechny její body nespojitosti leží na jednom nebo na více, avšak pouze na konečně mnoha, grafech
spojitých funkcí.
Věta 11.2 (O integrovatelnosti funkce.) Je-li funkce f omezená a skoro všude spojitá na intervalu
pak je na tomto intervalu riemannovsky integrovatelná.
Pro dvojný R-integrál platí věty analogické větám pro jednorozměrný Riemannův integrál.
Věta 11.3 (vlastnosti riemannovsky integrovatelných funkcí) Nechť funkce (jsou
riemannovsky integrovatelné na ), pro  pak
1. a platí
(tzv. linearita integrálu)
2. a platí
3.
4. (tzv. monotonie integrálu)
J
dxdyyxf ),(
f .J
f J
f J
J
dxdyyxf ),(
f ,2
RJ 
).(R Jf 
,2
RJ 
(J)gf R, 
J yxgyxfRc ),(),(,  Jyx ,),( 
(J)f+g R
       , , , ,
J J J
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy    
(J)fc R
   , ,
J J
c f x y dxdy c f x y dxdy   
(J)gf R
   , ,
J J
f x y dxdy g x y dxdy 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 166
5. a platí
6. Je-li pro  bod a (konstanty ), pak platí
7. (aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru) Jsou-li dva uzavřené intervaly,
které vznikly rozdělením intervalu úsečkou rovnoběžnou s osou resp. , pak
a platí
Poznámky
 Tvrzení 1. a 2. Věty 11.3 lze zobecnit (na konečný počet funkcí)
 Zvolme pro  . Potom obsah
 Tvrzení 7. Věty 11.3 lze rozšířit na konečný počet podmnožin (podintervalů ),
,
=

Výpočet dvojného integrálu postupnými integracemi
– dvojnásobný integrál
Výpočet dvojného integrálu se převádí na výpočet dvou jednorozměrných integrálů. V následujícím
výkladu se dozvíme, jak se prakticky počítá dvojný integrál. Začneme nejjednodušším příkladem, kdy
integračním oborem je dvojrozměrný interval.
(J)f R
   , ,
J J
f x y dxdy f x y dxdy 
Jyx ),( Bf(x,y)A  RBA ,
(J)Byxyxf(J)A
J
dd),(   
2
21 R, JJ 
J x y ),(R 1Jf 
)(R 2Jf 
     
1 2
, , ,
J J J
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy   
 1 1 2 2 1 1 2 2....... ....n n n n
J J J J
C f C f C f dxdy C f dxdy C f dxdy C f dxdy        
1),( yxf Jyx ),( J
 
JJ
xyyxyxfJ dddd),()(
iJ iJ 2
RJ i 
ni ,...,2,1
J
dxdyyxf ),( 
1
),(
J
dxdyyxf ...),(
2
J
dxdyyxf 
nJ
dxdyyxf ),(
0 0
J
dxdy 
167 DVOJNÝ INTEGRÁL
Věta 11.4 (Fubiniova) Nechť je spojitá na uzavřeném intervalu . Potom platí
Poznámka Integrály na pravé straně vzorce se vzhledem k dvojí integraci nazývají dvojnásobné
integrály. Často se pro ně užívá i tento zápis:
, resp.
Fubiniova věty říká, jak lze dvojný integrál převést na dvojnásobný.
Při výpočtu dvojnásobného integrálu integrujeme nejprve podle jedné proměnné (např. ) při konstantní
druhé proměnné ( ) a výsledek integrujeme podle této druhé proměnné. Obě pořadí integrováni
jsou ekvivalentní, pokud jde o výsledek. Mohou se však lišit pracností výpočtu a může se
také stát, že při jednom z obou možných pořadí dospějeme k integrálu, který neumíme vypočítat.
Tzn., že volba integračního pořadí může hrát zásadní roli.
Poznámka (Geometrická interpretace věty 11.4.) Předpokládejme, že je spojitá a kladná na
Při pevném dává integrál (integruje se jen podle a výsledek závisí na )
obsah řezu tělesa rovinou = konstanta (viz obrázek). Při malém představuje neboli
objem malé vrstvy uvažovaného tělesa. Výsledek (tj. ) potom integrujeme
podle od do a získáme objem tělesa, jehož podstava je stěny jsou části roviny
a horní podstava je část plochy
K témuž výsledku dospějeme, rozřežeme-li těleso na vrstvy rovinami = konstanta.
V obou případech platí, že hodnota „vnitřního“ integrálu může záviset té druhé proměnné.
Příklad Spočítejte dvojný integrál ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑄
𝑑𝑥𝑑𝑦 přes obdélník 𝑄 = ⟨1,3⟩ × ⟨1,2⟩.
Řešení: Integrál spočteme podle Věty 11.4.
∬ (𝑥 + 𝑦)𝑄
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ (𝑥 + 𝑦)
2
1
𝑑𝑦)
3
1
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥𝑦 +
𝑦2
2
]
1
2
3
1
𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 + 2 − 𝑥 −
1
2
)
3
1
𝑑𝑥 =
∫ (𝑥 +
3
2
)
3
1
𝑑𝑥 = [
𝑥2
2
+
3
2
𝑥]
1
3
=
9
2
+
9
2
−
1
2
−
3
2
= 7
f dcbaJ ,, 
     , , ,
b d d b
J a c c a
f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy
   
    
   
    
 ,
b d
a c
dx f x y dy   ,
d b
c a
dy f x y dx 
y
x
f .J
x    ,
d
c
f x y dy F x y x
x x )(xFx
x  ,
d
c
f x y dy )(xf
x a b ,J
dycybxax  ,,, ).,( yxfz 
y
MATEMATICKÁ ANALÝZA 168
Dvojný integrál přes měřitelné množiny
V praxi většinou potřebujeme integrovat přes množiny obecnějšího tvaru, než jsou uzavřené obdélníky.
I v tomto případě převádíme dvojný integrál na dvojnásobný, s tím rozdílem, že meze nebudou
konstanty.
Jako integrační obory dvojných integrálů budeme připouštět pouze měřitelné množiny, neboť většinou
se v aplikacích setkáme s dvojnými integrály spojitých funkcí na měřitelných množinách.
Pojem míry je zobecněním pojmu obsahu rovinného obrazce (v ) resp. pojmu objemu tělesa
(v ). Vlastně všechny geometrické útvary, jejichž obsah, resp. objem známe z elementární geometrie
jsou měřitelné a jejich míra je rovna jejich obsahu, resp. objemu.
Věta 11.5 Omezená množina je měřitelná (v ), právě když její hranice je tvořena grafy
spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřeném intervalu.
Poznámka Nejdůležitější z měřitelných množin jsou množiny těchto tří typů (s nimi v praktických
případech vystačíme)
 Elementární obor vzhledem k je množina
kde a jsou funkce jedné proměnné definované a spojité na přičemž pro každé
je
 Elementární obor vzhledem k je množina
kde  a  jsou funkce jedné proměnné definované a spojité na přičemž pro každé
je
 Elementární obor je uzavřená množina, kterou lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha
elementárních oborů vzhledem k či , které se navzájem nepřekrývají.
Příklad Na následujícím obrázku je nakreslen obor, který je elementární vzhledem k ose i vzhledem
k ose Je patrné, že máme více možností jakým způsobem integrační obor vymezit.
Poznámka V některých učebnicích se místo pojmu elementární používá pojem normální nebo regulární
a místo obor se používá oblast nebo, množina.
Věta 11.6 (Fubiniova věta pro dvojný integrál přes obecnou měřitelnou množinu.) Nechť funkce
je spojitá na uzavřeném elementárním oboru vzhledem k ( ). Potom
2
R
3
R
2
RM  2
R
x  ,)()(,|),( 2
xgyxfbaxRyxM 
f g ,,ba
),( bax ).()( xgxf 
y  ,)()(,|),( 2
yxydcyRyxM  
,,dc
dcy , ).()( yy  
x y
y
.x
f
D x )()(, xgyxhbxa 
   
 
 
, ,
g xb
D a h x
f x y dxdy f x y dy dx
 
  
  
  
169 DVOJNÝ INTEGRÁL
Věta 11.7 (Fubiniova věta pro dvojný integrál přes obecnou měřitelnou množinu.) Nechť funkce
je spojitá na uzavřeném elementárním oboru vzhledem k ( ). Pak
Příklad Spočítejte dvojný integrál ∬ 𝑥𝑦2
𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦, pro 𝛺: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥2
≤ 𝑦 ≤ 2𝑥.
Řešení: Podle obrázku Obr. 11.1 určíme meze oblasti 𝛺. Hodnotu integrálu spočteme podle
Fubiniovy věty 11.6.
Obrázek 11.1 Oblast 𝛺
∬ 𝑥𝑦2
𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝑥𝑦22𝑥
𝑥2 𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
0
[
𝑦3
3
]
𝑥2
2𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑥
3
1
0
(8𝑥3
− 𝑥6)𝑑𝑥 =
=
1
3
[8
𝑥5
5
−
𝑥8
8
]
0
1
=
59
120
.
Poznámka Pořadí integrace na elementárním oboru je třeba volit tak, aby meze v posledním integrálu
byly konstanty.
Pro výpočet je důležité správné určení mezí.
Příklad Když je trojúhelník o vrcholech (0,0), (0,1), (1,0), stanovte meze pro integraci přes obor
.
Řešení Postupujeme následovně:
a) Buď je pevné, pak ,
b) nebo je pevné, pak .
f D y )()(, yxydyc  
   
 
 
, ,
yd
D c y
f x y dxdy f x y dx dy


 
  
  
  
A
A
x xyxA  1,0,1,0:
y yxyA  1,0,1,0:
MATEMATICKÁ ANALÝZA 170
V žádném případě se nemůže jednat o kartézský součin intervalů , který
představuje čtverec a ne trojúhelník. To znamená, že jakmile vypadá integrál takto , jde
o čtverec nebo obdélník.
Transformace do polárních souřadnic
Věta 11.8 (Substituce ve dvojném integrálu) Nechť 2
* R je otevřená, měřitelná množina,
funkce ),(),,(  yyxx  určují prosté regulární zobrazení ,*: 2
R
na
 kterému přísluší
Jacobiova matice ,


















yy
xx
J funkce Rf : je na  spojitá. Pak
.dddetJ)),(),,((dd),(
*
 
  yxfyxyxf
Poznámka V rovině je možné provádět transformaci do polárních souřadnic, která má tvar
kde Jacobián (Viz Obr. 11.2)
Obrázek 11.2 Polární souřadnice
Příklad Pomocí transformace do polárních souřadnic spočítejte ∬ 𝑦𝛺
√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦, kde
𝛺: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑥2.
Řešení: Položíme 𝑥 = 𝜌cos𝜑, 𝑦 = 𝜌sin𝜑; Jakobián 𝐽 = 𝜌. Na základě obrázku určíme, že proměnná
𝜌 ∈ ⟨0,1⟩ a 𝜑 = ⟨0,
𝜋
2
⟩. Hodnotu integrálu spočteme podle Věty 11.8.
yxyA  1,0,1,0:
b d
a c
dx fdy 
,cosx ,siny ,0  ,20   .J
171 DVOJNÝ INTEGRÁL
Obrázek 11.3 Oblast 𝛺
∬ 𝑦𝛺
√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝜌
𝜋
2
0
sin𝜑√𝜌2sin2 𝜑 + 𝜌2cos2 𝜑 ⋅ 𝜌𝑑𝜑)
1
0
𝑑𝜌 = ∫ (∫ 𝜌3
𝜋
2
0
sin𝜑𝑑𝜑)
1
0
𝑑𝜌 =
∫ 𝜌31
0
[−cos𝜑]0
𝜋
2
𝑑𝜌 = ∫ 𝜌31
0
𝑑𝜌 = [
𝜌4
4
]
0
1
=
1
4
.
Geometrické aplikace dvojného integrálu
Pomocí dvojného integrálu můžeme spočítat
 Obsah P plochy rovinného uzavřeného obrazce ( je například obdélník, čtverec,
elementární obor) je
Příklad Spočítejte míru rovinné oblasti 𝛺: 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑥, 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥.
Řešení: Oblast je omezená kružnicí se středem 𝑆 = (1,0), osou 1. a 3. kvadrantu a osou x (viz Obr.
11.4).
Obrázek 11.4 Oblast 𝛺
2
RM  M
.)( 
M
dxdyMP
MATEMATICKÁ ANALÝZA 172
𝜇 = ∬ 𝑑𝑥
𝛺
𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑑𝜑
2co𝑠𝜑
0
)
𝜋
4
0
𝑑𝜑 = ∫ 2
𝜋
4
0
cos2
𝜑𝑑𝜑 = 2 ∫
1
2
𝜋
4
0
(1 + cos2𝜑)𝑑𝜑 = [𝜑 −
sin2𝜑
2
]
0
𝜋
4
=
𝜋
4
−
1
2
 Objem V válcového tělesa . Nechť a spojitá nezáporná funkce definovaná na
Potom válcové těleso má objem
Příslušné těleso je ohraničené shora plochou zdola rovinou a ze stran
válcovou plochou, jejímž kolmým průmětem do roviny je plocha
Příklad Spočítejte objem přímého válce 𝑥2
+ 𝑦2
= 4, omezeného rovinami 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑧 = 0.
Řešení Na obrázku Obr. 11.4 je znázorněno těleso, jehož objem máme spočítat.
Obrázek 11.5 Oblast 𝛺
𝑉 = ∬ (𝜑 − 𝑥 − 𝑦)𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ (𝜑 − 𝑥 − 𝑦)
√𝜑−𝑥2
−√𝜑−𝑥2 𝑑𝑦)
2
−2
𝑑𝑥 = ∫ [4𝑦 − 𝑥𝑦 −
𝑦2
2
]
−√𝜑−𝑥2
√𝜑−𝑥2
2
−2
𝑑𝑥 =
= ∫ (8√𝜑 − 𝑥2 − 2𝑥√𝜑 − 𝑥2)
2
−2
𝑑𝑥 = 8 ∫ √𝜑 − 𝑥22
−2
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥
2
−2
√𝜑 − 𝑥2 𝑑𝑥 .
V dalším výpočtu využijeme toho, že integrovaná funkce v 1. integrálu je sudá a integrovaná
T 2
RM  f
.M  ),(0),(:),,( 3
yxfzMyxRzyxT 

M
dxdyyxfTV .),()(
T ),.( yxfy  0z
xy .M
173 DVOJNÝ INTEGRÁL
funkce ve 2. integrálu je lichá (tzn. 2. intergrál=0).
𝑉 = 8 ⋅ 2 ∫ √4 − 𝑥22
0
= |
subst. 𝑥 = 2sin𝑡
𝑑𝑥 = 2cos𝑡𝑑𝑡
𝑥 = 0 → 𝑡 = arcsin0 = 0
𝑥 = 2 → 𝑡 = arcsin1 =
𝜋
2
| = 16 ∫ √4 − 4sin2 𝑡
𝜋
2
0
⋅ 2cos𝑡𝑑𝑡 =
16 ∫ 4
𝜋
2
0
cos2
𝑡𝑑𝑡 = 16 ∫ 2
𝜋
2
0
(1 + cos2𝑡)𝑑𝑡 = 32 [𝑡 +
sin2𝑡
2
]
0
𝜋
2
= 16𝜋
Dvojný Riemannův integrál je zobecněním integrálu jednorozměrného definovaného
na přímce, na integrál definovaný v rovině. Konstruuje se obdobně jako jednorozměrný:
Integrovanou oblast aproximujeme sjednocením disjunktních obdélníků. Pro
zvolené dělení určíme horní a dolní součty. Zvolené dělení postupně zjemňujeme.
Když provedeme limitní přechod a limity horních a dolních součtů se rovnají, říkáme,
že funkce je Riemannovsky integrovatelná v
Dvojné integrály se řeší převodem na integrály dvojnásobné. Eventuelně se ke zjednodušení
integrace využívá transformace do polárních souřadnic.
1. Jaký je geometrický význam dvojného integrálu?
2. Jak se převede dvojný integrál na dvojnásobný?
3. Napište tvar transformace do polárních souřadnic.
4. Spočítejte ∬ 𝑑𝑥𝛺
𝑑𝑦, když 𝛺: 𝑥2
+ 𝑦2
= 9, 𝑥2
+ 𝑦2
= 4.
[Výsledek: 5π.]
Základní literatura:
[1] DRÁBEK, P., MÍKA, S. Matematická analýza II, 4. vyd. Plzeň, ZČU Plzeň, 2003.
269 stran. ISBN 80-7082-977-X
[2]DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[3] M0ŠOVÁ, V.: Matematická analýza II. 1.vyd, UP Olomouc 2005. 134 stran.
ISBN 80-244-1005.
.2
R
Kapitola 12
Trojný integrál
Po prostudování kapitoly budete umět:
 vysvětlit, jak byl odvozen Riemannův trojrozměrný integrál
 převést trojný integrál na trojnásobný
 aplikovat trojný integrál na praktické úlohy
Klíčová slova:
Trojný integrál, trojnásobný integrál, Fubiniova věta, transformace do cylindrických
a sférických souřadnic
175 TROJNÝ INTEGRÁL
Definice trojného Riemannova integrálu
Odvození trojrozměrného Riemannova integrálu je obdobné jako u integrálu jednorozměrného
a dvojrozměrného. Tentokrát se ale integruje přes integrační obor a integrandem je obecně
funkce tří proměnných. Integrál se pak definuje jako společná limita posloupnosti dolních a horních
součtů pro zjemňující se dělení. Popřípadě je také možné definovat integrál jako limitu integrálních
součtů pro zjemňující se dělení.
Definujme nyní trojný integrál
Výpočet trojného integrálu
Věta 12.1 (Integrace přes hranol) Nechť funkce je na hranolu riemannovsky
integrovatelná, pak
3
R
).,( zyxfu  Q
 
     
 
        
 kk
D
Q
n
i
m
j
r
k
kkjjiiijk
ijk
ijkkiijk
kkjjii
rk
mj
ni
kkjjiiijk
rmn
fDGzyxzyxf
zzyyxxffDG
rkmjni
rkmjniQ
zzyyxxD
rkmjnizzyyxxQD
qzzpdyycbxxa
qpdcbazyxfu









  








,,limddd),,(
,,
,...,1,,...,1,,...,1:
,...,1,,...,1,,...,1,),,(
max)(
,...,1,,...,1,,...,1|,,,:
...,...,...
,,,Qnafunkceomezená-),,(
0)(
1 1 1
111
j
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1!!
000





  .ddd,,ddd),,( xyzzyxfzyxzyxf
d
c
b
a
q
pQ
   


















MATEMATICKÁ ANALÝZA 176
Příklad Spočítejte
Řešení
∭ (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧)𝑄
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ [(2𝑥 − 𝑦)𝑧 +
𝑧2
2
]
0
3
2
1
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ (3(2𝑥 − 𝑦)
9
2
)
2
1
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
= ∫ (3 [2𝑥𝑦 +
𝑦2
2
]
1
2
+
9
2
[𝑦]1
2
)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (3 (2𝑥 −
3
2
) +
9
2
)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 6
1
0
𝑥𝑑𝑥 = 6 [
𝑥2
2
]
0
1
= 3.
Věta 12.2 (Fubiniova – integrace přes normální oblast) Nechť funkce je na oblasti
, kde označuje průmět do roviny
a existuje , pak existuje také trojný integrál
Příklad Spočítejte
Řešení Oblast tvoří čtyřstěn (viz obrázek Obr. 12.1). Můžeme se na ní dívat jako na oblast normální
vzhledem k ose x, která je vymezena nerovnostmi
Zadaný trojný integrál pomocí Věty 12.2 převedeme na trojnásobný a spočteme.
Obrázek 12.1 Oblast
.30,21,10:,dzdd)2(  zyxQyxzyx
Q
)(Rf
 ),(),(,),(:),,( 21
3
yxzzyxzGyxRzyx  G  ,, yx
Gyxzzyxf
yxz
yxz
 ),(prod),,(
),(
),(
2
1
.ddd),,(ddd),,(
G
),(
),(
2
1
xyzzyxfzyxzyxf
yxz
yxz
  









0,0,0,2:,dzdd)( 2

zyxzyxyxyx

,20  x ,20 xy  .20 yxz 

177 TROJNÝ INTEGRÁL
∭ (𝑥 + 𝑦2)𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ (∫ (𝑥 + 𝑦)22−𝑥−𝑦
0
𝑑𝑧)
2−𝑥
0
𝑑𝑦)
2
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ [𝑥𝑧 +
2−𝑥
0
2
0
𝑦2
𝑧]0
2−𝑥−𝑦
𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ (∫ (2𝑥 − 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 2𝑦2
− 𝑥𝑦2
− 𝑦3)
2−𝑥
0
𝑑𝑦)
2
0
𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥
2
(2 − 𝑥)2
+
2
0
1
12
(2 − 𝑥)4
) 𝑑𝑥 = |
2 − 𝑥 = 𝑡
−𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑥 = 0 → 𝑡 = 2
𝑥 = 2 → 𝑡 = 0
| = − ∫ (
1
2
(2 − 𝑡)𝑡2
−
1
12
𝑡4
)
0
2
𝑑𝑡 =
1
2
[
2
3
𝑡3
−
𝑡4
4
]
0
2
−
1
12
[
𝑡5
5
]
0
2
=
2
15
.
Věta 12.3 (Substituce v trojném integrálu) Nechť je otevřená měřitelná množina, funkce
určují prosté regulární zobrazení
a funkce je na spojitá, pak
kde je Jacobiova matice transformace .
Poznámka Transformace do cylindrických souřadnic má tvar kde
Jacobián (Viz Obr. 12.2)
Obrázek 12.2 Cylindrické souřadnice
3
* R
),,(),,,(),,,(  zzyyxx  3
na*: R
Rf : 
 

*
,ddddetJ)),,(),,,(),,,((ddd),,(  zyxfzyxzyxf
































zzz
yyy
xxx
J 
,cosx ,siny ,zz 
,0  ,20   .Rz .J
y
M
x
z
z
MATEMATICKÁ ANALÝZA 178
a transformace do sférických souřadnic kde
Jacobián
Obrázek 12.3 Sférické souřadnice
Příklad Spočítejte
Řešení Oblast, přes kterou se integruje je válec (viz Obr. 12.4). Bude výhodné provést transformaci
do cylindrických souřadnic kde
Jacobián
Obrázek 12.4 Oblast
,sincos x ,sinsin y ,sinz ,0 
,20   .
2
0

  .sin2
J
y
M
x
z
30,4:,ddd 2222

zyxzyxyx
,cosx ,siny ,zz  ,10   ,20   .30  z
.J

179 TROJNÝ INTEGRÁL
∭ √𝑥2 + 𝑦2
𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝜌23
0
𝑑𝑧)
2𝜋
0
𝑑𝜑)
2
0
𝑑𝜌 = ∫ (∫ [𝜌2
𝑧]0
32𝜋
0
𝑑𝜑)
2
0
𝑑𝜌 =
∫ (∫ 3𝜌22𝜋
0
𝑑𝜑)
2
0
𝑑𝜌 = ∫ 3
2
0
𝜌2[𝜑]0
2𝜋
𝑑𝜌 = ∫ 3
2
0
⋅ 2𝜋𝜌2
𝑑𝜌 = 6𝜋 [
𝜌3
3
]
0
2
= 16𝜋.
Příklad Spočítejte
Řešení Oblast, přes kterou se integruje, tvoří koule se středem v počátku a poloměrem 𝑎, ze které
je odstraněn vnitřek kuželu, který má vrchol v počátku jeho průnik s kulovou plochou je kružnice
2/222
ayx  na ploše 2/2
az  (viz Obr. 12.5).
Obrázek 12.5 Oblast
Integrál transformujeme do sférických souřadnic
Z rovnice kulové plochy máme
a tedy
Z rovnice kuželové plochy
a tedy
.0,,:,ddd 22222222

azyxazyxzyxyx

,sincos x ,sinsin y ,cosz
.sin2
J
222222222
cossinsinsincos a 
2222
)cos(sin a 
22
a .0 a 
 cossinsinsincos 222222

 cossin 
1tg  .
4
0

 
MATEMATICKÁ ANALÝZA 180
Současně
∭ √𝑥2 + 𝑦2
𝛺
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫
(
∫ (∫ 𝜌 𝜌2
𝑎
0
𝑑𝜌)
𝜋
4
0
𝑑
)
𝑑𝜑
2𝜋
0
= ∫
(
∫
0
𝑑
)
2𝜋
0
𝑑𝜑
= ∫
(
∫
0
𝑑
)
2𝜋
0
𝑑𝜑 = 2𝜋 ∫
𝜋
4
0
= 𝜋(
𝜋
4
− )
= 𝜋(𝜋 − 2)
Aplikace trojného integrálu
Geometrické aplikace
Míra oblasti je
Příklad Spočítejte objem čtyřstěnu vymezeného nerovnostmi ,40  x ,40 xy 
.40 yxx 
Řešení Na obrázku Obr. 12.6 je zadaný čtyřstěn.
Obrázek 12.6. Oblast
.20  
sin sin 
4

4
4
a
2
sin 
4

4
4
a
)2cos1(
2
1
  4
4
a
4
02
2sin
(
2
1


 





 4
4
a
2
1
16
4
a
3
R 
 zyx ddd


181 TROJNÝ INTEGRÁL
∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺
= ∫ (∫ (∫ 𝑑𝑧
4−𝑥−𝑦
0
)
4−𝑥
0
𝑑𝑦)
4
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ [𝑧]0
4−𝑥−𝑦4−𝑥
0
𝑑𝑦)
4
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ 4 − 𝑥 −
4−𝑥
0
4
0
𝑦 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 =
3
32
62
48d
2
48d
2
4
4
0
324
0
24
0
4
0
2


















 

xx
xx
x
xx
y
xyy
x
Fyzikální aplikace
Nejprve označme funkci hustoty tělesa (v příkladech bývá často ). Pak hmotnost
tělesa je .
Statické momenty tělesa vzhledem k souřadným rovinám jsou ,
, .
Souřadnice těžiště tělesa : , .
Příklad Stanovte souřadnice těžiště homogenního tělesa , které je omezené plochami
Řešení Na obrázku Obr. 12.7 je nakreslené zadané těleso. Těžiště spočteme použitím vzorců pro
výpočet těžiště homogenního tělesa.
Obrázek 12.7 Homogenní těleso
𝑚 = ∭ 𝑑𝑥𝛺
𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑑𝑧
4
0
)
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ [𝑧]0
41−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ 4
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
∫ 4
1
0
[𝑦]0
1−𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 4
1
0
[
(1−𝑥)2
2
]
0
1
= 2.
h 3
R 1h
 .ddd),,( zyxzyxhm 

 zyxzzyxhMxy ddd),,(


 zyxyzyxhMzx ddd),,( 
 zyxxzyxhMzy ddd),,(
T 
m
M
z
m
M
y
m
M
x
xy
T
zx
T
yz
T  ,, ),,( TTT zyxT 
3
R
4.z,1  yx
MATEMATICKÁ ANALÝZA 182
𝑀 𝑦𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑥
4
0
𝑑𝑧)
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑥
1−𝑥
0
⋅ 4𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
0
4[𝑦]0
1−𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 4
1
0
(𝑥 −
𝑥2)𝑑𝑥 = 4 [
𝑥2
2
−
𝑥3
3
]
0
1
= 4 ⋅
1
6
=
2
3
𝑀 𝑥𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑦
4
0
𝑑𝑧)
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑦
1−𝑥
0
⋅ 4𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 4
1
0
[
𝑦2
2
]
0
1−𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 2
1
0
(1 − 2𝑥 +
𝑥2)𝑑𝑥 = 2 [𝑥 −
𝑥2
2
+
𝑥3
3
]
0
1
=
2
3
𝑀 𝑥𝑦 = ∫ (∫ (∫ 𝑧
4
0
𝑑𝑧)
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ [
𝑧2
2
]
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 = ∫ (∫ 8
1−𝑥
0
𝑑𝑦)
1
0
𝑑𝑥 =
∫ 8
1
0
[𝑦]0
1−𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 2
1
0
(8 − 8𝑥)𝑑𝑥 = [8𝑥 − 4𝑥2]0
1
= 4
Těžiště tělesa 𝑥 𝑇 = (
1
3
,
1
3
, 2).
Trojný integrál je zobecněním jednorozměrného Riemannova integrálu do trojrozměrného
prostoru. Jeho výpočet lze realizovat převedením na integrál trojnásobný
na základě Fubiniovy věty. Výpočet trojného integrálu přes složitější oblasti lze zjednodušit
použitím transformace do křivočarých souřadnic (cylindrických nebo sféric-
kých).
1. Vysvětlete, jak se liší konstrukce trojného Riemannova integrálu od konstrukce
integrálu dvojného.
2. Na základě jakého tvrzení lze převést trojný integrál na trojnásobný? Vyslovte příslušnou
matematickou větu.
3. Vyslovte větu o transformaci trojného integrálu do křivočarých souřadnic.
4. Spočítejte objem tělesa omezeného plochami 𝑧 = 4 − 𝑦2
, 𝑧 = 𝑦2
+ 2, 𝑥 = 1,
𝑥 = 2.
5. Stanovte souřadnice těžiště homogenního tělesa , které je omezené plo-
chami
3
R
.1,222
 zzyx
183 TROJNÝ INTEGRÁL
Základní literatura:
[1]DRÁBEK, P., MÍKA, S. Matematická analýza II, 4. vyd. Plzeň, ZČU Plzeň, 2003.
269 stran. ISBN 80-7082-977-X
[2] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vyd., Praha:
Fragment, 2003, 459 s., ISBN 80-7200-587-1, 2003
[3]M0ŠOVÁ, V.: Matematická analýza II. 1.vyd, UP Olomouc 2005. 134 stran. ISBN
80-244-1005-2